Teğetler Dörtgeni

Herhangi bir çember üzerinde alınan dört farklı noktadan çizilen teğetlerin kesişim noktalarının meydana getirdiği dörtgene teğetler dörtgeni adı verilir. Aşağıdaki şekilde A merkezli çembere üzerindeki B, C, D, E noktalarından teğetler çzilmiş ve bu çizilen teğet doğruları K, L, M, N nokatlarında kesişerek KLMN teğetler dörtgenini meydana getirmiştir. Kısaca söylemek gerekirse; kenarları bir çembere teğet olan bir dörtgene, teğetler dörtgeni denir.

Bir çembere dışındaki bir noktadan çizilen teğet parçalarının uzunlukları birbirine eşittir. Bu nedenle, bu özelliğin bir sonucu olarak, teğetler dörtgeninde karşılıklı kenarların uzunlukları toplamı  birbirine eşittir.

Trigonometrik fonksiyonların tanım kümesi

Sinüs fonksiyonu, trigonometri ve matematikte önemli bir yere sahip olup, özellikle periyodik olayların modellenmesinde kullanılır. Sinüs, bir dik üçgende bir açının karşı kenar uzunluğunun dik üçgendeki hipotenüs uzunluğuna oranı olarak tanımlanır. Birim çember üzerinde ise, herhangi bir merkez açının çember üzerinde kestiği noktanın ordinat (y-koordinatı) değeri, o açının sinüsünü verir. Cosinüs fonksiyonu da benzer şekilde, bir dik üçgende verilen bir açıya göre komşu kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranı olarak tanımlanır. Birim çember üzerinde ise, açının çemberi kestiği noktanın apsis (x-koordinatı) değeri, o açının cosinüsünü verir. 

Tanjant fonksiyonu, bir dik üçgende bir açının karşı kenarının komşu kenarına oranıdır. Birim çemberde tanjant fonksiyonu, o açının sinüsünün cosinüsüne oranı (sinx/cosx) şeklinde ifade edilir. Tanjant fonksiyonu tanımında paydada "cosinüs" olduğundan, cosinüs değerinin sıfır olduğu açılarda tanjant değeri tanımsız olur. Kotanjant fonksiyonu ise tanjantın çarpma işlemine göre tersidir; bir dik üçgende bir açının komşu kenarının karşı kenara oranıdır. Birim çemberde kotanjant fonksiyonu, verilen açının cosinüsün sinüse oranı (cosx/sinx) şeklinde ifade edilir. Kotanjant fonksiyonu tanımında, paydada "sinüs" olduğundan sinüs değerinin sıfır olduğu açılarda kotanjant tanımsız olur. 

Trigonometrik fonksiyonlar arasında biraz daha az bilinen sekant (secant) ve kosekant (cosecant) fonksiyonları da şöyle açıklanır: Sekant, cosinüs fonksiyonunun çarpma işlemine göre tersi (yani oran olarak 1/cosx​) olarak tanımlanır. Dik üçgende sekant fonksiyonu, hipotenüs uzunluğunun komşu kenar uzunluğuna oranı olarak ifade edilir. Sekant fonksiyonu tanımında paydada "cosinüs" olduğundan, cosinüs değerinin sıfır olduğu açılarda sekant değeri tanımsız olur. Kosekant ise sinüs fonksiyonunun çarpma işlemine göre tersi (yani oran olarak 1/sinx​) olarak tanımlanır.  Kosekant fonksiyonu tanımında, paydada "sinüs" olduğundan, sinüs değerinin sıfır olduğu açılarda kosekant fonksiyonu tanımsız olur. Dik üçgende kosekant fonksiyonu, hipotenüs uzunluğunun karşı kenar uzunluğuna oranı olarak ifade edilir.

 Sinüs ve cosinüs fonksiyonlarının tanım kümeleri, tüm gerçek sayılardır. Bu nedenle, bu fonksiyonlara girilen her açı (radyan ya da derece cinsinden) için bir değer bulunabilir. Tanjant fonksiyonu, cosinüs fonksiyonuna bağlı olarak tanımlandığı için, cosinüs değerinin sıfır olduğu noktalarda tanımsızdır. Tanjant fonksiyonunun tanım kümesi, cosinüsün sıfır olduğu değerler örneğin 90°, 270°, 450° ... gibi açılar hariç tüm gerçek sayılardır. Kotanjant fonksiyonu, sinüs fonksiyonuna bağlıdır. Sinüs sıfır olduğunda kotanjant tanımsız olur. Kotanjant fonksiyonunun tanım kümesi, sinüsün sıfır olduğu değerler örneğin 0°, 180°, 360° gibi açılar hariç tüm gerçek sayılardır. ekant fonksiyonu, cosinüsün sıfır olduğu açılar (örneğin 90°, 270°, ...) dışında tüm gerçek sayılar için tanımlıdır. Kosekant fonksiyonu, sinüsün sıfır olduğu açılar (örneğin 0°, 180°, 360° gibi) dışında tüm gerçek sayılar için tanımlıdır. 

 

Trigonometrik Fonksiyonlar

Sinüs ve Kosinüs Fonksiyonları

https://muallims.blogspot.com/2018/05/sinus-ve-cosinus-fonksiyonlar.html

Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonları

https://muallims.blogspot.com/2018/06/tanjant-ve-kotanjant-fonksiyonlar.html

Sekant ve Kosekant Fonksiyonları

https://muallims.blogspot.com/2013/05/secant-ve-cosecant-fonksiyonlar.html

 

Çokgenler ve genel özellikleri

Tanım: n ≥ 3 ve n bir doğal sayı (N) olmak üzere, düzlemde sadece A 1 , A2, A3, ... , An noktalarında kesişen ve ardışık herhangi üç noktası doğrusal olmayan [A1 , A2], [A2, A3], ... , [An – 1 , An], [An, A1 ] doğru parçalarının birleşim kümesinin oluşturduğu kapalı geometrik şekle "çokgen" denir. [A1 , A2], [A2, A3], ... , [An – 1 , An], [An, A1 ] doğru parçalarına çokgenin kenarları; A1 , A2, A3, ... , An noktalarına da çokgenin köşeleri denir.

Bir çokgenin iç bölgesinde bulunan herhangi iki nokta birleştirildiğinde oluşan doğru parçası, çokgenin iç bölgesinde kalıyor ise bu tip çokgenlere "dışbükey çokgen" (konveks) denir. Bir çokgenin iç bölgesinde bulunan herhangi iki nokta birleştirildiğinde oluşan doğru parçası, çokgenin iç bölgesinde tamamıyla kalmıyorsa bu tip çokgenlere de "içbükey çokgen" (konkav) denir. 

Nesbitt Eşitsizliği ve ispatı

Nesbitt, tarafından 1903'te Educational Times isimli dergiye bir geometrik eşitsizlik olarak gönderilmiştir. (A. M. Nesbitt, Problem 15114, Educational Times, 3 (1903), 37-38) Aslında eşitsizliğin bir kısmı herhangi üç a,b,c pozitif gerçel sayısı için de doğrudur.

Nesbitt Eşitsizliği; üçgenler üzerinde uygulanırsa, üçgenin dış merkezleri ve alanları kullanılarak bunların arasındaki ilişki yazıldığında eşitsizliğin bir uygulaması gösterilmiş olur. Eşkenar üçgende geçerli olan bu eşitsizliğin yükseklik ve yarıçaplar arasındaki oranlamanın bir sonucu olduğunu gözlemleyebiliriz.

Nesbitt Eşitsizliği, Cauch Schwartz Eşitsizliği'nin bir sonucu bir eşitsizlik de diyebiliriz. Cauch Schwartz Eşitsizliği hakkında daha detaylı bilgilere ulaşmak için bağlantıyı tıklayabilirsiniz.  Aşağıda Nesbitt Eşitsizliğinin Cauch Schwartz Eşitsizliği ile nasıl ispatlandığı verilmiştir. (Bk.Olimpiyatlara Hazırlık Cauchy – Schwarz eşitsizliği problemleri ve çözümleri, Lokman Gökçe) (Bkz. Cauchy-Schwarz Eşitsizliği)

Yamukta Alan Bağıntıları

Bir yamuğun alanı, alt ve üst taban uzunluklarının toplamının yarısı ile bu tabanlara dik çizilen doğru parçası uzunluğunun (yamuğun yüksekliğinin) çarpımına eşittir. Kısacası yamuğun alan, yamuğun orta tabanı ile yüksekliğinin çarpımına eşittir.

Hatem-i Esem'den zühd hayatı tavsiyesi

Ebû Berze el-Eslemî (r.a)’den rivâyet edildiğine göre Rasûlullah (s.a.v) şöyle buyurmuştur: “Hiçbir kul, kıyamet günü ömrünü nerede tükettiğinden, ilmiyle ne yaptığından, malını nereden kazanıp nereye harcadığından, vücudunu nerede yıprattığından sorulmadıkça bir adım dahî atamaz.” (Tirmizî, Kıyamet, 1/2417)

Allah Rasûlü (s.a.v), ilminden fayda göremeyenlerin içine düştüğü acınacak hâli şöyle tasvîr eder: “Başkalarına hayrı öğretirken kendini unutan âlim, insanları aydınlatırken kendisini yakıp tüketen kandile benzer.” (Heysemî, I, 184) 

Üsâme bin Zeyd (r.a) der ki: Rasûlullah (s.a.v) Efendimiz’i şöyle buyururken işittim: “Kıyamet günü bir adam getirilir ve cehenneme atılır. Bağırsakları dışarı çıkar ve bu hâlde değirmen döndüren merkeb gibi döner durur. Cehennem halkı onun başına toplanır ve:  «–Ey filân! Sana ne oldu? Sen iyiliği emredip kötülükten nehyetmez miydin?» diye sorarlar. O da: «–Evet, iyiliği emrederdim, fakat kendim yapmazdım, münkerden nehyederdim, fakat kendim yapardım» der.” (Müslim, Zühd, Buhârî, Bed’ü’l-Halk, 10; Ahmed, V, 205-209) 

Hz. Ali (r.a)’nin şu îkazı ne kadar ibretlidir: “Ey ilim sahipleri, ilminizle amel ediniz! Çünkü asıl âlim, bildiğiyle amel eden ve ilmi ameline uygun düşendir. Bazı insanlar gelecek, ilim öğrenecekler ancak ilimleri gırtlaklarından aşağı geçmeyecek, yaptıkları bildiklerine, içleri de dışlarına uymayacaktır. Onlar, halkalar hâlinde oturup birbirlerine karşı ilimleriyle övünecek ve üstünlük taslayacaklardır. Hatta biri arkadaşına, kendisini bırakıp başkasının yanına oturduğu için kızacaktır. İşte onların bu meclislerindeki amelleri, Allah’a yükselmez.” (Dârimî, Mukaddime, 34) 

Sehl bin Abdullah (r.a): “İlim, dünya lezzetlerinden biridir. Onunla amel edildiğinde, âhiret için olur” demiştir. (Hatîb el-Bağdâdî, İktizâü’l-ilmi’l-amele, s. 29) İbn-i Mesʻûd’un (r.a) şu ikazı ne kadar korkutucudur: “Bilmeyen kimseye yazıklar olsun! Allah dileseydi ona öğretirdi. Bilip de amel etmeyen kimseye ise yedi kere yazıklar olsun!” (Ebû Nuaym, Hilye, I, 131) 

Süfyân bin Uyeyne; “İnsanların en câhili, bildiği şeyi tatbik etmeyendir, insanların en âlimi, bildiğiyle amel edendir, insanların en efdali de Allah’a karşı en fazla huşû duyan kimsedir” buyurur. (Dârimî, Mukaddime, 32) 

Hz. Ali'ye göre ahiret alimleri

Ahiret âlimlerinin vasfını Hz. Ali (r.a), tafsilatlı bir şekilde şöyle izah eder: Kalpler, tıpkı kaplara benzer. Onların en hayırlısı iyiliğe kap olanıdır. İnsanlar üç sınıfa ayrılırlar: 1) Rabbanî âlimler, 2) Kurtuluş yolundaki öğrenciler, 3) Her konuşana tâbi olan, her rüzgara gönül veren, ilim nuruyla nurlanmayan, ilmin herhangi bir temeline sırtını dayamayan, kıymetsiz halk tabakası. 

İlim, maldan çok çok hayırlıdır. Çünkü ilim seni, sen de malını korursun. İlim öyle bir şeydir ki, verdikçe çoğalır; mal ise vermekle azalır. İlim dindir, çünkü kişi, dinini ilim vasıtasıyla bilir, ibadetleri ve yapacağı bütün işleri onun sayesinde öğrenir. Öldükten sonra, kişi, ilmiyle iyi bir şekilde yâd edilir. İlim hâkimdir, mal ise mahkûm. Malın kaybolmasıyla verdiği menfaat de kaybolur. Mal toplama gayretine düşenler, diri oldukları halde birer ölü sayılır. Âlimler ise, kıyamete kadar bâki kalırlar; onlar ölmezler. Bu sözleri söyleyen Hz. Ali (r.a), derin derin nefes alarak konuşmasına şöyle devam etti: 

(Göğsünü göstererek) İşte burada büyük bir ilim vardır. Keşke o ilmi omuzlarına alabilecek birisine rastlasaydım. Emin olmadığım talibler buluyorum hep; ki onlar ilmi, dünyevî arzularına vesile ittihaz ediyor ve alet yapıyorlar. Allah'ın velilerine, Allah'ın verdiği nimetle dil uzatıyor; Allah'a delâlet eden ilmi, halkın aleyhinde kullanıyorlar. Veya ehl-i hakka itâat eden birini görüyorum; onların da basireti olmadığı için şüpheli bir şeyle karşılaştığı zaman derhal şüpheye düşüyor. Demek ki göğsümde bulunan ilmi ne buna ne de öbürüne verme imkânı yoktur. Bazen de bu ilme dünya lezzetlerine dalmış, şehvetlerinin arkasında giden bir kimse talip çıkıyor veya mal toplamaya dalan ve nefsî hevasının peşinde koşan talip oluyor. Bụnlara en çok benzeyenler, çayırda otlayan hayvanlardır. 

Hz. Ali (r.a), sözlerine şöylece devam etti: İşte, ilmin hakikî talipleri öldüğü zaman ilim de böylece ölüyor. Fakat Allah'ın izn-i keremi ile yeryüzü, Allah'ın dinini savunan insanlardan hiçbir zaman mahrum kalmaz. Böyleleri, ya herkes tarafından bilinir veya Allah'ın delilleri ve beyyineleri, tamamen kaybolmasın, iptal edilerek ortadan kaldırılmasın diye kendilerinin gizli kalmasını tercih ederler. Fakat sayıları ne kadardır ve nerededirler? Bunlar sayıca çok az, kıymetçe çok büyüktürler. Şahısları gizli, fakat hatıraları kalplerde saklıdır. Allah Teâlâ, o alimlerle delil ve hüccetlerini muhafaza eder. Tâ ki sonraki nesillere, bu hüccetleri teslim etsinler ve kendilerine benzeyenlerin kalplerine de o fikirleri eksinler. İlim, bunları, işin hakikatine vakıf kılmış, gene bunlar yakînin ruhunu bilfiil elde etmiştir. Onun için, dünya ehline çok zor gelen. meseleler bunlar için gayet kolaydır. Gafillere yabancı gelen konu- lar bunlara çok yatkın görünür. Bu kişiler, bedenleriyle dünyada gö- rünseler de ruhlarıyla en yüce makama bağlıdırlar. Onlar bütün mahlûkat içinde Allah'ın veli kullarıdır. Yeryüzünde Allah'ın, Allah için çalışan kulları, halkı hakka davet eden dellâllardır'. 

Hz. Ali daha sonra ağlayarak sözlerine şunları ilâve etti: Ey bunları görmek isteyen gönlüm! Neredesin? İstersen gel, sen de hazırlan! 

Kaynakça: 

İmam Gazali, İhya Ulumiddin, Kitabül İlim-VI, Çev. Ali Arslan, Cilt:1, s.245, Hikmet Neşriyat, İstanbul, 1992

Riemann Toplamı

Bir düzgün geometrik şeklin alanı kolayca formüle edilebilir. Kenarları düzgün olmayan kapalı bir bölgenin alanını bulmak için bu bölge kenarları düzgün olan daha küçük kapalı bölgelere ayrılır. Küçük bölgelerin alanları yardımıyla büyük bölgenin alanı hesaplanabilir. Herhangi bir [a, b] aralığı verilmiş olsun. n∈ N ve kapalı aralığın sınır noktaları a ve b olmak üzere a ve b arasındaki artan sıralı x değerleri için; a = x₀, x₁ , x₂ … x_n-1 , x_n=b şeklinde yazılıyorsa; P= {x₀ , x₁ , …, x_n} şeklinde tanımlı P sonlu kümesine, [a, b] aralığının bir "bölüntüsü" denir.

 

[x₀ , x₁], [x₁ , x₂], …, [x_n-1 , x_n] kapalı aralıklarının her birine de [a, b] kapalı aralığının bir P bölüntüsüyle ilgili "alt aralıkları" denir. 

Bu tanımdaki alt aralıkların uzunlukları; Δx₁ = x₁ – x₀ , Δx₂ = x₂ – x₁ , ..., Δx_n = x_n – x_n-1 şeklindedir. 

Δx₁= Δx₂ =Δx₃ ... = Δx_n ise yani kapalı aralık eşit olarak aynı ölçüde alt aralıklara ayrılmışsa bu P bölüntüsüne bir düzgün bölüntü denir. 

Örneğin [0,1] kapalı aralığını herbiri 1/5 birim olacak biçimde düzgün olarak parçalara ayırdığımızda {0, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5 , 1} şeklinde eşit bölüntüler oluşturabiliriz. Bu şekilde oluşturduğumuz bir P bölüntüsü, eşit aralıklarla bölündüğünden [0, 1] aralığının bir "düzgün bölüntüsü" olur. 

Δx değeri verilen aralığın uç değerlerinin bölüntü sayısına bölümü ile bulunur. Bir kapalı [a, b] aralığı için n bölüntü sayısına göre; Δx=(b-a)/n şeklinde formüle edilebilir. Genelde düzgün bölüntüler hesaplamada daha kolay işlem yapabildiğimiz için tercih edilir. Düzgün ve düzgün olmayan bölüntünün daha net anlaşılması için konuya bir örnek verelim.

 Aşağıdaki örnekte P₁ düzgün bölüntü, P₂ de düzgün olmayan bir bölüntü örneğidir. 

Tümevarım İspat Yöntemi ve Örnekleri

Matematiğin en temel ve en önemli işlerinden biri, teoremleri ispatlamaktır. Varlık bildiren teoremler hariç, bir teoremin doğru olduğunu gösteren tek bir örnek vermek hatta örnekler göstermek bir teoremin ispatı için yeterli değildir. Çünkü teorem, verilen bu örnek veya örnekler için doğrulandığı halde başka bir örnek veya örnekler için doğrulanmayabilir. Bu nedenle verilen bir hükmün doğruluğu matematikte kesin olarak gösterilmek durumundadır. Bu uygun akıl yürütme etkinliklerine de ispat denir. Tümevarım yöntemi de ispat yöntemlerinden bir tanesidir. Tümevarım yöntemi genellikle domino taşlarına benzetilerek akılda somut hale getirilebilir. Bildiğimiz üzere, ilk domino taşı istenilen yönde itildiği zaman, diğer domino taşları da sırasıyla düşmektedir. Bütün domino taşlarının düştüğünden emin olmak için iki temel önermeyi bilmemiz yeterlidir: 1) İlk domino taşı düşer. 2)Herhangi bir domino taşı düştüğünde onun ardışığı olan domino taşı da düşmelidir. İşte; matematiksel tümevarım ilkesinin temeli, bu iki temel önermeyi içine alan domino taşlarının düşmesi durumuna benzetilmektedir.

Matematiksel olarak tümevarım ilkesi şu şekilde özetlenebilir. Her n pozitif tamsayısı için herhangi bir P(n) önermesi verildiğinde; bu önermede P(1) doğru ve bir k pozitif tamsayısı için P(k) doğru ise P(k + 1) de doğrudur. O zaman her n pozitif tamsayısı için P(n) doğru olur. Bu ispat yöntemine, matematiksel tümevarım ilkesi denir. 

ise (⇒) bağlacı ile kurulan bileşik önermesi mantık kuralları gereği 1⇒0 durumunda kesin olarak yanlış olacağı için; P(k)⇒P(k+1) bileşik önermesinin doğru olduğunu göstermek için; P(k) önermesi doğru varsayıldığında (kabul edildiğinde) , P(k + 1) önermesinin de matematiksel olarak doğru olduğunu göstermemiz gerek ve yeter şarttır. Tümevarım yöntemiyle ispat yaparken, bu basamağa dikkat edilmesi gerekir. Matematiksel tümevarım ilkesinin yukarıda sayılan üç basamaktan  birincisi olan i) basamağına temel basamak, ikincisi olan (ii) basamağına ise tümevarım basamağı denir. Yukarıda gösterilmiş olan tümevarım ilkesinde (ii). adımdaki, P(k)⇒P(k + 1) koşullu önermesini ispatlamak için genellikle doğrudan ispat yöntemleri kullanılır.
Tümevarım bir ispat yöntemi olarak, önceki yüzyıllarda matematik dünyasını ciddi manada meşgul etmiş olmasına rağmen sonraki yüzyıllardaki matematikçiler ve felsefeciler tarafından eleştirilere de maruz kalmıştır. Bir matematikçi olan B. Russell tümevarım yönteminin acizliğini Hristiyan dünyasına şöyle bir misalle aktarmıştır.“…Mantıklı bir hindi çiftliğe varır varmaz her sabah saat 9′da yem verildiğini fark etti. Ama iyi bir tümevarımcı olduğu için hemen bir sonuca varmak istemedi. Bekledi ve her gün tekrar tekrar gözlemledi. Bu gözlemlerini değişik koşullarda tekrar etti: Çarşambaları, perşembeleri, sıcak ve soğuk günler, yağmurlu ve yağmursuz günler. Her gün yeni bir gözlem ekledi ve sonunda bir sonuç çıkardı: “Her sabah saat 9′da yemek veriliyor bana”. Fakat bir yılbaşı günü kural bozuldu: Mantıklı hindi saat 9′da yemini beklerken boynu kesildi...”
Matematikçi ve epistemolog Bertrand Russell‘ın bu örneği bize tümevarım yönteminin zayıflığını ispat etmeye yetecek bir örnektir. Yukarıda verdiğimiz domino taşı örneğinde domino taşlarının her zaman ve durumda ardışık olarak yıkılmasını gerektirecek bir olay ortaya çıkmış olmayabilir. Bu örneğin oluşabilmesi için hiçbir tesir ve etkinin olmadığı herşeyin aynı şekilde devam edeceği bir his ile bu ispatlamalarını yapıldığı tezi vardır ki bu özellikle sosyal bilimler için kesinlikle yanlış bir tez olur. İçinde yaşadığımız dünyada gelecek olayların hep bir sebep sonuç çizgisi içinde anılması ve bu şekilde hayatımızın irdelenmesi aslında yetersiz bir anlayışın ürünüdür. Geçmişte yaşanmış sebepler ve olmuş şeylere bakarak gelecekteki olacak olan olayları kestirmeye çalışmak her zaman doğru sonuçlar vermeyebilir. Tümevarım yöntemi bu şekilde işlediğinden son dönemlerde daha tutarlı sonuçlar veren farklı ispat yöntemlerinin de kullanılmaya başlandığı pratikte ve teoride ortaya çıkmıştır. Burada tümevarım yöntemiyle ispat edilebilen bazı matematiksel önermeleri göstermeye çalışalım.