Çemberde Kiriş Özellikleri

Bir çemberde kirişin çizilmesi için, çember üzerinde iki farklı noktanın belirli olması ve bu noktaların bir doğru parçasıyla birleştirilmesi gerekir. Buna göre çember üzerinde alınan iki farklı noktayı birleştiren doğru parçasına kiriş adı verilir. Merkezden geçen kirişe çap adı verilir. Çap bir çemberde çizilebilecek en büyük kiriştir.

1-Bir çemberde eş kirişlerin yaylarının ölçüleri de birbirine eştir.

a.sinx+b.cosx en büyük en küçük değeri

f(x)=a.sinx+b.cosx şeklinde verilen bir fonksiyonun en küçük veya en büyük değeri bulunurken klasik [-1,1] kapalı aralığı kavramı kullanılamaz. Çünkü burada her iki fonksiyona da ait açı değerleri aynıdır. Fonksiyon f(x)=a.sinx+b.cosy şeklinde iki farklı açıya sahip fonksiyonların toplamı şeklinde verilmiş olsaydı o zaman klasik [-1,1] kapalı aralığı kavramı kullanılabilirdi. 

f(x)=a.sinx+b.cosy şeklinde verilen bir fonksiyonun en küçük değeri (-a)+(-b)= -(a+b) olurken en büyük değeri de a(1)+b(1)=a+b olur. 

f(x)=a.sinx+b.cosx şeklinde verilen bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerini aşağıdaki gösterildiği gibi bulabiliriz.

 

Stewart Teoremi ve ispatı

Herhangi bir üçgende, üçgenin bir köşesinden karşı kenara çizilen bir doğru parçasının uzunluğu, üçgenin diğer kenarları ve doğru parçasının karşı kenarda ayırdığı parçalar arasında bir bağıntı vardır. Bu bağıntı esasında, iki farklı üçgende ortak açı kullanılarak, cosinüs teoremi uygulanmasından ibaret olup, verilen üçgenlerden birinden ortak açının cosinüs değeri üçgenin kenarları cinsinden ifade edildikten sonra diğer üçgende ortak açının cosinüs değerine bulunan bu eşitlik yazılır. Daha sonra düzenlemeler yapıldıktan sonra Stewart bağıntısı elde edilir. 

Koordinatları bilinen üçgen alanı

Köşe koordinatları bilinen üçgenin alanını bulmak için, vektör bileşenlerin determinant kuralından yararlanılır. Determinantta SARRUS Kuralı olarak bilinen determinant hesabı, üçgenlerde köşe koordinatları bilindiği zaman veya köşe koordinatları bir şekilde bulunabildiği zaman, alan hesabında uygulanabilir. 

Sinüs ve Cosinüs Fonksiyonları

Trigonometrik Fonksiyonlar merkezi orijin ve yarıçapı 1 br olan birim çember üzerinde gösterilerek buradaki geometri ve analitik bilgileri yardımıyla tanımlanır. Birim çember üzerinde alınan herhangi bir noktanın orijinde oluşturduğu merkezil açının, sinüs ve cosinüs gibi trigonometrik değerleri analitik geometri yardımıyla ifade edilir. Birim çember üzerinden rastgele seçilen bir P noktasının apsis değeri o merkezil açıya ait cosinüs değerini verir. Aynı şekilde  P noktasının ordinat değeri o merkezil açıya ait sinüs değerini verir. Aşağıdaki şekilden bu tanım görülebilir.

Teğetler Dörtgeni

Herhangi bir çember üzerinde alınan dört farklı noktadan çizilen teğetlerin kesişim noktalarının meydana getirdiği dörtgene teğetler dörtgeni adı verilir. Aşağıdaki şekilde A merkezli çembere üzerindeki B, C, D, E noktalarından teğetler çzilmiş ve bu çizilen teğet doğruları K, L, M, N nokatlarında kesişerek KLMN teğetler dörtgenini meydana getirmiştir. Kısaca söylemek gerekirse; kenarları bir çembere teğet olan bir dörtgene, teğetler dörtgeni denir.

Bir çembere dışındaki bir noktadan çizilen teğet parçalarının uzunlukları birbirine eşittir. Bu nedenle, bu özelliğin bir sonucu olarak, teğetler dörtgeninde karşılıklı kenarların uzunlukları toplamı  birbirine eşittir.

Trigonometrik fonksiyonların tanım kümesi

Sinüs fonksiyonu, trigonometri ve matematikte önemli bir yere sahip olup, özellikle periyodik olayların modellenmesinde kullanılır. Sinüs, bir dik üçgende bir açının karşı kenar uzunluğunun dik üçgendeki hipotenüs uzunluğuna oranı olarak tanımlanır. Birim çember üzerinde ise, herhangi bir merkez açının çember üzerinde kestiği noktanın ordinat (y-koordinatı) değeri, o açının sinüsünü verir. Cosinüs fonksiyonu da benzer şekilde, bir dik üçgende verilen bir açıya göre komşu kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranı olarak tanımlanır. Birim çember üzerinde ise, açının çemberi kestiği noktanın apsis (x-koordinatı) değeri, o açının cosinüsünü verir. 

Tanjant fonksiyonu, bir dik üçgende bir açının karşı kenarının komşu kenarına oranıdır. Birim çemberde tanjant fonksiyonu, o açının sinüsünün cosinüsüne oranı (sinx/cosx) şeklinde ifade edilir. Tanjant fonksiyonu tanımında paydada "cosinüs" olduğundan, cosinüs değerinin sıfır olduğu açılarda tanjant değeri tanımsız olur. Kotanjant fonksiyonu ise tanjantın çarpma işlemine göre tersidir; bir dik üçgende bir açının komşu kenarının karşı kenara oranıdır. Birim çemberde kotanjant fonksiyonu, verilen açının cosinüsün sinüse oranı (cosx/sinx) şeklinde ifade edilir. Kotanjant fonksiyonu tanımında, paydada "sinüs" olduğundan sinüs değerinin sıfır olduğu açılarda kotanjant tanımsız olur. 

Trigonometrik fonksiyonlar arasında biraz daha az bilinen sekant (secant) ve kosekant (cosecant) fonksiyonları da şöyle açıklanır: Sekant, cosinüs fonksiyonunun çarpma işlemine göre tersi (yani oran olarak 1/cosx​) olarak tanımlanır. Dik üçgende sekant fonksiyonu, hipotenüs uzunluğunun komşu kenar uzunluğuna oranı olarak ifade edilir. Sekant fonksiyonu tanımında paydada "cosinüs" olduğundan, cosinüs değerinin sıfır olduğu açılarda sekant değeri tanımsız olur. Kosekant ise sinüs fonksiyonunun çarpma işlemine göre tersi (yani oran olarak 1/sinx​) olarak tanımlanır.  Kosekant fonksiyonu tanımında, paydada "sinüs" olduğundan, sinüs değerinin sıfır olduğu açılarda kosekant fonksiyonu tanımsız olur. Dik üçgende kosekant fonksiyonu, hipotenüs uzunluğunun karşı kenar uzunluğuna oranı olarak ifade edilir.

 Sinüs ve cosinüs fonksiyonlarının tanım kümeleri, tüm gerçek sayılardır. Bu nedenle, bu fonksiyonlara girilen her açı (radyan ya da derece cinsinden) için bir değer bulunabilir. Tanjant fonksiyonu, cosinüs fonksiyonuna bağlı olarak tanımlandığı için, cosinüs değerinin sıfır olduğu noktalarda tanımsızdır. Tanjant fonksiyonunun tanım kümesi, cosinüsün sıfır olduğu değerler örneğin 90°, 270°, 450° ... gibi açılar hariç tüm gerçek sayılardır. Kotanjant fonksiyonu, sinüs fonksiyonuna bağlıdır. Sinüs sıfır olduğunda kotanjant tanımsız olur. Kotanjant fonksiyonunun tanım kümesi, sinüsün sıfır olduğu değerler örneğin 0°, 180°, 360° gibi açılar hariç tüm gerçek sayılardır. ekant fonksiyonu, cosinüsün sıfır olduğu açılar (örneğin 90°, 270°, ...) dışında tüm gerçek sayılar için tanımlıdır. Kosekant fonksiyonu, sinüsün sıfır olduğu açılar (örneğin 0°, 180°, 360° gibi) dışında tüm gerçek sayılar için tanımlıdır. 

 

Trigonometrik Fonksiyonlar

Sinüs ve Kosinüs Fonksiyonları

https://muallims.blogspot.com/2018/05/sinus-ve-cosinus-fonksiyonlar.html

Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonları

https://muallims.blogspot.com/2018/06/tanjant-ve-kotanjant-fonksiyonlar.html

Sekant ve Kosekant Fonksiyonları

https://muallims.blogspot.com/2013/05/secant-ve-cosecant-fonksiyonlar.html

 

Çokgenler ve genel özellikleri

Tanım: n ≥ 3 ve n bir doğal sayı (N) olmak üzere, düzlemde sadece A 1 , A2, A3, ... , An noktalarında kesişen ve ardışık herhangi üç noktası doğrusal olmayan [A1 , A2], [A2, A3], ... , [An – 1 , An], [An, A1 ] doğru parçalarının birleşim kümesinin oluşturduğu kapalı geometrik şekle "çokgen" denir. [A1 , A2], [A2, A3], ... , [An – 1 , An], [An, A1 ] doğru parçalarına çokgenin kenarları; A1 , A2, A3, ... , An noktalarına da çokgenin köşeleri denir.

Bir çokgenin iç bölgesinde bulunan herhangi iki nokta birleştirildiğinde oluşan doğru parçası, çokgenin iç bölgesinde kalıyor ise bu tip çokgenlere "dışbükey çokgen" (konveks) denir. Bir çokgenin iç bölgesinde bulunan herhangi iki nokta birleştirildiğinde oluşan doğru parçası, çokgenin iç bölgesinde tamamıyla kalmıyorsa bu tip çokgenlere de "içbükey çokgen" (konkav) denir. 

Nesbitt Eşitsizliği ve ispatı

Nesbitt, tarafından 1903'te Educational Times isimli dergiye bir geometrik eşitsizlik olarak gönderilmiştir. (A. M. Nesbitt, Problem 15114, Educational Times, 3 (1903), 37-38) Aslında eşitsizliğin bir kısmı herhangi üç a,b,c pozitif gerçel sayısı için de doğrudur.

Nesbitt Eşitsizliği; üçgenler üzerinde uygulanırsa, üçgenin dış merkezleri ve alanları kullanılarak bunların arasındaki ilişki yazıldığında eşitsizliğin bir uygulaması gösterilmiş olur. Eşkenar üçgende geçerli olan bu eşitsizliğin yükseklik ve yarıçaplar arasındaki oranlamanın bir sonucu olduğunu gözlemleyebiliriz.

Nesbitt Eşitsizliği, Cauch Schwartz Eşitsizliği'nin bir sonucu bir eşitsizlik de diyebiliriz. Cauch Schwartz Eşitsizliği hakkında daha detaylı bilgilere ulaşmak için bağlantıyı tıklayabilirsiniz.  Aşağıda Nesbitt Eşitsizliğinin Cauch Schwartz Eşitsizliği ile nasıl ispatlandığı verilmiştir. (Bk.Olimpiyatlara Hazırlık Cauchy – Schwarz eşitsizliği problemleri ve çözümleri, Lokman Gökçe) (Bkz. Cauchy-Schwarz Eşitsizliği)