Zamanın izafiyetine matematiksel bakış

Zamanın ne kadar hızlı geçtiğinden şikayet ediyoruz. Acaba zaman gerçekten hızlı mı akıyor? Herkes için zaman kavramı aynı mı? Zamanın izafiyeti ve göreceliği ne demek? Zaman gittikçe kısalıyor mu? Bu soruların cevabına dair fikirlerimiz bilim ve din çevrelerinde değişkenlik gösteriyor. Zaman; insanın doğduğu ilk günden beri yakalayamadığı, sürekli peşinde koşarak aldandığı, nice vakitleri boş yere harcayıp tükettiği bir kavramdır. Zaman, ölçmeye çalıştıkça parçalanan ve her çağda başka suretlere bürünen bir muammadır. Çocukken ağır aksak ilerleyen, yetişkinlikte hızlanan, ihtiyarlıkta göz açıp kapayıncaya dek geçen bu zaman algısı, aslında insanın hayatla kurduğu bağın ve tecrübe yoğunluğunun aynasıdır. Allah Rasülü  “Zaman yakınlaşmadıkça kıyâmet kopmaz! Bu yakınlaşma öyle olur ki, bir yıl bir ay gibi, ay bir hafta gibi, hafta da bir gün gibi, gün saat gibi, saat de saman alevi gibi veya kibritin tutuşup hemen sönmesi gibi (kısa) olur.” (Tirmizî, Zühd, 24/2332) sözü ile ahir zamanda zamanın değişeceğine ve bereketsiz hale geleceğine dikkat çekmiştir.
Zamanın değişken ve göreceli olduğu, gözlemcilerin hareketlerine bağlı olarak farklı hızlarda aktığı, günümüz dünyasında Albert Einstein'ın Görelilik Teorisine göre (Relativite Teorisi*¹) bilimsel olarak açıklanmıştır. Işık hızı, saniyede 300.000 km olduğundan hareketle sabit bir ışık hızında bir cisim (ışık hızına yakın) hareket ederse, bu cismin geçirdiği zaman, dışarıdan bakan herhangi bir gözlemciye göre daha yavaş akacağı teorik olarak belirtilmiştir. Bu olaya "zamanın genişlemesi" (time dilation*²) adı verilmiştir. Bu teoriye göre hareket halindeki bir nesne, zaman genişlemesi yaşar, yani bir nesne çok hızlı hareket ettiğinde zamanı durağan halinden daha yavaş yaşamış olur. Kütleye sahip herhangi nesnenin yakınında, “uzay-zaman bozulur. Bu da uzayın bükülmesine ve zamanın genişlemesine neden olur. 
Meşhur bir paradoksa göre ("ikizler paradoksu*³") ışık hızına yakın hızda seyahat eden bir astronot, Dünya'ya döndüğünde Dünya'da göreceli olarak daha fazla zaman geçmiş olacağından yaşıtlarına göre daha genç kalacaktır. Roketin içindeki uzun bir seyahatin ardından dünyaya dönen astronot, ikiziyle yaş ve vücut olarak farklılık görür. Dünyadaki zamanın daha hızlı aktığı düşüncesinden hareketle, dünyada kalan ikizi roket içinde seyahat eden astronota göre daha hızlı yaşlanmıştır. Bu teori yerçekimini de işin içine katar. Bütün kütleli cisimler, örneğin gezegenler veya kara delikler zamanı büker. Zaman, güçlü yerçekimi alanlarında daha yavaş akarken, zayıf yerçekimi alanlarında daha hızlı akar.
Güçlü yerçekimi alanları, çok büyük kütleli cisimlerin uzay-zamanı şiddetli şekilde bükerek oluşturduğu, zamanın ve uzayın davranışını hissedilir biçimde değiştirdiği bölgelerdir. Kara delikler gibi ışığın bile kaçamadığı çok güçlü yerçekim alanlarında, zaman aşırı derecede yavaş akar. Teoride bir kara deliğe yaklaşan bir cisim için dışarıdaki gözlemciler, zamanı "donmuş" gibi görebilir. 1976 yılında NASA tarafından yapılan ve Einstein'ın genel görelilik teorisini test eden Gravity Probe*⁴ deneyiyle, Dünya'nın yerçekimi nedeniyle bir saatin yüksek irtifada yerçekimi etkisinin zayıflığı nedeniyle daha hızlı çalıştığı gösterilmiştir. Buna göre deniz seviyesinde yaşayan biri, yüksek dağın zirvesindeki birinden biyolojik olarak daha yavaş yaşlanır. Bu etkiyi araştırmak için yapılan bir deneyde, yer zemininde ve yüksek irtifaya fırlatılan bir roketin içinde birer eş zamanlı atom saati bırakılmış ve sonuçta iki saatin de çok az da olsa farklı zamanları gösterdiği tespit edilmiştir. Bu nedenle belli bir yükseklikte bulunan uydu ve GPS sistemleri, bu zaman sapması etkisini hesaba katmak zorunda olduklarından, çeşitli hatalara sebep olmamak için sürekli olarak saat düzeltmeleri yaparlar. Zaman, Allah'ın yaratmış olduğu kavramlardan bir tanesi olup değişmeyen, mutlak bir şey değildir. Gözlemcinin hızına, kütlesine ve bulunduğu yerçekimi alanına göre değişkenlik gösterir. Sonuç olarak yükseklere çıkıldıkça, yerçekimi zayıfladığından uzay-zaman daha az büküleceği için zaman daha hızlı akar. Güçlü yerçekiminin olduğu mekanlarda uzay-zamanı daha çok eğip bükeceğinden bu durum zamanın akışını da yavaşlatır.

Verilerin grafikle gösterimi

İstatistiksel araştırma sürecinde belli bir soru etrafında toplanan veriler, düzenlenerek analize hazır hâle getirilir. Veri toplama planı yapma ve verileri analize hazır hâle getirme süreci, oluşturulan istatistiksel araştırma sorularına göre yapılmalıdır. Toplanan veriler analiz edildikten sonra bulguların yorumlanması ve gösterilmesi (sunumu) aşamasına geçilir. Verilerin gösteriminde çizgi, sütun, daire, kutu, serpme, histogram ve nokta dağılımı gibi grafikler kullanılır. 

Merkezi Yayılım Ölçüleri

Merkezi Yayılım Ölçüleri: Bir veri grubundaki elemanların, merkezi eğilim ölçüsü etrafındaki yayılımını gösteren yani merkezi eğilim ölçüsüne yakın olup olmadığını belirten değerlerdir.

1)Açıklık (A): Bir veri grubundaki en büyük ile en küçük değer arasındaki farktır.

Örnek: 2,4,6,7,10,14,16,17,17,18 veri grubunun açıklığını bulalım.

Veri grubundaki en büyük değer 18, en küçük değer 2 olduğundan veri grubunun açıklığı 18-2=16 olur.

2)Çeyrekler Açıklığı (ÇA): Bir veri grubu küçükten büyüğe sıralandığında ortanca (medyan) veri grubunu alt ve üst iki gruba ayırır. Alt ve üst grubun her birinin ortancasına sırasıyla alt çeyrek ve üst çeyrek denilir. Üst çeyrek ve alt çeyrek arasındaki farka çeyrekler açıklığı denir.

Örnek: 2,4,6,7,10,14,16,18,20 veri grubunun çeyrekler açıklığını bulalım.

Önce grubun medyanını bulalım. 2,4,6,7,10,14,16,18,20 Grubun medyanı 10’dur. Medyanın üst ve alt gruplarının medyan değerlerini bulalım. Alt grup için: 2,4,6,7 alt çeyrek (4+6)/2=5 Üst grup için: 14,16,18,20 üst çeyrek (16+18)/2=17 Alt çeyrek ve üst çeyreklerin farkını bulalım. 17-5=12 veri grubunun çeyrekler açıklığı 12 olur.

İstatistiksel veri toplama

İstatistiksel araştırma sürecinde ikinci aşama veri toplama aşamasıdır. Toplanan veriler, düzenlenerek analize hazır hâle getirilir. Veri toplama planı yapma ve verileri analize hazır hâle getirme süreci, oluşturulan istatistiksel araştırma sorularına göre yapılmalıdır.

Veri toplamada dikkat edilmesi gereken özellikler:

a)    Araştırma sorularına cevap bulmayı sağlayacak veri toplama araçları belirlenmelidir.

b)    Evren ve örneklem belirlenmelidir.

c)    Rastgelelik sağlanmalıdır. Evrenin tamamına ulaşmak zaman, maliyet ve iş gücü bakımından zor olabilir. Belirlenecek örneklemden elde edilecek sonuçların evreni temsil etmesi gerekmektedir. Bu şekilde oluşturulmuş örneklemin evreni temsil etme gücü daha yüksek olur.

d)    Değişkenler belirlenmelidir.

e)    Verilerin nerede, hangi zaman diliminde, ne kadar sürede, kimler tarafından ve ne şekilde (yüz yüze, çevrim içi) toplanacağı belirlenmelidir.

f)     Verilerin hangi araçlarla, ne şekilde kayıt altına alınacağı belirlenmelidir.

g)    Veri toplama aracında kişisel verilerin korunmasına dikkat edilmeli, kişilerin haklarını ihlal edecek veriler toplanmamalıdır.

h)    İnsanların ve diğer canlıların sağlığını tehlikeye sokacak çalışmalar yapılmamalıdır.

i)      Araştırma için gerekliyse ilgili makamlardan resmî izin alınmalıdır. Ayrıca araştırmaya katılacak reşit olmayan katılımcının yasal vasisinden onay alınmalıdır.

j)      Araştırmacı veriler üzerinde oynama yapmamalı ve beklentisi doğrultusunda verileri değiştirmemelidir.

İstatistiksel araştırma süreci

Nicel veriler: Bir grubun özelliklerinin sayılması veya ölçülmesiyle elde edilen verilerdir. İstatistiksel araştırmalarda bağlam, verilere dayalı bilgi üretme ihtiyacı duyulan gerçek yaşam durumlarıdır.

İstatistiksel araştırma süreci, bağlama yönelik istatistiksel araştırma soruları oluşturmayla başlar ve bağlam sürecin tamamında önemli bir rol oynar. Bu nedenle gerçek yaşam durumlarından yola çıkılarak istatistiksel araştırmanın bağlamının belirlenmesi ve istatistiksel araştırma sürecinin bağlam doğrultusunda oluşturulması gerekmektedir.

Evren (Örneklem Uzayı): Araştırmanın kapsamında ele alınan araştırma sonuçlarının genellendiği topluluktur.

Değişken: Gözlemlenen elemanların birinden diğerine değişen veya farklılaşan özelliklerdir. 

Karatsuba Çarpım Algoritması

Çarpma işlemi, toplama işlemine göre daha karmaşık yapılı bir işlemdir. Çarpma işleminde sola kaydırma işlemi yaparak alt alta basamak sayısı kadar işlem yapılmış olur. Yani 3 basamaklı bir sayı ile 3 basamaklı bir sayı çarpılırsa 3²=9 kadar çarpma işlemi yapılır. 
4 basamaklı bir sayı ile 4 basamaklı bir sayı çarpılırsa 4²=16 kadar çarpma işlemi yapılır. 5 basamaklı bir sayı ile 5 basamaklı bir sayı çarpılırsa 5²=25 kadar çarpma işlemi yapılır. Bu şekilde devam edildiğinde n basamaklı bir sayı ile n basamaklı bir sayı çarpılırsa n² kadar çarpma işlemi yapılır. Bu nedenle klasik çarpma algoritmasında basamak sayısı arttıkça çarpım sonucunu bulmak daha zor hale gelir. Rus Matematikçi Anatoly Karatsuba, özellikle büyük basamaklı sayıların çarpımını daha kolay hesaplamak için yeni bir çarpım algoritması yazmıştır ve bu yönteme Karatsuba Algoritması adı verilmiştir. Bu algoritmada amaç; çarpılacak sayıları alt gruplara bölerek daha az sayıda işlem yaparak sonuca ulaşmaktır. 
 
Çarpma işlemi bilgisayar aritmetiğindeki en önemli işlemlerden biridir. Karatsuba algoritması, çarpma işlemini basitleştirerek işlemlerin verimliliğini arttırmak, işlem maliyetini ve süreyi azaltmak için geliştirilen algoritmalardan biridir. Klasik yöntemde n bitlik iki tamsayının toplanması O(n) bit işlemi gerektirmektedir. İki n bitlik tamsayının çarpılması ise O(n²) bit işlemi gerektirmektedir. Karatsuba algoritması iki n bitlik sayının çarpılması için böl ve fethet (divide and conquer) tekniğini kullanır ve bu algoritmada O(nlog3) bit işlemi gerekir. Karatsuba algoritması çarpma işleminde bazı çarpmaları yapmak yerine daha az maliyetli olan toplama ve çıkarma işlemleriyle değiştirerek işlem sayısını en aza indirmeyi sağlayarak işlemlerin daha hızlı sonuca ulaştırır. Karatsuba algoritması küçük basamaklı (dijit) sayılar için klasik çarpma algoritmasından daha yavaş çalışmaktayken daha büyük basamaklı sayılar için çarpma işlemi yapıldığında daha hızlı ve verimli bir sonuç sunar.
Karatsuba algoritması çarpma işlemine göre 2 basamaklı iki sayıyı çarpmak istediğimizde, önce sayıları anlamlı bloklara ayırıp işlemleri kolaylaştırırız. Yukarıda verilen akış şemasına göre önce onlar basamağındaki iki sayıyı çarparız. (A) Sonra sayıların birler basamaklarındaki sayıları çarparız. (B) Arkasından her iki sayının da basamaklarını toplayıp bunları kendi arasında çarparız.(C) Bütün sonuçlar bulunduktan sonra her iki sayının da basamaklarını toplayıp bunları kendi arasında çarptığımız sonuçtan (C) diğer bulduğumuz iki sonucu çıkartırız. D=(C-A-B). En sonunda ayırma işlemine göre bulunan A,B ve D sonuçlarını blok içinde bulunduğu onluk bölük içinde A.10n +D.10(n/2)+B biçiminde yazarak işlemi bitiririz. Burada klasik çarpmada 2 dijitli iki sayının çarpımında 2*2=4 işlem yapmak yerine sadece 3 çarpma işlemi yaparak daha kolay olan toplama ve çıkarma işlemleri ile sonuca ulaşılmış olur. Böylece bilgisayar programlamada büyük basamaklı sayılarda bu işlemleri yapmak zaman açısından daha verimli hale gelir.
Karatsuba algoritması çarpma işlemine göre 3 basamaklı (dijit) olarak verilen iki tane sayıyı çarpmak istediğimizde, önce sayıları anlamlı ikişerli uygun bloklara ayırıp işlemleri kolaylaştırırız. Yukarıda verilen akış şemasına göre önce bu bloklarda ayrı ayrı çarpma işlemi uygulayarak sonuca ulaşırız.
Karatsuba algoritması çarpma işlemine göre 4 basamaklı (dijit) olarak verilen iki tane sayıyı çarpmak istediğimizde, önce sayıları anlamlı ikişerl ikişer uygun bloklara ayırıp işlemleri kolaylaştırırız. Yukarıda verilen akış şemasına göre önce bu bloklarda ayrı ayrı çarpma işlemi uygulayarak sonuca ulaşırız.
Kaynakça
1.https://www.geeksforgeeks.org/karatsuba-algorithm-for-fast-multiplication-using-divide-and-conquer-algorithm/
2.https://brilliant.org/wiki/karatsuba-algorithm/
3.Karatsuba ve nikhilam çarpma işlemi algoritmalarının farklı bit uzunlukları için performanslarının karşılaştırılması, Can Eyüpoğlu, Ahmet Sertbaş, İstanbul Ticaret Üniversitesi Fen Bilimleri Dergisi Yıl:14 Sayı: 27 Bahar 2015 s. 55-64 
 

Türev ve Değişim Hızı

Türevde değişim oranı, bir fonksiyonun belirli bir noktadaki eğimini ifade eder. Matematikte türev, bir fonksiyonun herhangi bir noktadaki anlık değişim hızını hesaplamak için kullanılır. Değişim oranı fonksiyonun ne kadar hızlı değiştiğini gösterir ve genellikle bu değişim hızı, birim zamandaki değişimin büyüklüğü olarak ifade edilir. Türevde değişim oranı, bir fonksiyonun eğiminin o noktada ne kadar keskin olduğunu belirlememizi sağlar ve bu sayede optimize etme, modelleme ve analitik hesaplamalar gibi birçok alanda kullanılır.
Bir fonksiyonun bir aralıktaki değişim oranı, o aralıktaki fonksiyon değerlerinin farkının, o aralıktaki bağımsız değişkenin değerlerinin farkına bölünmesi ile hesaplanır.
Matematiksel olarak değişim hızı, (f(b) - f(a)) / (b - a) formülü ile ifade edilir, burada f(b) ve f(a) sırasıyla aralığın sağ ve sol uçlarındaki fonksiyon değerlerini, a ve b ise aralığın sağ ve sol uçlarındaki bağımsız değişken değerlerini temsil eder.
Bir fonksiyonun değişim oranı, o fonksiyonun belirli bir aralıktaki eğimi ya da artış hızını temsil eder. Bu değişim oranı genellikle iki nokta arasındaki eğimi ölçmek için kullanılır. Eğer bu oran (eğim) pozitif ise fonksiyon artıyor, (eğim) negatif ise fonksiyon azalıyor demektir. Değişim oranı, bir fonksiyonun davranışını anlamak ve analiz etmek için önemli bir kavramdır ve matematiksel modellemede ve çeşitli alanlarda sıkça kullanılır. Bağımsız değişkenler arasındaki ilişkiyi belirlemek ve trendleri anlamak için değişim oranı oldukça faydalı bir araçtır. Aşağıda konu ile ilgili çeşitli örnek soru çözümleri verilmiştir.

Örnek: Bir eşkenar üçgenin bir kenarı 4 cm/sn hızla büyümektedir. Bir kenar uzunluğu 12 cm olduğu anda alanının büyüme hızı kaç
cm²/sn  olur?
Örnek: Küre şeklindeki bir balon üzerinde bulunan bir delikten hava kaçırmaktadır. Balonun yarıçapı 6cm olduğu anda hacminin azalma hızı 24 cm³/sn olduğuna göre yarıçapının azalma hızı kaç cm/sn olur?
Örnek: Kare dik prizma şeklindeki cam su deposunun altında yer alan bir musluktan saniyede 3 m³ su boşalmaktadır. Buna göre depo içindeki suyun yüksekliğinin azalma hızı kaç m/sn olur?

Örnek: Başlangıçtaki yarıçapı 5 cm olan küre şeklindeki bir balon t = 0 anından itibaren geçen sürede t saniye sonra r=(80-t)/16 cm olacak şekilde içinden sürekli hava sızdırmaktadır. Buna göre, t= 40 iken içerdeki hava kaç cm³/sn hızla dışarı sızar?

Örnek: İçi tamamen su dolu olan taban yarıçapı 9cm ve yüksekliği 18 cm olan koni şeklindeki bir cisim tepe noktasındaki A noktasından delinip ters çevrildikten sonra içindeki su akmaya başlamıştır. Su yüksekliği 6 cm olduğu anda, kaptaki suyun yüksekliğine bağlı değişim oranı kaç cm³ olur?
Örnek: Bir pistte yer alan roket dik doğrusal hareket etmektedir. Başlangıçta zemine dik bir şekilde sabit bir noktada olan roketin, aynı zeminde bulunan bir A noktasına uzaklığı 80 m'dir. Roketin kalkış yaptıktan sonra aynı zemindeki başlangıç noktasına uzaklığı 60 m olduğu andaki değişim hızı 10 m/sn olduğuna göre roketin zeminde bulunan A noktasına olan uzaklığının değişim hızı kaç m/sn olur?
Örnek: Sokak lambasından 5 m/s hızla yürüyerek uzaklaşan ve boyu 2 metre olan bir kişinin lambadan uzaklığı 10 m olduğu anda bu kişinin gölgesinin ucu da 6 m/s hızla kendisinden uzaklaşarak hareket ediyorsa sokak lambasının boyu kaç m'dir?

Örnek: Dik üçgen biçimindeki oda yeniden düzenlenirken zemine dik olacak sekilde bir kontrplak zemine yerleştiriliyor. Yerleştiriken kontrplak duvara doğru ok yönünde saniyede 28 cm hızla hareket ettirildiğinde x uzunluğunun artma hızı kaç cm/sn olur?


Örnek: Boyu 5 metre olan dikdörtgen biçimli bir kutu duvara dayalı halde dururken kutunun alt kısmından çekildiğinde kutunun üst ucu duvardan ayrılmadan aşağıya doğru kaymaktadır. Kutunun alt ucu saniyede 8 cm hızla 3 metre kaydığında üst ucun kayma hızı kaç metre/sn olur?

Kadane Algoritması

Kadane Algoritması, belirli bir sayı dizisi içindeki maksimum alt dizi toplamını bulmak için kullanılan dinamik bir programlama tekniğidir. Dinamik Programlama, karmaşık bir problemi daha basit alt problemlerden oluşan bir koleksiyona bölerek, bu alt problemlerin her birini yalnızca bir kez çözerek ve çözümlerini bellek tabanlı bir veri yapısı (dizi, harita vb.) kullanarak saklayarak çözme yöntemidir. Yani bir dahaki sefere aynı alt problem ortaya çıktığında, çözümünü yeniden hesaplamak yerine, daha önce hesaplanan çözüme bakılır ve böylece hesaplama süresinden tasarruf edilir. Adını mucidi Jay Kadane'den alan algoritma; bilgisayar bilimi ve veri analizinden finans ve görüntü işlemeye kadar çeşitli alanlarda uygulamalara sahiptir. Algoritma 1984 yılında Jay Kadane tarafından önerilmiştir ve O(n) zaman karmaşıklığına sahiptir. 
Kadane Algoritması, belirli bir dizideki maksimum alt dizi toplamını bulmak için kullanılan doğrusal bir zaman algoritmasıdır. Bir alt dizi, dizi içindeki öğelerin bitişik bir alt kümesi olarak tanımlanır. Algoritma, pozitif ve negatif sayıları çok verimli bir şekilde ele alır, bu da onu alt dizileri içeren birçok sorunu çözmek yerine daha pratik çok yönlü bir çözüm aracı haline getirir.Kadane'nin algoritmasından önce, maksimum alt dizi problemini çözmek için tüm olası alt dizileri kontrol eden kaba kuvvet yaklaşımı ve böl ve yönet algoritması gibi başka algoritmalar önerilmişti. Ancak bu algoritmalar daha yüksek zaman karmaşıklığına sahiptir ve Kadane'nin algoritmasından daha az verimlidir. Kadane'nin Algoritmasının altında yatan mekanizmaları, Java kodu uygulamalarını, adım adım süreci, Kadane'nin algoritma leetcode'unu, C, C++'yi, zaman karmaşıklığını, avantajlarını ve dezavantajlarını, pratik uygulamaları ve daha fazlasını anlamanız sizin için faydalı olacaktır.

Kadane Algoritması, dizi üzerinde yineleme yaparak ve her konumda biten alt dizinin maksimum toplamını takip ederek çalışır. Her i konumunda, iki seçeneğimiz vardır: ya i konumundaki elemanı geçerli maksimum alt diziye ekleyin ya da i konumunda yeni bir alt dizi başlatın. Bu iki seçeneğin maksimumu i konumunda biten maksimum altdizidir.
Yazılım dilinde bu algoritma şu şekilde işler: Başlangıç toplamı max_so_far ve max_ending_here değerleri 0 olarak alınıp dizi öğeleri tek tek incelenir. Sırasıyla şu ana kadar görülen maksimum toplamı ve geçerli konumda biten maksimum toplamı takip etmek için max_so_far ve max_ending_here olmak üzere iki değişkeni her dizi elemanında korunur. Algoritma, her iki değişkeni de dizinin ilk öğesinden başlayarak sırasıyla değiştirir. Daha sonra dizinin elemanlarını aldıktan sonra geçerli toplamı maksimum toplamla kıyaslayarak ikinci öğeden dizinin sonuna kadar aynı işlemler tekrarlanır. Her i konumunda, geçerli öğenin maksimumunu ve önceki maksimum alt diziye eklenen geçerli öğeyi alarak max_ending_here'i güncellenir. Daha sonra max_so_far'ı max_so_far ve max_ending_here'nin maksimumu olacak şekilde güncelleme işlemine devam edilir. Geçerli toplam maksimum toplamdan büyük ise artık yeni maksimum toplam değeri buna göre güncellenir aksi halde önceki maksimum toplam aynı kalır. Algoritma, dizideki herhangi bir alt dizinin maksimum toplamı olan max_so_far değerini sürekli olarak döndürür. Dizinin son terimine gelince işlem biter ve maksimum toplamı veren alt dizi elde edilir.
Kadane Algoritmasını şöyle bir sayı dizisi örneğiyle gösterelim:
Giriş Dizisi: [-2, 1, 6, -3, 4, -1, -7, -3, 5] Bu dizinin maksimum altdizi toplamını bulmak istiyoruz. Bu sorunu çözmek için Kadane'nin algoritmasını uygulayabiliriz.
İki değişkeni başlatarak algoritmayı başlatıyoruz:
1) max_so_far: Bu değişken şu ana kadar gördüğümüz maksimum alt dizi toplamını takip edecektir. (Geçerli Toplam)
2) max_ending_here: Bu değişken mevcut endekste biten maksimum toplamı takip edecektir. (Max Toplam)
3) İlk başlangıç toplamı max_so_far ve  max_ending_here=0 olur. Daha sonra ikinci elemandan başlayarak dizi boyunca toplamları yineliyoruz: Öğe -2 ye gidip yeni toplam -2 olur. (0+(-2)=-2) [Sub:-2]
4) Geçerli öğeyi önceki toplama ekleyerek geçerli toplamı güncelleyin: Geçerli Toplam=0+(-2)=-2 [Sub:-2]
5) Şu ana kadar görülen maksimum toplamı güncelleyin: 0+(-2)=-2 olur.(Maksimum Toplam=-2) [Sub:-2, Max:-2]
6) Dizi boyunca ilerleyerek yerel toplam (Geçerli toplam) ve maksimum toplam sonuçlarını yinelemeye başlayalım.
Dizide öğe 1 elemanına gelince: Geçerli toplam -1 olur. (-2+1=-1)  [Sub:-1]
Maksimum toplam, geçerli toplam olan -1, max toplam -2 yi geçtiği için -1 olarak güncellenir. [Sub:-1, Max:-1]
7) Öğe 6 elemanına gidelim: Yeni geçerli toplamı 5 olur. ((-1)+6=5) Maksimum toplamı ise 5 toplamı önceki maksimum toplam olan -1 sayısını geçtiği için güncellenir ve maksimum toplam 5 olur.  [Sub:5, Max:5]
8) Öğe -3'e gelince:Yeni geçerli toplamı 2 olur. (5+(-3)=2) Maksimum toplamı ise 2 toplamı önceki maksimum toplam olan 5 sayısını  sayısını geçemediği için aynı kalır. Yeni maksimum toplam halen 5'tir. [Sub:2, Max:5]
9)Öğe 4'e gelince:Yeni geçerli toplamı 6 olur. (2+4=6) Maksimum toplamı 6 ise önceki max toplam 5'i geçtiği için yeniden güncellenir ve yeni maksimum toplam 6 olur. [Sub:6, Max:6]
10)Öğe -1'e gelince:Yeni geçerli toplamı 5 olur. (6+(-1)=5) Maksimum toplamı ise 5 toplamı önceki maksimum toplam olan 6 sayısını geçemediği için halen aynı kalır ve 6 olur. [Sub:5, Max:6]
11)Öğe -7'e gelince:Yeni geçerli toplamı -6 olur. (5+(-7)=-2) Maksimum toplamı ise -2 önceki maksimum toplam olan 6 sayısını geçemediği için aynı kalır. [Sub:-2, Max:6]
12)Öğe -3'e gelince:Yeni geçerli toplamı -5 olur. ((-2)+(-3)=-5) Maksimum toplamı ise -5 önceki maksimum toplam olan 6 sayısını geçemediği için aynı kalır. [Sub:-5, Max:6]
13)Öğe 5'e gelince:Yeni geçerli toplamı 0 olur. ((-5)+5=0) Maksimum toplamı ise 0 toplamı önceki maksimum toplam olan 6 sayısını artık geçemediği için aynı kalır. [Sub:0, Max:6]
Tüm dizi için bu işleme devam edip en son öğeye gelindiği için işlem biter. Bu örnekteki maksimum alt dizi, toplamının en büyük olduğu değer 6 olduğundan buna uygun bir alt dizi [-2, 1, 6, -3, 4] olur.
Java ve C++ programlamada Kadane Algoritması şöyle çalışır:
1)İki değişkeni, max_so_far ve max_ending_here'i 0'a başlatın.
2)Diziyi soldan sağa doğru yineleyin ve her öğeyi tek tek inceleyin.
3)Her öğe için, maksimum değer ya geçerli öğe ya da geçerli öğe ile max_ending_here'in toplamı olduğundan max_ending_here'i güncelleyin.
4)Max_so_far'ı mevcut max_so_far veya max_ending_here'in maksimumu kadar güncelleyin.
5)Dizideki tüm öğeler için 3. ve 4. adımları tekrarlayın.
6)Yinelemenin sonundaki max_so_far değeri maksimum altdizi toplamı olacaktır.
#include <iostream>
using namespace std;
int maxSubarraySum(int arr[], int size) {
  int maxEndingHere = arr[0];
  int maxSoFar = arr[0];
  for (int i = 1; i < size; i++) {
      maxEndingHere = max(arr[i], maxEndingHere + arr[i]);
      maxSoFar = max(maxSoFar, maxEndingHere);
  }
  return maxSoFar;
}
int main() {
  int nums[] = {-2, -1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4};
  int size = sizeof(nums) / sizeof(nums[0]);
  int maxSum = maxSubarraySum(nums, size);
  cout << "Maximum subarray sum: " << maxSum << endl;
  return 0;
}
Kaynakça:
https://www.tpointtech.com/kadanes-algorithm
https://www.simplilearn.com/kadanes-algorithm-article
https://www.interviewbit.com/blog/maximum-subarray-sum/
https://www.guru99.com/tr/largest-sum-contiguous-subarray.html
https://www.codecademy.com/resources/docs/general/algorithm/kadanes-algorithm
 

Eratosthenes Kalburu

Eratosthenes MÖ. 276-194 yılları arasında yaşamış bir Yunan bilgindir ve bilim tarihi boyunca pek çok alana önemli katkılar yapmıştır. En önemli buluşlarından biri, dünyanın çevresini etkin bir şekilde hesaplama yöntemidir. Bu yöntem kendi adıyla anılan "Eratosthenes kalburu" (veya Eratosthenes Gözü) olarak bilinir. 
Eratosthenes kalburu, antik dönemde yaşamış, matematik ve coğrafya alanlarında çalışmalarda bulunmuş Eratosthenes tarafından geliştirilmiş bir usturlab türüdür. Bir usturlab, genellikle gökyüzündeki cisimlerin yüksekliğini veya konumunu belirlemek için kullanılan bir astronomik alet türüdür. Usturlabın temel bileşenleri arasında genellikle bir halka şeklindeki ölçek, eğik bir iğne (çubuk) ve bir gözlem düzlemi yer alır. Gözlem düşey açıları ölçerken usturlabın halkasındaki ölçek ile referans alınarak gökyüzündeki nesnelerin konumları belirlenebilir. Geleneksel olarak denizcilikte de kullanılan usturlaplar, gökyüzündeki yıldızlar ve Güneş'in konumunu belirlemek için önemli bir araçtır. Eski zamanlarda oluşturulan usturlab modeli, Anadolu'da eş-benzerlik anlamına gelen "delik deseni" olarak da bilinir. Üzerinde çeşitli geometrik desenler bulunan bu modellerin genellikle astronomi bilimine ve çeşitli dini inanışlara hizmet ettiği düşünülmektedir. Anadolu'da bu delik deseni, seramiklerde, halı ve dokumalarda yaşatılarak, geometrik motiflerin kullanıldığı Anadolu çini sanatının özgün ve dikkat çekici bir özelliği haline gelmiştir. Dünyanın en eski tapınağı olarak kabul edilen, devasa taş sütunların bulunduğu dairesel yapısıyla tanınan Göbekli Tepe  de halk arasında "delik deseni" olarak da bilinir. Göbekli Tepe'deki delik desenleri, genellikle T şeklini temsil eder. Bazı araştırmacılar, bu delik desenlerinin astronomik gözlemlerle bağlantılı olduğunu düşünmektedir.
Eratosthenes kalburu, bir çeşit usturlab tekniğine dayanan dünyanın çevresini ve çapını yaklaşık olarak hesaplamak için kullanılan bir yöntemdir. Esas amacı güneş ışınlarının dik geldiği noktayı belirlemek ve mesafe ölçmek içindir. Bu yöntemde, aynı anda güneşin ışınlarına maruz kalan iki farklı noktadaki gölgelerin oluşturduğu açıya dayanarak yeryüzündeki bir noktanın enlemini hesaplamak mümkündür. Bu sayede, dünyanın çevresi ve çapı hakkında önemli bilgiler elde edilir. 
Eratosthenes, icat ettiği bu kalbur yardımıyla güneş ışınlarının dünya üzerinde dik geldiği noktayı ölçerek yaptığı hesaplamalarla dünya yüzeyinin çevresini günümüz dünyasındaki verilere göre kısmen doğru bir şekilde hesaplamış ve bugünkü coğrafyanın gelişimine önemli katkılarda bulunmuştur.
Eratosthenes'in bu kalbur yöntemini kullanması, Asvan ve İskenderiye gibi iki farklı yerleşim yerinin güneş ışınlarından nasıl etkilendiğini gözlemleyerek oldu. Raweh'deki (günümüzde Asvan) yaz günlerinde güneşin tam bir kuyu dibine düşmek suretiyle kuyunun dibini aydınlattığını gözlemledi. Ancak İskenderiye’de aynı tarihlerde güneş tam tepeden gelmediğini ve yer ile bir açı yaptığını gördü. Buna dayanarak Eratosthenes, yeryüzündeki Mesir (Assuan) şehrine dik bir kuyu (direnge) açarak, o kuyunun dibindeki çubuğa (dikme) dolan güneşin gölgesini ölçerek Güneş’in o yerden yüksekliğini hesapladı. Bu ölçüm sonucunu, yanındaki kentin gölgesiyle karşılaştırarak, kentin Güneş'e olan mesafesini hesapladı. Eratosthenes, daha sonra bu iki yerleşim yeri arasındaki mesafeyi hesapladı. Bu yöntemlere aynı şekilde devam ederek dünyanın çapını hesapladı Eratosthenes, dünyanın çevresini bulmak için bugünün biliminde bilinen trigonometrik hesaplamaların benzerlerini kullandı. Böylece dünyanın çevresini yaklaşık olarak 40000 km (39,375 km) olarak hesaplamış oldu ki bu ölçüm sonucu güncel bilgilere göre yaklaşık olarak doğrudur. 
Eratosthenes, Mısır'da gerçekleştirdiği ölçümlerde kullandığı yöntem, Firavun Ptolemy III tarafından desteklenmiştir. Eratosthenes Kalaburu, dünyanın çevresini doğru bir şekilde hesapladığı için yaşadığı dönem açısından önemli bir buluş olarak kabul edilir.
Eratosthenes'in yöntemini günümüzde kullanmak istediğimizde bu yöntem şöyle işler: İlk olarak, aynı anda güneş ışınlarının dik olarak düştüğü iki farklı konum veya noktada  (örneğin, bugün Türkiye ve Mısır arasında aynı anda iki çubuk dikilir) birer çubuk dikilir. Ardından, bu çubuklara göre güneş ışınlarından çubuğun gölgesinin uzunluğu tam olarak ölçülür. Aynı anda diğer yerde bulunan çubuğun gölgesinin uzunluğu da ölçülür. Bu sayede, iki gölge uzunluğu arasındaki farktan hareketle güneş ışınlarının bu iki noktaya geliş açıları bulunur. Bugün bildiğimiz trigonometrik toplam ve fark formülleri kullanılarak bu yerlerin güneşe uzaklıkları ve dünyanın şekli baz alınarak da dünyanın çapını ve çevresini hesaplamak mümkün hale gelir. 
Eratosthenes, asal sayıları hızlı bir şekilde belirlemek için de bir algoritma oluşturmuştur. "Eratosthenes kalburu" adı verilen yöntem ve asal sayıların tespitinde kullandığı algoritma, yazılım dünyası için bir döngü oluşturması açısından önemli bir buluştur. Bu yöntemde, bir sayı kümesindeki asal olmayan sayılar eleme yoluyla belirlenir. İlk adımda 2'den başlayarak sırasıyla tüm katları çıkarılarak elenir ve kalan sayılar asal olarak kabul edilir. Bu basit ve etkili yöntem, asal sayıları belirlemede yaygın olarak kullanılmaktadır. Eratosthenes'in keşfi, asal sayıları hızlı ve verimli bir şekilde belirlemede oldukça kullanışlıdır. Bu algoritma, bilgisayar biliminde ve kriptografi gibi alanlarda da yaygın olarak uygulanmaktadır. Eratosthenes kalburu, asal olmayan sayıları hızla eleme yöntemiyle çalışır ve büyük sayılar üzerinde de etkili bir şekilde işlev görür. 
Eratosthenes kalburu yoluyla asal sayıları bulmak için aşağıdaki adımlar sırayla izlenir:
1. İlk olarak, istenen belirli bir aralık içindeki sayıları bir liste şeklinde sıralarsınız. Örneğin 1 den 100'e kadar olan sayılardan asal olanları bulmak istiyorsak bütün bu sayılar sıralanır.
2. Listenin ikinci elemanından itibaren başlayarak, her bir sayının katlarından başlayarak listeden çıkartırsınız. Örneğin, listemizde ikinci sayı 2 olduğundan tüm 2'nin katı olan sayıları listeden çıkarırsınız. Geriye sadece tek sayılar ve 2 elemanı kalır.
3. Her seferinde bir sonraki elemandan başlayarak işlemi tekrar ederek, liste üzerinde ilerlersiniz. Her adımda yeni bir asal sayı ortaya çıkar. Listede 3 sayısına geçirip bunun katları tek tek elenir. Sonra 5 sayısına geçilip bunun katları elenir. Bu şekilde devam edilir.
4. İşlem sonucunda listenin son elemanına ulaşıncaya kadar devam edersiniz. Elenmeden kalan sayılar asal sayılardır.
Yazılım algoritması yardımıyla aşağıdaki işlem adımları ile elde edilir. 
1. adım: 2’den belirlenen bir n tamsayı değerine kadar ardışık tamsayılardan bir liste oluşturun. (n=100 olsun)
2. adım: Başlangıçta en küçük asalsayı olan 2’yi alarak işleme başlayın. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15,... Oluşturulan listeden 2’nin tüm tam katlarını bulup (4,6,8,10,12,…) işaretleyerek listeden çıkarın.
3. adım: İşaretlenmemiş bir sonraki sayıyı alın, örneğin 3 ve tüm tam katlarını (6,9,12,15,18,....) işaretleyip bunları listeden çıkarın. 
4. adım: Aynı işlemlere 3.adımı algoritma sonlanana kadar tekrarlayarak devam edin. Tümsayılar işaretlenmişse veya bir sonraki işaretlenmemiş sayı artık bulunamıyorsa durun. 
5.adım: Listede işaretlenmemiş olarak kalan sayılar, n=100 tamsayısına kadar olan tüm asal sayılar bulunmuş olur. Artık İşlem tamamlanmıştır. Kalan asal sayıları yazarak işlemi bitirin.
Bu eleme yöntemi, asal sayıları belirlemek için oldukça etkili ve hızlı bir yöntemdir. Eratosthenes kalburu, küçük aralıklardaki asal sayıları bulmak için yaygın olarak kullanılan bir algoritmadır.Büyük aralıklarda bu yöntem, matematik ve bilgisayar bilimlerinde temel bir konsept olup, bugün bile önemini korumaktadır. Eratosthenes'in bu akıllıca icadı, sayı teorisindeki gelişmelere büyük katkı sağlamıştır.

Matrisler nerede kullanılır?

Matrisler, lineer cebir, istatistik ve mühendislik gibi çeşitli matematiksel konularda yaygın bir şekilde kullanılır. Matris, matematikte genellikle gelecekteki bir dizi işlemde işimize yarayan verileri düzenli bir şekilde saklayarak kolay erişim ve işlem yapmamızı sağlar. Matris, matematikte birçok sayısal veriyi düzenli bir şekilde gruplamak için kullanılan bir yapıdır. Her bir eleman pozisyonu belirli bir sayısal değeri temsil eder ve matris işlemleri kullanılarak çeşitli matematiksel hesaplamalar, şifre algoritmaları, denklem çözümleri yapılabilmektedir. Matrisler, lineer cebir, istatistik, grafik teorisi gibi birçok alanda kullanılır. Örneğin, bilgisayar grafiklerinde dönüşüm matrisleri kullanılır. Matrisler ayrıca katlı denklem sistemlerinin çözümünde, veri analizinde ve mühendislik problemlerinde de yaygın olarak kullanılır. Matrisler Edebi metinler, sanat ve estetik konularına da ilham olmuştur. Mesela Cihan devleti Osmanlı'nın büyük sultanı askeri dehasının yanında edebi niteliğini de ortaya çıkaran Yavuz Sultan Selim, matrislerdeki transpoz işlemine benzer nitelikte ünlü bir şiir örneği yazmıştır.(Bkz. Yavuz Sultan Selim Şiiri (Bkz. Yavuz Sultan Selim Şiiri)

Şifreleme işlemlerinde matrisler kullanılır. Şifrelemede veriyi daha karmaşık hale getirmek için matris biçimleri kullanılır. Örneğin, veriler matrislere yerleştirilir ve belirli bir algoritma kullanılarak şifrelenir. Şifre çözme işlemi ise aynı algoritmayı kullanarak matris üzerinde ters işlemler yaparak gerçek veriye ulaşmayı sağlar. Bu şekilde matrisler, şifreleme algoritmalarında verinin gizliliğini artırmak için kullanılır. Matrislerin boyutları, verinin nasıl parçalara ayrılacağı ve karmaşıklaştırılacağı konularında belirleyici bir rol oynar. Matris kullanarak şifreleme yöntemleri arasında en yaygın olanları, Hill Cipher ve Playfair Cipher'dir. Hill Cipher'da, metin blokları matrisler olarak işlenir ve matrisler arasında modüler aritmetik işlemleri yapılır. Hill cipher, matris işlemlerini kullanarak metinleri şifrelemek veya çözmek için kullanılır. Matrislerle çalışarak her harfi sayıya çevirip matris çarpımıyla şifreleme işlemi gerçekleştirilir.

Hill cipher, çoklu formların kullanıldığı bir blok şifreleme tekniğidir. Anahtar matrisleri kullanılarak metin blokları üzerinde matris çarpımı işlemi gerçekleştirilir. Bu işlemle metin bloğu şifrelenir ve ardından şifreli metin bloğu elde edilir. Hill cipher şifresini oluşturmak için şu adımları takip edebilirsiniz: 1. Anahtar şifre çözücü matrisini oluşturun: İlk adım, şifreleme için kullanılacak anahtar matrisini oluşturmaktır. Bu matris, metni şifrelemek ve ardından şifreyi çözmek için kullanılacaktır. Genellikle tüm matris elemanları mod 26'ya göre olan tam sayılar içeren bir matris olmalıdır. 2. Metin bloğunu oluşturun: Şifrelenecek metni bloklara bölme işlemi yapın. Bloklar genellikle belirli bir boyuta sahip olmalıdır. Burada boyut işlemine kullanıcı karar verir. 3. Her bloğu uygun biçimde şifreleyin: Her metin bloğunu anahtar matrisiyle çarpın. İşlem sonucunda şifreli metin bloğu elde edilecektir. 4. Şifreli metin bloklarını birleştirin: Her bloğu şifreledikten sonra şifreli metin bloklarını birleştirerek tam şifreli bir metin elde edebilirsiniz. Hill cipher, daha karmaşık şifreleme yöntemlerinden biri olduğu için doğru bir şekilde uygulamak ve anahtar matrisini düzgün bir şekilde oluşturmak önemlidir. Şifreleme ve şifreyi çözme işlemlerini doğru bir şekilde gerçekleştirmek için dikkatli olmak gerekir.

Playfair şifreleme tekniği, klasik bir matris şifreleme tekniğidir. Playfair şifrelemesi, iki harfli blokları kullanan bir şifreleme oluşturur. Metindeki harfleri dönüştürmek için bir anahtara dayanır ve genellikle bir 5x5 kare matrisi kullanılarak şifreleme işlemi gerçekleştirilir. Aynı kare matrisi içinde bulunmayan iki harf için kurallar belirlenir ve bu kurallara göre metin şifrelenir. Matriste harflerin yer değiştirmesiyle anahtar kelime oluşturulur. Metin, çift harfler halinde gruplandırılır ve değiştirilerek yönergeler doğrultusunda şifreleme işlemi gerçekleşir. Daha güçlü olabilmek için tekrarlanan harflerin arasına rastgele ekstra harfler konabilir. Güçlü ve basit bir yöntem olmasına rağmen, modern şifreleme yöntemleri tarafından güvenlik açısından önerilmemektedir. Playfair şifrelemesi, tarihsel olarak askeri ve diplomatik iletişimde kullanılmıştır, ancak günümüzde daha güvenilir şifreleme teknikleriyle yer değiştirmiştir.

Mühendislikte, matrisler, birden fazla denklemi ve bilinmeyeni içeren sistemleri modellemek ve çözmek için kullanılır. Matrisler aynı zamanda mühendislik problemlerini analiz etmek, verileri işlemek, görselleştirmek ve dönüştürmek için de önemli bir araçtır. Matrisler, doğrusal cebirde ve sayısal analizde geniş bir uygulama alanına sahiptir ve mühendislerin karmaşık problemleri çözmelerine yardımcı olur. Bu nedenle, matrisler mühendislik alanında temel bir matematik aracı olarak kullanılır.

Kimya alanında, matris kullanımı genellikle kimyasal denge, reaksiyon kinetiği, moleküler yapının analizi gibi konularda karşımıza çıkar. Matrisler, kimyasal denge denklemlerinin matematiksel olarak çözülmesi, reaksiyon hızlarının belirlenmesi ve kimyasal bileşenler arasındaki etkileşimlerin incelenmesi gibi birçok alanda kullanılabilir. Örneğin, kimyasal reaksiyonlarda matrisler, farklı reaksiyon hızlarını temsil eden denklemler halinde kullanılabilir. Bu denklemler matris formunda ifade edilip, reaksiyonların gidiş yönü ve hızı hakkında bilgi sağlayabilir. Ayrıca moleküler yapının analizi için matrisler kullanılarak, kimyasal bileşikler arasındaki bağların gücü, uzunluğu ve türü gibi özellikler incelenebilir. Matrisler, kimyanın matematiksel modellenmesinde ve analizinde önemli bir araçtır ve çeşitli kimya problemlerinin çözümünde başvurulan bir yöntemdir. Matrisler ayrıca spektroskopik verilerin işlenmesi ve kimyasal sistemlerin dinamik modellemesi için de kullanılır. Kimya alanındaki hesaplamalarda matrislerin etkin kullanımı, karmaşık sistemleri daha iyi anlamamıza ve tahmin etmemize olanak tanır. Matrisler, kimyanın analitik, deneysel ve teorik yönlerini bir araya getirerek kapsamlı bir analiz ve çözüm sağlar.

Fizikte matrisler, denklemleri ve sistemleri etkili bir şekilde modellemek için sıkça kullanılır. Örneğin, hareket denklemleri matris formunda yazılabilir ve bu şekilde karmaşık fizik problemleri çözülebilir. Matrisler aynı zamanda elektrik devre sistemleri, titreşim analizi, moment denge denklemleri, elektrik alan Maxwell denklemleri, manyetizma, ışığın kırılması, akışkan dinamiği, ısı transferi ve kuantum mekaniği gibi çeşitli fizik alanlarında da yaygın olarak kullanılır. Matrisler ayrıca vektörlerin dönüşümlerini temsil etmek, vektör ve tensor hesaplamaları yapmak ve veri analizinde kullanılmak gibi alanlarda da önemlidir.

Biyoistatistik ve genetik konularında matrisler sıkça kullanılır. Genetikte, gen ekspresyon verileri veya DNA dizileri matrisler şeklinde temsil edilebilir. Biyolojik organizmaların benzerliklerini veya farklılıklarını incelemek için matrisler kullanılır. Ayrıca filogenetik analizlerde, taksonomik ilişkileri göstermek için evrimsel ağaçlar matrislerle oluşturulur. Örneğin, genetik değişkenlikleri karşılaştırmak için amino asit dizileri matrislerde kıyaslama yapılabilir. Matrisler ayrıca protein-etkileşim ağları, hücresel sinyal iletimi ve metabolik yollar gibi biyolojik süreçlerin modellenmesinde de kullanılır. Genetik araştırmalarda ve epidemiyolojide matrisler sıkça kullanılır. Genetik araştırmalarda genetik benzerlikleri göstermek için genetik matrisler kullanılırken, epidemiyolojide hastalık yayılımını ve etkileşimleri analiz etmek için kullanılır. Matrisler, genetik verileri depolamak, analiz etmek ve genetik ilişkileri incelemek için etkili bir araçtır. Aynı zaman da protein-protein etkileşim ağlarını modellemek ve anlamak için sistem biyolojisi alanında da yaygın olarak kullanılırlar.

| Devamı... 0 yorum

Trigonometri nerede kullanılır?

Trigonometri, matematikte ve mühendislikte sıklıkla kullanılan bir bilim dalıdır. Trigonometri, üçgenlerin açıları ve kenarları arasındaki ilişkileri inceleyen bir matematik konusudur. Pratikte trigonometri, karmaşık geometri problemlerini çözmede, açıları ve mesafeleri hesaplamada, dalga analizinde, mühendislik projelerinde, bilgisayar grafiklerinde, astronomik hesaplamalarda ve fizik problemlerinde yaygın olarak kullanılır. Astronomi, jeodezi, coğrafya ve mimarlık gibi birçok alanda da trigonometriye çok fazla ihtiyaç duyulmaktadır.
Trigonometri, grafik çizimi, açı hesabı ve doğrusal olmayan farklı tipteki problemleri çözmede çok faydalıdır ve özellikle dalgalı hareketleri, periyodik olayları veya dairesel hareketleri modellemek için kullanılır. Bu nedenle ses mühendisliği, elektrik mühendisliği, havacılık, denizcilik gibi alanlarda trigonometri önemli bir rol oynar. Ayrıca trigonometri, GPS ve uydu iletişimi gibi modern teknolojilerde de yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu nedenle, trigonometri pek çok alanda hayati bir öneme sahiptir.

İntegral nerede kullanılır?

İntegral, matematikte bir fonksiyonun alanını veya toplamını bulmak için kullanılan bir kavramdır. Belirli integral, belirli bir aralıktaki fonksiyonun alanını hesaplamak için kullanılırken, belirsiz integral ise bir fonksiyonun genel çözümünü elde etmek için kullanılır. İntegral hesaplamaları, diferansiyel denklemler, olasılık hesapları, fizikteki alan hesapları, mühendislik uygulamaları gibi pek çok alanda sıkça kullanılmaktadır. 

İstatistik alanında integral, sürekli dağılımların altında kalan alanı hesaplamak için kullanılır. Örneğin, bir olasılık yoğunluk fonksiyonunun altındaki alanı hesaplamak için integral kullanılabilir. Ayrıca, ortalama değer, varyans gibi istatistiksel hesaplamalar da integral kullanılarak elde edilebilir. İntegral, kesikli verileri sürekli hale getirerek istatistiksel analizdeki hesaplamaları daha doğru ve kapsamlı hale getirir. İntegral, istatistiksel analizde sürekli değişkenlerin davranışını anlamak ve modeller oluşturmak için güçlü bir araçtır. İntegral, verilerin sürekliliğini göz önünde bulundurarak daha doğru analizler yapılmasını sağlar ve istatistiksel tahminlerin güvenilirliğini artırır.

| Devamı... 0 yorum

Logaritma nerede kullanılır?

Logaritma, matematikte ve diğer bilim dallarında kullanılan önemli bir kavramdır. Logaritma, matematikte özellikle büyük sayılar ve karmaşık hesaplamaların daha basit şekilde ifade edilmesi için kullanılır. Bilimsel hesaplamalar, mühendislik, istatistik, ekonomi gibi alanlarda da sıkça karşımıza çıkar. Logaritma, sayılar ve oranlar arasındaki ilişkileri daha okunaklı bir şekilde ifade etmek, hesaplama adımlarını kolaylaştırmak için epey yardımcı olur. Logaritma ayrıca ses, ışık ve elektrik dalgalarının ölçülmesinde de önemli bir rol oynar. Ses ve elektrik mühendisliği alanlarında logaritma kullanılarak ses seviyeleri, voltaj düşüşleri ve amplifikasyon faktörleri hesaplanır. Optik alanında, ışığın yoğunluğunu, optik filtrelerin etkinliğini ve görüntü işleme algoritmalarında logaritma sıklıkla kullanılır. Coğrafyada, deprem şiddetinin ölçülmesinde Richter ölçeği logaritmik bir ölçek kullanır. Yani logaritma, genel olarak birçok bilim ve mühendislik disiplininde karmaşık verileri daha anlaşılır bir şekilde analiz etmek için yaygın olarak kullanılan önemli bir araçtır.

| Devamı... 0 yorum

Çember ve daire nerede kullanılır?

Çember ve daire, günlük hayatta birçok farklı alanda kullanılmaktadır. İşte çember ve dairenin kullanıldığı bazı alanlar:

1. Matematik: Çember, geometrinin temel şekillerinden biridir ve birçok matematiksel problemde ve formülde yaygın olarak kullanılır.

2. Saatler: Saat kadranı bir çember şeklinde olduğundan, saatin zamanı göstermesi için çemberi temel alır. Saat çerçevesi 360⁰ lik açı 12 eşit parçaya bölünerek saat kısımları işaretlenir. Dairesel şekil, doğrusal olarak kabul edilir ve ibrelerin hareketleriyle uyumludur. Çünkü, ibreler de dairesel bir şekilde, saatin her yerinde aynı mesafeyi koruyarak hareket etmek zorundadır. Bu sebeple saatler yuvarlak olarak tasarlanmıştır. Modern saat ürünlerinin geçmişteki güneş saatlerinden alınan ilhamla yuvarlak şekilde dizayn edildiği de söylenebilir. 

3. Trafik işaretleri: Trafik ışıkları ve yol işaret levhaları, uyarı levhaları genellikle çember ve daire şeklinde düzenlenir. Araçların tekerlekleri çember şeklindedir. 

Türev nerede kullanılır?

Türev, matematikte fonksiyonların anlık değişimini analiz etmek için kullanılan bir kavramdır. Özellikle diferansiyel denklemler, optimizasyon ve fizik problemlerinde yaygın olarak kullanılır. Türev, bir fonksiyonun hangi hızda değiştiğini veya eğiminin ne olduğunu belirlemek için gereklidir. Örneğin, mühendislik alanında hız, ivme ve akış hızlarının hesaplanmasında türev kullanılır. Finansal analizde, risk yönetimi ve portföy optimizasyonunda türev kavramı önemli bir rol oynar. Türev, bir fonksiyonun grafiğinde belirli bir noktadaki teğetin eğimini temsil eder ve genellikle hız, ivme veya değişim oranı gibi kavramları ifade etmek için kullanılır. Türev, bir fonksiyonun hangi yönde ve ne kadar hızla değiştiğini anlamamıza yardımcı olur. Bir fonksiyonun türevini almak için, o fonksiyonun değişim hızını hesaplamak gerekir ve bunun için limit alınır. 

Fizikte, bir değişkenin başka bir değişkene göre nasıl değiştiğini gösteren temel kavramlardan biri olan türev, "anlık değişimi" ifade eder. Bir cismin konumunu zamanla değiştiren bir fonksiyonda türev almak, cismin anlık hızını verir. Burada hız, konum fonksiyonun türevidir. Benzer şekilde, hızın zamana göre değişimi olan ivmeyi bulmak için de hız fonksiyonun türevi alınır. Türev, fizikçilerin nesnelerin hareketini ve değişimini anlamalarına yardımcı olur. Ayrıca, türev; manyetizma, elektrik ve diğer fizik alanlarındaki değişkenlerin üzerinde de kullanılır. Türev, diferansiyel denklemlerle birlikte kullanılarak birçok fizik probleminin çözümünde önemli bir rol oynar. 

Üslü sayılar nerede kullanılır?

Üslü sayılar, matematikte kuvvetlerin basit ve etkili bir şekilde ifade edilmesinde kullanılır. Üslü sayılar sayesinde bir sayının bir başka sayı ile çarpılacağının kaç kez olduğu ifade edilir. Bu kavram, matematik problemlerini ve formülleri daha kompakt ve okunabilir hale getirir. Üslü sayılar, matematikte sıkça kullanılan bir kavramdır. Özellikle büyük sayıları daha kolay ve kısa bir şekilde ifade etmek için kullanılır. Bilimsel hesaplamalarda, mühendislik problemlerinde, fizik, jeoloji, coğrafya, biyoloji, kimya, istatistik, iktisat, ve astronomi gibi alanlarda da sıkça karşımıza üslü sayılar çıkar. Üslü sayılar, kuvvet ve kök işlemlerinde temel rol oynarlar ve hesaplamaları kolaylaştırır. Ayrıca bilgisayar programlama, veri şifreleme gibi alanlarda da üslü sayıların önemli rolü vardır.

Günlük hayatta pek işlevi olmasa da bazı bilim dallarında gösterilen çok büyük sayıları yazı dilinde kullanırken genellikle üslü yazım tercih edilir.

10³ Bin

10⁶ Milyon

10⁹ Milyar

10¹² Trilyon

10¹⁵ Katrilyon

10¹⁸ Kentilyon

10²¹ Sekstilyon

10²⁴ Septilyon

10²⁷ Oktilyon

10³⁰ Nonilyon

10³³ Desilyon

Sayıların bilimsel gösterimi bir sayının mantissa ve üs olmak üzere iki kısımdan oluşan matematiksel bir gösterimidir. Mantissa, sayının önünde yer alan ondalıklı rakamların tümünü ifade eder ve 1 ile 10 arasında bir sayıdır. Üs ise bu sayının sağa veya sola kaç basamak kaydırılması gerektiğini belirten 10'un pozitif veya negatif kuvvetini ifade eder. Bu bilimsel gösterim sayesinde, büyük sayılar daha kompakt bir şekilde yazılabilir. Örneğin, 123.000.000 sayısı bilimsel gösterimle 1,23.10⁸ olarak yazılabilir. Bilimsel gösterimde sayılarda bir mantissa (ön ek) ve üs olmak zorundadır. 3650 sayısı, bilimsel gösterimde yazıldığında mantissa 3,65 ve üs 10³ olur bunlar birlikte çarpım halinde 3,65.10³ şeklinde yazılır.

Dörtgenler nerede kullanılır?

Dörtgen şekiller, günlük hayatta pratiklik sağlamak için sıkça kullanılır. Örneğin, ev dekorasyonunda halı, perde, duvar tabloları gibi dekoratif eşyaların dikdörtgen formdaki olması genel bir tasarım tercihidir. Ayrıca günlük eşyalarımızın yerleştirilmesi için kullanılan çekmeceler, raflar, kutular da özel dörtgen formlarında olabilir. Böylece eşyalar geometrik olarak daha düzenli bir şekilde saklanabilir. Dörtgen şekilleri aynı zamanda inşaat sektöründe yapıların planlanması ve tasarımında da sıkça kullanılmaktadır. Dörtgenler, günlük hayatta birçok farklı alanda kullanılır. İşte bazı örnekler:

1. Evler, mobilya ve dekorasyon: Evlerde mobilyaların tasarımında, halı ve perde kesiminde, pencere ve kapı açıklıklarında dörtgenler sıkça kullanılır. Parkeler, fayans ve seramikler genellikle özel dörtgen formunda kesilir. Priz ve anahtar yuvaları, asma ve gergi tavan, aydınlatma ve avize tasarımlarında dörtgen biçimleri kullanılır. 

Analitik geometri ne işe yarar?

Analitik geometri, matematiksel ve geometrik problemleri cebirsel yöntemlerle çözmeye yardımcı olan bir alanıdır. Bu konsept, noktaların ve şekillerin koordinatlarını açıklayarak, bunların birbiriyle olan ilişkilerini analiz etmeyi sağlar. Özellikle fizik, mühendislik ve bilgisayar bilimleri gibi alanlarda kullanılan analitik geometri, karmaşık problemleri daha kolay bir şekilde çözmeyi ve görselleştirmeyi sağlar. Bu sayede, uzayda ve düzlemdeki objelerin konumlarını, uzaklıklarını ve ilişkilerini anlamada büyük bir kolaylık sunar.

Cahit Arf: Makine düşünebilir mi?

Cahit Arf, Türkiye’nin önde gelen matematikçilerinden biri olarak yalnızca soyut matematikte değil, aynı zamanda düşünce sistematiği ve bilim felsefesi alanlarında da önemli görüşler ortaya koymuştur. (Cahit Arf'ın hayatı ve çalışmaları için: Bkz. Cahit Arf) 
Cahit Arf, 1959 yılında Atatürk Üniversitesi’nde vermiş olduğu “Makine Düşünebilir mi ve Nasıl Düşünebilir?” başlıklı konferans, Türkçe literatürde yapay zekâ ve bilişsel sistemler hakkında yapılmış en erken ve en özgün bilimsel düşünce örneklerinden biri olarak kabul edilmiştir. Cahit Arf, konuşmasında Türkiye’deki bilimsel düşüncenin “pozitif zihniyet” üzerine inşası gerektiğini vurgulamış ve bu bağlamda bilimsel düşünmeyi bir yaşam biçimi olarak değerlendirmiştir. Böylelikle söz konusu metin, yalnızca teknik bir açıklama değil, aynı zamanda bilimsel bir manifesto niteliği taşımıştır. Cahit Arf, “akl-ı selim” kavramını merkeze alarak, bilimsel düşünmenin temelinde dogmalardan arınmış, sabırlı ve sistematik bir sorgulama biçiminin yer alması gerektiğini belirtmiştir. 

Gündelik Hayatta Elips Biçimleri

Elips; geometrik şekli gündelik hayatta sıklıkla karşılaştığımız matematiksel formlardan birisidir. Aşağıda resimlerini gördüğümüz pek çok eşya karşımıza çıkan farklı elips formlarına birer örnek teşkil edecek durumda bizlerin istifadesine sunulmuştur. Sizlerde buna benzer pek çok alanda kullanılan geometrik elips formlarını gözlemleyebilirsiniz.

Elips Ayna

Elips Profil Demirleri

Elips Sehpa

Elips Asma Tavan

Elips Havuz

Elips Masa

Elips Bina

Elips Halı

Elips Gözlük

Elips Dolap

Elips Tabela

Elips Lavabo

Elips Kumbara

Elips Yüzük

Elips Avize

Elips Kase/Şekerlik

Elips TV Ünitesi/Kitaplık

Elips Kulp

 

Elips Araba Markası

Elips Saat

Aşağıdaki Yazılar İlginizi Çekebilir!!!