İntegralle hacim hesabı

Bir geometrik forma sahip olan geometrik cisimlerin (prizma, piramit, silindir, koni,küre) hacimleri katı cisimlerin alan formülleri yardımıyla bulunabilir. (Bkz. Katı cisimlerin hacimleri) Düzgün bir geometrik formu olmayan cisimlerin veya bir fonksiyonun bir eğri/eksen etrafında döndürülmesiyle meydana gelen dönel cisimlerin hacimleri integral yardımıyla hesaplanır.

Daire yardımıyla integralde alan hesabı

x²+y²=r² denklemi merkezi (0,0) ve yarıçapı r br olan bir çember denklemidir. Bazı alan hesaplamalarında bu çember denkleminden yararlanarak bilinen daire alanı formülü kullanılıp belirli integralde alan hesabı işlemi yapılabilir. Bu çember denkleminde y değeri eşitliğin bir tarafında yalnız bırakılarak fonksiyon x'e bağlı olarak y=f(x) şeklinde yazılır, daha sonra belirlenen sınırlara göre integral alma işlemi yapılır.

İki eğri arasında kalan alan

 

İki farklı fonksiyon grafiği verildiğinde bu grafiklerin arasında kalan alanı bulurken integral işleminden yararlanılır. Bunun için öncelikle fonksiyonlar birbirine eşitlenerek ortak kesişim noktaları bulunur. Yani eşitlikten ortaya çıkan denklemin kökleri bulunur. Bu kökler, integral alacağımız belirli aralığın alt ve üst değerleridir. Belirli integral yardımıyla fonksiyonlardan grafiği üstte olandan, grafiği altta olanın kuralı çıkarılarak bulunan kapalı aralıkta alt ve üst sınırlar yerine yazılarak belirli integral alma işlemi yapılır böylece iki eğri arasında kalan alan hesaplanmış olur.

Belirli integralde alan hesabı

Bir fonksiyonun grafiğinin eksenlerle arasında kalan alan, belirli integral yardımıyla bulunabilir. Bunun için hangi eksen ile arasında kalan alan soruluyorsa bu değişkene göre fonksiyonun integrali alınır. Uç sınırları bilinen kapalı aralık için alt ve üst sınırlar integral sonucunda yerine yazılarak alan hesabı tamamlanmış olur. 

Riemann toplamında fonksiyon grafiğinin altına belli sayıda dikdörtgenler çizilerek elde edilen alt ve üst alanlar toplamı, eğrinin altındaki alanın tam değerini vermez. (Bkz. Riemann Toplamı) Riemann toplamında, eğirinin altına veya üstüne çizilen dikdörtgenlerin sayısı sonsuz tane yapıldığında yani limit değeri olarak hesaplama yapıldığında, hesaplanan alan; gerçek alan değerine ulaşır. Bu da integral hesabı ile alan değerini verir. Riemann toplamında elde edilen alt ve üst alanlar toplamının arasında kalan yaklaşık bir değere sahip alan hesabı, integral yardımıyla net bir sonuca yani gerçek alan değerine kavuşmuş olur.

Belirli integral

f(x) fonksiyonu bir [a,b] kapalı aralığında integrallenebilen bir fonksiyon olmak üzere F'(x)=f(x) olmak üzere f(x) grafiğinin a alt sınırı ile b üst sınırı arasında kalan alanını gösteren ifadeye "belirli integral" denir. 

Belirli integralde c integral sabiti yoktur. Belirli integralin sonucu bir nicelik ifade eder. İntegrali alınacak fonksiyonun önce belirsiz integralde işlenen integral alma kuralları yardımıyla integrali hesaplandıktan sonra alt ve üst sınırlar, integral sonucunda çıkan ifadede değişken yerine yazılarak sırasıyla birbirinden çıkarılır. Bu durumda elde edilen sonuç bir Reel sayı olur. Yani bulunan bu değer; kısaca fonksiyonun  grafiğinin o kapalı aralıktaki grafik ile eksen (x veya y) arasında kalan alanını verir. dx değişkenine göre integral alınmışsa x ekseni, dy 'e göre integral alınmış ise y ekseni baz alınarak alan hesabı yapılır.

f fonksiyonu [a,b] kapalı aralığında sürekli ise bu aralıkta integrali alınabilir. fonksiyon; bu kapalı aralıkta süreksiz olsa bile [a,b] aralığında fonksiyonun grafiğinin altında kalan alan hesaplanacağı için yine bu aralıkta fonksiyon integrallenebilir.

İntegrali alınacak fonksiyonun çizildiği kapalı aralıkta alt ve üst sınırlar birbirine eşit ise [a,a], burada herhangi bir alandan söz edilemeyeceği için belirli integral değeri 0 olur.

Belirli integral toplama ve çıkarma işlemleri üzerine dağılabilir. Sınırları uygun bir şekilde parçalı olarak yazılabilir. Belirli integral değeri (-1) ile çarpılırsa integralin alt ve üst sınırları yer değiştirir.

Belirli integralin türevi alınırsa bu durumda sonuç sıfır olur. Çünkü belirli integralde elde edilen değer bir sabit sayı olduğundan türevi alındığında sabit sayı(fonksiyonun) eğimi 0 olacağı için belirli integralin türev değeri de 0 bulunur. 

Parçalı biçimde verilen fonksiyonların bir kapalı aralıkta belirli integrali alınırken, parçalanma noktalarına göre (kritik nokta) fonksiyonlar ayrı ayrı belirlenir ve bu fonksiyonlara göre integral tekrar düzenlenip belirli integral hesaplanır.

Mutlak değerli fonksiyonlar da parçalı fonksiyon biçiminde yazıldıktan sonra kritik noktasına göre belirli integrali hesaplanır. Mutlak değerin kritik noktası bulunmadan integral alama işlemi yapılmaz. Kritik nokta bulunurken, mutlak değerin içindeki ifadenin kökleri bulunur.

Trigonometrik ifadelerin belirli integrali hesaplanırken, belirsiz integralde uygulanan integral alma işlemleri, trigonometrik özdeşlik ve formüller kullanılır. Daha sonra alt ve üst sınırlar değişken yerine yazılarak sonuç bulunur. Trigonometrik ifadelerde mutlak değerli bir ifade varsa mutlaka trigonometrik fonksiyonun bölgesindeki işarete bakılarak değerlendirme yapılır.

İntegralde basit kesirlere ayırma yöntemi

Rasyonel şekilde verilen bir fonksiyonun integrali alınırken bazen pay kısmında yer alan ifade payda kısmında yer alan ifadeye polinom bölmesi yapılarak integral basit kesirlere ayrılır ve ayrılan basit kesirler ayrı ayrı hesaplanarak integral alma işlemi tamamlanır.

Kısmi integrasyon metodu

Genellikle iki farklı fonksiyonun çarpımı şeklinde verilen fonksiyonların integralinde değişken değiştirme yöntemi işe yaramayacağından burada "kısmi integrasyon yöntemi" kullanılır. 

Logaritma (L), Terstrigonometrik fonksiyonlar (Arc), Polinom fonksiyon (P), Trigonometrik fonksiyon (T) ve üstel fonksiyon (Ü) sırasıyla hangisi önce geliyorsa (LAPTÜ) o fonksiyona u değişkeni verilip diferansiyeli alındıktan sonra kısmi integrasyon formülü kullanılarak integral alma işlemi yapılır.

 

 

 

Logaritma ve üstel fonkiyonun integrali

Üstel ve logaritma biçiminde verilen fonksiyonların integrali hesaplanırken, üstel ve logaritma fonksiyon özelliklerinden yararlanılır. Türevden yararlanarak üstel fonksiyon ve logaritmanın integral kuralları oluşturulabilir. (Bkz: Logaritma Türevi)

 

Bazı durumlarda integral alma işleminde değişken değiştirme yöntemi kullanılır. Değişken değiştirme yönteminde hangi parçaya u deneceği ve bunun diferansiyelinin alınması son derece önemlidir.  Değişken değiştirme yöntemi ile integral alma kurallarında verilen integral formuna dönüştürülen logaritma fonksiyonun integrali, aşağıdaki formüller yardımıyla kolaylıkla hesaplanabilir.

 

 

 

lnx gibi bazı fonksiyonların integrali alınırken kısmi integrasyon metodundan yararlanılır. (Bkz: Kısmi İntegrasyon Metodu)

Ters trigonometrik fonksiyonların integrali

Ters trigonometrik fonksiyon biçiminde verilen fonksiyonlarda dik üçgen çiziminden yararlanarak dönüşüm yapılabilir. Bu şekilde elde edilen belirsiz integral, integral alma kuralları yardımıyla hesaplanır.

 

İntegrali alınacak fonksiyonun paydasındaki ifadenin ters trigonometrik fonksiyonların integralindeki forma dönüşebilmesi için paydaya uygun sayılar eklenir ya da çıkarılır bunun sonucunda elde edilen integral istenen biçime dönüştürülür daha sonra integral değeri hesaplanır.