Dik Üçgen ve temel özellikleri

Bir açısının ölçüsü 90° olan üçgene "dik üçgen" denir. Dik üçgende 90° nin karşısındaki kenara "hipotenüs", diğer kenarlara da "dik kenar" adı verilir. Hipotenüs, dik üçgendeki en uzun kenardır. Hipotenüs kelimesi, Yunancada ‘karşılıklı gerilen’ kelimesinden gelmektedir. Medeniyetlerin etkileşim içinde olduğu Mısırlıların, piramitlerin inşa sürecinde kullandıkları dik üçgenler için ip germe tekniklerinden yararlanmış olmalarından hareketle, 'hipotenüs' isminin de bunlara ithafen verilmiş olabileceği ihtimal dahilindedir. 

Dik üçgen ile ilgili olarak bilinen en temel özellik; matematik literatürüne pisagor bağıntısı olarak giren kavramdır. Pisagor'dan daha önceleri de bilindiği tespit edilen bu teorem dik üçgen ile ilgili en önemli özelliktir.  

Pisagor  Teoremi

Dik üçgende dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı, hipotenüs uzunluğunun karesine eşittir. İşte bu kural pisagor teoremi olarak isimlendirilmiştir. 

Mezopotamya, Mısır, Hint ya da Çinli matematikçiler, pisagor teoremini birbirinden bağımsız bir şekilde bulmuşlar ve günlük hayatlarında kullanmışlardır. Matematik tarihçisi Joran Friberg’e göre Pisagor teoreminin ispatları, Pisagor’un doğduğu tarihten yaklaşık bin yıl öncesine dayanmaktadır. Mısırlılar ve Babil Hanedanlığında bulunan matematikçiler de bu teoremi kullanmışlardır. Eski Çin metinlerinde yer alan bazı bilgilere dayanarak, Pisagor teoreminin ilk kez Çin’de ortaya çıktığını düşünen bilim adamları da bulunmaktadır. Doğruluğu tarihin ilk dönemlerinden beri bilinen bu teorem , yüzyıllar boyunca uygarlıktan uygarlığa dolaşmış ve sonunda büyük bir olasılıkla Mısır’da çok uzun yıllar kalan Pisagor’un karşısına çıkmış ve matematik literatürüne de onun ismiyle girmiştir. Teoreme gerçek hayattan örnek olarak telli çalgıları gösterebiliriz; 'telin uzunluğu arttıkça titreşim artar' prensibine dayanır. Bu teorem, birçok matematiksel teoremin ispatlanmasını sağlamıştır. Binlerce yıl öncesine dayanan geometrik ispatlar ve cebirsel ispatlar da dahil olmak üzere bu, çok çeşitlidir. Bu teorem, yüksek boyutlu uzaylardan, Öklid olmayan uzaylara, doğru üçgen olmayan nesnelere ve aslında hiç üçgen olmayan nesnelere, n boyutlu katılara çeşitli şekillerle entegre edilip genelleştirilebilir. Aslında teorem bir dik üçgendeki kenarların kareleri arasındaki ilişkiden daha fazlasını ortaya koyar. Örneğin hipotenüsün üzerinde bulunan yarım dairenin alanı dik kenarların üzerinde bulunan yarım dairelerin toplamına eşittir. Hipotenüs üzerindeki bir beşgenin alanı diğer kenarlar üzerindeki beşgenlerin alanları toplamına eşittir ve bu kural altıgenler, sekizgenler ve aslında düzgün ya da değil tüm şekiller için geçerlidir.

Kenarlarına göre özel dik üçgenler

Dik üçgenlerde en çok kullanılan ve kenar uzunlukları tam sayı olan belirli üçgenler bilinmektedir. Eğer bu üçgenleri bilirseniz pisagor bağıntısını uygulamadan daha pratik olarak pekçok soruyu çözebilirsiniz. 3–4–5 üçgeni: Kenar uzunlukları (3,4,5) sayıları veya bunun katları olan üçgenlerdir. 8–15–17 üçgeni: Kenar uzunlukları (8,15,17) sayıları veya bunun katları olan üçgenlerdir. 5–12–13 üçgeni: Kenar uzunlukları (5,12,13) sayıları veya bunun katları olan üçgenlerdir. 7–24–25 üçgeni: Kenar uzunlukları (7,24,25) sayıları veya bunun katları olan üçgenlerdir. 9-40–41 üçgeni: Kenar uzunlukları (9,40,41) sayıları veya bunun katları olan üçgenlerdir. (20-21-29) üçgeni, (12-35-37) üçgeni,..... şeklinde devam ettirilebilir.

Pisagor teoreminin uygulanışı ile ilgili olarak kenarlara göre çeşitli sonuçlar çıkarılabilir. Burada yer alan sonuçlar/formüller ezberlenecek durumda değildir. Aşağıdaki formüller, pisagor teoreminin üçgenin kenar uzunlukları üzerinde farklı uygulamaları ile çıkarılabilecek bazı bağıntılarını ifade eder.

Dik üçgenlerin kenarları belli bir oranda büyütülerek veya aynı oranda küçültülerek pisagor bağıntısı tekrar uygulanabilir.

Bazı dik üçgen sorularından simetri ve yansıma özelliğinden yararlanılarak pisagor bağıntısı kullanılmaya çalışılır. Genellikle 'en az ve en çok alabileceği değer' sorusu olarak görebileceğimiz bu tarz sorularda, verilen şekilden bir dik üçgen oluşturularak pisagor bağıntısı yazılır.

Bir dik üçgende, hipotenüse ait kenarortay çizildiğinde hipotenüs uzunluğunun yarısı, kenarortay uzunluğuna eşit olur. (Muhteşem Üçlü)

Açılarına göre bazı özel dik üçgenler:

30°–60°–90° üçgeninde; Hipotenüsün uzunluğu, 30° lik açının karşısındaki kenarın 2 katıdır. 60° lik açının karşısındaki kenarın uzunluğu, 30° lik açının karşısındaki kenarın uzunluğunun √3 katıdır. 

45°–45°–90° üçgen, bir ikizkenar dik üçgendir. İkizkenar dik üçgende; Hipotenüsün uzunluğu, 45° lik açının karşısındaki kenarın uzunluğunun √2 katıdır. 

15°–75°–90° üçgeninde, hipotenüse çizilen yüksekliğin uzunluğu, hipotenüs uzunluğunun dörtte biri kadardır. 

30°–30°–120° üçgeninde, esasında 30°–60°–90° üçgenleri vardır. Kolaylık olması açısından bu ikizkenar üçgende; ikizkenarların uzunluğunun √3 katı, 120° lik açının karşısındaki kenarın uzunluğunu verir.

22,5°–67,5°–90° üçgeninde, esasında 45°–45°–90° özel üçgeni vardır. Kolaylık olması açısından bu üçgende; hipotenüse ait yükseklik uzunluğunun (dikmenin) 2√2 katı, hipotenüs uzunluğunu verir.

Açılarına göre özel dik üçgenleri bilmek çok önemlidir. Genellikle sorularda bunların sık kullanımı gerekebilir. Bazı sorularda sizden ek çizim yapmanız beklenir. Soru İçinde 30°, 45° veya 60° lik açı varsa, bu açıların karşısındaki köşelerin herhangi birinden dikme indirerek dik üçgen oluşturulabilir. Bazen de verilen açıyı özel açılara bölecek şekilde ek çizgiler yardımıyla sorular çözülür.

Öklid Bağıntıları: Bir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşittir. Bir dik üçgende bir dik kenar uzunluğunun karesi, hipotenüs üzerindeki izdüşümü ile hipotenüs uzunluğunun çarpımına eşittir.

Öklid Teoremleri ve ispatı

Öklid Teoremi: Bir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşittir. Bir dik üçgende bir dik kenar uzunluğunun karesi, hipotenüs üzerindeki izdüşümü ile hipotenüs uzunluğunun çarpımına eşittir. (Bkz. Euclidin Hayatı ve Çalışmaları)

Öklid teoremleri dik üçgende hipotenüse ait dikme parçası ile oluşan dik üçgenlerin benzerlik oranının bir sonucudur. Öklid teoreminin ispatı yapılırken, benzer olan üçgenler açılarına göre yazılırarak birbirine benzer olan üçgenler belirlenir daha sonra bu benzer üçgenlerde aynı açıların karşısındaki kenarların birbirine oranları gösterilerek teorem ispat edilmiş olur. 

Pisagor Teoremi ve sonuçları

Dik üçgende dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı, hipotenüs uzunluğunun karesine eşittir. İşte bu kural pisagor teoremi olarak isimlendirilmiştir. 

Mezopotamya, Mısır, Hint ya da Çinli matematikçiler, pisagor teoremini birbirinden bağımsız bir şekilde bulmuşlar ve günlük hayatlarında kullanmışlardır. Matematik tarihçisi Joran Friberg’e göre Pisagor teoreminin ispatları, Pisagor’un doğduğu tarihten yaklaşık bin yıl öncesine dayanmaktadır. Mısırlılar ve Babil Hanedanlığında bulunan matematikçiler de bu teoremi kullanmışlardır. Eski Çin metinlerinde yer alan bazı bilgilere dayanarak, Pisagor teoreminin ilk kez Çin’de ortaya çıktığını düşünen bilim adamları da bulunmaktadır. Doğruluğu tarihin ilk dönemlerinden beri bilinen bu teorem , yüzyıllar boyunca uygarlıktan uygarlığa dolaşmış ve sonunda büyük bir olasılıkla Mısır’da çok uzun yıllar kalan Pisagor’un karşısına çıkmış ve matematik literatürüne de onun ismiyle girmiştir. Teoreme gerçek hayattan örnek olarak telli çalgıları gösterebiliriz; 'telin uzunluğu arttıkça titreşim artar' prensibine dayanır. Bu teorem, birçok matematiksel teoremin ispatlanmasını sağlamıştır. Binlerce yıl öncesine dayanan geometrik ispatlar ve cebirsel ispatlar da dahil olmak üzere bu, çok çeşitlidir. Bu teorem, yüksek boyutlu uzaylardan, Öklid olmayan uzaylara, doğru üçgen olmayan nesnelere ve aslında hiç üçgen olmayan nesnelere, n boyutlu katılara çeşitli şekillerle entegre edilip genelleştirilebilir. Aslında teorem bir dik üçgendeki kenarların kareleri arasındaki ilişkiden daha fazlasını ortaya koyar. Örneğin hipotenüsün üzerinde bulunan yarım dairenin alanı dik kenarların üzerinde bulunan yarım dairelerin toplamına eşittir. Hipotenüs üzerindeki bir beşgenin alanı diğer kenarlar üzerindeki beşgenlerin alanları toplamına eşittir ve bu kural altıgenler, sekizgenler ve aslında düzgün ya da değil tüm şekiller için geçerlidir.

Pisagor teoreminin çeşitli ispatları yapılmıştır. Bunlarla ilgili ayrıntılı bilgilere ilgili bağlantıya tıklayarak ulaşabilirsiniz.

(Bkz.Pisagor Teoremi İspatları)

(Bkz.Pisagor Teoremi Vektörel İspatı) 

Kenarlarına göre özel dik üçgenler

Dik üçgenlerde en çok kullanılan ve kenar uzunlukları tam sayı olan belirli üçgenler bilinmektedir. Eğer bu üçgenleri bilirseniz pisagor bağıntısını uygulamadan daha pratik olarak pekçok soruyu çözebilirsiniz. 3–4–5 üçgeni: Kenar uzunlukları (3,4,5) sayıları veya bunun katları olan üçgenlerdir. 8–15–17 üçgeni: Kenar uzunlukları (8,15,17) sayıları veya bunun katları olan üçgenlerdir. 5–12–13 üçgeni: Kenar uzunlukları (5,12,13) sayıları veya bunun katları olan üçgenlerdir. 7–24–25 üçgeni: Kenar uzunlukları (7,24,25) sayıları veya bunun katları olan üçgenlerdir. 9-40–41 üçgeni: Kenar uzunlukları (9,40,41) sayıları veya bunun katları olan üçgenlerdir. (20-21-29) üçgeni, (12-35-37) üçgeni,..... şeklinde devam ettirilebilir.

Pisagor teoreminin uygulanışı ile ilgili olarak kenarlara göre çeşitli sonuçlar çıkarılabilir. Burada yer alan sonuçlar/formüller ezberlenecek durumda değildir. Aşağıdaki formüller, pisagor teoreminin üçgenin kenar uzunlukları üzerinde farklı uygulamaları ile çıkarılabilecek bazı bağıntılarını ifade eder.

Dik üçgenlerin kenarları belli bir oranda büyütülerek veya aynı oranda küçültülerek pisagor bağıntısı tekrar uygulanabilir.

Bazı dik üçgen sorularından simetri ve yansıma özelliğinden yararlanılarak pisagor bağıntısı kullanılmaya çalışılır. Genellikle 'en az ve en çok alabileceği değer' sorusu olarak görebileceğimiz bu tarz sorularda, verilen şekilden bir dik üçgen oluşturularak pisagor bağıntısı yazılır.