0/0 neden belirsiz?

“0/0” ifadesi belirsizdir. Bunu özellikle bir soyut ve analitik bakış açısıyla şöyle açıklayabiliriz: Bir cebirsel yapı içerisinde bölme işlemi, paydanın sıfır olmadığı durumlarda tanımlıdır; dolayısıyla herhangi sıfırdan farklı bir reel ya da kompleks sayı için (a/0) ifadesi tanımsızdır. Ancak (0/0) özel bir konuma sahiptir; çünkü bu ifadenin tek bir değeri zorunlu kılan hiçbir cebirsel sayı değeri yoktur. Daha açık bir ifadeyle: Eğer (0/0 = L) gibi bir değere eşit olduğunu varsayarsak, bu durum mecburi olarak içler dışlar çarpımından  (0 = 0*L) eşitliğini gerektirir. 0*L= 0 eşitliği, her L Reel sayısı için sağlanır. Örneğin L yerine 0*4=0,  0*(-7)=0, 0*98=0, 0*√2=0, 0*0=0, 0*(-2/3)=0....vs gibi çeşitli L değerleri için doğru olur. Dolayısıyla bu 0*L=0 veya L*0=0 eşitliğinde L herhangi bir reel sayı olabileceğinden benzersiz bir L değeri atamak imkansız hale gelir. Bu nedenle 0/0 analizde ve özellikle limit kuramında, bir fonksiyonun değersel olarak değil, davranışsal olarak incelenmesi gereken durumları temsil eden bir belirsizlik durumunu gösterir.

Limit hesaplamalarında karşılaşılan (0/0) biçimleri, fonksiyonun çevresel değerlerinden hareketle çözülür; aksi hâlde bu ifade salt aritmetik düzlemde anlamsız kalır. Kısacası 0/0 sonucu hesaplanabilecek belirli bir sayı değildir; bölme gereği tanımlanamaz olduğu için ve hangi değerlere eşit olacağı tam olarak bilinemeyeceğinden 0/0 belirsizdir. Bu belirsizlik, cebirsel tanımlardan ziyade, analitik yöntemlerle ele alınması gereken yapısal bir özellik olarak ortaya çıkar.

0/0 bölme işlemi tanımından da 0/0 belirsizliğini açıklayabiliriz. Bir sayıyı kendisine böldüğümüzde 5/5 gibi sonuç 1 çıkar. 0 da bir sayıdır dolayısıyla 0/0 bölme işleminin de sonucunun 1 çıkması beklenir. Örnek olarak 0'a çok yakın sayılar seçerek bölme işlemlerini yapalım. 0.1/0.1 = 1, 0.001/0.001 = 1 ve 0.000001/0.000001 = 1. Bu örnekler bize “o hâlde 0/0 da 1 olabilir mi?” sorusunu akla getirir. Diyelim ki 0/0 işleminin sonucu 1 olsun. Bu 0/0 işleminin sonucunun böyle olmadığını irdeleyelim. 0 sayısını 0 dan farklı herhangi bir sayıya bölersek sonuç 0 çıkar. Örneğin 0/7 işleminin sonucu 0'dır. Pay 0 iken payda sıfıra çok yakın ama sıfır olmayan sayılar aldığımızda, sonuç yine 0 çıkar; örneğin 0/0.1 = 0, 0/0.001 = 0 ve 0/0.000001 = 0. Bu da bölmeyi paydayı gittikçe 0'a çok yakın sayılar seçtiğimizde  ifade 0/0 = 0 olabilir mi?” sorusunu akla getirir. Ancak önceki durumdan 0/0 sonucu 1 çıkarken şimdi burada 0/0 işleminin sonucu 0 çıkmış olur ki iki farklı yaklaşım iki farklı sonuç verdiği için bu durum bir çelişki oluşturur: Bir yandan sonuç 1 gibi görünürken diğer yandan 0 gibi görünmektedir. Bu bir çelişki olur. İşte bu nedenle 0/0’ın tek bir kesin sonucu yoktur ve bu ifade matematikte belirsiz olarak kabul edilir.

Analiz ve kalkülüs perspektifinden bakıldığında 0/0 ifadesi, yalnızca aritmetik düzeyde tanımsız bir oran olmaktan çıkarak, limit süreçlerinde belirleyici bir yapısal belirsizlik hâline gelir. Kalkülüsün temel kavramlarıyla ilişkilendirdiğimizde bu durum daha net anlaşılır. Limit hesabında herhangi bir sayıya yaklaşırken f(x)/g(x) değeri 0/0 çıktığında, (aynı sayıya yaklaşırken limit alınınca bile) farklı limit değerleri ortaya çıkacağı için fonksiyonlar farklı olduğunda 0/0 belirsiz olarak ifade edilir. Aşağıda iki farklı 0/0 belirsizliği limit örneği verilmiştir:

lim (x²-4)/(x-2) fonksiyonu x=2 için limit alınırsa 0/0 belirsizliği oluşur ve bunun sonucu 4 çıkar. lim (x-2)/(2x-4) fonksiyonu x=2 için limit alınırsa 0/0 belirsizliği oluşur ve bunun sonucu 1/2 çıkar. Aynı sayıya yaklaşırken 0/0 ifadesi en basitinden iki farklı sonuç çıkmıştır. Bu nedenle 0/0 ifadesi limitte bir belirsizlik olarak alınır.

(Bkz. Limitte 0/0 Belirsizliği)

Peki bölme işleminde 0 ile bölmek neden tanımsızdır? Yani A/0 neden tanımsızdır? Bölme işleminin matematikteki tanımı çarpma işleminin tersi üzerine kuruludur. Bir sayıyı başka bir sayıya böldüğümüzde aslında şu ilişkiyi kurarız. "a sayısı b sayısına bölündüğünde c elde ediliyorsa, bu ancak a=b*c eşitliğinin doğru olması halinde mümkündür." Bu tanımın geçerli olabilmesi için bölenin, yani paydanın sıfırdan farkl olması gerekir. Çünkü bölen olarak sıfır alındığında bu tanım çöker. Bir sayının sıfır ile çarpım her zaman sıfırdır dolayısıyla a = 0. c eşitliği ancak a'nin da sıfır olması durumunda sağlanabilir. a sıfır değilse denklem çözümsüz kalır, a sıfırsa da denklem tüm c değerleri için sağlanır, c yerine 0=5*0, 0=7*0, 0=13*0, 0=-4*0 gibi ne yazılırsa yazılsın sonuç doğru olur ve tek bir sonuç elde etmek mümkün olmaz. Bu durumda bölme işlemi, işlemlerin temel özelliği olan "her girdi için tek bir çıktı üretme' ilkesini kaybeder. Bu nedenle bölme işleminde hiçbir zaman payda 0 olamaz. Yani A/0 tanımsızdır.

Cebirsel olarak da A/0 bölme işlemi tanımsızlık sunar. a = b = 1 olsun. Önce 1=1 yani a = b eşitliği yazılsın. Sonra eşitliğin her iki tarafını a (1) ile çarpalım. a² = ab, ardından her iki taraftan da b² ifadesini çıkaralım. Buradan bir özdeşlik elde etmeye çalışalım. a² – b² = ab – b² iki kare farkı özdeşliği elde edilir. Bu da (a + b)(a – b) = b(a – b) şeklinde çarpanlara ayrılır. Buraya kadar her şey doğru olmuştur. Şimdi hatayı yapalım. Eşitliğin her iki tarafını (a – b)’ye yani (1-1=0) ile bölelim. a = b olduğundan a – b = 0’dır. Yani yapılan işlem 0’a bölmedir ve matematikte tanımsızdır. Buna rağmen bölünürse (a + b)(a – b)/(a-b) = b(a – b) /(a-b)  işleminin sonucu a + b = b bulunur ki bu durumda yani 1 + 1 = 1 çıkar ve buradan 2 = 1 gibi saçma bir sonuç elde edilir. Bu sonucun nedeni tamamen 0’a bölme hatasıdır; işlem geçersizdir. Bu işlem hatası bize 0 ile bölmenin tanımsız olacağını gösterir. 

Limitte ∞-∞ belirsizliği

∞-∞ belirsizliği limit çözümleri yapılırken ∞/∞ belirsizliği (Bkz.Limitte ∞/∞ belirsizliği)  veya 0/0 belirsizliklerine (Bkz.Limitte 0/0 Belirsizliği) dönüştürme yapılarak çözüme ulaşılır. Rasyonel ifadelerde, limit hesabında payda eşitlemesi yoluyla çözüme ulaşılır. Köklü ifadelerde ise verilen limit hesabı yapılırken köklü ifadenin eşleniğiyle çarpımı yoluyla çözüme ulaşılır. ∞-∞ belirsizliği için aşağıda verilen limit formülünün kullanımı da hesaplamalarda kolaylık sağlar.

Limitte ∞/∞ Belirsizliği

Limitte polinom fonksiyon olarak verilen ifadelerde x değişkeni için bulunan ∞/∞ belirsizliklerinin çözümünde temel mantık olarak en büyük dereceli terime göre paranteze alma işlemi yapılır.Daha sonra genişletilmiş reel sayılardaki limit (Bkz. Genişletilmiş reel sayılarda limit) kurallarına göre hareket edilerek sonuca ulaşılır. 

Limitte 0/0 Belirsizliği

0/0 Belirsizliklerinde verilen fonksiyonlar çarpanlara ayırma işlemlerinden yararlanılarak sadeleştirilmeye çalışılır. Daha sonra x değişkeni için verilen sayı değerine göre limit sonucu hesaplanır. Trigonometrik fonksiyonların oluşturduğu bu tip 0/0 belirsizliklerinde ise sinx/x limite bakmak daha yararlı olacaktır. Bu sinx/x ve tanx/x limitlerinin hesaplanış yöntemine (Bkz. sinx/x limiti) göre diğer trigonometrik fonksiyonların limitleri bulunabilir. 

L-Hospital Kuralı

L'Hospital 1661 'de Paris'te doğmuştur. Asil ve zengin üst tabaka bir Fransız ailesinden gelir. Asil bir aileden gelmesi nedeniyle bir süvari alayında yüzbaşı rütbesi ile görev yaptı. Ancak gözlerinin ileri derecede bozuk olması ve matematiğe olan yoğun ilgisi ve yeteneği sonucu askerliği bırakarak tamamen matematiğe yöneldi. Bernoulli 'nin öğretmenliğinde yetişmiştir. Johann Bernoulli fakir ve üretken bir matematikçi olduğundan onun teoremlerini, ispatlarını satın alarak kendi adıyla yayınlayan amatör bazı matematik çalışmaları da bulunan kişi L-Hospital'dir. 

Bugün türev ve limit konusunda çok meşhur olan ve L- Hospital adıyla anılan "L'Hospital Kuralı"nın da sonradan yapılan araştırmalar sonucu anlaşıldığı üzere asıl sahibi Bernoulli 'dir. Bu bilgiler ışığında L'Hospital için "matematiğe meraklı amatör bir matematikçi" yorumunu yapmak daha doğru bir yaklaşım olacaktır. 

Matematiksel analizde, L'Hôpital kuralı, (Löpital) bir fonksiyonun limitini türevle almak için yapılan bir formüldür. Limitinin 0/0 veya ∞/∞ olması durumunda pay ve paydanın türevinin ayrı ayrı alınması kuralına denir. Belirsizlik durumu ortadan kalkıncaya kadar türev almaya devam edilmesiyle, limitteki belirsizlik durumunun kaldırılması işleminden ibaret önemli bir türev kuralıdır. Bu yönteme L'Hopital ismi; 17. yüzyıl Fransız matematikçi Guillaume de l'Hôpital'ın, 1696 yılında yayımladığı "l'Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes" adlı kitabında açıklaması sonucu verilmiştir. Ancak yöntemin aslında Johann Bernoulli tarafından bulunduğu sonradan kabul edilmesine rağmen bu kural halen L-Hospital ismi ile kaynaklarda yer almaya devam etmektedir. 

L’Hospital, Bernoulli ile belli bir miktar aylık karşılığı anlaşma yapmış, birtakım problemleri ona çözdürmüş ve anlaşmayı kimseye söylememesini ondan istemiştir. Bu önemli limit kuralı da, ilk olarak bu şekilde ortaya çıkmış ve L’Hospital’in 1696’da yayımladığı matematik kitabıyla dünyaya tanıtılmıştır. Ancak yakın zamanda keşfedilmiştir ki L’Hospital kuralının ispatı ve ilgili örnekleri, Bernoulli’nin 1694 yılında L’Hospital’e yazdığı bir mektupta aynen bulunmaktadır. Yayınlanmış Eserleri: Analyse des infiniment petits pour l'intélligence des lignes courbes (Paris, 1696) Traité analytique des sections coniques (Paris, 1707) Recueil de l'académie des sciences (Paris, 1699-1701) Acta eruditorum (Leipzig, 1693-1699)

Trigonometrik Fonksiyonların Limitleri

Trigonometrik fonksiyonların limitleri bulunurken verilen radyan cinsinden açıya göre trigonometrik fonksiyonun alacağı değer bilinmelidir. Ayrıca trigonometrik fonksiyonların özellikleri toplam-fark formülleri, dönüşüm formülleri, yarım açı formülleri bilinirse limit alma işlemlerinde kolaylık sağlanır. Verilen açı değeri fonksiyonda yerine yazılarak limit değeri bulunur.

Genişletilmiş Reel sayılar kümesinde limit

Genişletilmiş Reel sayılar kümesinde limit işlemleri yapılırken önce Genişletilmiş Reel Sayılar kümesinin özelliklerinin bilinmesi gerekir. Aşağıdaki örnekleri incelediğinizde bu küme üzerinde limit işlemleri yapmak daha kolay hale gelecektir.

Elipsin alanı ve ispatı

Elips, sabit bir noktaya ve verilen bir doğruya uzaklıkları oranı birden küçük bir sayıya eşit olan noktalarının geometrik yeridir. Elipsin alanı integral yardımıyla alan hesabı uygulamalarından yararlanarak bulunabilir. Bunun için elipsin denkleminden yola çıkarak eksenler arasında kalan bölgelerin sınırlandığı bölgelerin uç noktalarını bularak integralle alan ispatı yapılabilir. Elipsin çevre formülünün ispatında olduğu gibi alan ispatında da integral bilgisi gerekmektedir.

Eksen uzunlukları asal eksen 2a ve yedek eksen 2b olan elipsin Alanı (elips) = π.a.b olduğunu elips denkleminden yola çıkarak ispatlayalım.

Elipsin çevresi ve ispatı

Bir koninin bir düzlem tarafından kesilmesi ile elde edilen düzlemsel, ikinci dereceden, kapalı eğridir.Elips, bir düzlemde verilen iki noktaya odak noktası (F1, F2) uzaklıkları toplamı sâbit olan noktaların geometrik yeridir; verilen bu iki noktaya F1 ve F2 noktaları elipsin odakları denir. Odaklarının arasındaki uzunluğa 2c dersek ortadaki nokta elipsin merkez noktasıdır. 

Elipsin x ekseni üzerinde kalan F1 ve F2 noktaları arasındaki uzaklığa orijine eşit olacak biçimde a+a=2a asal eksen, y ekseni üzerinde kalan aynı şekildeki b+b=2b uzunluğuna ise yedek ekseni denir. Aynı zamanda pisagor teoremi gereği burada oluşan dik üçgenden b² + c² = a² bağıntısı bulunur. b ve F1 ile merkez arasındaki doğru parçası, yani c dik kenarlar, a ise hipotenüs´dür.Elipsin 2a büyüklüğünde büyük (büyük ekseni) ve 2b büyüklüğünde küçük ekseni mevcuttur. Elips bunları çap kabul eden küçük ve büyük çemberleri arasında kalır.

Elipsin çevresi yerleşik bilgilere göre Π(a+b) şeklinde verilse de elipsin çevresi ve alanı integral yardımıyla en düzgün biçimde hesaplanır.

Artan ve Azalan Fonksiyonlar

Bir fonksiyonun artan ya da azalan olduğunu bulmak için türev konusunu işlemeden bulmak her zaman işe yaramayabilir. Bunun için en kesin tespit türev sayesinde yapılabilir. Eğer türev konusu bilinmiyorsa o zaman fonksiyonun grafiğini çizerek buradan yorumda bulunulabilir. Ayrıca artan ve azalan fonksiyonun aşağıda verildiği gibi tanımını kullanarak da fonksiyonun çeşidi hakkında yorum yapılabilir. 

Şimdi verilen bu tanıma göre artan ve azalan fonksiyonlara grafiklerini çizerek basit birer örnek verelim. Burada verilen örnek kavramı daha iyi anlamanız için özellikle basit fonksiyon türlerinden seçilerek hazırlanmıştır.

Birebir ve Örten Fonksiyon

Bir fonksiyonun birebir olması için tanım kümesinde yer alan her elemanın görüntülerinin de farklı elemanlara eşlenmesi gerekmektedir. 

 

Değer kümesi ile görüntü kümesi birbirine eşit ise bu çeşit fonksiyonlara örten fonksiyon denir. Yani değer kümesinde dışarıda boşta eleman kalmayan fonksiyonlara örten fonksiyon denir. Eğer değer kümesinde dışarıda en az bir eleman kalmış ise bu tür fonksiyonlara da içine fonksiyon denir.

Şimdi bu tanımları grafik üzerinde görebilmek adına bir örnek daha verelim. Burada dikkat edilmesi gereken nokta bire-bir fonksiyonların grafikleri çizildiğinde grafiği kesecek şekilde x-eksenine paralel doğrular çizilmesi durumunda fonksiyonun grafiği hiçbir zaman iki farklı nokta kesilmez. Eğer çizilen doğrular ile grafik birden fazla noktada kesişim yapıyorsa o zaman fonksiyon bire bir olmaz. (Yatay Doğru Testi)

Çift ve Tek Fonksiyon

Çift fonksiyonların grafiği y-eksenine göre simetriktir. Tek fonksiyonların grafiği ise orijine göre simetrik olur. Bir aralıkta tanımlı fonksiyon için tanım kümesinden seçilen aynı elemanın negatif ve pozitif değerleri için fonksiyon altındaki görüntüler de aynı oluyorsa bu fonksiyona çift fonksiyon denir. (tüm elemanlar için bu kural sağlanmalıdır.) 

Çift ve tek fonksiyonları anlamanın en kolay yolu grafiklerini çizip simetri kuralına bakmak olacaktır. Tek ya da çift fonksiyon birbirinin zıttı iki kavram gibi düşünülmemelidir. Bazen bir fonksiyon ne tek ne de çift olur. Aşağıdaki tanım ve örnekleri incelemeniz konuyu anlamanız açısından yeterli olacaktır. Özellikle tanımın iyi bilinmesi bu tür soruların çözümünde size kolaylık sağlayacaktır.

Verilen bir fonksiyon illaki tek ya da çift fonksiyon olmak zorunda değildir. Yani tek olmayan fonksiyona çift fonksiyondur diyemeyiz.

Çapma İşlemi (Çin-Hint Metodu)

Çarpma, temel matematik işlemlerinden biridir. Sayılarda çarpma, çarpılan sayının çarpan sayı kadar adedinin toplamının alınması işlemidir. Aslında özel olarak bir toplama işlemidir. Çapma işlemi belli adetteki sayıların toplanmasının adıdır. Abaküs üzerinden toplama işlemleri yapılabildiği gibi çarpma işlemi de mental aritmetik metotlarıyla yapılabilir. 

Farklı bir çarpma yöntemi olarak Çinliler tarafından sıklıkla kullanılan tablo yöntemini anlatmak istiyorum. Bunun için çarpılacak sayılar satır ve sütun halinde kolonlara yazılır. Daha sonra satırdaki rakam ile sütundaki rakam tek tek çarpılarak altında yer alan kutucuğa birler ve onlar basamağı ayrı olacak şekilde iki bölmeli olarak yazılır. Bu şekilde bütün çarpma yapıldıktan sonra çaprazlama olarak bütün çarpım sonuçları altta gelecek şekilde toplanarak elde edilen sayılar bir kenara yazılır. Bu sayılar içerisinde 10 tabanını geçenler varsa bunlar elde olarak bir sonraki rakama devredilir. Bu şekilde çarpma işlemi bitirilmiş olur.

Örnek: Tablo üzerinden de gösterildiği gibi 45 x 256 = 11.520 işleminin Çin metodu ile çözümünü bulalım.
Bu yöntemde çarpılacak sayılar basamaklarına ayrılarak sütun ve satır başlarına yazılır. Her bir kutu çaprazlamasına ikiye bölünür. Satır ile sütunların çarpımları iki üçgen bölüme birler ve onlar basamağı ayrı olacak biçimde yerleştirilir. Örneğin şekilde 5 ve 2'nin çarpımı (10) 1 ve 0 olarak ilk iki üçgene sırasıyla yerleştirilir. Daha sonra çapraz kolonlar birbiriyle toplanır. Örneğin 5 + 3 + 4 = 12 işleminin birler basamağı olan 2 rakamı en sağa yazılır ve 1 rakamı elde olarak hemen solundaki çapraz kolona devreder. Toplamaların tamamı bu şekilde tamamlandıktan sonra en dıştan başlanarak soldan sağa rakamlar (koyu yazılanlar) işlemin sonucu 11520 sayısını verir.

İşlemin Youtube Videosundan farklı örnekleri inceleyebilirsiniz. https://www.youtube.com/watch?v=DMAAAgXTEeE

Çarpma İşlemi (Çin/Japon Metodu)

Japon ve Çin dünyasında sıklıkla kullanılan bir başka çarpma yöntemini daha şu şekilde paylaşmak istiyorum. “Chinese Stick Multiplication” adıyla bilinen ve çubuklar yardımıyla yapılan Çin/Japan çarpma tekniği geleneksel çarpma yöntemlerine etkili bir alternatif yöntem sunar.Yöntemin temelleri oldukça basittir ve günümüzde kullandığımız çarpma algoritmalarına benzer şekilde çalışır. Ancak en büyük avantajı, çarpma işlemini görselleştirme imkânı sunmasıdır. Özellikle ilkokul kademesinde eğlencelidir. Eskiden Çin, Japon coğrafyasında tahta çubuklar, kemik parçaları, bambu dalları gibi araçlar yardımıyla bu çarpma işlemi yapılmıştır. Çarpma işleminin görselliği ve eğlenceli özelliği sayesinde özellikle öğrenme sürecinde oldukça etkili bir araç olduğu gözlemlenmiştir. Bu yöntem, ilköğretim düzeyinde çocuklara çarpma kavramını daha iyi kavratmak amacıyla halen belli bölgelerde öğretilmektedir. Ayrıca, yöntemin öğrenme üzerindeki olumlu etkileri yapılan araştırmalarla desteklenmiştir. 

Bu çarpma yönteminde her sayı için bir düz çizgi çizilir. Yalnız basamaklarına göre uygun biçimde aralarında boşluk bırakmadan kaç rakamı varsa o sayıda yan yana düz çizgi çizilir. Daha sonra ikinci sayı için de aynı şekilde diğer çizgileri kesecek bir şekilde ters yönde düz çizgiler basamaklarda yer alan rakamların adedine göre çizilir. Bütün bu çizme işlemi bittikten sonra altta gelen çizgilerdeki tüm kesişim noktalarının tamamının adedi toplanarak çarpma işleminin sonucu bulunur.  Eğer sayılar iki ya da daha fazla basamaktan oluşan kesişim noktası verirse bunların sadece birler basamağı yazılır. Diğer basamakları elde olarak bir sonrakine devredilir. Bu şekilde sağdan sola doğru çarpma işlemi yapılarak elde edilen noktaların sayısına göre işlem bitirilmiş olur. 

Örnek: 98*67=6566 işleminin sonucunu bu çarpma metoduna göre çizerek bulalım.

 

Örnek: 321*123=39483 işleminin sonucunu bu çarpma metoduna göre çizerek bulalım. İşlemde eldeli toplamanın nasıl yapıldığını görelim. Aşağıdaki görselde her bir basamak, renkli bir çubukla gösterilerek metodun daha kolay kavranması amaçlanmıştır. 

 

Örnek: 102*23=2346 işleminin sonucunu bu çarpma metoduna göre çizerek bulalım. İşlemde basamakların hehangi birinde 0 olduğunda buna ait olan çizgi kırmızı ile çizilir fakat işlemin sonucunda toplama işleminde bu sonuçlar toplanmadan diğer noktalar sayılar işlemin sonucu hesaplanır. Aşağıdaki görselde her bir basamak, renkli bir çubukla gösterilerek metodun daha kolay kavranması amaçlanmıştır. 

“Chinese Stick Multiplication” çarpma metodu, özellikle küçük çocuklara çarpma işleminin temellerini öğretmek açısından oldukça değerlidir. Ancak büyük basamaklı sayılarla uğraşırken bu yöntem çizgi çizmenin zorluğu nedeniyle pek kullanışlı değildir. İşlemin farklı örnekleri için orjinal youtube videosunu aşağıdaki adresten izleyebilirsiniz.

 

 

 “Chinese Stick Multiplication”

Büyük basamaklı sayılarda çarpma işlemi yapılırken Rus Matematikçi Anatoly Karatsuba tarafından bulunan ve büyük basamaklı sayıların çarpımını hesaplamada daha kullanışlı olan bir çarpım algoritması tercih edilir. Karatsuba Algoritması'nda amaç; çarpılacak sayıları alt gruplara bölerek daha az sayıda işlem yaparak sonuca en kısa yoldan ulaşmaktır.

“Chinese Stick Multiplication” Youtube Video Adresi https://www.youtube.com/watch?v=AiOKSpGs758

“Chinese Stick Multiplication” Youtube Video Adresi https://youtu.be/scCfeJhJ2TA?si=uLwXNDsBLtMcGv9S