Matematik Eğitiminde Yapılandırmacılık

"Öğrenmenin yapılandırmacı teorisi; bizler kendi kendimize öğrenirken yeni bilgiyi aktif bir şekilde inşa ettiğimizi ifade eder. Bu öğrenme teorisine göre, öğrenme= inşa etmedir. Bizler geçmiş deneyimlerimizin zeminindeki duyusal verilerle etkileşime geçerek yeni bilgiler inşa ederiz. (http://mia.openworldlearning.org/constructivism.htm adresinden alıntıdır.) Papert: “Yapılandırmacılık çocukların daha önce yaptıklarından daha iyi şeyler yapmaları için onlara iyi şeyler vermektir.” der. Böylelikle anlarız ki yapılandırmacılık çocuğun, gencin sahip olduğu, ulaştığı verilerle birlikte kendi potansiyelini bütünleştirip özgün bir anlayış ortaya çıkarmasıdır.

Yapılandırmacılığın temellerinden de kısaca bahsedecek olursak; yapılandırmacılığın anlamını netleştirmek için, Good, Wandersee, ve St. Julien (1993) yapılandırmacılığın önüne on beş farklı sıfat koymuştur: bağlamsal, diyalektik, deneysel, insancıl, bilgi işleyen, metodolojik, ılımlı, Piaget’nin öne sürdüğü, epistemolojik, yararcı, radikal, rasyonel, gerçekçi, sosyal, sosyo-tarihsel şeklindedir. Pek çok terim kavramlarla ve varsayımlarla örtüşürken, diğerleri kelime anlamları bakımından farklılıklara sahiptir. Paul Ernest’in de tanımladığı gibi zayıf yapılandırmacılık, nesnel bilginin varlığını kabul ederek kendi bilgisini yapılandırmayı varsayar. Buna ek olarak radikal yapılandırmacılık, kişisel bilgiyi sürekli adaptasyon ve yeniden oluşum olarak varsayar. Bu anlayışa göre bilgi problem haline getirilir. Sosyal yapılandırmacılık da ise bireysel bilgi ve sosyal bilgi tek bir halinde bütünleştirilir. (Ishii, Drew K., 2003).

Öyle görünüyor ki yapılandırmacılık pek çoklarına göre matematik alanına ters görünüyor. Çünkü matematikte gerçek, kesin sonuçlar, prensipler, teoremler ve değişmez kurallar var. Örneğin, 2+2 nin değişmez ve 4 olduğu gibi (Ishii, Drew K., 2003). Hal böyle olunca yapılandırmacılığın matematiğe uygulanmasının zor olduğu kanısına varılıyor. Ancak bu kesin sonuçları olan; prensipler, teoremler, değişmez kurallar bütünü matematik, kendi içerisindeki kavramlar, diğer disiplinler ve gerçek yaşamla kurulan bağlantılar ve bu bağlantılar neticesinde çıkarılan anlamlarla bir kurallar yığını olmaktan çok özünü ortaya koymaktadır. NCTM News Bulletin’de bu durum reform zihinli öğretmen davranışları ile ifade edilmiştir. Şöyle ki, reform zihinli öğretmenler, öğrencilerinin muhtemel çözüm yolları üretebilmeleri ve derin düşünebilmeleri için problemler öne sürerler ve onları çözüm üretebilmeleri konusunda cesaretlendirirler. Onlar matematikteki diğer fikirlerle ve başka disiplinlerle olan bağlantıları kuvvetlendirirler. Öğretmenler, öğrencilerin kendi çalışmaları ile ilgili açıklama ve ispatlarını sürekli yenilemek ve tazelemek için sürekli sorular sorarlar. Onlar öğrencilerin daha iyi matematiksel anlayış kazanmaları için matematiksel fikirlerin farklı ifadelerini kullanırlar. Bu öğretmenler öğrencilerinden matematiği açıklamalarını isterler (Stiff, L. V.,2000-2002). Bu nokta da yapılandırmacılığın anlam kazandığı noktadır.

Reform zihinli öğretmenlerin öğrencilerinden farklı problemleri çözmeleri, matematiği gerçek yaşam koşullarına uygulamaları, ayrıca bildiklerini geliştirmeleri beklenir. Bazen başka öğrencilerle birlikte, bazen kendi kendilerine çalışırlar. Bazen hesap makinesi kullanırlar. Bazen sadece kağıt kalem kullanırlar (Stiff, L. V.,2000-2002). Bu konu ile ilgili geometri alt alanından bahsedecek olursak, geometri kendi içinde kendine özel kavram ve formüllere sahiptir. Öğrenciler bu yeni, kendine özgü dili kullanmada güven geliştirmek için yeterli zamana ihtiyaç duyarlar. Bu bağlamda geometride tanımlar, öğrenci tarafından, onlara yeterli zaman sağlanarak, figürlerin özelliklerine göre, yapılandırılması, görselleştirilmesi, ölçülmesi, karşılaştırılması, sınıflandırılmasındaki deneyimlerinden çıkarılmalıdır. (http://www.sedl.org/scimath/compass/v01n03/2.html adresinden alıntıdır). Yani tanımları, sunulan verilerle birlikte öğrenci kendi deneyimleri ile yapılandırması ile ortaya çıkarabilmektedir.

Matematik eğitiminde yapılandırmacılık, öğrencilerin nasıl öğrendiğini ve öğretmenlerin öğrencilerin anlayışlarını güçlendirmek için neler yapabileceklerini işaret ederler. Sosyal yapılandırmacılıkta, öğrenciler sosyal bir durum ile etkileşime girdiklerinde sahip oldukları bilgileri daha iyi inşa ederler. Bu yüzden, öğretmen ve öğrenciler arasındaki etkileşim, öğrencilerin birlikte çalıştığı geniş bir komiteyi içerdiğinde geliştirilir. Matematik eğitimine özel bir şekilde uygulanan sosyal yapılandırmacılığın bir tipi matematiğin problem çözmeyi vurgulayarak öğretilmesini doğrular. Bu etkileşim a) öğretmen- öğrenci arasında, b) öğrenciler arasında gerçekleşir ve öğrenciler problem durumlarını çözmek için kendi stratejilerini oluşturmaları konusunda cesaretlendirilir. (Lee V. Stiff, 2000-2002). Radikal yapılandırmacılık da bu bağlamda matematikte yerini şöyle alır: öğrencilerin bilgileri ailelerinden veya öğretmenlerinden hiçbir değişikliğe uğramadan alınmasını değil, bilginin her bir öğrenenin zihninde aktif bir şekilde bütünleştirilmesini ifade eder. Bu noktada öğrenen bireyin kendi çabası matematiksel anlamı oluşturmak için temel teşkil etmektedir. (Lee V. Stiff, 2000-2002). 

Sonuç olarak yapılandırmacı felsefeler, öğrencilerde derin bir matematik algısı oluşturmak için var olan bilgiyle yeni bilgiyi bütünleştirmeleri konusuna odaklanır. Her bir felsefe, öğrenciyi öğrenme-öğretme sürecinin aktif bir katılımcısı olarak tanımlar. Son olarak yapılandırmacı yaklaşımın sınıflara uygulanması ile ilgili birkaç noktadan bahsedip yazımı sona erdirmek istiyorum. Ernest sınıf ortamındaki yapılandırmacılık için beş durum öne sürer:

1) Öğrenenlerin daha önceden sahip oldukları yapılara dikkat edilmeli. Örneğin, öğrenenlerin sahip oldukları kavramlar, informal bilgiler gibi.

2) Yanlış anlaşılmaları gidermek için bilişsel teknikleri kullanmalı. Öğrencilerin düşünme ve anlam oluşturmalarına yardımcı olmak gibi.

3) Metabiliş ve stratejik kişisel düzenlemeye dikkat edilmeli. Öğrenciler ne zaman kendi düşünmeleri hakkında düşünürlerse o zaman kendi öğrenmelerinden sorumlu olurlar.

4) Farklı ifade şekillerini kullanmalı. Özellikle matematikte çoklu ifade biçimleri önceki kavramlarla yeni kavramlar arasındaki bağlantıları görmek ve kuvvetlendirmek açısından önemlidir.

5) Öğrenen için amaçların öneminin farkında olmalı.(Ishii, Drew K., 2003 )

Sonuç olarak diyebiliriz ki yapılandırmacılık günümüz matematik eğitim sisteminin anlam kazanması açısından büyük öneme sahiptir. Öğrenci temelli olarak uygulanan bu yaklaşımın amacına ulaşabilmesi için öğretmenlere ve tüm eğitimcilere büyük görevler düşmektedir. Ancak günümüzde bu yaklaşımın ve uygulamalarının bilincinde olan eğitimciler etkili bir matematik eğitimi gerçekleştirirler. "

Zekiye MORKOYUNLU
05/08/2011

1) Ishii, Drew K., 2003, Constructivist Views of Learning in Science and Mathematics
2) Lee V. Stiff, 2000-2002, Constructivist Mathematics and Unicorns
3) Geometry for the Early and Middle Grades,1995, http://www.sedl.org/scimath/compass/v01n03/3. html adresinden alıntıdır.

Yazı; http://www.mufettisler.net/yazarlar/54-zekiye-morkoyunlu/438-matematk-egtmnde-yapilandirmacilik.html adresinden alınmıştır. 

Limitin Tarihçesi

Matematikçilerin, limit kavramının varlığından şüphelenmeye (bu kavramı sezmeye) başlamaları ile limiti tam olarak tanımlamaları arasında, yüzyıllarla ölçülebilecek kadar uzun zaman vardır. Hatta ilk çağ- larda bile limit kavramını hisseden matematikçiler vardı. Örneğin Archimedes, 2π sayısına olabildiğince yakın bir sayı elde edebilmek için köşeleri 1 birim yarıçaplı çemberin noktaları olan düzgün çokgenin çevresinden yararlanmış, bunun kenar sayısı sınırsız arttıkça çokgenin çembere, bu nedenle de çevresinin uzunluğunun 2π ye yaklaşacağını düşünmüştür. Bazı matematikçiler bu tür yaklaşımları, Rönesans Dönemine doğru, bir kısım alan hesaplamalarında da kullanmışlardır. 

17. yüzyılın ünlü matematikçilerinden Isaac Newton (1642-1727) ve Gottfried Leibniz (1646-1716), limiti kendilerinden önceki matematikçilere oranla çok daha doğru şekilde tanımlamışlar ve pek çok karmaşık limiti hesaplamışlardır. Newton ve Leibniz’in limit hakkındaki düşünceleri, bu kavramın gelişmesinde temel oluşturmuştur. 1754 yılında Fransız matematikçi d’Alembert (1717-1783), matematiğin daha ileriki konularının mantıksal temelinin limit kavramı olduğunu iddia etmiştir. Daha sonra ünlü matematikçi Cauchy (1789-1857), 1821 yılında yayınladığı “Cours d’Analyse” adlı eserinde limit tanımını, “Bir değişkenin ardışık değerleri, sabit bir sayıya olabildiğince çok yaklaştığında elde edilen son değerdir.” şeklinde yapmıştır. Bu tanım, bugün kullandığımız limit tanımına en yakın olandır. Günümüz matematikçilerinin kullandığı limit tanımı, 1860 yılında Alman matematikçi Karl Weierstrass (1815-1897) tarafından yapılmıştır.(Matematik-12, Emrullah KAPLAN, Paşa Yayınları,2011)

Karl Weierstrass, (Bkz.Karl Weierstrass) Bonn Üniversitesine hukuk okumak üzere gitmesine rağmen üniversiteden mezun olamadı. Daha sonra kendisi matematikle ilgilenmeye başladı. Laplace'ın Gök Mekaniğini üzerine yaptığı çalışmaları inceledi. Diferansiyel denklem sistemleri üzerinde çalışmalarda bulundu. Karl Weierstrass, 22 Mayıs 1798'de Münster Akademisine girdi.Uzun yıllar öğretmenlik yaptı. 1853 yılında abelyan fonksiyonlar üzerinde çalışmasını yayınladı.1856 da Berlin Üniversitesinde yardımcı profesörlük ünvanı elde etti ve Berlin Akademisine üye olarak seçildi. Weierstrass, 1864 ile 1897 yılları arasında Berlin Üniversitesinde matematik profesörü olarak görev yaptı 1897'de Berlin'de öldü.

1821’de Augustin Louis Cauchy (Bkz. Augustin Cauchy), Karl Weierstrass’ı takiben kullanılan limit tanımını  yunan alfabesindeki harfler olan  (ε, δ) harfleri (yunan alfabesindeki 5.harf küçük epsilon harfi ve yunan alfabesindeki 4.harf küçük delta harfi) kullanarak düzeltip, matematik literatüründe limitin tanımı olarak (ε, δ) tekniğini kabul ettirdi.

Limitin Tanımı: f(x) fonksiyonu, bir açık aralıkta tanımlanmış olsun ve L bir gerçek sayı olsun. Bütün ε>0 değerleri için, bir δ >0 değeri bulunabiliyor ki bütün 0<|x-a|<δ eşitsizliğini sağlayan x değeri için,  |f(x)-L|<ε eşitsizliği doğru ise; buradaki L değerine, "f(x) fonksiyonunun a noktasındaki limitidir" denir.

Limit ifadesinde, yaklaşmayı belirtmek için sağ tarafa doğru ok işareti kullanılır. x değişkeni, a'ya yaklaşırken f(x) fonksiyonunun limitinin L'ye yaklaştığı söylenir ve bu limit, sağ ok işareti ile limitin altına yazılarak gösterilir.  

19. yüzyıldan sonra  literatürde limitin gösterimi, (ε, δ) tanımlamasıyla kabul gördü. Tanımda yer alan ε harfi, her küçük pozitif sayıyı gösterir. Böylece “f(x) isteğe bağlı olarak L’ye yakın olur”, sonuçta f(x) fonksiyonu, (L − ε, L + ε) aralığında, iki sayı arasında yer alır demektir. Aynı zamanda mutlak değer işareti kullanılarak da bu aralık ifadesi yazılabilir 

Tanımda yer alan |f(x) − L| < ε.”x değişkeni, a’ye yaklaşırken” ifadesi, a’den uzak olan x’lerin bir δ  pozitif sayısından küçük olduğunu gösterir. x’lerin ya (a − δ, a) ya da (a, a + δ) aralığı içindeki değerleri 0 < |x − a| < δ ile ifade edilebilir. Buradaki yaklaşma miktarı için, x'in a değerine eşit olmaksızın en yakın noktasına kadar gelmesi anlamındaki çok çok kısa bir mesafe kadardır demek yanlış olmaz. İkinci eşitsizlikte; x değişkeni, a’nın δ uzaklığı içinde olduğunu ifade edilirken, ilk eşitsizlikte x ve a arasındaki uzaklık 0’dan büyüktür ve x ≠ a demek anlamına gelir. Bu tanım, fonksiyonun a noktasında tanımlı olmadığı zamanlarda ve fonksiyonun a değerindeki f(a) karşılığı, fonksiyonun o noktadaki limit değerinden L'den farklı olduğu zamanlarda da doğru olur. f(a)≠  L veya f(x), a noktasında tanımlı olmasa bile fonksiyonun o noktada limiti olabilir. Limitinin olması için fonksiyonun x değişkeninin a noktasına sağdan ve soldan yaklaşmalarındaki bulunan limit değerlerinin birbirine eşit olması gerekir. Kısaca fonksiyonun bir noktadaki sağ ve sol limitleri eşitse bu noktada limiti vardır aksi halde o noktada limit yoktur.  

Limitle ilgili bazı konu başlıklarının ayrıntılarına ulaşmak isterseniz aşağıdaki bağlantıları kullanabilirsiniz.

Limit konusu ile ilgili çıkmış ÖSYM Soruları

Trigonometrik Fonksiyonların Limiti

sinx/x limitinin ispatı

Genişletilmiş Reel Sayılar Kümesinde Limit

0/0 Belirsizliği

Limitte ∞/∞ belirsizliği

Limitte ∞-∞ belirsizliği

Limitte belirsizliklerde L-Hospital Kavramı (türev)

Johann Bernoulli

Johann Bernoulli (Jean ya da John olarak da bilinir. d. 6 Ağustos 1667 – ö. 1 Ocak 1748), Bernoulli ailesindeki ünlü matematikçilerden biridir. Sonsuz küçük kalkülüsü ne yaptığı katkılarla ve gençlik yıllarında Leonard Euler’in hocası olması ile ünlüdür. Johann, Basel’de bir eczacı olan Nicholas Bernoulli ve karısı Margaretha Schonauer’in oğlu olarak dünyaya geldi. Basel Üniversitesinde tıp okumaya başladı. Babası işletme okumasını istemişti. Çünkü bu sayede baharat ticareti işinin başına geçebilecekti. Ancak Johann Bernoulli işletme eğitimi almak fikrinden hoşlanmadı ve babasını tıp okumak için ikna etti ama tıp eğitimi onu hoşnut etmedi ve abisi Jacob’un yanında matematik eğitimi almaya başladı. 

Johann Bernoulli’nin Basel Üniversitesindeki eğitim hayatı boyunca Bernoulli kardeşler zamanlarının çoğunu yeni keşfedilen sonsuzküçük kalkülüsü üzerinde çalışarak geçirdiler. Bu iki kardeş yalnızca bu konu üzerinde çalışan değil aynı zamanda bunu çeşitli problemlere uygulayabilen ilk matematikçiler arasındaydı. Basel Üniversitesinden mezun olduktan sonra diferansiyel denklemler üzerine ders vermek için oradan ayrıldı. Daha sonra 1694’te Dorothea Falkner ile evlendi ve ardından matematik profesörü olarak Groningen Üniversitesine kabul edildi. Kayın pederinin ricası üzerine Johann Bernoulli 1705’te doğup büyüdüğü yere geri dönme kararı aldı. Yola çıktıktan kısa bir süre sonra kardeşinin tüberküloz nedeniyle öldüğü haberini aldı. Johann, dönüşüyle Basel Üniversitesinde Yunanca profesörü olmayı planlamıştı ancak abisinin ölümüyle boşalan matematik profesörlüğü pozisyonuna geçebildi. Leibniz kalkülüsü (analiz dersi) ile yetişen bir öğrenci olarak 1713’teki Newton-Leibnitz tartışmasında Lebniz’in yanında yer aldı. 

Johann Bernoulli Lebniz’i Newton’un çözmekte başarısız olduğu problemleri Leibnitz yöntemi ile çözerek savundu. Bernoulli ayrıca Descartes’in girdap kuramını Newton’un yerçekimi kuramına karşı destekledi ve bu durum Newton’un kuramının Avrupa’da kabulünü erteledi. 1724’te Fransız Académie Royale des Sciences tarafından desteklenen bir yarışmaya katıldı. Yarışmada, “Havasız veya hava bulunan bir ortamda kendisi ile aynı doğaya sahip sabit konumdaki ya da hareket halindeki bir cismi hareket ettiren hareket halindeki kusursuz sert cisim için gerekli kanunlar nelerdir?” sorusu sorulmuştur. Leibniz tarafından benimsenen görüşü savunmak adına cismi elastik yapmak için cismi sert yapan sonsuz iç kuvveti aşacak bir sonsuz dış kuvvet gerektiğini varsaymıştır. Bu nedenle yarışmadan diskalifiye olmuş ve ödül Maclaurin tarafından kazanılmıştır. Ancak Bernoulli’nin bu çalışması sonradan 1726 yılında Académie çalışmaları elastik cisimlere ilişkin olarak ele aldığında, bu konuda ödülü Pierre Maziére kazanmıştır, kabul görmüştür. Bernoulli her iki yarışmada da mansiyon ödülü aldı. Johann Bernoulli kardeşi Jakob ile Basel Üniversitesinden mezun olana dek beraber çalışmasına rağmen kısa bir süre sonra ikilinin kıskançlık ve rekabete dayanan bir ilişkisi oldu. Johann; Jakob’un pozisyonunu kıskanıyordu ve ikisi sıkça birbirine üstün gelmeye çalışıyordu. Jakob’un ölümünden sonra bu kıskançlık kendi yetenekli oğlu Daniel için de devam etti. 

1738’de baba ve oğul ikilisi hidrodinamik üzerine neredeyse eşzamanlı olarak yayınlar ürettiler. Johann Bernoulli kendi çalışmasının tarihini oğlununkinden iki yıl önce olarak göstererek önceliği elde etmeye çalıştı. 

Johann, Basel şehir meclisi üyesinin kızı Dorothea Falkner ile evlendi. Nicolaus II Bernoulli, Daniel Bernoulli ve Johann II Bernoulli adlarında üç adet çocukları oldu. Johann aynı zamanda Nicolaus I Bernoulli’nin de amcasıdır. Bernoulli kardeşler sıkça aynı problemler üzerinde çalışmışlardır. Bu çalışmalar genellikle büyük anlaşmazlıklar içerisinde yapılmıştır. İki kardeşin en şiddetli anlaşmazlığı eğer sadece yalnızca yerçekimi etkisi altında ise bir parçacığın en kısa sürede aldığı yol için bir eşitlik bulmaya çalışırlarken yaşanmıştır. Bu problem ilk olarak 1697’de Galileo tarafından incelenmiştir. 1697’de Jakob bu problemin çözümüne ödül teklif etmiştir. Bu meydan okumayı kabul ettikten sonra Johann bir dönel yuvarlanma eğrisi, hareket eden bir teker üzerindeki bir noktanın yolu, önermiştir. Uzun süren bu şiddetli anlaşmazlık Jakob’un bu çözüme meydan okuyup kendi çözümünü ortaya atması ile meydana geldi. Bu anlaşmazlık değişkenler kalkülüsü adında yeni bir disiplinin temelini attı. 

Bernoulli özel matematik eğitimi için Guillaume de L’Hôpital tarafından işe alınmıştı. Bernoulli ve L’Hôpital aralarında bir sözleşme imzaladılar. Bu sözleşmeye göre L’Hôpital Bernoulli’nin keşiflerini istediği gibi kullanma hakkına sahipti. L’Hôpital, ilk kitabı (Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes) 1696 yılında sonsuz küçük kalkülüsü üzerine yazdı. Bu kitap çoğunlukla, günümüzde L’Hôpital kuralı olarak bilinen türev kuralını da içeren Bernoulli’nin çalışmalarından oluşuyordu. Daha sonradan Bernoulli, Liebniz, Varignon ve diğerlerine yazdığı mektuplarda  L’Hôpital’in kitabın önsözünde borcunu kabul etmesine rağmen yaptığı katkılar için yeterince itibar gösteremediğinden şikâyet etmiştir. 

"Je reconnais devoir beaucoup aux lumières de MM. Bernoulli, surtout à celles du jeune (Jean) présentement professeur à Groningue. Je me suis servi sans façon de leurs découvertes et de celles de M. Leibniz. C'est pourquoi je consens qu'ils en revendiquent tout ce qu'il leur plaira, me contentant de ce qu'ils voudront bien me laisser." 

"Birçok kişiye borçlu olduğumun farkındayım. Bernoulli’nin kavrayışı, özellikle Groningue’de profesör olan geç John’a. Bay Leibnitz’in keşiflerinin yanı sıra onların keşiflerini de gayri resmi bir şekilde kullandım. Bu sebepten ötürü kendimi onların istedikleri kadar hak iddia etmelerine razı ettim ve bana bırakmaya karar verecekleri şeyler için kendimi memnun edeceğim."

GeoGebra Dinamik Matematik Yazılımı

GeoGebra Matematik ve Geometri alanında yazılmış dinamik geometri yazılımları arasında yer alıyor. Açık kaynak kodlu olması ve her geçen gün geliştirilebilir içeriği sayesinde yenileşme çabalarına da fırsat vermesiyle de ön plana çıkıyor.

GeoGebra , Cambridge Üniversitesi Eğitim Enstitüsü tarafından geliştirilen bir ücretsiz cebir ve geometri yazılımıdır. Avrupa Akademik Yazılım Ödülü-2002 , Avusturya Eğitim Yazılım Ödülü-2003 , Almanya Eğitim Yazılım Ödülü-2004 , Uluslararası Bedava Eğitim Yazılım Ödülü-2005 gibi bir çok ödül almış bu yazılım bir çok ülke tarafından eğitim sistemlerinde kullanılmaktadır.

Geogebra Anasayfa Linki: http://www.geogebra.org

Windows için ücretsiz geogebra programı indirme linki: https://www.geogebra.org/download

GeoGebra Nedir? GeoGebra; geometri cebir ve analizi birleştiren dinamik bir matematik yazılımıdır. Bu yazılım okullarda matematik öğretimi ve öğrenimini geliştirmek için Markus Hohenwarter ve bir grup uluslararası yazılım uzmanı tarafından geliştirilmiştir. Matematiksel Nesneler için Birden fazla Görünüm GeoGebra, matematik nesnelerinin Grafik, sayısal Cebir ve Çizelge (Spreadsheet) olmak üzere 3 farklı görünümünü sağlar. Bunlar matematikle ilgili nesneleri Grafiksel (örneğin noktalar, fonksiyon grafikleri gibi), Cebirsel (noktaların koordinatları, denklemler) ve çizelge (spreadsheet) hücreleri olarak 3 farklı şekilde görebilmenizi sağlar. Böylece aynı nesnenin farklı gösterimleri dinamik olarak birleştirilir ve gösterimlerin herhangi biri için yapılan değişiklikler, ilk olarak hangi şekilde oluşturulursa oluşturulsun, otomatik olarak 3 gösterimin hepsi için de uyarlanır.

GeoGebra, eğitimin tüm seviyeleri için geometri, cebir, hesap tabloları, grafik, istatistik ve calculus’ü kullanımı kolay bir pakette birleştiren dinamik bir matematik yazılımıdır. GeoGebra, nerdeyse her ülkede yerleşik milyonlarca kullanıcıyla hızla genişleyen bir topluluktur. GeoGebra, fen bilimleri, teknoloji, mühendislik ve matematik eğitimini (STEM) ve dünya genelinde öğrenim ve öğretimde innovasyonu destekleyerek önde gelen bir dinamik matematik yazılımı haline gelmiştir.

Geometri, Cebir ve Hesap tabloları ilişkilendirilmiştir ve tamamen dinamiktir. Kullanımı kolay bir arayüz ve çok güçlü özellikler. Web sayfası olarak etkileşimli öğrenme kaynakları oluşturmak için yardımcı bir araçtır. Dünyanın her yerindeki milyonlarca kullanıcı için her dilde mevcuttur. Açık kaynak kodlu yazılım olup Ticari olmayan kullanımlar için ücretsizdir.

Matematiksel Modelleme Çeşitleri

Matematiksel modelleme çeşitleri: dört kısma ayrılır.1.Deneysel modelleme,2.Teorik modelleme,3.Simülasyon modelleme, 4.Boyutsal analiz modelleme

1.Gözlenebilen verilere dayalı olarak oluşturulan grafikleri matematiksel olarak ifade edilmesine deneysel modelleme denir. Örneğin; dünyadaki sicaklık artışının grafik ile gösterimi bir deneysel modellemedir.

2.Matematiksel modelin formüle edilmesinde, verilerden çok teoriye dayanan farklı problem çözme süreci gerektiren modellemeye teorik modelleme denir. Caddelerdeki yaya geçidi ihtiyaçlarının belirlenmesi bir teorik modelleme örneğidir.

3.Genellikle matematiksel modeller ifade edilirken cebirsel semboller kullanılır. Bazı problemlerde çözümler, analitik olarak modellenemezler. Bu tür modellemelere simülasyon modeli adı verilir. Örneğin; türev kavramının bilgisayarda fizik sel anlamını verecek bir animasyon bir simülasyon modelidir.

4.Fiziğin temel özelliklerine dayalı oluşturulan modellere boyutsal analiz modeli denir. Bu tür modelleme, bilim ve teknolojide ilişkiyi biçimlendirmede kullanılır. Örneğin; boyutu kullanarak hız ve alan arasındaki ilişkiyi temsil eden matematiksel ifadeyi bulma bir boyutsal analiz modelidir.

Modelleme terimi, bütün modelleme süreçlerini açıklamasına karşın başlangıçta bir problemin matematiksel formülünü elde etme şeklinde daha sınırlı bir süreci açıklamak için kullanılabilir. Matematiksel modelleme aşağıdaki süreçlerden oluşur.

• Modelleme süreci,
• Problemin analizi,
• Problem belirleme ve matematiksel ifade,
• Model analizi ve teknikleri.

Kaynak: MEB Lise Matematik Programı-2005

Matematik Öğretiminde Modelleme Nedir?

Matematik ve gerçek hayat problemlerinin arasındaki ilişkilerin oluşturulmasında matematiksel modelleme önemli rol oynar.Matematiksel modelleme; gerçek hayat problemlerinin matematiksel terimlerle çözümünü bulmayı temsil eden bir yöntemdir. Matematiksel modelleme; aslında gerçek hayat problemlerinin sadeleştirilmesi, soyutlanması ya da bir matematiksel forma dönüştürülmesidir. Matematiksel problem, bilinen tekniklerle matematiksel çözümü bulmak için kullanılabilir. Daha sonra bu çözüm yorumlanarak gerçek terimlere dönüştürülür.

Matematik öğrenimindeki modelleme etkinlikleri; kavramların doğrulanmasında, tanımlanmasında, genelleştirilmesindeki zorlukların ve stratejilerin gözlem ve analizinde, öğrenme ve iletişim kurma becerileri kazanma sürecinde etkin rol oynamaktadır. Matematik, kültürümüzün bir parçası ve bir sosyal fenomen olarak toplumda, doğada ve diğer disiplinlerde, uygulamalarıyla yer alır.

Matematiksel modelleme, hayatın her alanındaki problemlerin doğasındaki ilişkileri çok daha kolay görebilmemizi, onları keşfedip aralarındaki ilişkileri, matematik terimleriyle ifade edebilmemizi, sınıflandırabilmemizi, genelleyebilmemizi ve sonuç çıkarabilmemizi kolaylaştıran dinamik bir yöntemdir. Diğer bir şekli ile matematiksel modellemeler, matematiksel düşünme becerileri kazanılmasına ve bu becerilerin geliştirilmesine katkı sağlar.

Bilgisayar ortamında geliştirilen matematiksel modeller, matematikle iletişim kurulmasında olağanüstü öneme sahiptir. Özellikle, interaktif matematiksel modeller farklı disiplinlerin doğasındaki olgusal gözlemlerin mantıksal ilişkilerinin kurulabilmesinde ve soyut düşünmeye dayalı becerilerin kazınılmasında mükemmel fırsatlar sunar.

Matematiksel modellemeler ve uygulamaların öğrenimi ve öğretimi karmaşık ve zor bir alandır. Ancak, gerçek hayat problemlerinin matematiksel modelleri kavramsallaştırıldığı zaman, problemin karmaşıklığının sadeleştiğini ve anlamlandırmanın kolaylaştığını görürüz. Böylece matematiksel modeller, öğrenme sürecinde bilişsel yapıların oluşmasını kolaylaştırıp, öğrencilerin gerekli matematiksel bilgi ve becerilerini gerçek hayat problemlerine uygulayabilme davranışını kazanmalarını hızlandırır.

Kaynak: MEB Lise Matematik Programı-2005

Ateşperest ile Yetim

Vaktiyle bir ateşperest, oğlunu evlendirmektedir. Düğün günü çok koyun ve inek kesilir. Et kokuları mahalleyi sarar. Ancak evin bitişiğinde, Müslüman, dul bir kadın, dört yetimiyle yaşamaktadır. Hepsi de günlerdir açtırlar. Kadıncağız, düğün evinin kapısını çalıp, 'ateş' ister. Kadın; o kadar pişen yemekten bize de bir şey verirler diye beklemektedir. Adam, kadının bu niyetini anlasa da, bir şey vermez. Kadıncağız, bir daha gidip 'ateş' ister. Yine eli boş döner.

Üçüncüde yine öyle. Ama ne olur bilinmez, ateşperest bu defa acır kadına. Hallerini anlamak için dehlize iner ve dayar kulağını bitişik evin duvarına ve dinler.

Yetimcik, annesine yalvarıyor:

— Anneciğim, ne olur bir daha git. Belki bu sefer bir şey verirler.

Kadın ağlamaklıdır:

- Üç defa gittim yavrum! Artık utanıyorum.

Adam bunu duyar. Kalbi sızlar. güzel bir 'Sofra' hazırlatıp, gönderir evlerine. Ve dehlize inip, dinler yine. Yetimlerin en küçüğü dua ediyor:

- Ya Rabbi! O nasıl bize ikram ettiyse, sen de ona ikram et! Onu imanla şereflendir!

Ardından;

- Âmiiiin! sesleri yükselir.

O anda, kalbi döner ateşperestin. Ve 'Şehâdet'i getirip imanla şereflenir. Nitekim Sadaka, belâyı önler. Ama dua, kaderi değiştirir! buyrulmuştur.

Kerahet Vakitler

Mekruh Vakitler 

404- Beş vakit vardır ki, onlara Mekruh Vakitler denir. Birincisi: Güneşin doğmasından bir mızrak boyu (beş derece) ki, memleketimize göre kırk ile elli dakika arasında bir zamanla yükselişine kadar olan zamandır. İkincisi: Güneşin yükselip de tam tepeye geldiği zeval anının bulunduğu vakittir. Üçüncüsü: Güneşin sararmasından ve gözleri kamaştırmaz bir hale gelmesinden itibaren batışı zamanına kadar olan vakittir. Dördüncüsü: Fecr-i Sadık'ın doğmasından güneşin doğacağı zamana kadar olan vakittir. Beşincisi: İkindi namazı kılındıktan sonra güneşin batmasına kadar olan vakittir. 

405- Evvelki üç kerahet vaktinde (güneş doğuşu, tam tepede oluşu ve güneşin batışı) ne kazaya kalmış farz namazlar, ne vitir gibi vacib olan namazlar, ne de önceden hazırlanmış bir cenaze namazı kılınabilir, ne de evvelce okunmuş bir secde ayeti için tilavet secdesi yapılabilir. Bunlar yapılırsa, iadeleri gerekir. Bu üç vakitte nafile namaz da kılınmaz. Ancak kılınacak olsa, kerahetle caiz olur ve iadesi gerekmez. Çünkü bu kerahet, nafile namazların sağlıklı olmasına engel değildir. Bununla beraber bu vakitlerden birine raslayan bir nafile namazı bozup kerahet vaktinden sonra onu kaza etmek daha faziletlidir. Bu üç vakit, ateşe tapanların ibadet zamanlarıdır. Onlara benzemekten kaçınmak, hak dine saygının gereğidir. Diğer iki kerahet vaktinde ise, yalnız nafile namaz kılmak mekruhtur. Farz ve vacib namaz mekruh değildir. Cenaze namazı, tilavet secdesi de mekruh değildir. Bu iki vakitten birinde başlanmış olan bir nafile namazı, kerahetten kurtulması için bozulmuş olursa, sonradan onu kaza etmek gerekir. 

 

406- Güneşin batışı halinde, yalnız o günün ikindi namazı kılınabilir. Fakat diğer bir günün kazaya kalmış olan ikindi namazı kılınamaz. Çünkü kamil bir vakitte vacib olan bir ibadet, nakıs olan (keraheti bulunan) bir vakitte kaza edilemez. Kerahet vakti ise, ibadetlerin noksanlığına sebebdir. Güneşin doğuşuna raslayan herhangi bir namaz ise bozulmuş olur. Bunun için bir kimse, daha ikindi namazını kılmakta iken güneş batsa, namazı bozulmaz. Fakat sabah namazını kılmakta iken güneş doğsa, namazı bozulur. Çünkü birinci halde, yeni bir namaz vakti girmiş olur. İkinci halde ise, namaz vakti çıkmış; fakat yeni bir namaz vakti girmemiş olur. 

407- Tam zeval anına raslayan bir namaz farz veya vacib ise, bozulur. Eğer nafile ise, mekruh olmuş olur. Yalnız İmam Ebû Yusuf'dan bir rivayete göre, cuma günü zeval vaktinde nafile namaz kılınması caizdir ve kerahati yoktur. Zeval vakti son bulup da güneş batıya doğru yönelmeye başlayınca, artık ittifakla kerahet vakti çıkmış olur. Zeval vakti için namaz vakitleri bölümüne bakılsın. 

408- Kerahet vaktinde okunan bir secde ayetinden dolayı, o vakitte secde yapılabilir. Fakat bu secdeyi kerahet vaktinden sonraya bırakmak daha faziletlidir. Yine kerahet vakitlerinden birinde hazırlanmış olan bir cenazenin namazı o vakitte kılınabilir. Öyle ki, faziletli olan, bu namazı geciktirmeyip hemen kılmaktır. Çünkü cenazelerde acele etmek mendubdur. 

409- Güneşin batışından sonra daha akşam namazını kılmadan nafile namazı kılmak mekruhtur. Çünkü akşam namazı geciktirilmiş olur. Oysa ki, akşam namazında acele etmekte fazilet vardır. 

410- Cuma günü imam hutbeye çıktıktan sonra veya ikamet getirildikten sonra nafile bir namaza başlamak mekruhtur. 

 411- İki bayram namazından önce ve bayram hutbeleri arasında ve bu hutbelerden sonra bayram namazı kılınan yerde nafile namaz kılmak mekruh olduğu gibi, güneş tutulması, yağmur duası ve hac hutbeleri arasında da mekruhtur. Bu hutbeleri dinlemek lazımdır. 

412- Mekruh olmayan bir vakitle başlanmış olan nafile bir namaz bozulmuş olsa, (bunu kaza etmek vacib olduğundan) ikindi namazından sonra güneşin batışına kadar ve fecrin doğuşundan sonra güneşin bir mızrak boyu yükselmesine kadar kaza edilemez, mekruhtur. Bununla beraber kaza edilse sahih olur. Diğer kerahet vakitleri de böyledir. Ancak başta sıralanan ilk üç kerahet vakti böyle değildir. Onların birinde kaza edilmesi sahih olmaz. Yeniden kazası gerekir. 

413- Güneş doğduktan sonra görünüşüne göre bir veya iki mızrak boyu yükselmesi ile kerahet vakti çıkmış olur. Artık istenilen nafile ve kaza namazları kılınabilir. Bu zamanı belirlemek için başka kolay bir usul de vardır. Şöyle ki: Çeneyi göğse dayayarak güneşe bakmalı; eğer güneş ufuktan yükselmiş olmasından dolayı görünmezse, kerahet vakti çıkmış demektir. 

Kaynak: Ömer Nasuhi Bilmen, Büyük İslam İlmihali, Sad. Ali Fikri Yavuz,Ravza Yayınları

Cibril Hadisi

Cebrail aleyhisselâm, Peygamber Efendimiz'in (s.a.v) de aralarında bulunduğu bir sahabe' topluluğuna insan suretinde gelmiş, iman, İslâm, ihsan ve kıyamet alâmetleri gibi bazı soruları Allah Rasûlüne sorarak cevaplarını almıştır. İşte Cebrail (a.s.)'in bizzat soru sorarak ve cevaplarını tasdik ederek telkin ettiği bu hadise "Cibril hadîsi" adı verilmiştir.

Ömer İbnü’l-Hattâb radıyallahu anh şöyle dedi: "Bir gün Resûlullah sallallahu aleyhi ve sellem’in huzurunda bulunduğumuz sırada, elbisesi beyaz mı beyaz, saçları siyah mı siyah, üzerinde yolculuk eseri bulunmayan ve hiçbirimizin tanımadığı bir adam çıkageldi. Peygamber’in yanına sokuldu, önüne oturdu, dizlerini Peygamber’in dizlerine dayadı, ellerini (kendi) dizlerinin üstüne koydu ve: "Ey Muhammed, bana İslâm’ı anlat!" dedi. Resûlullah sallallahu aleyhi ve sellem: “İslâm, Allah’tan başka ilah olmadığına ve Muhammed’in Allah’ın Rasûlü olduğuna şehâdet etmen, namazı dosdoğru kılman, zekâtı (tastamam) vermen, ramazan orucunu (eksiksiz) tutman, yoluna güç yetirebilirsen Kâbe’yi ziyâret (hac) etmendir” buyurdu. Adam: "Doğru söyledin." dedi. Onun hem sorup hem de tasdik etmesi tuhafımıza gitti. Adam: "Şimdi de imanı anlat bana" dedi. Rasûlullah sallallahu aleyhi ve sellem: “Allah’a, meleklerine, kitaplarına, peygamberlerine, âhiret gününe inanmandır. Yine kadere, hayrına ve şerrine iman etmendir.” buyurdu. Adam tekrar: "Doğru söyledin" diye tasdik etti ve "Peki “ihsan” nedir, onu da anlat" dedi. Rasûlullah sallallahu aleyhi ve sellem: “İhsan, Allah’a onu görüyormuşsun gibi kulluk etmendir. Sen onu görmüyorsan da O seni mutlaka görüyor” buyurdu. Adam yine: "Doğru söyledin" dedi ve sonra da "Kıyâmet ne zaman kopacak?" diye sordu. Peygamber sallallahu aleyhi ve sellem:- “Kendisine soru yöneltilen, bu konuda sorandan daha bilgili değildir.” cevabını verdi. Adam: "O halde alâmetlerini söyle" dedi. Rasûlullah sallallahu aleyhi ve sellem: "Cariyelerin (efendilerini) sahiplerini doğurması, yalın ayak, başı kabak, çıplak koyun çobanlarının, yüksek ve mükemmel binalar kurmada birbirleriyle yarışmalarıdır." buyurdu. Adam, (sessizce) çekip gitti. Ben bir süre öylece kalakaldım. Daha sonra Peygamber sallallahu aleyhi ve sellem: “Ey Ömer, soru soran kişi kimdi, biliyor musun?” buyurdu. Ben: "Allah ve Rasûlü bilir." dedim. Rasûlullah sallallahu aleyhi ve sellem: “O Cebrâil’di, size dininizi öğretmeye geldi.” buyurdu. " (Müslim, Îmân 1,5; Buhârî, Îmân 37; Tirmizi Îmân 4; Ebû Dâvûd, Sünnet 16; Nesâi, Mevâkît 6.)

Abdullah b. Ömer bu hadîsi Basra' dan Hacc veya Umre için Hicaz'a gelen Yahya b. Yamer ve Humeyd b. Abdirrahmân el-Himyerî'nin kader hakkında soru sormaları üzerine rivayet etmiştir. Cibril Hadisinin Arapça metni aşağıdadır.