İki kare farkı özdeşliği ve modellemesi

Özdeşlikler, içerdikleri değişkenlere verilecek bütün gerçek sayılar için doğru olur. Özdeşlik ile denklem ifadesi birbirinden farklıdır. Bir özdeşlikte, değişken yerine yazılabilecek tüm gerçek sayılar için özdeşlik ifadesi doğru olurken, denklemlerde sadece bazı gerçek sayı veya sayılar için denklem doğru olur. 

İki kare farkı özdeşliği: iki terimin karelerinin farkı olarak ifade edilir. Bu özdeşlikteki terimlerin ayrı ayrı kareleri alınıp farkı bulunursa; bu sonuç, terimlerin birbiriyle toplamı ile terimlerin farkının beraber çarpımının sonucuna eşit olur. Yani a²- b ²= (a-b).(a+b) olarak ifade edilen bu özdeşliğe, "iki kare farkı özdeşliği" denir.  İki kare farkı özdeşliği, a ve b sayılarına verilebilecek her gerçek sayı için doğrulanır.

Bu özdeşliğin doğruluğu, bazı matematiksel modellemeler ve cebirsel işlemlerle elde edilebilir. Aşağıda iki kare farkı özdeşliğinin bir matematiksel modellemesi verilmiştir.

W. George Horner ve Horner Yöntemi

Horner metodu, bir polinomun değerini hızlı ve etkin bir şekilde hesaplamak için kullanılan basit bir yöntemdir. Bu yöntem, özellikle yüksek dereceli polinomlarda hesaplama sırasında ortaya çıkan çok sayıda çarpma ve toplama işlemini azaltarak daha verimli bir hesaplama sağlar. Horner metodu sayesinde işlem sayısı azalır; bu da hesaplamaların daha hızlı yapılmasını ve hata olasılığının düşmesini sağlar. Bu özelliği nedeniyle, bilgisayar ve sayısal hesaplama algoritmaları açısından oldukça uygundur. Ayrıca Horner metodu, yalnızca polinom değerini bulmak için değil, polinom bölmesi veya Newton-Raphson yöntemi gibi kök bulma işlemlerinde de yaygın olarak kullanılır. 

Newton–Raphson yöntemi, bir denklemin kökünü yani f(x)=0 denklemini sağlayan x değerini bulmak için kullanılan, hızlı yakınsama özelliğine sahip bir nümerik analiz yöntemidir. Bu yöntemde, x_n noktasında fonksiyona bir teğet çizilir ve bu teğetin x-eksenini kestiği nokta bir sonraki denklemin kökü olarak tahmin ettiğimiz x_n+1 noktasını verir. Bu şekilde teğet çizilerek devam eilir. Böylece bu yöntemle, fonksiyonun grafiği üzerinde köke adım adım hızlı bir şekilde yaklaşmayı sağlar. Bu teğet çizme işlemi, ardışık adımlarla köke yeterince yaklaşılana kadar tekrarlanır. Newton yöntemi, özellikle başlangıç değeri köke yakın olarak seçildiğinde çok daha hızlı yakınsama göstereceğinden daha kullanışlı bir metod olur.
Horner metodu, İngiliz matematikçi William George Horner (9 Haziran 1786-22 Eylül 1837) tarafından akademik dünyaya kazandırılmıştır. George Horner, bilimsel yazı hayatına 1810’lu yıllarda başlamıştır. "The Ladies’ Diary" ve "The Gentleman’s Diary" gibi dönemin önemli dergilerinde çeşitli matematik problemleri yayımlamıştır. 1819 yılında, "Royal Society (Kraliyet Cemiyeti)’nin Philosophical Transactions" dergisinde yayımlanan makalesiyle Horner Yöntemini bilim dünyasına tanıtmıştır. George Horner adıyla bilim dünyasına tanıtılmış olan "Polinom Bölmesi Yöntemi", Horner’den çok önceleri, 13. yüzyılda Çinliler tarafından Zhu Shijie (ö. 1300?) adıyla bilinmekteydi. William Horner, 1819 yılında yayımladığı makalesiyle bu yöntemi Avrupa’ya tanıtmış ve polinomlarda bölme işleminin daha hızlı ve düzenli bir biçimde hesaplanmasını sağlayan bu yaklaşımı açıklamıştır. Tarihsel olarak, bu yönteme benzer fikirler Horner’dan önce Joseph-Louis Lagrange ve René Descartes gibi matematikçiler tarafından da Avrupa’da kısmen kullanılmıştır. Buna rağmen yöntemi sistematik bir hale getirip yaygınlaştıran kişi William George Horner olduğu için bu teknik onun adıyla anılmaktadır. 

Tam Değer Fonksiyonu

x, bir gerçek (reel) sayı olmak üzere, x'ten büyük olmayan en büyük tamsayıya x'in tam değeri denir. Bunu ifade eden fonksiyona tam değer fonksiyonu denir. x reel sayısı, ardışık iki tamsayı arasında değişirken, bu tamsayılardan daha büyük olmayan tamsayı, x'in tam değerine eşit olur. Bütün tamsayıların tam değeri kendisine eşittir. Tam değer fonksiyonu, [[x]] işareti ile gösterilir. Tam değer fonksiyonu bazı matematik kitaplarında "kısım fonksiyonu" ismiyle de kullanılmıştır.

Signum (İşaret) Fonksiyonu

Reel sayıların bir alt kümesinden Reel sayılara tanımlanan bir f fonksiyonu için, fonksiyonun 0'dan büyük olduğu yerlerde değerini 1'e eşleyen, fonksiyonun 0'a eşit olduğu yerlerde fonksiyonun değerini 0'a eşleyen ve fonksiyonun 0'dan küçük olduğu yerlerde fonksiyonun değerini -1'e eşleyen fonksiyona, signum fonksiyonu denir. sgn ile gösterilir. signum olarak okunur. Signum fonksiyonun kritik noktaları, f(x)=0 denkleminin kökleridir. Signum fonksiyonun grafiği çizildiğinde, denklemin kökleri olan bu kritik noktalarda, grafik sıçrama yapar.

Lineer Trigonometrik Denklemlerin Çözümü

Lineer Trigonometrik Denklemler: sin ve cos fonksiyonlarına bağlı olarak verilen birinci dereceden tek değişkenli a, b ve c sıfırdan farklı reel katsayılar olmak üzere aynı dereceden a.sinx+b.cosx=c şeklindeki denklemlere lineer(doğrusal) trigonometrik denklem adı verilir. Bu tip denklemlerin çözümünde eşitliğin her iki tarafı sinx (veya cosx) katsayısı olan a (veya b) ile bölünür, buna göre tekrar yazılan trigonometrik denklem gerekli özdeşlikler kullanılarak temel denklemlere dönüştürülür. (Bknz: Trigonometrik denklemlerin çözüm kümesi)

Homojen Trigonometrik Denklemler

sin ve cos fonksiyonlarına bağlı olarak verilen birinci veya ikinci dereceden tek değişkenli a ve b reel katsayılar olmak üzere aynı dereceden a.sinx+bcosx=0 şeklindeki denklemlere homojen denklem denir. Bu denklemlerin çözüm kümeleri bulunurken denklemler, tanjant veya cotanjant denklemlerine dönüştürülmeye çalışılır. Bunun için denklemin her iki tarafı sinx veya cosx ile taraf tarafa bölünür. (Bknz: Trigonometrik Denklemlerin Çözüm Kümesi)

Temel Trigonometrik Denklemlerin Çözümü

Trigonometrik fonksiyonlarla birlikte verilen denklemlerin çözüm kümelerinin bulunmasında trigonometrik fonksiyonların genel özelliklerinden ve birim çemberden yararlanılır. (Bknz. Trigonometrik Fonksiyonlar) Verilen açı ölçülerinin birim çember üzerinde gösterilmesi ve bu açı değerine esas ölçü olarak eşit olan diğer açıların da varlığının kabul edilmesi ile trigonometrik denklemlerin genel çözümleri yazılır. (Bknz: Birim Çember)

Tanjant Teoremi ve İspatı

Bir ABC üçgeninde iç açılar; A, B, ve C olmak üzere bunlardan B ve C açıları ve bunlara ait kenar uzunlukları verildiğinde b>c olmak üzere kenar uzunlukları ve açılar arasında taanjant teoremi uygulanır. Buna göre kenarların farkının kenarların toplamına oranı, bu kenarların ait olduğu açıların farkının yarısının tanjant değeri ile bu açıların toplamlarının yarısının tanjant değerine bölümü aynı oranı verir. 

Teoremin ispatı yapılırken çemberde açıların özelliklerinden yararlanılabilir. Buna göre bir ABC üçgeni için A köşesini merkez kabul eden [AB] kenarını da yarıçap kabul eden bir çember çizilir. Buna göre uygun açılardan yararlanılarak teorem ispatlanır. (Bknz: Çemberde Açılar)

Periyodik Fonksiyonlar

Bir fonksiyon f(x) periyodik fonksiyon ise, grafiği çizildiğinde belli bir aralıkta aynı grafik sürekli olarak tekrar eder. Yani matematiksel olarak bir pozitif Reel sayı "$T$" için, fonksiyonun her $x$ değeri f(x+T)=f(x) oluyorsa  bu fonksiyon periyodiktir. Buradaki T sayısı da fonksiyonun periyodu olarak adlandırılır. Başka bir deyişle, fonksiyonun grafiği T birim aralıklarla kendini tekrar eder. Örneğin, sinüs ve kosinüs fonksiyonlarında bu tekrar 2π birimlik aralıklarla gerçekleşir. Kısacası periyodik fonksiyon, belirli bir uzunluktan sonra aynı değerleri sürekli tekrar eder. Periyodik fonksiyonlar, sadece matematikte değil, fizik, mühendislik ve günlük hayatta da önemli uygulamalara sahiptir. Örneğin, ses dalgaları, elektrik devrelerindeki akımlar, mevsimlerin değişimi ve saatlerin hareketi gibi olaylar periyodik davranış gösterir. Ayrıca periyodik fonksiyonların grafikleri dalga biçiminde olup, temel periyodu bilindiğinde fonksiyonun tüm davranışı tahmin edilebilir. Bu özellik, mühendislikte sinyal analizi ve Fourier serileri gibi alanlarda çok faydalıdır.

Yukarıdaki örnekte verilen fonksiyon periyodik bir fonksiyondur. Fonksiyonun Periyodu yani tekrar sıklığı veya uzunluğu 4’tür, yani her 4 birimde fonksiyon kendini aynen tekrar ediyor. 0–4 arasındaki değerler için fonksiyon, f(x) = x² olarak tanımlanırken, 4 ten büyük değerlerde fonksiyon, f(x)=f(x-4) olarak periyotla birlikte tanımlanmıştır, 4 ve 4'ten daha büyük değerler, periyodik olarak [0,4) aralığın değerlerini sürekli olarak tekrar ediyor.

Yukarıdaki örnekte verilen fonksiyon periyodik bir fonksiyondur. Fonksiyonun periyodu yani tekrar sıklığı veya uzunluğu 5’tir, yani her 5 birimde fonksiyon kendini aynen tekrar ediyor. 0–5 arasındaki değerler için fonksiyon, f(x)=3x+1 olurken, 5’ten büyük değerlerde fonksiyon, f(x)=f(x−5) şeklinde periyotla birlikte tanımlanmıştır. Böylece 5 ve 5’ten daha büyük değerler, periyodik olarak [0,5) aralığındaki değerleri sürekli olarak tekrar etmiş olur. Örneğin f(79) değeri bulunmak istenirse burada kalan bulma işleminden yararlanmak gerekir. Örnekte verilen fonksiyon her 5 birimde kendini tekrar ettiğinden 79 gibi 5’ten büyük bir x değeri bulunurken fonksiyonun değeri periyodun uzunluğuna göre küçültülür. Bunun için 79’u 5’e bölüp kalanı alırız: 79 sayısının 5 ile bölümünden kalan 4 olduğundan aslında bu periyodik fonksiyon için f(79)=f(4) anlamına gelir. f(79)'un 0–5 aralığındaki değeri ile f(79) aynı değere sahiptir. Buna göre f(4) değeri 0–5 aralığında fonksiyon [f(x)=3x+1] kuralına göre f(4)=3⋅4+1=13 olarak bulunur. f(79)=f(4) olduğundan böylece f(79)=13 olur.

Trigonometrik fonksiyonlar da temel olarak birim çemberden türetildiğinden periyodik fonksiyondur. Birim çemberde bir açıyı sürekli olarak döndürdüğümüzde, açı 360° veya 2π radyan kadar arttığında, sinüs ve kosinüs değerleri tekrar baştaki değerlerine döner. Yani fonksiyonların değerleri belirli bir açı artışından sonra kendini tekrar eder. Tanjant ve kotanjant gibi fonksiyonlar da benzer şekilde birim çemberde tanjant ve kotanjant değerlerinin tekrar etmesi nedeniyle periyodiktir; tanjant ve kotanjant fonksiyonları π radyanlık aralıklarla kendini tekrar eder. Kısaca, trigonometrik fonksiyonlar açıların döngüsel doğasından dolayı periyodiktir; belirli bir açı artışında fonksiyonun değerleri tekrar eder.  

(Bkz. Trigonometrik Fonksiyonların Periyodu)