Paralelkenarda Alan Hesabı

Bir paralelkenarda, alan hesabı için taban uzunluğu ve yükseklik bilinmelidir. Paralelkenarın yüksekliği, paralelkenar içerisinde bir köşeden karşı kenara dik uzaklık olarak çizilebileceği gibi, o kenarın uzantısına da çizilebilir. 

Paralelkenarda herhangi bir kenar uzunluğu ve o kenara ait yüksekliğinin çarpımı, paralelkenarın alanını verir. Paralelkenarın alanı hesaplanırken oluşan iki üçgenin alanları toplamından yararlanılır. Paralelkenarın alanı, üçgenin alanında olduğu gibi sinüs bağıntısı ile de bulunabilir. Buna göre paralelkenarın alanı, birbirinden farklı iki kenar ve bunlar arasında kalan açının sinüsünün çarpımı ile bulunur. 

Paralelkenarda herhangi bir köşegen, paralelkenarı iki eşit alana ayırır. Köşegenlerle dört üçgene ayrılmış bir paralelkenarın, her bir üçgen bölümünün alanı birbirine eşittir. 

Paralelkenarın bir kenarı üzerinde rastgele bir nokta seçilip, bu noktadan karşı köşelere birer doğru parçası çizilerek üç üçgen meydana getirildiğinde büyük üçgenin alanı kenarlarda meydana gelen diğer üçgenlerin alanları toplamına eşittir. Ayrıca bu büyük üçgenin alanı, paralelkenarın alanının yarısına eşittir.

Paralelkenarın iç bölgesinden herhangi bir nokta alınıp, bu noktadan köşelere doğru parçaları çizilerek üçgenler oluşturulduğunda, oluşan karşılıklı üçgenlerin alanları toplamı birbirine eşit olur. Oluşan bu üçgenlerden karşılıklı olanlarının alanları toplamı, ayrıca paralelkenar alanının yarısına eşittir.  

Paralelkenarın alanı, üçgenin alanında olduğu gibi sinüs bağıntısı ile de bulunabilir. Buna göre paralelkenarın alanı, birbirinden farklı iki kenar ve bunlar arasında kalan açının sinüsünün çarpımı ile bulunur. Bir paralelkenarda alan, bütün dörtgenlerde olduğu gibi eğer köşegen uzunlukları verilirse bu köşegenlerin arasındaki açının ölçüsü biliniyorsa sinüs alan formülü ile bulunabilir. Buna göre paralelkenarın alanı, köşegenler çarpımı ile köşegenlerin arasında kalan açının sinüsünün çarpımının yarısı kadar olur. Bu özellik üçgenin sinüs alan bağıntısı ile alan hesabı uygulamasının direkt sonucudur. Paralelkenarda köşegenler birbirini ortaladığından, köşegenler yardımıyla paralelkenarda oluşan dört üçgen için, ayrı ayrı sinüs alan bağıntıları yazılıp, bulunan bütün sonuçlar toplandığında, paralelkenarın alan bağıntısı elde edilir.

Paralelkenarda benzerlik teoremleri kullanılarak, alan hesabı yapılabilir. Bunun için verilen paralelkenar eş yüksekliklere sahip üçgenlere ayrılarak, taban kenarlarına göre alan oranları yazılır. Buna göre bütün üçgen parçalarının alanları toplamı ile paralelkenarın tüm alanı bulunur.

Paralelkenarda alan uygulamları ile ilgili bazı örnekler aşağıda verilmiştir. Çözüm yollarını inceleyebilirsiniz.  

Paralelkenarın alanı vektörel olarak bulunurken, paralelkenarın birbirinden farklı uzunluğa sahip olan kenarlarını taşıyan, taşıyıcı kenar vektörlerinin normları ve bu vektörlerin aralarındaki açının sinüs değerinin çarpımı ile alan hesaplaması yapılır.

Paralelkenar Özellikleri

Paralelkenar, karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşit olan ve iç açıları toplamı 360 derece olan bir dörtgendir. 

Paralelkenar, yamuk şeklinin özel halidir bu nedenle yamukta yer alan özellikler paralelkenar için de geçerlidir. Ardışık açıların ölçüleri toplamı 180 derecedir. Karşılıklı kenarları, birbirine paralel ve uzunlukları eşittir. Paralelkenarın karşılıklı açıları birbirine eşittir. 

Paralelkenarın köşegenleri birbirini ortalar. Ardışık olmayan köşleri birleştiren köşegen uzunlukları birbirine eşit olmak zorunda değildir. 

Birbirine komşu iki iç açısını birleştiren açıortay doğru parçalarının arasında kalan açı 90 derecedir. Yani paralelkenarda ardışık iki açıortay, birbirine dik olarak kesişir. 

Paralelkenarda herhangi bir kenar uzunluğu ve o kenara ait yüksekliğinin çarpımı, paralelkenarın alanını verir. Paralelkenarın alanı hesaplanırken oluşan iki üçgenin alanları toplamından yararlanılır. Paralelkenarın alanı, üçgenin alanında olduğu gibi sinüs bağıntısı ile de bulunabilir. Buna göre paralelkenarın alanı, birbirinden farklı iki kenar ve bunlar arasında kalan açının sinüsünün çarpımı ile bulunur.

Paralelkenarda herhangi bir köşegen, paralelkenarı iki eşit alana ayırır. Köşegenlerle dört üçgene ayrılmış bir paralelkenarın, her bir üçgen bölümünün alanı birbirine eşittir. Paralelkenarın bir kenarı üzerinde rastgele bir nokta seçilip, bu noktadan karşı köşelere birer doğru parçası çizilerek üç üçgen meydana getirildiğinde büyük üçgenin alanı kenarlarda meydana gelen diğer üçgenlerin alanları toplamına eşittir. Ayrıca bu büyük üçgenin alanı, paralelkenarın alanının yarısına eşittir.

Paralelkenarın iç bölgesinden herhangi bir nokta alınıp, bu noktadan köşelere doğru parçaları çizilerek üçgenler oluşturulduğunda, oluşan karşılıklı üçgenlerin alanları toplamı birbirine eşit olur. Oluşan bu üçgenlerden karşılıklı olanlarının alanları toplamı, ayrıca paralelkenar alanının yarısına eşittir.  

Bir paralelkenarda alan, bütün dörtgenlerde olduğu gibi eğer köşegen uzunlukları verilirse bu köşegenlerin arasındaki açının ölçüsü biliniyorsa sinüs alan formülü ile bulunabilir. Buna göre paralelkenarın alanı, köşegenler çarpımı ile köşegenlerin arasında kalan açının sinüsünün çarpımının yarısı kadar olur. Bu özellik üçgenin sinüs alan bağıntısı ile alan hesabı uygulamasının direkt sonucudur. Paralelkenarda köşegenler birbirini ortaladığından, köşegenler yardımıyla paralelkenarda oluşan dört üçgen için, ayrı ayrı sinüs alan bağıntıları yazılıp, bulunan bütün sonuçlar toplandığında, paralelkenarın alan bağıntısı elde edilir.

Bir paralelkenarın köşelerinden, herhangi bir doğruya çizilen dikme parçalarının uzunlukları karşılıklı toplamları birbirine eşit olur. Bu özellik, esasında yamuktaki orta tabanın, paralelkenar üzerinde gizlenmiş durumudur.

Üçgen benzerliği, paralelkenarda uzunluk hesaplamalarında sıklıkla kullanılan bir konudur. Açıların eşitliği yazıldığı zaman paralellik özelliğinden yararlanarak (veya sonradan ek paralel çizgiler yardımıyla) yeni üçgenler oluşturulup üçgenlerin benzerliğinden çeşitli uzunluklar hesaplanır. Aşağıda benzerlik yardımıyla bulunan bazı kolay sonuçlar verilmiştir.

Benzerlik yardımıyla köşegen üzerinde yer alan parçaların, diğer köşegenle kesilmesi sonucu arasında kalan kenar uzunluklarını hesaplayabiliriz. Aşağıda paralelkenarda benzerlik uygulaması açıklanmıştır.

Paralelkenarda alan uygulamaları için de benzerlik teoremleri sıklıkla kullanılır. (Bkz. Paralelkenarda Alan Hesabı) Alan uygulamalarında, çeşitli tabanlara sahip üçgenler belli oranlarla bölünerek oluşturulan yeni üçgen parçaları yardımıyla, eş yükseklikler kullanılarak paralelkenar parçalanıp bölümlere ayrılabilir. 

Kenar uzunlukları a ve b, köşegen uzunlukları da e ve f olan bir paralelkenarda, oluşan ABC üçgeninde veya ADC üçgeninde, köşegenler ve kenarlar arasında kenarortay teoremi uygulandığı zaman yeni bir teorem elde edilir. Bu teoreme göre, paralelkenarda köşegenlerin kareleri toplamı, paralelkenarın kenarlarının kareleri toplamının iki katına eşit olur. (Kenarortay teoremi ile ilgili ayrıntılı bilgiye ulaşmak için bağlantıyı kullanabilirisiniz. https://muallims.blogspot.com/2013/05/kenarortay-teoremi-ispat.html)

Eşlik ve Benzerlik Teoremleri

Açı Kenar Açı (A.K.A.) Eşliği: İki üçgenin karşılıklı birer kenarı ve bu kenara komşu olan açıları arasında eşlik varsa, "iki üçgen birbirine eştir" denir. 

Eş olan ikizkenar üçgenlerde eşit uzunluğa sahip olan kenarların arasındaki açılar, aynı ölçüye sahiptir. Eşlik aksiyomları bilindiği zaman, buna karşılık benzerlik aksiyomları da rahatlıkla yazılabilir. 

Kenar Kenar Kenar (K.K.K) Eşliği:İki üçgenin karşılıklı tüm kenarları arasında, birbirine eşlik varsa, bu "iki üçgen eştir" denir. Aşağıda verilen üçgenlerde aynı renkte çizili kenar uzunlukları birbirine eşit uzunlukta verildiğinde, bu üçgenlere eş üçgenler olur.

Kenar Kenar Kenar (K.A.K) Eşliği:İki üçgenin karşılıklı ikişer kenarları eş ve bu kenarlar arasındaki açılar da eş ise üçüncü kenarları da eş olmak zorundadır. 

Bu eşlik teoremlerinden yola çıkarak, sonuç olarak şunu söyleyebiliriz. Verilen eşlik özellikleri kullanıldığında, birbirine eş olan üçgenlerin yardımcı elemanlarının (yükseklik, açıortay ve kenarortay) da birbirine eşit uzunlukta olduğunu görülür.

Karşılıklı açıları eşit olan ve karşılıklı kenar uzunlukları da birbiriyle orantılı olan üçgenlere de "benzer üçgenler" denir. Benzer olan üçgenlerin benzerlik oranı, karşılıklı kenarların birbirine oranı ile bulunur. Eşlik teoremleri (K.K.K), (A.K.A), (K,A,K) benzer üçgenler için de sağlanır. Bunlara ilaveten benzer üçgenlerde Açı, Açı, Açı Eşliği (A.A.A) benzerlik teoremi de geçerli olur. 

Esasında benzerlik oranı 1'e eşit olan üçgenlere kısaca "eş üçgendir" diyebiliriz. Her eş üçgen aynı zamanda birbirine benzer olmasına rağmen bu ifadenin tersi her zaman doğru olmaz. Yani her benzer üçgen birbirine eştir diyemeyiz.

Verilen şekilde ABC üçgeni ile EFD üçgenleri birbirine benzer üçgenlerdir. Buna göre karşılıklı olarak A çısı E açısına, B açısı F açısına, ve C açısı da D açısına eşittir. Buna göre bu açıların gördükleri kenar uzunlukları da birbirine karşılıklı olarak eşittir. Aşağıda verilen şekilde de üç açısı da birbirine eşit olan iki üçgenin benzer olduğu gösterilmiştir. 

Benzer üçgenlerin benzerlik oranı, bu üçgenlerin aynı kenara ait yükseklik oranlarına, açıortay uzunlukları oranlarına ve kenarortay uzunlukları oranlarına eşit olur. Aynı zamanda benzerlik oranı, benzer olan üçgenlerin çevreleri oranı da verir. Benzer üçgenlerin alanları oranını, benzerlik oranın karesine eşittir. Benzer iki cismin hacimleri oranı da, benzelik oranın küpüne eşittir.

Benzerlik konusunun daha iyi anlaşılması için, Temel Benzerlik teoremlerinin (I. ve II. Thales Teoremleri) de ayrıntılı olarak bilinmesi gerekir. Thales Teoremleri olarak bilinen bu teoremler hakkında detaylı bilgilere aşağıdaki bağlantıdan ulaşabilirsiniz. (Bkz. Thales Teoremleri)

Üçgen eşitsizliği cebirsel ispatı

Üçgen Eşitsizliği: Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları farkından büyük, toplamından küçüktür. Bir üçgenin çizilebilmesi için olmazsa olmaz şart üçgen eşitsizliğidir. Üçgen eşitsizliği hakkında detaylı açıklama ve geometrik yorumu için aşağıdaki bağlantıyı kullanabilirsiniz. (Bkz. Üçgen eşitsizliği) 

Üçgen Eşitsizliğinin Cebirsel İspatı:

Üçgen eşitsizliğinin cebirsel formu mutlak değer ve eşitsizlik kavramları ile birlikte: 

||x|-|y||≤|x+y|≤|x|+|y| 

şeklinde ifade edilir ve mutlak değer teoremleri ve Cauchy-Schwarz Eşitsizliği yardımıyla ispatlanır. 

Aşağıda verilen teoremler, alt alta sırayla incelendiğinde, bütün bu teoremlerin birlikte sonucu olarak cebirsel üçgen eşitsizliğine ulaşılır.