İntegralle hacim hesabı

Etiketler :

Bir geometrik forma sahip olan geometrik cisimlerin (prizma, piramit, silindir, koni,küre) hacimleri katı cisimlerin alan formülleri yardımıyla bulunabilir. (Bkz. Katı cisimlerin hacimleri) Düzgün bir geometrik formu olmayan cisimlerin veya bir fonksiyonun bir eğri/eksen etrafında döndürülmesiyle meydana gelen dönel cisimlerin hacimleri integral yardımıyla hesaplanır.

Herhangi bir f(x) eğrisinin bir [a,b] kapalı aralığında bir eksen etrafında (x ekseni, y ekseni, herhangi bir doğru veya eğri etrafında) 360 derece döndürülmesiyle ortaya üç boyutlu bir dönel cisim çıkar. Bu cismin sınırladığı bölgenin hacmi integralle bulunur. Eğri x ekseni etrafında döndürülüyorsa fonksiyon x değişkenine bağlı olarak yazılır buna göre hacim hesaplaması yapılır.

Herhangi bir f(x) eğrisinin bir [a,b] kapalı aralığında bir eksen etrafında (x ekseni, y ekseni, herhangi bir doğru veya eğri etrafında) 360 derece döndürülmesiyle ortaya üç boyutlu bir dönel cisim çıkar. Bu cismin sınırladığı bölgenin hacmi integralle bulunur. Eğri y ekseni etrafında döndürülüyorsa fonksiyon y değişkenine bağlı olarak yazılır buna göre hacim hesaplaması yapılır.


Bazı fonksiyonlar, x ve y ekseni dışında bir doğru etrafında da 360 derece dödürülerek bir dönel cisim meydana getirilebilir. Bu durumda öncelikle verilen eğri ile doğrunun ortak kesişim noktaları bulunmalıdır. Daha sonra bu kesişim noktalarını aralık kabul eden sınırlar içinde integralle hacim hesabı yapılır.
Fonksiyon herhangi bir eksen etrafında 360 dereceden daha az bir derece ile döndürüldüğünde oluşan cismin hacmi döndürme açısına bağlı olarak oranlanarak hesaplanır. Örneğin fonksiyon eksen etrafında 90 derece döndürülmüşse 90/360 oranından tüm hacim 1/4 oranında olur.
Bir fonksiyonun grafiği başka bir fonksiyon grafiği eksen kabul edilerek bunun etrafında da döndürülerek dönel bir cisim oluşturulabilir. Bu durumda her iki fonksiyonun denklemleri birbirinden çıkarılarak kalan bölgenin döndürülmesiyle elde edilen hacim hesabı integral yardımıyla bulunur.
Bazı özel fonksiyon eğrilerinin aralarında kalan düzlemsel bölgenin, bir eksen etrafında belli bir açıyla döndürülmesiyle oluşan hacmi bulunurken, sınırlanan bölgenin alt ve üst sınırları (uç noktaları) farklı işlemler yapılarak bulunabilir. Örneğin trigonometrik bir fonksiyon verilmişse, bunların sınırladığı kapalı aralığın bulunmasında trigonometrik denklemlerin çözüm kümelerinden yararlanılır. (Bkz. Temel Trigonometrik denklemler) Eğer logaritmalı veya üstel biçimli bir fonksiyon verilmişse, burada sınır değerleri bulunurken logaritma denklemlerinin çözüm kümesinden yararlanılır. Daha sonra integral alma işlemlerine geçilerek hacim hesabındaki aynı işlemler tekrarlanır. Özel fonksiyonların grafiklerinin doğu çizilmesi ve döndürülmesi istenen bölgenin doğru bir biçimde belirlenmesi hacim hesabının öncelikli şartıdır.
Küre cisminin hacmi de bir daire parçasının döndürülmesiyle oluşan bir dönel cisim olduğundan integral yardımıyla hacmi hesaplanabilir. (Bkz. Küreni alan ve hacmi) Çember denkleminde x2+y2=r2  y eşitliğin bir tarafında yalnız bırakılarak, y=f(x) biçiminde fonksiyon oluşturulduktan sonra dairenin yarıçapına kadar olan parçası x ekseni etrafında 360 derece döndürülerek integral yardımıyla yarım küre hacmi bulunur. Bu bulunan hacim 2 ile çarpılarak tam kürenin hacmi elde edilir.

0 yorum:

Fayda vermeyen ilimden Allah'a sığınırım. “Allah'ım; bana öğrettiklerinle beni faydalandır, bana fayda sağlayacak ilimleri öğret ve ilmimi ziyadeleştir."

İlim; amel etmek ve başkalarıyla paylaşmak içindir. Niyetimiz hayır, akıbetimiz hayır olur inşallah. Dua eder, dualarınızı beklerim...

Aşağıdaki Yazılar İlginizi Çekebilir!!!

  • 2022 AYT Matematik Soru Çözümleri (PDF)03.07.2022 - 0 Yorum2022 AYT Matematik sınavındaki sorular, lise müfredatı içerisinde olan konuların, daha çok problem tarzındaki sorulardan oluşmuştur. Önceki yıllara göre zorlayıcı soruların olduğunu kabul etmek gerekir.  Sınav Sorularına ÖSYM sitesinden…
  • İslam Tarihi-1 Konu Özeti14.01.2014 - 0 Yorumİlahiyat lisans Tamamlama 1. Sınıf Ders Özetleri  ilitam kitaplarından yararlanarak özetleme yapılmıştır. Özetleme işleminde Ankara İlitam'ın uzaktan eğitim yayınları esas alınmıştır. öğrencilerimize faydalı olması amacıyla burada…
  • Uluğ Bey'in Matematik ve Astronomi Çalışmaları13.04.2012 - 0 Yorum Timur'un oğlu Şahruh'un oğludur. 1393 yılında Sultaniye kentinde doğmuştur. Timur'un öldüğü sıralarda Uluğ Bey Semerkand'da bulunuyordu. Maveraünnehir'in Halil Sultan'ın saldırısı ve işgali üzerine, babasının yanına gitmek zorunda kalmıştır. Babası…
  • Geometri ve Sanat09.12.2012 - 1 Yorum Geometri ve sanat, birbirleri ile bağlantılı olup birbirlerini destekleyen iki alandır. Sanatta geometrinin kullanımı, yüzyıllardan beri süregelmiştir. Sanat eserleri-nin geometrik olması, onlara estetik değerler kazandırmaktadır. Ünlü ressam…
  • Maurits Cornelis Escher03.02.2010 - 0 Yorum Maurits Cornelis Escher veya daha çok kullanılan şekliyle M.C. Escher 1898 yılında Hollanda’da doğdu. 1918 yılına kadar, inşaat mühendisi olan babası George Escher, annesi Sarah ve dört erkek kardeşiyle birlikte, doğduğu kent olan Arnhem’de…
  • STROOP Etkisi (J. R. Stroop)11.10.2010 - 2 Yorum John Ridley Stroop'un 1935 yılında geliştirdiği üç kısımdan oluşan bir bilişsel kontrol testi. Testin ilk kısmında deneklere renk isimleri sunulur ve bunları olabildiğince hızlı okumaları istenir. İkinci kısımda renkli mürekkeple basılı nokta…
  • Gelenbevi İsmail Efendi28.03.2012 - 0 Yorum Meşhur Osmanlı matematik âlimlerinden. 1730 senesinde Aydın vilâyetinin Saruhan sancağında bulunan Gelenbe kasabasında dünyâya geldi. Adı İsmâil olmasına rağmen doğduğu yerden dolayı Gelenbevî olarak tanınmıştır. 1791 (H.1206)de Yenişehir’de vefât…
  • Doğrunun Eğiminde Türev21.11.2016 - 0 Yorum Verilen bir y=mx+n şeklindeki doğrunun eğimi bulunurken türevden yararlanılabilir. Denklemi verilen doğrunun birinci türevi alınırsa doğrunun eğimine ulaşılmış olur. İspatı yapılırken genel türev tanımından yararlanılarak sonuca ulaşılır. Altta…