Trigonometri Cetveli ve Tanjant Değişim Tablosu

Trigonometrik değerler tablosu, 0 ila 360 derece arasında belirli bir açı için trigonometrik fonksiyonların hesaplanmış değerlerini içerir. Geniş açıların trigonometrik değerleri dar açıya dönüştürülerek hesaplanır. Genellikle 0 ile 90 dereceden oluşan açıların yer aldığı trigonometri tabloları kullanımda yaygınlık kazanmıştır.

Teknik resim çizimlerinde de sıklıkla trigonometri cetvellerinden yararlanılır. Tanjant ve kotanjant değişimleri için de trigonometri cetvelleri kullanılır. Örneğin torna hesap işlemlerinde tanjant cetvelleri kullanılır. Tanjant cetvelleri, geçmişte trigonometrik hesaplamaları kolaylaştırmak için kullanılan trigonometrik değer tablolarıdır. Bu cetvellerde, belirli açılara karşılık gelen tanjant (tan) değerleri yazılıdır. Tanjant, dik üçgenlerde bir açının karşısındaki dik kenarın, komşu dik kenara oranıdır. Yani bir açının tanjantını bulmak demek, eğim hesaplamak demektir. Eskiden hesap makineleri veya bilgisayarlar yaygın olmadığı için, bu tür trigonometrik hesaplamalar elle yapılırdı. Bu nedenle tanjant cetvelleri, mühendisler, haritacılar, mimarlar ve matematikçiler için çok önemliydi. Örneğin bir üçgende bir açının tanjantını bilerek diğer kenar uzunluklarını hesaplamak mümkündür. Tanjant cetveli sayesinde açının tanjant değeri kolayca bulunur, sonra bu değer kullanılarak problem istenen uzunlukta parça kesimleri yapılabilir.

Tanjant cetvelleri genellikle derece (°) cinsinden açılar için hazırlanır. Örneğin 30°, 45°, 60° gibi açılar için tanjant değerleri cetvelde yer alır. Derecenin alt birimleri olan dakika cinsinden de tanjant cetvelleri oluşturulabilir. Bu sayede daha hassas ölçümler yapılabilir. Tanjant cetveli kullanıcısı, açıyı cetvelden bulup karşısındaki değeri alarak hesaplama işlemine devam eder ve böylece istediği açı sonucunu bulabilir. Kısacası, tanjant cetvelleri trigonometrik işlemleri kolaylaştırmak için kullanılan açılar ve onların tanjant değerlerini gösteren tablolardır. Günümüzde artık pek kullanılmasalar da geçmişte matematiksel hesaplamalarda önemli bir yere sahip olmuştur.

Örneğin torna veya benzeri işlemlerde, konik bir parçanın yüzey eğim açısını bulmak için tanjant cetveli kullanılır. Büyük çap ile küçük çap arasındaki fark, uzunlukla orantılanır ve buradan tanjant değeri bulunur. Böylece cetvel yardımıyla gereken eğim açısı hesaplanmış olur. Bu işlem için genel bir formül vardır: 

Büyük Çap (R) Küçük Çap:(r) Konik Boyu (L) olmak üzere ß açısının tanjant değeri: tanjantß=(R-r)/2*L formülü ile bulunur. Bu formülden yararlanarak şöyle bir hesaplama yapılabilir: Büyük çap 60mm, küçük çap 35 mm ve konik boyu 20 mm için hesaplama: tanjantß=(60-35)/2*20 buradan tanjantß=0,625 olur ki aşağıdaki tanjant değişim tablosundan da görüleceği gibi ß açısı yaklaşık 32 derece olur.

TANJANT DEĞİŞİM CETVELİ (PDF)

DERECE	TANJANT dakikaları  0° ... 45°
	0'	10'	20'	30'	40'	50'	60'
0	0.0000	0.0029	0.0058	0.0087	0.0116	0.0145	0.0175	89
1	0.0175	0.0204	0.0233	0.0262	0.0291	0.0320	0.0349	88
2	0.0349	0.0378	0.0407	0.0437	0.0466	0.0495	0.0524	87
3	0.0524	0.0553	0.0582	0.0612	0.0641	0.0670	0.0699	86
4	0.0699	0.0729	0.0758	0.0787	0.0816	0.0846	0.0875	85
5	0.0875	0.0904	0.0934	0.0963	0.0992	0.1022	0.1051	84
6	0.1051	0.1080	0.1110	0.1139	0.1169	0.1198	0.1228	83
7	0.1228	0.1257	0.1287	0.1317	0.1346	0.1376	0.1405	82
8	0.1405	0.1435	0.1465	0.1495	0.1524	0.1554	0.1584	81
9	0.1584	0.1614	0.1644	0.1673	0.1703	0.1733	0.1763	80
10	0.1763	0.1793	0.1823	0.1853	0.1883	0.1914	0.1944	79
11	0.1944	0.1974	0.2004	0.2035	0.2065	0.2095	0.2126	78
12	0.2126	0.2156	0.2186	0.2217	0.2247	0.2278	0.2309	77
13	0.2309	0.2339	0.2370	0.2401	0.2432	0.2462	0.2493	76
14	0.2493	0.2524	0.2555	0.2586	0.2617	0.2648	0.2679	75
15	0.2679	0.2711	0.2742	0.2773	0.2805	0.2836	0.2867	74
16	0.2867	0.2899	0.2931	0.2962	0.2994	0.3026	0.3057	73
17	0.3057	0.3089	0.3121	0.3153	0.3185	0.3217	0.3249	72
18	0.3249	0.3281	0.3314	0.3346	0.3378	0.3411	0.3443	71
19	0.3443	0.3476	0.3508	0.3541	0.3574	0.3607	0.3640	70
20	0.3640	0.3673	0.3706	0.3739	0.3772	0.3805	0.3839	69
21	0.3839	0.3872	0.3906	0.3939	0.3973	0.4006	0.4040	68
22	0.4040	0.4074	0.4108	0.4142	0.4176	0.4210	0.4245	67
23	0.4245	0.4279	0.4314	0.4348	0.4383	0.4417	0.4452	66
24	0.4452	0.4487	0.4522	0.4557	0.4592	0.4628	0.4663	65
25	0.4663	0.4699	0.4734	0.4770	0.4806	0.4841	0.4877	64
26	0.4877	0.4913	0.4950	0.4986	0.5022	0.5059	0.5095	63
27	0.5095	0.5132	0.5169	0.5206	0.5243	0.5280	0.5317	62
28	0.5317	0.5354	0.5392	0.5430	0.5467	0.5505	0.5543	61
29	0.5543	0.5581	0.5619	0.5658	0.5696	0.5735	0.5774	60
30	0.5774	0.5812	0.5851	0.5890	0.5930	0.5969	0.6009	59
31	0.6009	0.6048	0.6088	0.6128	0.6168	0.6208	0.6249	58
32	0.6249	0.6289	0.6330	0.6371	0.6412	0.6453	0.6794	57
33	0.6494	0.6536	0.6577	0.6619	0.6661	0.6703	0.9745	56
34	0.6745	0.6787	0.6830	0.6873	0.6916	0.6959	0.7002	55
35	0.7002	0.7046	0.7089	0.7133	0.7177	0.7221	0.7265	54
36	0.7265	0.7310	0.7355	0.7400	0.7445	0.7490	0.7536	53
37	0.7536	0.7581	0.7627	0.7673	0.7720	0.7766	0.7813	52
38	0.7813	0.7860	0.7907	0.7954	0.8002	0.8050	0.8098	51
39	0.8098	0.8146	0.8195	0.8243	0.8292	0.8342	0.8391	50
40	0.8391	0.8441	0.8491	0.8541	0.8591	0.8642	0.8693	49
41	0.8693	0.8744	0.8796	0.8847	0.8899	0.8952	0.9004	48
42	0.9004	0.9057	0.9110	0.9163	0.9217	0.9271	0.9325	47
43	0.9325	0.9380	0.9435	0.9490	0.9545	0.9601	0.9657	46
44	0.9657	0.9713	0.9770	0.9827	0.9884	0.9942	1.0000	45
	60'	50'	40'	30'	20'	10'	0'	DERECE
KOTANJANT dakikaları  45° ... 90°

 

Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonları

Trigonometrik Fonksiyonlar, merkezi orijin ve yarıçapı 1 br olan birim çember üzerinde gösterilerek buradaki geometri ve analitik bilgileri yardımıyla tanımlanır. Birim çember üzerinde alınan herhangi bir noktanın orijinde oluşturduğu merkezil açının, sinüs, cosinüs, tanjant ve kotanjant gibi trigonometrik değerleri analitik geometri yardımıyla ifade edilir. Birim çember üzerinden rastgele seçilen bir P noktasının apsis değeri o merkezil açıya ait cosinüs değerini verir. Aynı şekilde P noktasının ordinat değeri o merkezil açıya ait sinüs değerini verir. Sinüs ve cosinüs fonksiyonları ile ilgili ayrıntılı yazımızı bağlantıyı tıklayarak okuyabilirsiniz. (Bkz. Sinüs ve Cosinüs Fonksiyonları)

Birim çember üzerindeki (1,0) noktasından y eksenine paralel olacak şekilde bir teğet doğrusu (yani x=1 doğrusu) çizilirse bu doğru tanjant ekseni olur. Aynı şekilde (0,1) noktasından x eksenine paralel olacak şekilde bir teğet doğrusu (yani y=1 doğrusu) çizilirse bu doğru kotanjant ekseni olur. Dolayısıyla birim çember üzerinde rastgele bir P noktası alınıp, çember merkezi ile bir açı oluşturulduğunda bu açının kollarının tanjant eksenini (x=1 doğrusunu) kestiği noktanın ordinat değeri açının tanjantını verir. Aynı şekilde bu açının kollarının kotanjant eksenini (y=1 doğrusunu) kestiği noktanın apsis değeri de açının kotanjantını verir.

 

Çemberde Teğet özellikleri

Bir çembere dışındaki bir noktadan iki farklı teğet doğruları çizilirse; oluşan teğet parçalarının uzunlukları birbirine eşit olur.

Çemberde Kiriş Özellikleri

Bir çemberde kirişin çizilmesi için, çember üzerinde iki farklı noktanın belirli olması ve bu noktaların bir doğru parçasıyla birleştirilmesi gerekir. Buna göre çember üzerinde alınan iki farklı noktayı birleştiren doğru parçasına kiriş adı verilir. Merkezden geçen kirişe çap adı verilir. Çap bir çemberde çizilebilecek en büyük kiriştir.

1-Bir çemberde eş kirişlerin yaylarının ölçüleri de birbirine eştir.

a.sinx+b.cosx en büyük en küçük değeri

f(x)=a.sinx+b.cosx şeklinde verilen bir fonksiyonun en küçük veya en büyük değeri bulunurken klasik [-1,1] kapalı aralığı kavramı kullanılamaz. Çünkü burada her iki fonksiyona da ait açı değerleri aynıdır. Fonksiyon f(x)=a.sinx+b.cosy şeklinde iki farklı açıya sahip fonksiyonların toplamı şeklinde verilmiş olsaydı o zaman klasik [-1,1] kapalı aralığı kavramı kullanılabilirdi. 

f(x)=a.sinx+b.cosy şeklinde verilen bir fonksiyonun en küçük değeri (-a)+(-b)= -(a+b) olurken en büyük değeri de a(1)+b(1)=a+b olur. 

f(x)=a.sinx+b.cosx şeklinde verilen bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerini aşağıdaki gösterildiği gibi bulabiliriz.

 

Stewart Teoremi ve ispatı

Herhangi bir üçgende, üçgenin bir köşesinden karşı kenara çizilen bir doğru parçasının uzunluğu, üçgenin diğer kenarları ve doğru parçasının karşı kenarda ayırdığı parçalar arasında bir bağıntı vardır. Bu bağıntı esasında, iki farklı üçgende ortak açı kullanılarak, cosinüs teoremi uygulanmasından ibaret olup, verilen üçgenlerden birinden ortak açının cosinüs değeri üçgenin kenarları cinsinden ifade edildikten sonra diğer üçgende ortak açının cosinüs değerine bulunan bu eşitlik yazılır. Daha sonra düzenlemeler yapıldıktan sonra Stewart bağıntısı elde edilir. 

Koordinatları bilinen üçgen alanı

Köşe koordinatları bilinen üçgenin alanını bulmak için, vektör bileşenlerin determinant kuralından yararlanılır. Determinantta SARRUS Kuralı olarak bilinen determinant hesabı, üçgenlerde köşe koordinatları bilindiği zaman veya köşe koordinatları bir şekilde bulunabildiği zaman, alan hesabında uygulanabilir. 

Sinüs ve Cosinüs Fonksiyonları

Trigonometrik Fonksiyonlar merkezi orijin ve yarıçapı 1 br olan birim çember üzerinde gösterilerek buradaki geometri ve analitik bilgileri yardımıyla tanımlanır. Birim çember üzerinde alınan herhangi bir noktanın orijinde oluşturduğu merkezil açının, sinüs ve cosinüs gibi trigonometrik değerleri analitik geometri yardımıyla ifade edilir. Birim çember üzerinden rastgele seçilen bir P noktasının apsis değeri o merkezil açıya ait cosinüs değerini verir. Aynı şekilde  P noktasının ordinat değeri o merkezil açıya ait sinüs değerini verir. Aşağıdaki şekilden bu tanım görülebilir.

Teğetler Dörtgeni

Herhangi bir çember üzerinde alınan dört farklı noktadan çizilen teğetlerin kesişim noktalarının meydana getirdiği dörtgene teğetler dörtgeni adı verilir. Aşağıdaki şekilde A merkezli çembere üzerindeki B, C, D, E noktalarından teğetler çzilmiş ve bu çizilen teğet doğruları K, L, M, N nokatlarında kesişerek KLMN teğetler dörtgenini meydana getirmiştir. Kısaca söylemek gerekirse; kenarları bir çembere teğet olan bir dörtgene, teğetler dörtgeni denir.

Bir çembere dışındaki bir noktadan çizilen teğet parçalarının uzunlukları birbirine eşittir. Bu nedenle, bu özelliğin bir sonucu olarak, teğetler dörtgeninde karşılıklı kenarların uzunlukları toplamı  birbirine eşittir.