1–1+1–1+1–1+… İşleminin Sonucu Kaçtır? Grandi Serisi ile tanışma vakti... Serinin toplamındaki görünen basitliğine rağmen Grandi serisi, matematikteki oldukça ilgi çekici serilerden bir tanesidir. 1-1+1-1+1-1+… şeklinde sonsuza kadar devam eden bu seri, ismini İtalyan matematikçi Guido Grandi’den alır. Grandi serisi, ıraksak serilerin klasik bir örneğidir. Iraksak seriler, yakınsak serilerin aksine limit değeri olarak belli bir değere yaklaşmaz. Bu nedenle ıraksak seriler, matematiksel tartışma için harika bir zemin sunar. Ayrıca Grandi serisinin bu kadar ilgi çekmesinin bir nedeni de toplamanın tartışmalı doğasıdır. Çünkü uygulanan toplama yöntemine bağlı olarak seri farklı sonuçlar vermektedir. Bu serinin toplamı, kimilerine göre 1, kimilerine göre 0, kimilerine göre de 1/2 dir. Şimdi bu sonuçların nasıl bulunduğunu incelemeye çalışalım.
Luigi Guido Grandi (1671 – 1742) İtalyan papaz, filozof, teolog, matematikçi ve mühendistir. Grandi matematikte en çok, taç yapraklı bir çiçek şeklindeki gül eğrisini inceleyen "Flores Geometrici" (1728) adlı çalışması ve "Grandi serileri" ile tanınır. Guido Grandi, 1671 yılında İtalya’nın Cremona kentinde doğdu. Matematikçi olmasının yanı sıra bir keşiş olan Grandi, Camaldolese tarikatının bir üyesiydi. Dine olan bağlılığı, akademik çalışmalarının önünü açarak kolayca akademik kaynaklara, çeşitli eserlere ve bağlantılara ulaşmasına kolaylık sağlıyordu. Bu yüzden Grandi’nin çalışmaları, genellikle teolojik ve matematiksel ilgilerinin iç içe geçmesiyle oluşuyordu. Bu sayede Grandi, matematiksel kavramlara dinsel açıklamalar da yaparak dönwmine göre benzersiz sayılabilecek bir bakış açısı getirmiştir. Matematikte Grandi, en çok, "petaled çiçek" şeklindeki bir eğri olan gül eğrisini inceleyen "Flores geometrici" (1728) adlı çalışmasıyla ve Grandi serisiyle tanınır. Grandi, gül eğrisine "rhodonea" adını verdi. Gül ve çiçeklere benzeyen eğriler üzerinden uzun bir zaman dilim içerisinde çalışarak bugün birçok alanda kendi isminin duyulduğu "Grandi'nin gülleri" teorisini kabul ettirmeyi başardı. n pozitif bir doğal sayı olarak düşünülmek şartıyla, kutupsal koordinatların verdiği asıl koordinatlara göre denklemi r=a.sin(nx) ve r=a.cos(nx) olan eğriler, matematik literatüründe, "Grandi'nin gülleri" olarak bilinir.
İtalyan matematikçi Grandi, kendi adını taşıyan Grandi serisini ilk kez 1703 yılında incelemiştir. 1-1+1-1+1-1+… serisinde toplamını hesaplarken sadece parantezlerin yerini değiştirerek serinin toplamını 0 ya da 1 şeklinde bulabileceğini gözlemlemiştir. Grandi bu gözlemini şu şekilde yapmıştır:
I. Çözüm yolu:
(1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + …= 0 + 0 + 0 + …= 0
II. Çözüm yolu:
1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + …= 1 + 0 + 0 + 0 + …= 1
Guido Grandi’ye göre serinin toplamının hem 0 hem de 1 edebilmesi dini açıdan teolojik bir anlam barındırıyordu. Başlangıçta 0 olan toplam sadece bir parantezin kaymasıyla 1 oluyordu. Grandi’ye göre bu durum, yoktan yaratılışın nasıl mümkün olduğunu gösteren bir kanıttı. Grandi’nin bulguları matematik camiasında oldukça yankı uyandırdı. Bazı çağdaşları, Grandi’nin vardığı sonuçları paradoksal veya saçma olarak değerlendiriyordu. Bazıları ise Grandi’nin fikirlerinin daha fazla araştırılması gerektiğini düşünüyordu. Böylece ondan sonraki matematikçiler, matematikteki yakınsama ve ıraksama kavramları üzerine derinleşerek Grandi serisine bir çözüm bulmaya çalıştılar.
Bir serinin toplamının iki farklı sonucunun olması pek kabul edilebilir bir şey değildir. Bu nedenle Grandi de dahil olmak üzere birçok matematikçi benzer serilerin sonuçlarını tam olarak bulmaya ve çözüm için farklı yaklaşımlar geliştirmeye çabalamışlardır. Böylece Grandi serisinin sonucuna ilişkin birçok yorum ortaya atılmıştır.
Peki 1-1+1-1+1-1+… İşleminin Sonucu Kesirli Olabilir mi?
Burada gösterilen seri toplamı 1-1+1-1+1-1+…. işlemi için en kabul gören kesirli sonuçların başında 1/2 cevabı gelir. Grandi ve ondan sonra gelen birçok 18. yüzyıl matematikçisi bu serinin toplamının cevabının 1/2 olacağını savunmuştur. Ama tam sayıların toplamından oluşan bir serinin cevabı neden 1/2 olsun ki?
Grandi cevabın 1/2 olabileceğini şu şekilde özetliyor: "Eğer iki kardeşin babalarından tek bir adet mücevher aldığını ve bu mücevheri dönüşümlü olarak kendi müzelerinde saklamak istediğini hayal edin. Bu gelenek onların çocuğuna da geçerse her iki ailenin de toplamda 1/2 adet mücevheri olur."
Ünlü matematikçi G. W. Leibniz ise Grandi’nin bu açıklamasına katılmış ve bunu olasılıksal akıl yürütmeyle doğrudan desteklemeye çalışmıştır. Bu noktada Leibniz, serileri rastgele bir noktada toplamayı bıraktığımızda o noktaya kadar olan toplamın eşit olasılıkla 0 ya da 1 olacağını, bu nedenle bunların ortalaması olan 1/2’yi cevap olarak almanın mantıklı olacağını savunmuştur.
Topoloji ve analitik sayı teorisi, karmaşık analiz ve sonsuz küçük hesabı gibi matematiğin diğer birçok dalında öncü ve etkili keşifler yapan ünlü İsviçreli matematikçi, fizikçi, astronom, coğrafyacı, mantıkçı ve mühendis Leonhard Euler (1707 – 1783) serinin toplamının 1/2 cevabını savunmak için daha karmaşık yöntemler kullanmıştır. 1760 tarihli De Seriebus divergentibus (Farklı Seriler Üzerine) adlı makalesinde 1-1+1-1+1-1+… ile 1/2 kesrinin eşdeğer nicelikler olduğunu ve birini diğerinin yerine her daim koyabileceğimiz konusunda hiçbir şüpheye yer olmadığını iddia etmiştir.
Dönemin matematikçilerin yaklaşımlarına göre 1−1+1−1+1−1+1−1+...… toplamını hesaplamanın en basit yolu, onu bir iç içe seri olarak algılamak ve toplama veya çıkarma işlemlerini doğrudan bu kısmi toplamlarda gerçekleştirmektir. Buna göre iki farklı çözüm yolu elde edilir. 1. Çözüm yolunda en baştan itibaren paranteze alınarak işlem yapılırsa;
(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0 sonucu elde edilir. Öte yandan, ikinci çözüm yolunda, terimler farklı bir yolla öbeklendirildiğinde parantezin yeri değiştirilerek oluşturulan seri toplamı, yukarıda elde edilen 0 sonucuyla çelişir ve 1 sonucu elde edilir.
1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1
Grandi serisini parantez yardımıyla öbeklere ayırma yoluyla ulaşılabilen "değerler" 0 ve 1'dir. Eilenberg–Mazur hilesi olarak adlandırılan benzer bir yöntem, sicim kuramı ve cebirinde zaman zaman kullanılmaktadır. Üçüncü bir yaklaşım olarak; Grandi serisi bir ıraksak geometrik seri olarak ele alındığında, yakınsak geometrik serilere uygulanan yöntemler bu seriye uyarlanarak farklı bir çözüm değeri bulunabilmektedir.
S = 1−1+1−1+1−1+1−1+...…, ve bu seriyi 1 den çıkarırsak
1 − S = 1 − (1−1+1−1+1−1+...…) = 1 − 1 + 1 − 1 + … = S bulunur.
1 − S = S olduğundan
1 = 2S olur ki bu durumda S= 1/2 olur. Yani S = 1 − 1 + 1 − 1 + …serisinin toplamı 1/2 olur.
Seri üzerinde yapılan bu oynamalar, bir serinin toplamının tam olarak ne ifade ettiği konusuna odaklanmaktadır. Serileri isteğe göre öbeklere ayırmak ve bunlar üzerinde dört işlem uygulaması yapmak her ne kadar önemliyse de kesin olarak şu sonuçlara ulaşılabilir:
Buna göre Grandi serisinin toplamı için sunulan çözümler özetlenirse;
(a) 1−1+1−1+1−1+...… serisinin bir toplamı yoktur.
(b) 1−1+1−1+1−1+...…serisinin bir toplamı, 0 dır.
(c) 1−1+1−1+1−1+...…serisinin bir toplamı, 1 dir.
(d) 1−1+1−1+1−1+...…serisinin bir toplamı 1/2 olur.
Böylece sıralanan çözümlerdeki ifadeler, doğrulanabilir ve kanıtlanabilir durumda olmuş olur.
Cesàro ve Abel Toplamlarına Göre Grandi Serisinin Toplamı Kaçtır?
Bunun için öncelikle matematikteki ıraksama ve yakınsama kavramlarına bakmamız gerekir. 1-1+1-1+1-1+… gibi bir seride kısmi toplamların dizisi sonlu bir limite yakınsamıyorsa, sonsuz serimiz ıraksak demektir. Grandi serisi de ıraksak serilere bir örnektir. Grandi serisinin kısmi toplamlarını incelediğimizde değişen bir model gözlemleriz. İlk kısmi toplam 1, ikincisi 0, üçüncüsü yine 1’dir ve bu böyle devam eder. Bir cevap hem 0 hem de 1 oluyorsa o zaman cevap, kısmi toplamlar dizisin ortalaması olan 1/2 olur.
Önce kısmi toplamlar nedir onu öğrenelim. Kısmi toplamlar serinin belirli bir adetteki teriminin toplamıdır. Örneğin: 1,2,3,4... diye giden bir seride;
S1=1
S2=1+2=3
S3=1+2+3=6
S4=1+2+3+4=10
olur. Bu toplamı aynı şekilde Grandi serisindeki değerlere uygulayalım.
1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 +........serisi için kısmi toplamları yazalım:
S1=1
S2=1-1=0
S3=1−1+1=1
S4=1−1+1-1=0
......
Bu durum serinin tek bir sonlu değere yakınsamadığını gösterir. O nedenle bu seri ıraksak olarak sınıflandırılır. Iraksak olmasına rağmen matematikçiler, bu tür serilere sonlu değerler atamaya çalışmıştır. Bunu yaparken kullandıkları yöntemlerden biri de Cesàro toplamasıdır. Cesàro toplamasında ıraksak serilerin kısmi toplamlarının ortalamasını dikkate alarak sonuca ulaşırız. Grandi serisi için kısmi toplamları düşünecek olursak, Sn, n’inci kısmi toplamsa Cesàro toplamı n sonsuza yaklaştıkça bu kısmi toplamların ortalamasının limitidir. Bu durumda kısmi toplamlar dizisi 0 ile 1 arasında değişir. Ve n sayısı sonsuza kadar büyüdükçe, bu kısmi toplamların ortalaması alınarak 1/2’ye yaklaşan (0+1+0+1+…)/n ortalamasını verir. Böylece, Cesàro toplamı Grandi Serisine 1/2 değerini atar. Cesaro'nun Toplamı, bu kısmi toplamların ortalamasını bularak ıraksak serinin toplam sonucuna bir sonlu değer (1/2) bulmamızı sağlar. Grandi serisinde;
S1=1
S2=1-1=0
S3=1−1+1=1
S4=1−1+1-1=0
.....
İlk terim toplamı S1=1
İlk 2 terimin kısmi toplamının S1+S2 ortalaması, (1+0)/2= 0,5,
ilk 3 terimin kısmi toplamının S1+S2+S3 ortalaması (1+0+1)/3 = 0,667 olur ve böyle devam ettiğinde sonuçların 1/2 daha da yaklaştığını ve sonunda sonsuza kadar işlemler devam ettirildiğinde limit değerinin 1/2 olduğu kabul edilir.
Diferansiyel geometri alanında çalışmış İtalyan bir matematikçi Ernesto Cesàro (1859 – 1906), Grandi serisinin sonucuna ilişkin bir kuvvet serisini dikkate almayı düşünmüş ve bunun için Abel toplamında Grandi serisi için 1 – x + x² – x³+ x⁴-… kuvvet serisini ele almıştır. Bu kuvvet serisinde x soldan 1’e yaklaştıkça toplamına bakılır. Bu kuvvet serisi 1/(1+x) olarak ifade edilebileceğinden bu ifade limit değeri olarak 1/2’ye yakınsar. Bu yüzden Abel toplamı da Grandi serisinin toplamının 1/2 olacağını gösterir.
Grandi Serisinin Günlük Hayattaki Yeri ve Önemi
1-1+1-1+1-1+… ile ifade edilen Grandi serisi sadece matematiksel bir merak ürünü değildir. Bu serinin çeşitli disiplinlerde derin etkileri vardır. Grandi gibi ıraksak serilerin anlaşılması teorik fizik, sinyal işleme ve bilgisayar bilimi gibi alanlarda son derece önemlidir. Teorik fizik alanında bakacak olursak ıraksak seriler, kuantum alan teorisi ve sicim teorisinde karşımıza çıkar. Grandi serisi gibi seriler burada renormalizasyon sürecine yardımcı olur. Sinyal kontrolü ve işlemede Grandi serisi sinyallerin analizi ve manipülasyonu sırasında karşımıza çıkar. Iraksak serilerin anlaşılmasından türetilen teknikler gürültü azaltma ve sinyal iyileştirme algoritmalarında kullanılır. Bilgisayar bilimlerinde, özellikle algoritma tasarımı ve analizi alanında ıraksak serilerden yararlanılır. Bu serilerin davranışını anlamak büyük veri kümelerini daha etkili bir şekilde işleyen optimize edilmiş kodların oluşturulmasını sağlar. Kısacası Grandi serisinden türetilen kavramlarının birçok pratik uygulaması olduğunu söylemek mümkündür. Bu nedenle 1-1+1-1+1-1+… gibi basit görünümlü bir serinin geniş kapsamlı incelenmesi saf matematiğin ötesinde, geniş kapsamları olan etkilere sahiptir.
Thomson’s Lamp (Thomson'ın Lambası), filozof J.F.Thomson tarafından 1954 yılında görevlerin de paradoksal olabileceğini göstermek için tasarlanan, Grandi serisiyle ilişkilendirilmiş çok ilginç bir felsefi paradokstur. Elealı Zenon'un (MÖ 495–MÖ 430) paradoksları üzerine inşa edilen zamanın bir ilüzyon olduğunu gösteren Thomson deneyi, bir lambanın açılıp kapanma sürecini sonsuz bölünebilir adımlarla ele alır ve paradoksal sonuçlar doğurur. Her adımda lamba açıkken sonra kapalı olacak şekilde hareket edilirse, lambanın hem açık hem kapalı olduğu iddiası ortaya çıkar. Bu düşünce deneyi, zamanda sonsuzluk ve paradokslara dair bazı temel felsefi tartışmaları da beraberinde getirmiştir. Filozof Derek Parfit (1942-2017) kişisel kimlik ve benliğin sürekliliği çalışmaları bu paradoksla ilişkilendirilebilir. Derek Parfit, kişisel kimliğin özde bir sürekliliğe değil, hafızaya ve psikolojik sürekliliğe dayandığını savunmuştur. Bu nedenle, bir bireyin geçmiş ve gelecek versiyonlarının aslında aynı kişi olmadığını öne sürmüştür. Parfit'e göre, kişisel kimlik ve zaman algısı bir illüzyondur ve kişiler aslında birbiri ardına gelen deneyimler, düşünceler ve duygular silsilesinden ibarettir. Thomson'ın Lambası, zamansal paradokslara ve sonsuzluk kavramına ilişkin düşünmeye yönlendiren daha somut bir düşünce deneyidir. Bu paradoksta, bir lambayı açıp kapamak suretiyle sonsuz adımlı bir süreçte, lambanın hem açık hem de kapalı olma durumu incelenmiştir.
Thomson lamba deneyinde zaman kavramı şu şekilde sorgulanır: Diyelim ki bir lamba var ve iki kişi bu lambayı belli bir kurala göre açıp kapatıyor. 1.kişi lambayı açıyor. 1 Dakika sonra diğer kişi lambayı kapatıyor. Tekrar birinci kişi 1/2 dk (30 sn) sonra lambayı açar. 1/4 dk (15 sn) sonra diğer kişi kapatır. Bu şekilde her seferinde birbiri ardına gelen bu kişiler süreyi yarıya indirerek devam ediyor. Bu döngüye sonsuza kadar devam ediliyor.
Burada lambayı +1 olarak açıp, 0 olarak kapatmayı düşünelim. Thomson’un deneyinin Grandi’s serisi ile aynı olduğu görülür.
AÇIK, KAPALI, AÇIK, KAPALI = 1, 0, 1, 0, 1 …
Zamanlamalara gelince, 1 dk için ON, 1/2 dk için OFF, 1/4 dk için ON ....
Bu lamba deneyindeki toplam süreyi veren sonsuz seri toplamı; 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... 'dan başka bir şey değildir. Bu nedenle, adım sayısı sonsuz olsa da, seri toplamı bir sonlu zamanda (1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... =2 dakika) tamamlanabilir. Onu süper görev yapan şey de tam olarak budur. Lambanın AÇIK, KAPALI, AÇIK, KAPALI = 1, 0, 1, 0, 1 … şeklinde sonsuza döngüye sahip olarak devam etmesi Grandi serisi ile toplandığında 1/2 olur ki bu durum lambanın AÇIK veya KAPALI olduğu anlamlarına neyi ifade eder? Soruyu cevaplandırmanın bir yolu olarak, lambanın eşit olasılıklarla ON veya OFF olabileceği söylenebilir.
Görüldüğü gibi, sonsuz sayıda terim içeren toplamlar, yani sonsuz seriler, toplama ve çıkarma gibi çok temel matematiksel kavramlara dair anlayışımızı zorlayabilir. Bu durumda sonsuz seriler çeşitli biçimleriyle gündelik yaşamımızda farklı yaklaşımlarla kullanılabilir.
Kaynakça:
https://en.wikipedia.org/wiki/Grandi%27s_series
https://thatsmaths.com/2018/07/12/grandis-series-divergent-but-summable/
https://themathophile.wordpress.com/2020/04/12/grandis-series/
https://infinitesimallysmall.com/2021/03/01/grandis-series/
https://www.academia.edu/31100989/Final_version_on_Grandis_series
https://plus.maths.org/content/when-things-get-weird-infinite-sums
Melike Üzücek, www.matematiksel.org
