Namazın Sünnetleri

Namazların Sünnetleri
142- Namazların sünnetleri de vardır. Bu sünnetler, namazların vaciblerini tamamlar. Onlardaki noksanlıkları giderir ve fazla sevab kazanmaya sebeb olur. Sünnetlere riayet edip devam etmek Allah'ın peygamberine sevgi alametidir. Bununla beraber bu sünnetleri terk etmek, namazın bozulmasını ve tekrar kılınmasını gerektirmez. Fakat küçümsemeksizin kasden terk edilmesi bir hata ve bir mahrumiyettir. Fakat sünnetin hak görülmemesi, boş ve hikmetten uzak sayılarak küçümsenmesi, -Allah korusun- küfürdür. Çünkü Sünnet de şer'î hükümlerden ve esaslardan biridir.
Namazlardan önce veya namazların içinde başlıca sünnetler şunlardır:
1) Beş vakit namaz için ve cuma namazı için ezan okumak ve ikamet etmek sünnettir. Şöyle ki: Vaktinde cemaatle yerine getirilen her farz namaz için ezan ve ikamet sünnet olduğu gibi, kazaya kalıp da cemaatle kılınacak farz namazlar için de sünnettir. Birçok namaz cemaatle kaza edileceği zaman, bunlardan yalnız ilk kılınacak namaz için ezan okunur. Sonra gerek bu namaz için ve gerek bunun arkasından kılınacak diğer kaza namazları için birer ikametle yetinilir. Kendi evlerinde yalnız başına namaz kılacak erkekler için ezan ve ikamet müstahabdır. Gerek yolcular için, gerek cemaatle namaz kılacaklar için ezan ve ikameti terk etmek mekruhtur.Cuma günü şehirde bulundukları halde, özürlerinden dolayı cuma namazını kılamayanlara, öğle namazını kılarlarken ezan ve ikamet gerekmez. Kadınlar için de ezan ve ikamet sünnet değildir. Ezan ve ikamet bahsine bakılsın!..
2) İftitah (başlangıç) tekbirini alırken elleri yukarıya kaldırmak sünnettir. Şöyle ki: Erkekler ellerini, baş parmaklar kulak yumuşaklarına değecek kadar, kadınlar da parmaklarının ucları omuzlarına kavuşacak kadar ellerini göğüslerinin hizasına kaldırıp o vaziyette: "Allahü Ekber" derler. Ellerin içleri kıbleye yönelik bulunmalıdır. Birbirine karşı da bulunabilir. (Üç İmama göre, erkekler de ellerini ancak omuzlarının hizasına kadar kaldırırlar.)
3) Tekbir için eller kaldırılırken parmakların aralarının zorlamaksızın biraz açık bulundurulması sünnettir.
4) İmam olan kimsenin, tekbirleri ve rükûdan kıyama kalkarken "Semiallahu limen hamideh" sözünü ve namazın sonunda her iki tarafa vereceği selamı ihtiyaç mikdarı aşikâre yapması sünnet olduğu gibi, cemaatın da rükûdan kalkarken: "Allahumme Rabbena ve lekelhamd" sözü ile tekbirleri ve selamı gizlice yapmaları sünnettir. Yalnız başına namaz kılan rükûdan kalkarken bunların ikisini de söyler.
5) İlk tekbirden sonra namazın başında gizlice "Sübhanekâllahümme" okunması, bundan sonra Fatiha'dan önce yine gizlice "Eûzü Besmele" okunması ve diğer rekatlarda da Fatiha'dan önce besmele çekilip Fatiha'ların sonunda amîn denilmesi sünnettir."Amîn" sözünün manası, dualarımızı kabul et, demektir. Burada imam ile cemaat ve yalnız başına kılanlar arasında bir fark yoktur. Yalnız cemaat Fatiha'yı okumayacakları için "Eûzü Besmele" okumaları gerekmez. Her rekatta Fatiha'dan önce Besmele'yi okumak, sahih sayılan bir görüşe göre vacibdir. Fatiha'dan sonra okunacak surelerin başlarında Besmele okunmaz. Yalnız İmam Muhammed'e göre, sessizce kılınacak namazlarda bu surelerin başlarında da besmele okunur. 

6) Namazda erkeklerin, göbeklerinin altında tutmak üzere sağ ellerini sol elleri üzerine koyup sağ ellerinin baş parmak ve serçe parmağı ile sol bileği kavramaları ve sağ elin diğer üç parmağını sol kol üzerine uzatmaları sünnettir. Kadınların da sağ ellerini sol elleri üzerine koyarak halka yapmaksızın göğüsleri üzerinde bulundurmaları sünnettir.
7) Namaz aralarında kıyamdan rükûa ve secdelere giderken "Allahü Ekber" denilmesi, rükûdan kıyama kalkarken "Semiallahü limen hamideh" denmesi, secdeden kalkıp yine secdeye giderken "Allahü Ekber" denilmesi sünnettir.

8) Rükû ve secde tesbihleri, rükû halinde en az üç kere: "Sübhane Rabbiye'l-azîm" denilmesi, secde halinde de en az üç kere: "Sübhane Rabbiye'l-alâ" denilmesi sünnettir.
9) Rükû halinde, erkeklerin ellerinin parmakları açık olacak şekilde elleriyle dizlerini tutmaları sünnettir. Kadınlar bu halde parmaklarını açık tutmazlar ve dizlerini kavramazlar, ellerini dizleri üzerine koyarlar.
10) Bir özür yoksa, kıyamda iki ayağın arasını dört parmak kadar açık bulundurmak sünnettir.
11) Ka'de (Tahiyyata oturuş) ve celse (secdeden doğrulup bekleme) hallerinde erkeklerin sol ayaklarını döşeyerek üzerlerine oturmaları ve sağ ayaklarını güçleri yettiğince kıbleye doğru dikmeleri, kadınların da sol ayaklarını sağ taraflarına yatık bulundurarak yere oturmaları sünnettir. Bu oturuşa "Teverrük" denir.
12) Rükûda erkeklerin inciklerini dik tutmaları, kadınların da dizlerini bükük bulundurmaları sünnettir. Bu halde erkeklerin sırtları düz bulunur. Kadınların sırtları ise yukarıya doğru meyilli olur.
13) Secdeye varılırken önce dizleri, sonra elleri, sonra yüzü yere koymak ve secdeden kalkarken de önce yüzü, sonra elleri dizlerin üzerine koyduktan sonra dizleri yerden kaldırmak sünnettir. Buna güç yetmezse, el ile yere dayanarak kalkılabilir.
14) Ka'delerde (Tahiyyatlara oturuşlarda) ve celselerde (secdeler arasındaki bekleyişlerde) ellerin kıbleye yönelik olarak oyluklar üzerine konulup dizlerin tutulması sünnettir.
15) Ka'delerdeki Teşehhüdlerde "La İlâhe" denirken, sağ elin şehadet parmağı kaldırıp "İllallah" denirken indirilmesi sünnettir. Bunu yaparken baş parmak ile orta parmak halka edilip diğer iki parmak bükülmelidir. Birçok kimseler bu sünneti gereği üzere yapamayacaklarından dolayı bunun terk edilmesini uygun görenler vardır.
16) Farz namazların, vitir namazının ve müekked sünnetlerin son oturuşlarında, gayr-i müekked sünnetlerle diğer nafilelerin her oturuşunda Tahiyyattan sonra Peygamber Efendimize Salat ve Selam okumak sünnettir.
17) Bütün namazların son oturuşlarında Salat ve Selamdan sonra iki tarafa selam vermeden önce dua edilmesi sünnettir. Bu dua, Kur'an-ı Kerîm'in mübarek dua ayetlerinden biri ile yapılması veya bunlara benzer bulunmalıdır. Kullardan istenebilecek şeyler hakkında olan: "Ya Rabbi! Bana şu kadar para ver", şeklinde namazda dua edilmesi caiz görülmemektedir. Namazların sonunda adet edinilen dua: "Rabbenâ âtina fi'd dünya haseneten ve fi'lahireti haseneten ve kınâ azâbe'n-nar"
18) Namazların sonunda selam verirken yüzün önce sağ tarafa, sonra sola çevrilmesi sünnettir.
19) Sütre edinilmesi sünnettir. Şöyle ki: Sahra ve benzeri açık yerlerde namaz kılan kimse, önünden başkasının geçmesini umuyorsa sağ veya sol kaşının hizasına en az bir arşın boyunda secde yerinin önüne kaim veya ince bir ağaç diker. Dikilemiyorsa, ağacı boyunca uzatır veya önüne uzunlamasına böyle bir çizgi çizer. Enine yarım daire şeklinde bir çizgi çizilmesi de caizdir. Direk ve sandalye gibi şeyler de sütre işini görürler.
Cemaatle kılınan namazlarda yalnız imamın önünde sütre bulunması kafidir. Namaz kılanın önünden geçilmesi edebe aykırıdır. Günahı gerektirdiğinden bundan kaçınılması lazımdır. Namaz kılan kimse, önünden geçmek isteyeni engellemek için "Sübhanellah" diyebilir. Eli ile, gözü ile yahut başı ile hafifçe işaret edebilir. Sütrenin bulunması, namaz kılanın dağınık düşüncelerini kaldırıp ibadet için bir araya toplamaya ve gönlünü bir çerçeve içinde tutmaya yardımcı olur.
Kaynak: Ömer Nasuhi Bilmen, Büyük İslam İlmihali, Sad. Ali Fikri Yavuz, Ravza Yayınları

Türk - İslam Dünyası'nda Trigonometri

Trigonometriye ait temel bilgiler, her ne kadar çok daha önce Çin, Hint, Antik Yunan gibi medeniyetlerde ortaya konmuş olsa da daha çok 8. ile 16. yüzyıllar arasında yaşayan Türk-İslam dünyası matematikçileri tarafından geliştirilmiştir. İslam matematikçileri, eski dönemlere ait temel trigonometri bilgilerini yalnızca incelemekle kalmamış, aynı zamanda bu bilgileri ayrıntılı bir şekilde sistematize ederek trigonometri biliminin gelişimine büyük katkıda bulunmuşlardır. Bu durumun nedeni şöyle açıklamak mümkündür: 8 ile 16. yüzyıllar arasında Türk-İslam dünyasının birçok bölgesinde astronomi çalışmaları yapılmış ve bu nedenle pek çok rasathane (gözlemevi) kurulmuştur. Bu rasathanelerde yürütülen bilimsel çalışmalarda astronomiye yardımcı olmak amacıyla trigonometri hesaplamaları kullanılmış, bu sayede trigonometri ilmi de gelişmiştir. Bu gelişmeler, hem gökyüzü olaylarının daha hassas bir şekilde gözlemlenmesini sağlamış hem de matematiksel hesaplamaların doğruluğunu artırarak sonraki bilimsel çalışmalara önemli katkılarda bulunmuştur. Ayrıca, bu dönemde yetişen âlimler, hem İslam dünyasında hem de Avrupa’da bilimsel ilerlemeye kaynaklık eden eserler ortaya koymuşlardır.

 

Astronominin temelini teşkil eden küresel astronomi, doğrudan doğruya küresel trigonometrinin astronomiye uygulanmasından doğmuştur. Gezegen ve uydu ile yıldızların gökküresindeki yerleri (koordinatları) ve hareketleri ile ilgili hesaplamalar; küresel üçgenin küresel trigonometriye uygulanmasıyla elde edilebilmektedir. Dolayısıyla o devir Türk - İslam Dünyası'nda, Trigonometri müstakil bir bilim dalı haline gelmiş ve oldukça gelişmiştir. Özellikle 8. ile 16. yüzyıllar arasında yaşamış İslam Dünyası matematik ve astronomi bilginlerinin hazırlamış oldukları "Zic" (ziyc) adlı eserlerin hepsinde bugünkü trigonometrinin temelleri ve farklı trigonometri hesaplamaları ortaya konulmuştur. Türk-İslam dünyası bilginleri, Batlamyus’un ünlü astronomi eseri Almagest’i farklı dönemlerde şerh etmiş (yorumlamış) ve bu eser üzerine çeşitli çalışmalar yapmışlardır. Batlamyus (Claudius Ptolemaios, M.S. 85–160), M.S. 2. yüzyılda yaşamış ünlü Yunan astronom ve matematikçidir. Almagest (Mathematike Syntaxis) eseri, İslam matematikçileri tarafından "al-Majisti" olarak adlandırılmış, bu isim sonraki yıllardaki tercüme hareketleriyle, Latinceye "Almagest" olarak geçmiştir. Almagest, Astronomi tarihinin en önemli kaynaklarından biri olarak kabul edilir. İslam Matematikçilerinin bu eser üzerindeki çalışmaları ile trigonometri bilgileri zenginleştirilip geliştirilmiştir.

VIII. yüzyılda, Yakın ve Orta Doğu ülkelerinden İslam bilim adamları, eski Yunan ve Hint matematikçiler ile astronomların eserleri ile tanıştılar. Önceki zamanlarda telif edilen eserler, daha sonraki yıllarda İslam dünyasında, çoğunlukla Fars ve Arap kökenli Müslüman matematikçiler tarafından yapılan bilimsel çalışmalarla genişletilmiştir. 8. ve 9. yüzyılda başlayan bilimsel çalışmalarda El Harezmi, El Battani, Sabit bin Kurra, İbrahim el-Fezari ve Yakub bin Tarık gibi alimler, eski eserleri Arapçaya çevirmekle yetinmeyerek farklı hesaplamalarla trigonometrinin zenginleşmesine uğraştılar. Sonraki yıllarda bu âlimlerin takipçileri, yapılan çalışmalar üzerine yorumlar yapmaya ve kendi fikirleriyle yeni teoriler geliştirmeye başlamışlardır. Bu gelişmeler, Helenistik matematikte olduğu gibi, küresel trigonometriyle ilgili önemli bir geometrik ilke olan Menelaus Teoremi'nin uygulanmasına dayanmış olup; Trigonometriyi yalnızca dörtgenlere bağlı bir konu olmaktan çıkararak birçok yeni teoremin ortaya konmasına zemin hazırlamıştır. Böylece Trigonometri, hem düzlem hem de küresel yüzeyler üzerinde uygulanabilir hale gelmiş, özellikle astronomi, coğrafya ve haritacılık gibi alanlarda daha karmaşık problemlerin çözümüne olanak sağlamıştır. E. S. Kennedy’ye göre, bu dönemdeki matematik gelişimini şöyle açıklar: "İlk gerçek Trigonometri ancak o dönemlerde ortaya çıktı; çünkü Trigonometri alanındaki çalışma konusu, artık küresel veya düzlemsel üçgenler ile onların kenarları ve açıları haline gelmişti. Bu sayede, trigonometrik hesaplamalar sadece düzlemde sınırlı kalmayıp, gökyüzünün küresel yapısına uygulanabilir hale gelmiş, astronomi ve coğrafya gibi bilimlerde önemli ilerlemeler sağlanmıştır. Böylece İslam matematikçileri, Trigonometriyi hem teorik hem de pratik açıdan zenginleştirerek bilim tarihine büyük katkılarda bulunmuşlardır." (Kennedy, E. S. (1969), "The History of Trigonometry" 1996.) 

Küresel üçgenlerle ilgilenen yöntemler arasında, özellikle küre yüzeyi üzerindeki geometrik problemleri çözmek için İskenderiyeli Menelaus’un geliştirdiği yöntem önemli bir yer tutar. Bu yöntem, düzlem geometriye benzer şekilde ancak küresel yüzeyin kendine özgü eğriliğini dikkate alarak, küresel üçgenlerin kenarları ve açıları arasındaki ilişkileri kurmayı sağlar. Menelaus’un teoremi, daha sonra gökbilim ve navigasyon gibi alanlarda da yaygın olarak kullanılmıştır. Zamanın Ay’ın hareketlerine göre belirlendiği İslami takvimde, özellikle dini günlerin ve ibadet vakitlerinin doğru şekilde tespiti büyük önem taşır. Bu nedenle erken dönem İslam astronomları, Ay’ın ve yıldızların hareketlerini hesaplamak için başlangıçta İskenderiyeli Menelaus’un geliştirdiği küresel trigonometrik yöntemlere başvurdular. Menelaus’un teoremi, küre üzerindeki üçgenlerde kenar ve açı ilişkilerini kurmak için, kesişen iki dik üçgenin benzerliğini esas alıyordu. Ancak bu yöntem, uygulama açısından oldukça karmaşık ve pratik kullanımı zor bir yapıya sahipti. Özellikle, Güneş’in gökyüzündeki yüksekliğinden yerel zamanı belirlemek gibi problemler, Menelaus teoreminin tekrarlanan ve hassas uygulamalarını gerektiriyor, bu da hesaplamaların hata payını artırıyordu. Bu zorluklar, dönemin Müslüman matematikçilerini ve gökbilimcilerini daha işlevsel ve sadeleştirilmiş trigonometrik yöntemler geliştirmeye yöneltti. Ortaçağ İslam dünyasında bu ihtiyaç, Hindistan’dan gelen astronomik bilgi birikimiyle birleşerek, Hint “Siddhanta” metinlerinden esinlenen ancak onları aşan sistemli gözlemler ve hesaplarla zenginleştirildi. Bu çalışmalar sonucunda, "zîc" adı verilen kapsamlı astronomik cetveller ve tablolar oluşturuldu. Zîcler, gök cisimlerinin konumlarını, doğuş ve batış zamanlarını, Güneş ve Ay tutulmalarını, takvim hesaplarını ve zaman belirleme işlemlerini kolaylaştırmak için kullanılan pratik ve detaylı kaynaklardı. Böylece İslam astronomları, Menelaus’un klasik yöntemlerinin ötesine geçerek, daha geniş bir uygulama alanına sahip, kullanımı kolay ve daha doğru sonuçlar veren trigonometrik sistemler geliştirmeyi başardılar.

8. yüzyılda ortaya çıkmaya başlayıp sonrasında gelişerek devam eden astronomik araştırmalar ve benzer şekilde oluşturulan zic hesap cetvelleri, trigonometri bilgisinin İslam Dünyasında hızlı gelişimini göstermektedir. Uluğ Bey, 8 ondalık basamağa kadar doğru sinüs ve tanjant tabloları düzenlemiştir. Uluğ Bey, her 1°'nin her 1/60'ına eklenecek farklarla birlikte, her 1° argüman için çeşitli ondalık basamak adetlerine göre sinüs ve tanjant fonksiyonlarının trigonometrik değer tablolarını düzenlemiştir. Uluğ Bey himayesinde çalışan Gıyâsüddîn Cemşîd el-Kâşî, de matematik ve astronomi alanlarında yaptığı çalışmalarla tanınan bir bilim insanıdır. Gıyasüddin Cemşid, 1 derecelik yayın sinüs değerini, bugünkü değerlere göre 18 ondalıklı sayıya kadar doğru olarak hesaplamıştır. Bu konuda 1 derecelik yayın sinüsünü geometri ve cebir yoluyla hesaplamış ve böylece trigonometrik tabloların tanzim işini sistemle bir esasa bağlamıştır. Gıyaseddin Cemşid, uygun bir biçiminde Kosinüs yasası için ilk açık ifadesini sağlamıştır. Avrupa'da kosinüs yasası hâlâ, döneminin en önemli matematikçilerinden biri olarak kabul edilen ve "İkinci Ptolemaios" (Ptolemy) olarak anılan El-Kaşi'nin adıyla anılmaktadır. Antik dönemde İskenderiye'de yaşamış olan Ptolemaios,  "Almagest" (astronomi) ve "Coğrafya" (haritacılık) gibi eserleriyle tanınan ve döneminin en etkili bilim insanlarından biri olarak kabul edilen bir isimdir. Antik Yunan, Hint ve Çin medeniyetlerine ait benzer içerikli çalışmalar, İslam dünyasında astronomi ve jeodezi alanlarındaki problemleri çözmek amacıyla geliştirilen küresel trigonometri hesaplarına zemin hazırlamış; böylece söz konusu hesaplamalar, farklı dönemlerdeki İslam bilginleri tarafından özel bir ilgi alanı olarak ele alınmasına vesile olmuştur.

Güneşin  hareketlerine göre namaz saatlerinin doğru belirlenmesi, gök cisimlerinin gelecekteki konumlarının, yükselme ve batma anlarının, Güneş ve Ay tutulmalarının hesaplanması, mevcut konumun coğrafi koordinatlarının bulunması, bilinen coğrafi koordinatlara sahip şehirler arasındaki mesafelerin hesaplanması, belirli bir yerden Mekke'ye (kıble) göre yönün belirlenmesi gibi hesaplamalar İslam dünyasında trigonometri çalışmaları ile mümkün olmuştur. 

Bu çalışmalara İslam dünyasından çeşitli örnekler verelim.

İslam dünyasında trigonometrik fonksiyonların gelişiminde önemli katkılarda bulunan ilk bilim insanlarından biri, 9. yüzyılda yaşamış olan Muhammed ibn Musa el-Hârezmî’dir. El-Hârezmî, sadece doğru sinüs ve kosinüs tablolarını oluşturmakla kalmamış, aynı zamanda tarihte bilinen ilk teğet (tanjant) tablosunu da üretmiştir. Bu çalışmalar, küresel trigonometrinin temellerini atan ve ileriki yüzyıllarda Batı dünyasını da etkileyen önemli adımlar olmuştur. El-Hârezmî, trigonometrik ilişkileri sadece düzlem geometriyle sınırlı kalmadan, küresel trigonometri alanında da uygulayarak bu disiplinin gelişiminde öncü bir rol oynamıştır. Yaklaşık MS 830 yılında, dönemin önemli matematikçilerinden biri olan Habeş el-Hâsib el-Mervazî, trigonometrik fonksiyonlardan ilk kotanjant tablosunu oluşturarak bu alana katkı sağlamıştır. Bu tablo, açılarla ilgili hesaplamalarda yeni olanaklar sunmuş ve ileride yapılacak daha karmaşık gökbilimsel hesaplamaların temelini atmıştır. Daha sonra, Muhammed ibn Câbir el-Harrânî el-Battânî (Albatenius, MS 853–929), trigonometrik fonksiyonların kapsamını genişletmiş, sekant ve kosekantın karşılıklı işlevlerini tanımlayan ilk bilim insanı olmuştur. El-Battânî, özellikle küresel astronomi alanında yaptığı çalışmalarla tanınmış, 1° ile 90° arasındaki her derece için detaylı bir kosekant tablosu hazırlayarak, trigonometrik hesapların doğruluğunu ve kullanım kolaylığını büyük ölçüde artırmıştır. Bu öncü isimlerin katkıları sayesinde İslam dünyasında trigonometrik bilgi birikimi sistematik hâle gelmiş, hem teorik matematikte hem de astronomi, zaman hesaplamaları ve kıble tayini gibi pratik uygulamalarda yaygın şekilde kullanılmaya başlanmıştır. Bu çalışmalar, daha sonra Avrupa'da Rönesans döneminde ortaya çıkacak trigonometrik gelişmelerin temelini oluşturmuştur.

10. yüzyılda, Ebū el-Vefa el-Buzcani'nin çalışmalarıyla tam olarak görünen haliyle trigonometri, bugünkü hesaplamalara yaklaşmıştır. Ebu el-Vefa, günümüzde bilinen altı trigonometrik fonksiyonun (sin, cos, tan, cot, sec, cosec) hepsini tam olarak kullanmıştır. Ebu el-Vefa, 0,25°'lik artışlarla sinüs tablolarına, 8 ondalık doğruluk hanesine ve doğru tanjant değer tablolarına çalışmalarında yer vermiştir. Ayrıca sinüs toplam ve fark formülünü de geliştirmiştir. Öklid'in "Elemanlar" eseri üzerine çalışmalar yapmış, Endülüslü matematikçi Ebû Abdullah Muhammed ibn Muâz el-Ceyyânî (989 -1079), "küresel trigonometri hakkındaki ilk bilimsel çalışma" olarak kabul edilen Avrupa'da neşredilen ismiyle "The book of unknown arcs of a sphere" adlı eseri yazmıştır. Bu eser, "dik açılı üçgenler için formüller, genel sinüs yasası ve küresel üçgenin kutupsal üçgen aracılığıyla çözümünü" içermektedir. Bu çalışma, daha sonra "Avrupa matematiği üzerinde güçlü bir etkiye sahip olmuş ve el Ceyyani'nin "oranların sayı olarak tanımlanması" ve "tüm kenarlar bilinmediğinde küresel bir üçgeni çözme yöntemi" muhtemelen sonraki yıllarda Regiomontanus'u etkilemiştir. Regiomontanus (Johannes Müller von Königsberg, 1436–1476), Rönesans döneminde yaşamış Alman bir matematikçi, astronom ve astrolog olup Matematik, astronomi ve trigonometri alanlarında önemli çalışmalar yapmıştır. Çalışmaları, Kopernik ve diğer Avrupalı bilim insanları için bir temel oluşturmuştur. 

Nirengi yöntemi, ilk olarak, 11. yüzyılın başlarında Ebu Reyhan Biruni tarafından tanımlandığı gibi, ölçme ve İslami coğrafyada pratik kullanımlara uygulayan Müslüman matematikçiler tarafından geliştirilmiştir. Nirengi yöntemi, haritacılıkta bilinmeyen bir uzunluğu, yüksekliği veya koordinatı bulmak için kullanılan bir hesaplama yöntemidir. Mühendisler, yeni bir köprü inşa etmek, yol yapmak, baraj inşaatı gibi işler için nirengi yöntemini kullanarak arazi ölçümleri yaparlar. Bu yöntemde, herhangi bir alan üçgenlere bölünerek, bilinen noktalar arasındaki açılar ve mesafeler kullanılarak bilinmeyen noktaların konumu belirlenir. Biruni, Dünya'nın büyüklüğünü ve çeşitli yerler arasındaki mesafeleri ölçmek için nirengi tekniklerini kendisi ilim dünyasına tanıtmıştır. 

11. yüzyılın sonlarında Ömer Hayyam (1048-1131), trigonometrik tablolarda bulunan yaklaşık sayısal çözümleri kullanarak kübik denklemleri çözmüştür. 13. yüzyılda, Nasîrüddin Tûsî trigonometriyi astronomiden bağımsız matematiksel bir disiplin olarak ele alan ilk kişi olmuş ve küresel trigonometriyi bugünkü haline getirmiştir. Nasiruddin Tusi, küresel trigonometride dik açılı üçgenin altı farklı durumunu listelemiş ve düzlem ve küresel üçgenler için sinüs yasasını belirtmiş, küresel üçgenler için tanjant yasasını keşfetmiştir. Nasiruddin Tusi, trigonometriyi kendi başına bir matematik disiplini olarak tanımlanmıştır. Zamanının en gelişmiş gözlemevindeki gözlemlere dayanarak Tusi, "Zic-i ilhani" (İlhanlı Tabloları) adlı kitabında gezegen hareketlerinin çok doğru tablolarını hazırlamıştır.

Bütün bu çalışmalardan sonra sonuç olarak şunu söyleyebiliriz: İslam alimleri, kendilerinden önce yaşamış Hint, Çin ve Mısır kaynaklarından elde ettikleri bilgileri derleyip topladıktan sonra bu bilgilerdeki eksiklikleri giderip harmanlayarak, mevcut bilgilerin üzerine muazzam biçimde yeni bilgileri geliştirmişlerdir. Bu  yeni keşif ve eklemelerle büyük bir ilim haline getirdikleri trigonometri ve astronomi ilmini kendilerinden sonra gelecek olan matematikçilere daha önce rastlanılmamış orjinal  bir bilgi hazinesi olarak bırakmışlardır. İslam dünyasının bu çabası, Endülüs Emevi devleti alimlerinden Batılı ilim adamlarının tercüme hareketleriyle, Batı Dünyasına aktarılarak modern matematik literatürünün oluşmasına zemin hazırladığı gibi çoğu teoremlerin de gerçek kimliğini oluşturmuşlardır.

Eski Uygarlıklarda Trigonometri

Hint ve Çinlilerde Trigonometri: İçinde bulunduğumuz yüzyılın bilimsel araştırmaları, Hint Dünyasının, özellikle 6., 7., 9. ve 12. yüzyıllarda matematik ve astronomide bilimsel bakımdan üstün düzeyde olduklarını ortaya çıkarmıştır. Eserleriyle adları zamanımıza kadar gelebilen Hint bilginleri, bilim tarihinde kendilerini maalesef etkin bir biçimde gösterememişlerdir. Bunlardan; belirttiğimiz yüzyıllar içinde yaşamış olan, Hint matematikçilerinden; Brahmagupta (598 -660), Aryahatha (6. yüzyıl), Mahavira (9. yüzyıl) ve Bhaskara'nın (1114-1158) adlarını belirtebiliriz. Kaynaklar; Hintli matematikçilerin çalışmalarından özellikle trigonometri konusundaki bilgilerinden hareketle İslam matematikçilerinin zamanın bilim dili olan Sanskritçe ve Pevlevice'den yapılan tercümeler yoluyla, trigonometri bilgilerini müspet şekilde zenginleştirmiş olduklarını ve   8. yüzyıl ortalarından itibaren Mezopotamya temelli bilgileri de ilave ederek trigonometri alanında geniş bir bilgi birikimini İslam Dünyasına intikal etmiş olduğunu  göstermektedir.

Mısırlılarda Trigonometri: Mısır matematiğinde seked ve sek kelimelerinin, bir açının kotanjantı gibi bir anlam ifade etmesinden hareket ederek, trigonometrinin başlangıcını eski Mısırlılara kadar götürmenin gerektiğini bazı araştırmacılar belirtmiş olsa da bu tam olarak doğru bir değerlendirme olmaz. Mısırlılardan önce eski Çin ve Hint bilim dünyasında da trigonometri bilgilerinin bazılarının kullanıldığı bilinmektedir. Bu konuda Aydın Sayılı "Mısırlılar ve Mezopotamyalılar'da Matematik, Astronomi ve Tıp" adlı eserinde şunları yazar: Mısır'da seked dışında, bu konuda herhangi bir gelişmeye şahit olmuyoruz. Seked'e benzeyen ya da onunla aynı olan bir kavramla "Mezopotamya Matematğinde" de karşılaşılmakta olduğu ve trigonometrinin başlangıcını Mısırlılara götürmek isabetli düşünce sayılmaz. "Mısır Geometrisinin", "Doğru Geometrisi" olarak vasıf taşıdığını belirterek, müşterik Gandz'a atfen de Mısır'da "Açı Geometrisinin" mevcut olmadığını belirtir. 

Yunanlılarda Trigonometri: "Herhangi bir üçgende, dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir" şeklinde bugünkü dünyada "Pisagor teoremi" olarak bilinen temel bir teorem vardır. Bu teoremin adı Pisagor teoremi olarak bilinmesine rağmen gerçekte bu teoremin varlığının Pisagor'dan ortalama 2000 yıl kadar önceki medeniyetlerden Eski Mısır ile Mezopotamyalılar tarafından Babil çağında bilindiği araştırmalarla ortay çıkmıştır. Mısırlılar teoremin uygulama esaslarını geometrik çalışmalarda özellikle Nil nehri taşkınlıkları ve arazi alan ölçümlerinde kullanmış olduğu yapılan çalışmalarda belirtilmiştir. Pisagor'un Mısır gezilerinden bu teoremi öğrenip eserinde yazdığı da ifade edilmiştir. Ayrıca Mezopotamyalılar, bu teoremin hem özel hem de genel şeklini çalışmalarında biliyorlardı. Bilim tarihi eserleri; Thales'in, Pisagor ve Öklid'in, eski Mısır ve Babil yörelerini uzun yıllar dolaşmış olduklarını belirttikleri gibi, bu bilginlerin temel matematik bilgilerini, Mısır ve Babil' den elde etmiş olduklarını da ayrıca belirtir. 

Mezopotamyada Trigonometri: Mezopotamyalılarda, temelinde geometri bulunan, bugünkü trigonometri cetvellerinin ilkel bir örneğiyle karşılaşılmakta olduğunu, ve Hipparchos'un trigonometri çalışmalarının, ilkel başlangıcının "Mezopotamya Matematiğine" kadar geri gitmesinin mümkün sayılabileceğini belirtmektedir. Aydın Sayılı, yukarda adı geçen eserinde bu konuda geniş bilgi verdikten sonra, "Trigonometri tarihinin, Embriyolojik Menşeinin Mezopotamyalılara kadar geri gittiğini ve Mezopotamyalılardan, Hipparchos'un bu yönden etkilenmiş olduklarını ileri sürebilir" şeklinde ifade etmiştir.

İslam Dünyasında Trigonometri: VIII. yüzyılda, Yakın ve Orta Doğu ülkelerinden bilim adamları, eski Yunan ve Hint matematikçiler ile astronomların eserleri ile tanıştılar. Önceki eserler daha sonra Orta çağ İslam dünyasında, çoğunlukla Fars ve Arap kökenli Müslüman matematikçiler tarafından çevrildi ve genişletildi. 8. yüzyılda İbrahim el-Fezari ve Yakub bin Tarık gibi büyük alimler bu eserleri Arapçaya çevirmekle uğraştılar. Sonra onlar ve takipçileri bu teoriler üzerinde aktif olarak yorum yapmaya ve kendi fikirleri ile yeni teoriler geliştirmeye başladılar. Bunlar, Helenistik matematikte olduğu gibi Menelaus teoreminin uygulanmasına, trigonometri konusunu tam dörtgene bağımlılıktan kurtaran çok sayıda teoremi dile getirdi. E. S. Kennedy'ye göre, İslam matematiğindeki bu gelişmeden sonra, "ilk gerçek trigonometri, ancak o zaman çalışmanın nesnesinin küresel veya düzlemsel üçgen, kenarları ve açıları haline gelmesi anlamında ortaya çıktı." Küresel üçgenlerle ilgilenen yöntemler, özellikle küresel problemlerle başa çıkmak için "Menelaus teoremini" geliştiren İskenderiyeli Menelaus'un yöntemi de biliniyordu. Zamanlamaların Ay'ın evreleri tarafından belirlendiği İslami takvimde kutsal günleri gözlemlemek için, astronomlar başlangıçta Menelaus'un yöntemini kullanarak Ayın ve Yıldızların yerini hesapladılar, ancak bu yöntemin kullanışsız ve zor olduğu kanıtlandı. Kesişen iki dik üçgen oluşturmayı içeriyordu; Menelaus'un teoremini uygulayarak altı kenardan birini çözmek mümkündü, ancak yalnızca diğer beş kenar biliniyorsa bu mümkün oluyordu. (Bkz. Menelaus teoremi ve ispatı) . Örneğin, Güneşin yüksekliğinden zamanı söylemek için Menelaus teoreminin tekrarlanan uygulamaları gerekliydi. Ortaçağ İslami gökbilimcileri, daha basit bir trigonometrik yöntem bulmak için çalışarak Hint siddhantalarına benzer astronomik incelemeleri "zic" tablolarını ürettiler. 

8.-9. yüzyıllar dönemindeki Zic'lerin karşılaştırılması, trigonometrik bilginin hızlı gelişimini göstermektedir. Metotları astronomi ve jeodezi problemlerini çözmek için kullanılan küresel trigonometri, İslam ülkelerinden bilim adamlarının özel ilgi konusuydu. Günün saatinin doğru belirlenmesi. Gök cisimlerinin gelecekteki konumlarının, yükselme ve batma anlarının, Güneş ve Ay tutulmalarının hesaplanması. Mevcut konumun coğrafi koordinatlarını bulma. Bilinen coğrafi koordinatlara sahip şehirler arasındaki mesafenin hesaplanması. Belirli bir yerden Mekke'ye (kıble) yönün belirlenmesi. 

MS 9. yüzyılın başlarında, Muhammed ibn Musa al-Khvarizmi doğru sinüs ve kosinüs tablolarını ve ilk teğetler (tanjant) tablosunu üretti. Aynı zamanda küresel trigonometri alanında da öncü bir isimdir. MS 830'da Habash al-Hasib al-Marvazi ilk kotanjant tablosunu üretti. Muhammed ibn Cabir el-Harrani el-Battani (Albatenius) (MS 853-929) sekant ve kosekantın karşılıklı işlevlerini keşfettiler ve 1° ile 90° arasındaki her derece için ilk kosekant tablosunu oluşturdular.

MS 10. yüzyılda, Ebū al-Vefa 'al-Buzcani'nin çalışmasında, Müslüman matematikçiler altı trigonometrik fonksiyonun hepsini tam olarak kullanıyorlardı. Ebu el-Vefa, 0,25°'lik artışlarla sinüs tablolarına, 8 ondalık doğruluk hanesine ve doğru tanjant değer tablolarına çalışmalarında yer vermiştir. Ayrıca sin toplam ve fark formülünü geliştirmiştir. Endülüs'lü El-Ceyyani (989 -1079), "küresel trigonometri hakkındaki ilk bilimsel çalışma" olarak kabul edilen "The book of unknown arcs of a sphere" adlı eseri yazdı. Bu eser, "dik açılı üçgenler için formüller, genel sinüs yasası ve küresel üçgenin kutupsal üçgen aracılığıyla çözümünü" içerir. Bu çalışma daha sonra "Avrupa matematiği üzerinde güçlü bir etkiye" sahipti ve onun "oranların sayı olarak tanımlanması" ve "tüm kenarlar bilinmediğinde küresel bir üçgeni çözme yöntemi" muhtemelen Regiomontanus'u etkilemiştir. Nirengi yöntemi ilk olarak, 11. yüzyılın başlarında Ebu Reyhan Biruni tarafından tanımlandığı gibi, ölçme ve İslami coğrafya gibi pratik kullanımlara uygulayan Müslüman matematikçiler tarafından geliştirilmiştir. Biruni, Dünya'nın büyüklüğünü ve çeşitli yerler arasındaki mesafeleri ölçmek için nirengi tekniklerini kendisi tanıttı. 11. yüzyılın sonlarında Ömer Hayyam (1048-1131), trigonometrik tablolarda interpolasyonla bulunan yaklaşık sayısal çözümleri kullanarak kübik denklemleri çözdü. 13. yüzyılda, Nasîrüddin Tûsî trigonometriyi astronomiden bağımsız matematiksel bir disiplin olarak ele alan ilk kişiydi ve küresel trigonometriyi bugünkü haline getirdi. Küresel trigonometride dik açılı üçgenin altı farklı durumunu listeledi ve "On the Sector Figure" adlı eserinde düzlem ve küresel üçgenler için sinüs yasasını belirtti, küresel üçgenler için tanjant yasasını keşfetti ve bu yasaların her ikisi için de kanıtlar sağladı. Tusi, trigonometriyi kendi başına bir matematik disiplini olarak tanımlanmıştır. 15. yüzyılda, Gıyaseddin Cemşid, uygun bir biçiminde Kosinüs yasası için ilk açık ifadesi sağladı. Fransa'da, kosinüs yasası hala Al-Kashi teoremi olarak anılmaktadır. Ayrıca, her 1°'nin her 1/60'ına eklenecek farklarla her 1° argüman için dört altmışlık basamağa (8 ondalık basamağa eşdeğer) kadar sinüs fonksiyonunun değerlerinin trigonometrik tablolarını verdi. Uluğ Bey aynı zamanda 8 ondalık basamağa kadar doğru sinüs ve tanjant tabloları da verir.  

 

Bkz. Türk İslam Dünyasında Trigonometrinin Gelişimi

 

Avrupa'da Trigonometri: 1342'de Gersonides olarak bilinen Levi ben Gershon, özellikle düzlem üçgenler için sinüs yasasını kanıtlayan ve beş rakamlı sinüs tabloları veren "On Sines, Chords and Arcs" adlı eseri yazdı.[56] Basitleştirilmiş bir trigonometrik tablo olan "toleta de marteloio", 14-15. yüzyıllar boyunca Akdeniz'deki denizciler tarafından seyrüsefer rotalarını hesaplamak için kullanıldı. 1295 yılında Mayorka'dan Ramon Llull tarafından tanımlanmış ve Venedikli kaptan Andrea Bianco'nun 1436 atlasında düzenlenmiştir. Regiomontanus, belki de trigonometriyi 1464'te yazdığı De triangulis omnimodis’te farklı bir matematik disiplini olarak ele alan ilk matematikçiydi ve daha sonraki Tabulae directionum’unda, isimsiz olsa da tanjant fonksiyonunu içeriyordu. Copernicus'un öğrencisi Georg Joachim Rheticus'un Opus palatinum de triangulis’i, muhtemelen Avrupa'da trigonometrik fonksiyonları çember yerine dik üçgenler şeklinde tanımlayan ilk kişiydi ve altı trigonometrik fonksiyonun tümü için tablolar; bu çalışma Rheticus'un öğrencisi Valentin Otho tarafından 1596'da tamamlandı. 17. yüzyılda, Isaac Newton ve James Stirling trigonometrik fonksiyonlar için genel Newton-Stirling interpolasyon formülünü geliştirdiler. 18. yüzyılda, Leonhard Euler'in Introductio in analysin infinitorum (1748) adlı eserinde, Avrupa'da trigonometrik fonksiyonların analitik yaklaşımını oluşturmaktan, sonsuz serilerini türetmekten ve "Euler formülünü" geliştirdi. Euler, neredeyse modern kısaltmaların tamamını eserlerinde sin., cos., tan., cot., sec., ve cosec kullandı. Bundan önce Roger Cotes, Harmonia Mensurarum'da (1722) sinüs türevini hesaplamıştır. Ayrıca 18. yüzyılda Brook Taylor genel Taylor serisini tanımladı ve altı trigonometrik fonksiyonun tümü için serilere genişleme ve tahminleri verdi. 17. yüzyılda James Gregory'nin ve 18. yüzyılda Colin Maclaurin'in eserleri de trigonometrik serilerin gelişiminde çok etkili oldu. 

Johann Müller 8. ile 15. yüzyıl Doğu bilim dünyasının ünlü yazma eserleri ile zengin bir kataloga sahip olan başta Vatikan ile diğer Avrupa kütüphanelerinden elde ettikleri, doğu bilim dünyasından intikal etmiş matematik ve astronomi ile ilgili eserlerin bir kısmını incelemiş ve zamanının bilim dili olan Latince'ye çevirmişlerdir. Bu çalışmaların sonunda De Triangulis Amnimodis Libri V. adlı bir kitap yayınlamışlardır. Bu kitap, yukarıda sözünü ettiğimiz düzlem ve küresel trigonometri konularını kapsayan Latince bir eserdir. Johann Müller'in bu eseri de, ölümünden 57 yıl sonra, yani 1533 yılında Nurnberg'te yayınlanmıştır.Bu durumda, Johann Müller'in, El - Battani'den taklid edilmiş denilen eser, kendisinin ölümünden sonra gelen çağdaşları bile, 57 yıl anlamakta güçlük çekmiş oldukları anlaşılmaktadır. El - Battani ve Ebu'l Vefa'dan 500 yıl kadar sonra, trigonometri ile ilgili bilgiler; Avrupa'da, Johann Müller ve çağdaşlarının eserleri ile 1533 yılından itibaren görülmeye ve yaygınlaşmaya başladığı açık olarak ortaya çıkmaktadır.

8. ile 15.yüzyıl Türk - İslam Dünyası matematik ve astronomi bilginlerinin hazırladıkları eserlerin hepsinde, bugünkü trigonometrinin temel bilgileri vardı. Bu durumda; bu devir Türk - İslam Dünyası'nın ünlü matematik ve astronomi bilginlerinden, Sabit bin Kurra, (Bkz. Sabit b. Kurra), Ebu Kamil Şuca, (Bkz. Ebu Kamil), Biruni (Bkz. Biruni), Ebu'l Vefa (Bkz. Ebul Vefa), Ali Kuşçu (Bkz. Ali Kuşçu) Uluğ Bey, (Bkz. Uluğ Bey ve astronomi) ile çağdaşlarına ait ilgili eserlerin asılları ya da tercümeleri, Johann Müller ve çağdaşları ile kendisinden önce ve sonra gelen Avrupalı matematikçilerin gözlerinden kaçmış olması düşünülemez. 

(Bkz. İslam Dünyasında Trigonometri)

KAYNAKÇA:

Matematik Tarihi, Lütfi Göker, Ankara, 1981.

Aydın Sayılı'nın Mısırlılarda ve Mezopotamyalılarda Matematik, Astronomi ve Tıp Adlı Eserinin Muhtasarı, Mübahat Türker Küyel, 1996.

Greek Trigonometry and Mensuration". A History of Mathematics. John Wiley & Sons. 1991 

Kennedy, E. S. (1969). "The History of Trigonometry" (1996)

Ptolemy's Almagest. Princeton University Press. 1998.

The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton, 2007.

Trigonometri Tarihi

Trigonometri: Matematiğin doğrudan doğruya astronomiden çıkmış bir koludur; bir üçgen kenarlarının veya açılarının ölçülerini bunlar içinden bazılarına dayanarak hesaplamaya imkan sağlar.

Babilliler ve Mısırlılar; gökbilim gözlemlerine ve piramitlerin yapımına ilişkin trigonometri elemanlarına sahiptiler. Yunanlılar Menelaus'un küresel geometrisine dayanarak gemicilikte gece saatinin belirlenmesi gibi pratikte kullanılmak üzere nicel bir gökbilim hazırladılar. İskenderiyeli Hiparkhos ve Ptolemaios bir çember yayıyla bunu gören kirişlerin uzunlukları arasındaki bağıntıları sistemli bir biçimde incelediler. Çemberin daha yeni olan 360 dereceye bölünmesine dayalı olarak çeşitli bağıntılar elde ettiler. Çember üzerinde çizilen bölümlere karşılık gelen kirişler, teğetler ve açılar yardımıyla çeşitli teoremlere ulaştılar.  Çağdaş dilde sinA ve sinB ye dayanarak sin(A-B) gibi toplam ve fark formüllerini hesaplamaya imkan veren Ptolemaios teoremi yardımıyla (3/4) derecelik bir aralık için,  trigonometrik cetvelleri oluşturuldu. 

Hint trigonometrisi yarım yaya, bunu gören yarı kirişi eşlik ettirerek bu günki sinüs kavramına dahaçok yaklaşıyor. Aryabhata (öl. ms. 550?) Ptolemaios un geometrik argümanları yerine cebirsel argümanlar koyuyor, ama çemberin dakikalara bölünmesinden ve pi sayısının 3,1415.. yaklaşık değerinden gelen 3438 birimlik bir yarıçap getiriyor. Sabit bin Kurra ve el-Batlani tarafindan aktarilan Arap geometrisi Hintlilerin trigonometri anlayışına benzerdir. Arap ve hint matematikçilerinin çalışmalarıyla büyük ölçüde trigonometrik fonksiyonlardan tanjant, kotanjant, sekant ve kosecant fonksiyonları trigonometri ilminin kullanımına sunulmuştur. 

Nasirettin Tusi yazdığı "Tam Dörtgeni inceleme" kitabında ki bu kitaptan ve trigonometri çalışmalarından Avrupalıların Regiomontanus'a gelinceye kadar haberleri olmamıştır-  çember ve dörtgenler üzerinden trigonometrik kavramlar üzerinde yoğun çalışmaların sonuçlarını sistemleştirmiştir. Regiomontanus'tan J. Wernere kadar Alman matematikçileri, trigonometri cetvellerin duyarlılığını artırıp kesirlerden ve ondalıklardan kaçınmak amacıyla, yarıçap olarak 10 üssü 15'e kadar gittikçe büyüyen bir sayıyı birim olarak kullandılar. Rheticus, F. Viéte in düzlem küre için incelenmesini sistemleştireceği sinüse, bu günkü anlamını verip formülleri sadeleştirmiştir. Eulerin yaptığı bir birim yarıçapın seçimi ve fonksiyon kavramının gelişimi, trigonometrinin, karmaşık üslerin incelenmesiyle azar azar bütünleşmesinde önemli bir rol oynamıştır.

Trigonometrik Fonksiyonlar

Sinüs ve Kosinüs Fonksiyonları

https://muallims.blogspot.com/2018/05/sinus-ve-cosinus-fonksiyonlar.html

Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonları

https://muallims.blogspot.com/2018/06/tanjant-ve-kotanjant-fonksiyonlar.html

Sekant ve Kosekant Fonksiyonları

https://muallims.blogspot.com/2013/05/secant-ve-cosecant-fonksiyonlar.html

Namazın Önemi ve Fazileti

Namazın Önemi ve Fazileti
1- Bilindiği gibi Yüce Allah'ı tevhid (bir kabul etmek), Onun eşsiz varlığını bilip tasdik etmek, farz olan en büyük bir görevdir. Bundan sonra farzların en büyüğü ve en önemlisi namazdır. Namaz, imanın alametidir, kalbin nurudur, ruhun kuvvetidir, mü'minin miracıdır. Mü'min bu namaz sayesinde Yüce Allah'ın manevî huzuruna yükselir. Yüce Allah'a yalvararak manevî yakınlığa erer. Mü'min için ne yüksek bir şeref!..
Bütün hak dinler, insanlara namaz kılmalarını emretmişlerdir. Bizim sevgili Peygamberimiz (sallallahu aleyhi ve sellem) Efendimiz de, peygamber olarak gönderilişlerinden itibaren namaz kılmakla yükümlü olmuştur. Ancak o zaman, güneşin doğuşundan ve batışından sonra olmak üzere günde iki defa namaz kılınıyordu. Sonra Miraç gecesinde beş vakit namaz farz olmuştur. Hazreti Peygamber'in miracı ise, sahih kabul edilen rivayete göre, Medine'ye hicretlerinden on sekiz ay önce Receb ayının yirmiyedinci gecesinde olmuştur.
2- Kur'an-ı Kerîm'de ve hadîs-i şeriflerde namaza dair birçok emirler ve öğütler vardır. Bütün bunlar, İslam dininde namaza ne kadar büyük önem verildiğini gösterir. Bir ayet-i kerîmenin anlamı şöyledir:
"Ey Resulüm! Sana vahy olunan Kur'an ayetlerini güzelce oku ve namazı gereği üzere kıl. Gerçekten namaz, edeb ve namusa uygun olmayan şeylerden, çirkin görülen işlerden alıkor. Her halde Yüce Allah'ı zikretmek, her ibadetten daha büyüktür. Yüce Allah bütün yaptıklarınızı bilir." (Ankebut Suresi, 45)

 

Namaz ibadeti ise, en büyük zikirdir. Diğer bir ayet-i kerîmenin anlamı şöyledir: "Namazı gereği üzere yerine getiriniz, zekatı yeriniz. Nefisleriniz için hayır olarak önceden ne gönderirseniz, onu Yüce Allah yanında (sevab olarak) bulursunuz; asla kaybolmaz. Muhakkak ki, Allah yaptıklarınızı görür." (Bakara Suresi, 110)
Bir hadîs-i şerîfde:
"Namaz dinin direğidir." buyurulmuştur. Diğer bir hadîs-i şerîfin anlamı şöyle: "Namaz, kişinin kalbinde bir nurdur; artık sizden içini aydınlatmak dileyen, kalbindeki nurunu artırmaya çalışsın." İşte bütün bu mübarek ayetlerle hadîs-i şerifler, namazın Yüce Allah yanında ne kadar büyük ve makbul bir ibadet olduğunu göstermeye yeterlidir.

3- Gerçek şu ki, namaz çok mukaddes bir ibadettir. Namazın faziletlerine nihayet yoktur. Namaz, aklı yerinde olan ve büluğ çağına ermiş bulunan her müslüman için belli vakitlerde yapılması gereken şerefi yüksek farz bir görevdir. Bu önemli farzı yerine getirenler, Yüce Allah'ın pek büyük ikram ve ihsanlarına kavuşacaklardır. Bunu kasden terk edenler de, azabı çok şiddetli olan Allah'ın acıklı cezasını çekeceklerdir.
Müslümanlar, henüz yedi yaşına girmiş çocuklarını namaza alıştırmakla görevlidirler. Bu çocuklara ana-babaları ve yetiştiricileri namaz kılmalarını öğretir ve yaptırırlar. On yaşına bastığı halde namaz kılmayan çocuğa velisi, üç tokattan ziyade olmamak üzere, hafifçe el ile vurur.

4- İnsan bir düşünmeli, her an Yüce Allah'ın sayısız nimet ve ihsanlarına kavuşmaktadır. Öyle ikramı bol, merhameti geniş olan yaratıcımızın tükenmeyen lütuflarına karşı teşekkürde bulunmak gerekmez mi? İşte insan, namaz yolu ile şükür borcunu ödemeye, yaratıcısının lütuf ve nimetlerini tatlı bir dil ile anarak kulluk görevini yerine getirmeye çalışmış olur. Bu bakımdan: "Namaz, şükrün bütün çeşitlerini bir araya toplar." denilmiştir.
Namaz ruhu temizleyen, kalbi aydınlatan, imanı yüksek duygulardan haberdar eden, insanı kötülüklerden alıkoyan, insanı hayırlara, düşünceye, tevazu ve intizama götüren en güzel bir ibadettir.

 

İnsan namaz sayesinde nice günahlardan kurtulur ve Yüce Allah'ın nice ihsan ve ikramlarına kavuşur.
Namaz, manevî hayattan başka maddî hayata da canlılık verir. İnsanın temizliğine, sağlığına ve intizamla hareket etmesine sebeb olur.
5- Sonuç: Namazın meşru kılınmasındaki hikmetler ve yararlar her türlü düşüncenin üstündedir. Fakat bir müslüman namazını yalnız Yüce Allah'ın rızası için kılar, yalnız yaratıcısına şükür ve saygı için kılar. Namazın insana yararı olmadığı düşünülse dahi, yine bunu bir kul görevi bilerek sadece Allah'ın emrine uymak için yerine getirmeye çalışır. Bu kutsal görevin yerini hiç bir şeyin tutamayacağını kesinlikle bilir. Namaza harcayacağı dakikaları, hayatının en mutlu ve neş'eli zamanı olarak kabul eder.
Doğrusu, geçici hayatın son bulmayacak birçok kazançları ancak namaz sayesinde elde edilir. Namaza ayrılan saatler, sonsuzluk aleminin tükenmez mutluluk günlerini hazırlamış olur. Bu çok mübarek ve pek feyizli ibadete gereği üzere devam edenlere müjdeler olsun!..

Kaynak: Ömer Nasuhi Bilmen, Büyük İslam İlmihali, Sad. Ali Fikri Yavuz,Ravza Yayınları

Yansıma ve Özellikleri

Yansıma,homojen bir ortam içerisinde ışık ışınlarının yansıtıcı bir yüzeye çarparak yön ve doğrultu değiştirip geldiği ortama geri dönmesi olayına denir. Yansımanın genel örnekleri ışık, ses ve su dalgalarıdır. Düzlem aynalarda yansıma, saydam ortamda hareket eden ışığın herhangi bir yüzeye çarpıp geri dönmesi olayıdır. Yansıma olayında ışığın hızı, frekansı, rengi yani hiçbir özelliği değişmez. Yansımada cismin sadece hareket yönü değişir.

Yansıma tam yansıma, düzgün yansıma ve dağınık yansıma olmak üzere üçe ayrılır. Kürelerin görüntüsü hem yere hem de birbirlerine yansır. 

Düzgün ve Dağınık Yansıma: 

Düzgün Yansıma Işınların geldiği yüzey düzgün olursa, bu yüzeyin her noktasında normaller birbirine paraleldir. Şekildeki gibi gelen ışınların gelme açıları birbirine yansıma açıları da birbirine eşit olur.

Dağınık Yansıma Eğer yüzey düzgün değilse, yüzeyin bütün noktalarındaki normaller farklıdır. Yüzeye paralel gelen ışınların gelme açıları yansıma açılarına eşit olmaz. Bu yansımaya dağınık yansıma denir.

Yansıma Kanunları 

Gelen ışın, yansıyan ışın ve yüzeyin normali aynı düzlemde bulunur. Gelen ışının normalle yaptığı açı, yansıyan ışının normalle yaptığı açıya eşittir. Normal doğrultusunda gelen ışınlar, geldikleri doğrultuda geri yansırlar. Bir düzlem aynaya gelen ışınla yansıyan ışın arasındaki açının yarısı gelme açısına veya yansıma açısına eştir. 

Geometrik Cisimlerin simetrisi ile ilgili ayrıntılı bilgiye ulaşmak için bağlantıya tıklayabilirsiniz. (Bkz. Geometrik Cisimlerin Simetrisi) 

Türk Bayrağı ve Genel Ölçüleri

Türk ulusunun birlik ve bütünlüğün sembolü olan Türk Bayrağı, anayasanın 3. maddesine göre, "şekli kanunda belirtilen, beyaz ay yıldızlı al bayraktır." 

Bayrağın Tarihi : Osmanlı Devleti'nden önceki Türk devletlerinde kullanılan bayrak renk ve sembolleri hakkında yeterli bir bilgi yoktur.Türk Bayrağı'nı ilk olarak Anadolu Selçuklu hükümdarı Gıyaseddin Mes'üd tarafından Osman Bey'e gönderilen ak renkli sancak olarak görürüz.15. yüzyıldan sonra al bayrak, Yavuz Sultan Selim dönemindeki Çaldıran Savaşı'nda ise yeşil bayrak kullanılmaya başlanmıştır.Türk Bayrağı'na en yakın şekil ise III. Selim döneminde rastlanır.Bu bayrakta hilal ile birlikte sekiz köşeli yıldız kullanılmıştır. Yılıdızın beş köşeli halinde kullanılması ise 1842 yılında Abdülmecit dönemine denk gelir.Salatanatın kaldırılması üzerine 29 Mayıs 1936 tarihinde çıkartılan 2994 sayili kanunla Türk Bayrağı'nın şekli ve ölçüleri kesin bir şekilde tesbit edilmiştir.28 Temmuz 1937 tarihli 2/7175 sayili Türk Bayrağı nizamnamesi kararnamesi ile de Türk Bayrağı'nın kullanılışı düzenlenmiştir.

Bayrağın standartları: Türk Bayrağı ve Ölçüleri Türkiye Cumhuriyeti Bakanlar Kurulunun, 25 Ocak 1985 tarih ve 85/9034 nolu "Türk Bayrağı Tüzüğü" kararının 4. maddesinde, bayrağın boyutları şöyle belirlenmiştir: 

Madde 4 - Bayrak, aşağıda gösterilen standartlara göre yapılır: (Ek:1)

* Bayrağın boyu, eninin bir buçuk katıdır, * Ay ve yıldızın meydana getirilmesi için çizilen çemberlerin merkezleri eksen üzerinde bulunur. * Ay, iç ve dış çemberlerinin birbirini kesmesinden meydana gelir, * Ayın dış çemberinin çapı, Bayrak eninin yarısına eşittir, merkezi,uçkurluğun iç kenarından Bayrak eninin yarısına eşit uzaklıktadır, * Ayın iç çemberinin çapı, Bayrak eninin onda dördüne eşittir, merkezi, dış çember merkezinden uçum yönüne doğru Bayrak eninin 0.0625 katı uzaklıktadır, * Ayın ağzı uçum yönüne bakar, * Yıldız, çapı Bayrak eninin dörtte birine eşit olan ve beş eşit parçaya bölündüğü farz edilen bir çemberin bölüşme noktaları birer atlanarak meydana getirilir, yıldızın uçlarından biri, Bayrak ekseniyle ayın iki ucundan geçtiği farz edilen çizginin kesiştikleri nokta üzerindedir, bu noktaya iç çemberin ekseni kestiği nokta arasındaki uzaklık, -matematiksel olarak bu mesafe bayrak eninin 1/3'ü olursa yıldız hilalin içine girmektedir. Nizami bir bayrakta bu oran 279/800'dür ve bu bilgi olmadan da bayrak çizilebilir- * Uçkurluğun genişliği, Bayrak eninin otuzda biridir. 

Kanuna göre, (Madde 26) Türk Bayrağı, yırtık, sökük, yamalı, delik, kirli, soluk, buruşuk veya layık olduğu manevi değeri zedeleyecek herhangi bir şekilde kullanılamaz. Resmi yemin törenleri dışında her ne maksatla olursa olsun, masalara kürsülere, örtü olarak serilemez. Oturulan veya ayakla basılan yerlere konulamaz. Bu yerlere ve benzeri eşyaya Bayrağın şekli yapılamaz. Elbise veya üniforma şeklinde giyilemez. Hiçbir siyasi parti, teşekkül, dernek, vakıf ve tüzükte belirlenecek kamu kurum ve kuruluşları dışında kalan kurum ve kuruluşun amblem, flama, sembol ve benzerlerinin ön veya arka yüzünde esas veya fon teşkil edecek şekilde kullanılamaz. Türk Bayrağına sözle, yazı veya hareketle veya herhangi bir şekilde hakaret edilemez, saygısızlıkta bulunulamaz. Bayrak yırtılamaz, yakılamaz, yere atılamaz, gerekli özen gösterilmeden kullanılamaz. 

Bayrak Çizimini Örnek Olarak şu şekilde bir çizim yapabiliriz. 

Kanun maddesine yer alan oranlara göre bir bayrak şu şekilde çizilebilir. Özellikle ilköğretim kademesi matematik ders kitaplarında proje ödevi olarak verilen kısım için bu bilgiler dikkate alınmalıdır. 

Çizim aşamaları için kullanacağınız araç ve gereçler; Cetvel, Pergel, Bayrağı çizeceğiniz kağıt, kalem ve boyama için boya.  Özellikle pergel kesinlikle kullanılmalı, hilal ve yıldız çizim aşamalarında olmazsa olmaz aracımız pergeldir.

Bayrağın genişliğini çizeceğiniz sayfaya göre kendiniz belirleyebilirsiniz. Genişlik tüm ölçülerin ana kaynağı olacaktır. Size kaç cm genişlikli bir bayrak çizileceği söylenmişse ona göre bütün ölçüleri verilen genişlik cinsinden hesaplamanız gerekmektedir. Daha rahat anlamanız için yukarıda verilen ölçülere bağlı kalarak biz genişliğe cm cinsinden bir örnek değer verelim ve diğer ölçüleri de buna göre yazalım. Burada yer alan ölçülere ve sıralamalara hata yapmamak için azami dikkat ediniz. Yukarıdaki bayrak şeklinden de harflere bakarak, bayrakta nereyi kastettiğimizi öğrenip ona göre istenen uzunluğu çiziniz. 

Örnek Bayrak Çizim Ölçüleri

G=bayrağın genişliği: 20 cm 

L=boyu:3/2*20cm=30 cm. 

M=uçkur genişliği: 1/30*20cm=0,66 cm 

A=dış ay merkezinin uçkurluktan mesafesi=1/2*20=10 cm 

F=yıldız daire çapı: 1/4*20cm=5 cm 

D=ay iç daire çapı:4/10*20=8 cm 

B=ayın dış dairesinin çapı:1/2*20cm=10 cm 

C=ayın iç ve dış merkezleri arası:1/16*20cm=1,25 cm (yaklaşık 1,3 cm) 

E=yıldız dairesinin ayın iç dairesinden olan mesafesi 1/3*20cm=6,66 cm 

Örnek Bayrağın Ölçüleri

G=bayrağın genişliği: 30 cm 

L=boyu:3/2*30cm=45 cm. 

M=uçkur genişliği: 1/30*30cm=1 cm 

A=dış ay merkezinin uçkurluktan mesafesi=1/2*30=15 cm 

F=yıldız daire çapı: 1/4*30cm=7,5 cm 

D=ay iç daire çapı:4/10*30=12 cm 

B=ayın dış dairesinin çapı:1/2*30cm=15 cm 

C=ayın iç ve dış merkezleri arası:1/16*30cm=1,875 cm (yaklaşık 1,8 cm) 

E=yıldız dairesinin ayın iç dairesinden olan mesafesi 1/3*30cm=10 cm

Bayrak ölçüleri hesaplanırken öncelikle, bayrağın genişliği belirlenir. Ne kadar genişlikte bayrak çizecekseniz G yerine o değer yazılır. Bütün diğer kısımlar G ile çarpılarak hesaplanır. Mesela genişliğiniz 64 cm ise aşağıdaki ölçülerde ayın iç ve dış merkezleri arası (C) için değeriniz C=64.1/16=4cm olur. Bunun gibi diğer ölçüleri de bulabilirsiniz veya kolaylık olması için excel formunu indirip, dosya üzerinde işaretlediğim alandan, genişliği girerek çıkan ölçü değerlerini kullanınız. EXCEL FORMU

Bayrağın Çizim Aşamaları 

Biz burada genişliği 30 cm olan bir bayrağın adım adım çizim aşamalarını yapacağız. Siz kaç cmlik genişlikte bayrak çizecekseniz ölçülerinizi ona göre kendiniz hesaplamalısınız.

1.Öncelikle genişliği 30 cm den büyük boyu da 45 cm bir kağıt alınır. Kağıdın en uç noktasından uçkurluk mesafesi çizilir.(uçkurluk yukarıdaki M ile gösterilen yerdir. uzunluğu örneğimize göre 1cm olacak cetvelle ölçüp çiziniz.) 

2.Uçkurluk çizildikten sonra (uçkurluk bayrak çizimi ile alakalı değil en sonunda da çizebilirsiniz.) Buradaki ölçülere göre önce boy (L) (45cm) sonra da bayrak genişliği (G) (30cm) kağıt üzerinde çizilir. 

3. Sonra pergel ve cetvel yardımıyla uçkurluktan itibaren dış ay merkezi işaretlenir (A) ve uzunluğu ölçüye göre çizilir.(uzunluk yukarıda belirtildiği şekilde 15cm olacak) ve iç ay merkezi (C) (az önce işaretlediğimiz noktadan (A) yukarıda belirtildiği şekilde 1,875cm olacak uzaklıkta çizilir) pergel yardımıyla bu noktaların daireleri çizilir.birinci daire çapı (B) örnekte=15cm iç daire çapı=12cm (D) olacak. 

>>>çap denildiği için pergeli yarısı kadar açıp, pergel ucunu belirlenen merkezlere koyup yarıçap kadar iki tane daire çizeceksiniz. 

4. Dikkatli çizerseniz iki daire tam olarak kesişmiş olacak. iki dairenin kesiştiğinde de hilal ortaya çıkmış olur. 

5. Bu işlemlerden sonra şimdi de yıldız çizimine sıra gelir. Hilallerin uç noktaları ile yıldız dairesi tam olarak aynı hizada olacaktır; bayrak şeklinden isimlere bakınız. (E) 

6. Mesafeler tam olarak ölçülüp yıldız merkezi işaretlenir ve yukarıda belirtildiği ölçüye sahip olacak şekilde yıldız çapı=7,5cm yıldız dairesi çizilir. 

>>>çap denildiği için pergeli yarısı kadar (3,75cm) açıp, pergel ucunu belirlenen merkeze koyup yarıçap kadar bir tane daire çizeceksiniz.çizilen bu daire yıldız dairesi olacak. 

7. Yıldızın kolları eşit mesafeli olarak çizilen daire üzerinde ayarlanır. Yani çember üzerinde birbirine eşit uzaklıkta olan beş eşit nokta belirlenir. bunun için çember çevresine göre hareket etmelisiniz.(Çizerken aşağıda anlattığım gibi açı ile çizmek daha yerinde olur) çember çevresi yaklaşık 23,5-24cm bu uzunluk beş eşit parçaya ayarlanacak her bir noktanın diğerinden uzaklığı yaklaşık 4,7 cm olur. ip kullanarak ölçüleri ölçebilirsiniz. fakat ölçüm sağlıklı netice vermez. Pergel ve açı ölçer kullanmak daha tutarlı ve hassas sonuç verir. 

>>> yıldız dairesi çizildikten sonra ip kullanarak dairenin çevresini ölçüp buna göre bu çevre uzunluğunu beşe bölme işlemi biraz zor olabilir ve tam ölçü değerini vermez.bunun yerine dairenin merkezinden itibaren çember üzerinde açı ölçer yardımıyla 72 derecelik açılar ölçülür ve çember üzerinde noktalar işaretlenir. Daha sonra belirlenen beş tane nokta ikişerli olarak birleştirilir.Yıldız çok kolay biçimde ortaya çıkmış olur. 

8. Belirlediğimiz bu noktaları yıldız dairesi merkezi ile birleştirerek yıldızın kolları yıldız dairesi içerisine sığabilecek şekilde beş adet olarak çizilir (Dikkat: her bir parça eşit uzunlukta olarak çember üzerinde noktalar işaretlenirse çizim kolaylıkla yapılır. Çember üzerindeki noktalar birbirine farklı uzaklıkta olursa çizim yanlış olur.)) 

9. Yıldız ve hilal ortaya çıktıktan sonra bayrak çizimi yukarıdaki ölçülere göre bitmiş olur.isterseniz bayrağınızı boyayabilirsiniz. 

10. Her şeyi doğru çizmiş iseniz bayrak çizimini sağlıklı bir şekilde bitirmiş olursunuz. Her bir adımı lütfen iyice okuyup dikkatlice çiziniz. çizerken bayrak şekline sürekli olarak bakınız. yanlarına harf yazdım bu bölümü şekilden bulup orayı sizde aynen çiziniz. Yukarıdaki Bayrak şekline dikkat ediniz. 

Size tavsiyem bayrak genişliğini bir A4 kağıtına sığabilecek şekilde 30 cm olarak almanızdır. Çünkü çizim aşamalarını anlattığım bayrak genişliği 30 cm olarak alındığında, bayrak ölçülerinde sadece C=ayın iç ve dış merkezleri arası: 1/16*30cm=1,875 cm değeri zor çizilebilecek bir değer olur. Aksi halde diğer genişlik ölçülerinde çok daha fazla küsuratlı değerle uğraşmak zorunda kalabilirsiniz. Çizim aşamalarını yukarıda güzelce anlattığımı düşünüyorum. Biraz emekle, bayrak çizimini kendiniz çok rahat yapabilirsiniz. Kolay gelsin... 

Oyun mu, Teori mi?

Akademik araştırmalarda kullanım alanları yaygınlaştıkça önemi anlaşılan bu araç, 1990’lardan itibaren Amerika’da yaygın olarak uygulanmaya başlandı. Özellikle ekonomi alanında ihale düzenlemelerinden rekabet analizlerine kadar geniş bir uygulama alanı ortaya çıktı.

Türkiye’de oyun teorisi ancak son yıllarda akademik olduğu kadar günlük hayatta da- özellikle de Akıl Oyunları adlı filmin ülkemizde vizyona girmesinden sonra- ilgi odağı oldu. Aslında, modern oyun teorisi bugün karsımıza çıkan şekline uzun bir gelişme sürecinden sonra ulaştı. Bu sürece kısaca göz atmak “Oyun Teorisi” isminin nereden geldiğini anlamamıza yardımcı olabilir. Satranç, poker, briç gibi oyunlarda oyuncuların davranışlarını modellemek ve akılcı strateji seçimleri üzerine çalışan Macar asıllı Amerikalı John von Neuman, oyunlar üzerine ilk makalesini 1928 yılında yayınladı. Hidrojen bombası ve ilk bilgisayarın mucitlerinden sayılan bu dahi matematikçi, bir ekonomist olan Oskar Morgenstern ile birlikte, oyun teorisini 1944 yılında basılan “Oyun Teorisi ve Ekonomik Davranış” isimli kitaplarında ilk defa ekonomi alanına taşıdılar. Bu kitapta iki oyunculu, sıfır toplamlı oyunları ve işbirlikçi oyunları incelediler.

John F. Nash, 1950-53 yılları arasında yayınladığı dört çalışması ile oyun teorisini geliştirdi ve hem rekabetçi hem de işbirlikçi oyunlarda kullanılabilecek bir denge kavramını ortaya çıkardı. Halen oyun teorisinin ağır yükünü onun ortaya attığı Nash dengesi çekmektedir. Martin Shubik 1959 basımlı “Strateji ve Pazar Yapısı: Rekabet, Oligopol ve Oyun Teorisi” kitabında rekabetçi oyun teorisini ilk defa oligopollere uyguladı. 1965te Reinhard Selten, Nash dengesini yaygın biçimdeki oyunlarda (oyuncuların sıra ile stratejilerini seçtikleri oyunlar) kullanılabilecek şekilde geliştirdi. Üç seri makalesi ile John Harsanyi, 1967-68 yıllarında teorinin oyuncuların eksik bilgi sahibi olduğu oyunlara nasıl uygulanabileceğini gösterdi.

Gittikçe gelişen, dallanıp budaklanan oyunlar teorisi, ekonomi bilimi için olduğu kadar, hukuk, politika, işletme, uluslararası ilişkiler ve hatta biyoloji gibi bilimler için de vazgeçilmez bir matematiksel araç oldu. Ekonomide, özellikle de endüstriyel organizasyon alanında teorik gelişmelere yol açtı ve yön verdi. Oyun teorisi aynı zamanda stratejik karşılaşmaların incelenmesinde standart bir dil haline geldi. 

http://www.ba.metu.edu.tr/~adil/BA-web/oyunteorisi.htm

M.C.Escher Matematik ve Sanat

Matematikle sanat oldukça farklı olan iki alan olarak karşımızda. Malzemeleri, teknikleri, yöntemleri ve doğal olarak ürünleri farklı, ilk bakışta hemen göze çarpan ve rahatsızlık veren bu ayrılık, ortaklıkların varlığına engel değil. Matematik de sanat da, diğer bilimler gibi, insanın içine doğduğu ortamı ve bu ortam içinde kendine ne olup bitmekte olduğunu anlama çabası sonucu doğmuştur. Zaman zaman doğaya aykırı görünseler de iki alan da doğanın soyutlaması, yorumu hatta yeniden sunumudur. Sayılar denklemler bu halleriyle doğada yokturlar ama resimler ve heykeller gibi doğayı betimler ve düşüncemize yeniden sunarlar. Matematiksel sanat, matematiğin şaşırtıcı sonuçlarından biri (Yoksa sanatın şaşırtıcı sonuçlarından biri mi demeli? Sanatın kendisi zaten şaşırtıcı değil mi?) Bu sonucu karşımıza çıkaran kişiler matematiği yeni bir etkileşim atanına taşımak istiyorlar. Bu, sanatın etki alanıdır. Ne de olsa sanatın cazibesi daha çok kişiyi kendine çeker. Böylece daha çok insan matematiksel düşünceyi ve onun doğuracağı etkiyi paylaşabilir. Matematiksel sanat bu kendine has savıyla merak edilmeye değer. Fomenko, Ferguson ve Escher'in çalışmalarını incelemek, matematiğe ilgi duyan herkes için keyifli bir öğreti süreci olmaya adaydır.