Yansıma ve Özellikleri

Yansıma,homojen bir ortam içerisinde ışık ışınlarının yansıtıcı bir yüzeye çarparak yön ve doğrultu değiştirip geldiği ortama geri dönmesi olayına denir. Yansımanın genel örnekleri ışık, ses ve su dalgalarıdır. Düzlem aynalarda yansıma, saydam ortamda hareket eden ışığın herhangi bir yüzeye çarpıp geri dönmesi olayıdır. Yansıma olayında ışığın hızı, frekansı, rengi yani hiçbir özelliği değişmez. Yansımada cismin sadece hareket yönü değişir.

Yansıma tam yansıma, düzgün yansıma ve dağınık yansıma olmak üzere üçe ayrılır. Kürelerin görüntüsü hem yere hem de birbirlerine yansır. 

Düzgün ve Dağınık Yansıma: 

Düzgün Yansıma Işınların geldiği yüzey düzgün olursa, bu yüzeyin her noktasında normaller birbirine paraleldir. Şekildeki gibi gelen ışınların gelme açıları birbirine yansıma açıları da birbirine eşit olur.

Dağınık Yansıma Eğer yüzey düzgün değilse, yüzeyin bütün noktalarındaki normaller farklıdır. Yüzeye paralel gelen ışınların gelme açıları yansıma açılarına eşit olmaz. Bu yansımaya dağınık yansıma denir.

Yansıma Kanunları 

Gelen ışın, yansıyan ışın ve yüzeyin normali aynı düzlemde bulunur. Gelen ışının normalle yaptığı açı, yansıyan ışının normalle yaptığı açıya eşittir. Normal doğrultusunda gelen ışınlar, geldikleri doğrultuda geri yansırlar. Bir düzlem aynaya gelen ışınla yansıyan ışın arasındaki açının yarısı gelme açısına veya yansıma açısına eştir. 

Geometrik Cisimlerin simetrisi ile ilgili ayrıntılı bilgiye ulaşmak için bağlantıya tıklayabilirsiniz. (Bkz. Geometrik Cisimlerin Simetrisi) 

Türk Bayrağı ve Genel Ölçüleri

Türk ulusunun birlik ve bütünlüğün sembolü olan Türk Bayrağı, anayasanın 3. maddesine göre, "şekli kanunda belirtilen, beyaz ay yıldızlı al bayraktır." 

Bayrağın Tarihi : Osmanlı Devleti'nden önceki Türk devletlerinde kullanılan bayrak renk ve sembolleri hakkında yeterli bir bilgi yoktur.Türk Bayrağı'nı ilk olarak Anadolu Selçuklu hükümdarı Gıyaseddin Mes'üd tarafından Osman Bey'e gönderilen ak renkli sancak olarak görürüz.15. yüzyıldan sonra al bayrak, Yavuz Sultan Selim dönemindeki Çaldıran Savaşı'nda ise yeşil bayrak kullanılmaya başlanmıştır.Türk Bayrağı'na en yakın şekil ise III. Selim döneminde rastlanır.Bu bayrakta hilal ile birlikte sekiz köşeli yıldız kullanılmıştır. Yılıdızın beş köşeli halinde kullanılması ise 1842 yılında Abdülmecit dönemine denk gelir.Salatanatın kaldırılması üzerine 29 Mayıs 1936 tarihinde çıkartılan 2994 sayili kanunla Türk Bayrağı'nın şekli ve ölçüleri kesin bir şekilde tesbit edilmiştir.28 Temmuz 1937 tarihli 2/7175 sayili Türk Bayrağı nizamnamesi kararnamesi ile de Türk Bayrağı'nın kullanılışı düzenlenmiştir.

Bayrağın standartları: Türk Bayrağı ve Ölçüleri Türkiye Cumhuriyeti Bakanlar Kurulunun, 25 Ocak 1985 tarih ve 85/9034 nolu "Türk Bayrağı Tüzüğü" kararının 4. maddesinde, bayrağın boyutları şöyle belirlenmiştir: 

Madde 4 - Bayrak, aşağıda gösterilen standartlara göre yapılır: (Ek:1)

* Bayrağın boyu, eninin bir buçuk katıdır, * Ay ve yıldızın meydana getirilmesi için çizilen çemberlerin merkezleri eksen üzerinde bulunur. * Ay, iç ve dış çemberlerinin birbirini kesmesinden meydana gelir, * Ayın dış çemberinin çapı, Bayrak eninin yarısına eşittir, merkezi,uçkurluğun iç kenarından Bayrak eninin yarısına eşit uzaklıktadır, * Ayın iç çemberinin çapı, Bayrak eninin onda dördüne eşittir, merkezi, dış çember merkezinden uçum yönüne doğru Bayrak eninin 0.0625 katı uzaklıktadır, * Ayın ağzı uçum yönüne bakar, * Yıldız, çapı Bayrak eninin dörtte birine eşit olan ve beş eşit parçaya bölündüğü farz edilen bir çemberin bölüşme noktaları birer atlanarak meydana getirilir, yıldızın uçlarından biri, Bayrak ekseniyle ayın iki ucundan geçtiği farz edilen çizginin kesiştikleri nokta üzerindedir, bu noktaya iç çemberin ekseni kestiği nokta arasındaki uzaklık, -matematiksel olarak bu mesafe bayrak eninin 1/3'ü olursa yıldız hilalin içine girmektedir. Nizami bir bayrakta bu oran 279/800'dür ve bu bilgi olmadan da bayrak çizilebilir- * Uçkurluğun genişliği, Bayrak eninin otuzda biridir. 

Kanuna göre, (Madde 26) Türk Bayrağı, yırtık, sökük, yamalı, delik, kirli, soluk, buruşuk veya layık olduğu manevi değeri zedeleyecek herhangi bir şekilde kullanılamaz. Resmi yemin törenleri dışında her ne maksatla olursa olsun, masalara kürsülere, örtü olarak serilemez. Oturulan veya ayakla basılan yerlere konulamaz. Bu yerlere ve benzeri eşyaya Bayrağın şekli yapılamaz. Elbise veya üniforma şeklinde giyilemez. Hiçbir siyasi parti, teşekkül, dernek, vakıf ve tüzükte belirlenecek kamu kurum ve kuruluşları dışında kalan kurum ve kuruluşun amblem, flama, sembol ve benzerlerinin ön veya arka yüzünde esas veya fon teşkil edecek şekilde kullanılamaz. Türk Bayrağına sözle, yazı veya hareketle veya herhangi bir şekilde hakaret edilemez, saygısızlıkta bulunulamaz. Bayrak yırtılamaz, yakılamaz, yere atılamaz, gerekli özen gösterilmeden kullanılamaz. 

Bayrak Çizimini Örnek Olarak şu şekilde bir çizim yapabiliriz. 

Kanun maddesine yer alan oranlara göre bir bayrak şu şekilde çizilebilir. Özellikle ilköğretim kademesi matematik ders kitaplarında proje ödevi olarak verilen kısım için bu bilgiler dikkate alınmalıdır. 

Çizim aşamaları için kullanacağınız araç ve gereçler; Cetvel, Pergel, Bayrağı çizeceğiniz kağıt, kalem ve boyama için boya.  Özellikle pergel kesinlikle kullanılmalı, hilal ve yıldız çizim aşamalarında olmazsa olmaz aracımız pergeldir.

Bayrağın genişliğini çizeceğiniz sayfaya göre kendiniz belirleyebilirsiniz. Genişlik tüm ölçülerin ana kaynağı olacaktır. Size kaç cm genişlikli bir bayrak çizileceği söylenmişse ona göre bütün ölçüleri verilen genişlik cinsinden hesaplamanız gerekmektedir. Daha rahat anlamanız için yukarıda verilen ölçülere bağlı kalarak biz genişliğe cm cinsinden bir örnek değer verelim ve diğer ölçüleri de buna göre yazalım. Burada yer alan ölçülere ve sıralamalara hata yapmamak için azami dikkat ediniz. Yukarıdaki bayrak şeklinden de harflere bakarak, bayrakta nereyi kastettiğimizi öğrenip ona göre istenen uzunluğu çiziniz. 

Örnek Bayrak Çizim Ölçüleri

G=bayrağın genişliği: 20 cm 

L=boyu:3/2*20cm=30 cm. 

M=uçkur genişliği: 1/30*20cm=0,66 cm 

A=dış ay merkezinin uçkurluktan mesafesi=1/2*20=10 cm 

F=yıldız daire çapı: 1/4*20cm=5 cm 

D=ay iç daire çapı:4/10*20=8 cm 

B=ayın dış dairesinin çapı:1/2*20cm=10 cm 

C=ayın iç ve dış merkezleri arası:1/16*20cm=1,25 cm (yaklaşık 1,3 cm) 

E=yıldız dairesinin ayın iç dairesinden olan mesafesi 1/3*20cm=6,66 cm 

Örnek Bayrağın Ölçüleri

G=bayrağın genişliği: 30 cm 

L=boyu:3/2*30cm=45 cm. 

M=uçkur genişliği: 1/30*30cm=1 cm 

A=dış ay merkezinin uçkurluktan mesafesi=1/2*30=15 cm 

F=yıldız daire çapı: 1/4*30cm=7,5 cm 

D=ay iç daire çapı:4/10*30=12 cm 

B=ayın dış dairesinin çapı:1/2*30cm=15 cm 

C=ayın iç ve dış merkezleri arası:1/16*30cm=1,875 cm (yaklaşık 1,8 cm) 

E=yıldız dairesinin ayın iç dairesinden olan mesafesi 1/3*30cm=10 cm

Bayrak ölçüleri hesaplanırken öncelikle, bayrağın genişliği belirlenir. Ne kadar genişlikte bayrak çizecekseniz G yerine o değer yazılır. Bütün diğer kısımlar G ile çarpılarak hesaplanır. Mesela genişliğiniz 64 cm ise aşağıdaki ölçülerde ayın iç ve dış merkezleri arası (C) için değeriniz C=64.1/16=4cm olur. Bunun gibi diğer ölçüleri de bulabilirsiniz veya kolaylık olması için excel formunu indirip, dosya üzerinde işaretlediğim alandan, genişliği girerek çıkan ölçü değerlerini kullanınız. EXCEL FORMU

Bayrağın Çizim Aşamaları 

Biz burada genişliği 30 cm olan bir bayrağın adım adım çizim aşamalarını yapacağız. Siz kaç cmlik genişlikte bayrak çizecekseniz ölçülerinizi ona göre kendiniz hesaplamalısınız.

1.Öncelikle genişliği 30 cm den büyük boyu da 45 cm bir kağıt alınır. Kağıdın en uç noktasından uçkurluk mesafesi çizilir.(uçkurluk yukarıdaki M ile gösterilen yerdir. uzunluğu örneğimize göre 1cm olacak cetvelle ölçüp çiziniz.) 

2.Uçkurluk çizildikten sonra (uçkurluk bayrak çizimi ile alakalı değil en sonunda da çizebilirsiniz.) Buradaki ölçülere göre önce boy (L) (45cm) sonra da bayrak genişliği (G) (30cm) kağıt üzerinde çizilir. 

3. Sonra pergel ve cetvel yardımıyla uçkurluktan itibaren dış ay merkezi işaretlenir (A) ve uzunluğu ölçüye göre çizilir.(uzunluk yukarıda belirtildiği şekilde 15cm olacak) ve iç ay merkezi (C) (az önce işaretlediğimiz noktadan (A) yukarıda belirtildiği şekilde 1,875cm olacak uzaklıkta çizilir) pergel yardımıyla bu noktaların daireleri çizilir.birinci daire çapı (B) örnekte=15cm iç daire çapı=12cm (D) olacak. 

>>>çap denildiği için pergeli yarısı kadar açıp, pergel ucunu belirlenen merkezlere koyup yarıçap kadar iki tane daire çizeceksiniz. 

4. Dikkatli çizerseniz iki daire tam olarak kesişmiş olacak. iki dairenin kesiştiğinde de hilal ortaya çıkmış olur. 

5. Bu işlemlerden sonra şimdi de yıldız çizimine sıra gelir. Hilallerin uç noktaları ile yıldız dairesi tam olarak aynı hizada olacaktır; bayrak şeklinden isimlere bakınız. (E) 

6. Mesafeler tam olarak ölçülüp yıldız merkezi işaretlenir ve yukarıda belirtildiği ölçüye sahip olacak şekilde yıldız çapı=7,5cm yıldız dairesi çizilir. 

>>>çap denildiği için pergeli yarısı kadar (3,75cm) açıp, pergel ucunu belirlenen merkeze koyup yarıçap kadar bir tane daire çizeceksiniz.çizilen bu daire yıldız dairesi olacak. 

7. Yıldızın kolları eşit mesafeli olarak çizilen daire üzerinde ayarlanır. Yani çember üzerinde birbirine eşit uzaklıkta olan beş eşit nokta belirlenir. bunun için çember çevresine göre hareket etmelisiniz.(Çizerken aşağıda anlattığım gibi açı ile çizmek daha yerinde olur) çember çevresi yaklaşık 23,5-24cm bu uzunluk beş eşit parçaya ayarlanacak her bir noktanın diğerinden uzaklığı yaklaşık 4,7 cm olur. ip kullanarak ölçüleri ölçebilirsiniz. fakat ölçüm sağlıklı netice vermez. Pergel ve açı ölçer kullanmak daha tutarlı ve hassas sonuç verir. 

>>> yıldız dairesi çizildikten sonra ip kullanarak dairenin çevresini ölçüp buna göre bu çevre uzunluğunu beşe bölme işlemi biraz zor olabilir ve tam ölçü değerini vermez.bunun yerine dairenin merkezinden itibaren çember üzerinde açı ölçer yardımıyla 72 derecelik açılar ölçülür ve çember üzerinde noktalar işaretlenir. Daha sonra belirlenen beş tane nokta ikişerli olarak birleştirilir.Yıldız çok kolay biçimde ortaya çıkmış olur. 

8. Belirlediğimiz bu noktaları yıldız dairesi merkezi ile birleştirerek yıldızın kolları yıldız dairesi içerisine sığabilecek şekilde beş adet olarak çizilir (Dikkat: her bir parça eşit uzunlukta olarak çember üzerinde noktalar işaretlenirse çizim kolaylıkla yapılır. Çember üzerindeki noktalar birbirine farklı uzaklıkta olursa çizim yanlış olur.)) 

9. Yıldız ve hilal ortaya çıktıktan sonra bayrak çizimi yukarıdaki ölçülere göre bitmiş olur.isterseniz bayrağınızı boyayabilirsiniz. 

10. Her şeyi doğru çizmiş iseniz bayrak çizimini sağlıklı bir şekilde bitirmiş olursunuz. Her bir adımı lütfen iyice okuyup dikkatlice çiziniz. çizerken bayrak şekline sürekli olarak bakınız. yanlarına harf yazdım bu bölümü şekilden bulup orayı sizde aynen çiziniz. Yukarıdaki Bayrak şekline dikkat ediniz. 

Size tavsiyem bayrak genişliğini bir A4 kağıtına sığabilecek şekilde 30 cm olarak almanızdır. Çünkü çizim aşamalarını anlattığım bayrak genişliği 30 cm olarak alındığında, bayrak ölçülerinde sadece C=ayın iç ve dış merkezleri arası: 1/16*30cm=1,875 cm değeri zor çizilebilecek bir değer olur. Aksi halde diğer genişlik ölçülerinde çok daha fazla küsuratlı değerle uğraşmak zorunda kalabilirsiniz. Çizim aşamalarını yukarıda güzelce anlattığımı düşünüyorum. Biraz emekle, bayrak çizimini kendiniz çok rahat yapabilirsiniz. Kolay gelsin... 

Oyun mu, Teori mi?

Akademik araştırmalarda kullanım alanları yaygınlaştıkça önemi anlaşılan bu araç, 1990’lardan itibaren Amerika’da yaygın olarak uygulanmaya başlandı. Özellikle ekonomi alanında ihale düzenlemelerinden rekabet analizlerine kadar geniş bir uygulama alanı ortaya çıktı.

Türkiye’de oyun teorisi ancak son yıllarda akademik olduğu kadar günlük hayatta da- özellikle de Akıl Oyunları adlı filmin ülkemizde vizyona girmesinden sonra- ilgi odağı oldu. Aslında, modern oyun teorisi bugün karsımıza çıkan şekline uzun bir gelişme sürecinden sonra ulaştı. Bu sürece kısaca göz atmak “Oyun Teorisi” isminin nereden geldiğini anlamamıza yardımcı olabilir. Satranç, poker, briç gibi oyunlarda oyuncuların davranışlarını modellemek ve akılcı strateji seçimleri üzerine çalışan Macar asıllı Amerikalı John von Neuman, oyunlar üzerine ilk makalesini 1928 yılında yayınladı. Hidrojen bombası ve ilk bilgisayarın mucitlerinden sayılan bu dahi matematikçi, bir ekonomist olan Oskar Morgenstern ile birlikte, oyun teorisini 1944 yılında basılan “Oyun Teorisi ve Ekonomik Davranış” isimli kitaplarında ilk defa ekonomi alanına taşıdılar. Bu kitapta iki oyunculu, sıfır toplamlı oyunları ve işbirlikçi oyunları incelediler.

John F. Nash, 1950-53 yılları arasında yayınladığı dört çalışması ile oyun teorisini geliştirdi ve hem rekabetçi hem de işbirlikçi oyunlarda kullanılabilecek bir denge kavramını ortaya çıkardı. Halen oyun teorisinin ağır yükünü onun ortaya attığı Nash dengesi çekmektedir. Martin Shubik 1959 basımlı “Strateji ve Pazar Yapısı: Rekabet, Oligopol ve Oyun Teorisi” kitabında rekabetçi oyun teorisini ilk defa oligopollere uyguladı. 1965te Reinhard Selten, Nash dengesini yaygın biçimdeki oyunlarda (oyuncuların sıra ile stratejilerini seçtikleri oyunlar) kullanılabilecek şekilde geliştirdi. Üç seri makalesi ile John Harsanyi, 1967-68 yıllarında teorinin oyuncuların eksik bilgi sahibi olduğu oyunlara nasıl uygulanabileceğini gösterdi.

Gittikçe gelişen, dallanıp budaklanan oyunlar teorisi, ekonomi bilimi için olduğu kadar, hukuk, politika, işletme, uluslararası ilişkiler ve hatta biyoloji gibi bilimler için de vazgeçilmez bir matematiksel araç oldu. Ekonomide, özellikle de endüstriyel organizasyon alanında teorik gelişmelere yol açtı ve yön verdi. Oyun teorisi aynı zamanda stratejik karşılaşmaların incelenmesinde standart bir dil haline geldi. 

http://www.ba.metu.edu.tr/~adil/BA-web/oyunteorisi.htm

M.C.Escher Matematik ve Sanat

Matematikle sanat oldukça farklı olan iki alan olarak karşımızda. Malzemeleri, teknikleri, yöntemleri ve doğal olarak ürünleri farklı, ilk bakışta hemen göze çarpan ve rahatsızlık veren bu ayrılık, ortaklıkların varlığına engel değil. Matematik de sanat da, diğer bilimler gibi, insanın içine doğduğu ortamı ve bu ortam içinde kendine ne olup bitmekte olduğunu anlama çabası sonucu doğmuştur. Zaman zaman doğaya aykırı görünseler de iki alan da doğanın soyutlaması, yorumu hatta yeniden sunumudur. Sayılar denklemler bu halleriyle doğada yokturlar ama resimler ve heykeller gibi doğayı betimler ve düşüncemize yeniden sunarlar.

Matematiksel sanat, matematiğin şaşırtıcı sonuçlarından biri (Yoksa sanatın şaşırtıcı sonuçlarından biri mi demeli? Sanatın kendisi zaten şaşırtıcı değil mi?) Bu sonucu karşımıza çıkaran kişiler matematiği yeni bir etkileşim atanına taşımak istiyorlar. Bu, sanatın etki alanıdır. Ne de olsa sanatın cazibesi daha çok kişiyi kendine çeker. Böylece daha çok insan matematiksel düşünceyi ve onun doğuracağı etkiyi paylaşabilir. Matematiksel sanat bu kendine has savıyla merak edilmeye değer. Fomenko, Ferguson ve Escher'in çalışmalarını incelemek, matematiğe ilgi duyan herkes için keyifli bir öğreti süreci olmaya adaydır. 

 

Maurits Cornelis Escher ya da kısaca M.C. Escher (1898–1972) Hollandalı bir grafik sanatçıdır. Escher’in matematik ile ilgili herhangi bir ihtisası yoktur. Ancak çalışmalarında matematiksel kavramları doğru bir şekilde resmetmiştir. Escher’in çalışmaları matematik dünyası ve hayal dünyasının arakesitinde yeni keşiflere doğru bir davetiye niteliği taşımaktadır.

Escher, çizim dışında hiçbir konuda başarılı olamadı. 1919’da Haarlem Mimarlık ve Dekoratif Sanatlar Okulu’na kaydoldu. Öğretmenlerinden birinin cesaretlendirmesiyle, ilgisini mimariden grafik sanatlara kaydırdı. Yirmili yaşlarından başlayarak İtalya ve İspanya’ya yaptığı seyahatler ona ihtiyacı olan ilhamı verdi. Özellikle İspanya’da El Hamra Sarayında bulunan döşemelerin çeşitliliği ve karmaşıklığı, Escher’in mozaiklere olan ilgisini arttırdı. Çalışmaları 1950’lerin başına kadar dikkat çekmese de,1959’da ilk önemli sergisini açmasıyla, dünya çapında bir üne kavuştu. 

Escher'in hayranlarının büyük bir kısmını, onun çalışmalarının matematik ilkelerin mükemmel bir canlandırması olduğunu fark eden matematikçiler oluşturuyordu. Escher, matematiksel bir yeteneğe sahip olmadığını iddia etse de sonunda matematik ve bilimdeki bir dizi önde gelen ile kendini işbirliği yaparken buldu. Sanatçının kendisi de matematiğe yakınlığını şöyle ifade etmiştir: "Bizi saran beriştim. Bilim eğitiminden yoksun olmama rağmen kendimi sanatçı arkadaşlarımdan daha çok matematikçilere yakın hissettim". Sanatçının resim çalışmalarını matematik açısından birer ilk ya da önder olarak kabul edebiliriz. Yine de Escher'in matematiksel bir kaygıyla yola çıktığını söylemek yanlış olur. Sanatçı kurmak istediği dünyaları oluşturmak için matematikten faydalanmıştır demek daha doğru olur.

Sanatçının bazı eserlerindeki matematiksel temalara aşağıdaki gibi örnek konu başlıklarıyla değinelim.

Düzlemi düzenli olarak bölmek:

Bu teknikle yaptığı resimlerinde sanatçı bir ya da birkaç motifi hiçbiri birbirinin üstüne gelmeyecek ve aralarında boşluk kalmayacak şekilde birbirlerini nasıl çevreleyebileceklerini araştırır. Bu yöntem matematikte düzlem doldurma problemi ile çakışır. Matematikçi daha global bir yaklaşımla bir düzlemde bulunan mozaik yapıdaki simetri gruplarını araştırıp tanımlamak ister. Escher bu işlemi çeşitli hayvan figürleri kullanarak fantastik bir şekilde icra eder. Bu grupta topladığımız çalışmaları arasında en etkileyici olanları hiperbolik düzlem kullandığı Circle Limit (Çember Limiti) serisidir. Hiperbolik düzlem Öklid olmayan geometrilere örnek olarak Poincare tarafından geliştirilmiştir.

Metamorfozlar: Bu seride yüzey figür ilişkisi çarpıcı şekilde vurgulanırken, imkansız olan boyutlar arası yolculuk da resmedilir. Doğada değişim anlamına gelen metamorfozlarda, düzlemdeki düzenliliği bozmadan sürekli deforme edilen şekiller birbirine dönüşür, gece gündüze, balıklar kuşa evrilir.

Paradokslar: Escher'in en vurucu işleri paradoks (çelişki) ve sonsuzluk kavramını işlediği resimleridir. İmkansız figürleri kullanarak inşa ettiği dünyalar bizi çelişkiye götürür. Döngüsel paradoksları oluşturmak için kurduğu hiyerarşik düzenlerde sürekli yukarı ya da aşağı hareket etseniz de, hiyerarşinin gereğine rağmen, yine başlangıç noktasına gelirsiniz. Bu gibi döngüler Bach'ın müziğinde de yer alır. Bach müziğini bestelerken kanonlar sayesinde kurduğu döngüler içinde notaların harflendirilme sisteminden yararlanarak kendi adını sonsuz kere zikrettirir. D.R. Hofstadler ünlü Escher Gödel ve Bach adlı kitabında bu üç şahsiyeti döngüsel paradokslarda buluşturur. Bu yüzyılın en önemli matematik makalelerinden birini yazan Gödel, matematiği dizgeleştirme çabalarının sonuç vermeyeceğini, kendi içinden çıkıp kendine dönen bir paradoksun varlığını göstererek kanıtlamıştır. 

Katı Cisimler: Escher için, çokyüzlü olarak bilinen düzgün katı cisimlerin ayrı bir çekiciliği vardır. Yüzeyleri, tamamen birbirinin aynı olan çokgenlerden oluşan sadece beş tane çokyüzlü vardır, bunlara Platonik cisimler de denir. Platonik cisimlerden, onları kesiştirerek veya yıldızlaştırarak (stellate), pek çok ilginç cisim elde edilebilir. Yıldızlaştırma, cisimlerinin her bir yüzeyine bir piramit yerleştirilerek yapılır. Relativite (1953) isimli çalışması, imkansız bir şekilde birbirine bağlı merdivenlerle çevrili bir binayı tasvir eder. 1954’te bu çalışmayı sergide görme şansı yakalayan matematiksel fizikçi Roger Penrose çizimden çok etkilenmiş devamında imkansız nesneler ile ilgili çalışmalarına başlamıştır. 

Matematiksel açıdan Escher’in en önemli eserleri arasında, uzayın kendi doğasıyla ilgili olanlar vardır. Kesişen Üç Düzlem isimli ağaç baskı, sanatçının uzayın boyutluluğuna ve aklın, üç boyutlunun iki boyuta resmedilişini algılama yetisine olan ilgisini göstermek için iyi bir örnek olacaktır. 

Öklid dışı geometriler: Öklid dışı iki uzaydan biridir ve aslında Escher’in çalışmasında temsil edilen model, Fransız matematikçi Poincare’ye atfedilir. Öklid geometrisi ve Öklid dışı geometrilere ek olarak Escher topolojik şekillerle de yakından ilgilidir. Topolojik şekillere en temel örnek Möbius şerididir. Escher de möbius şeridini pek çok eserinde kullanmıştır. Möbius şeridi sadece tek bir yüze ve kenara sahiptir. Gerçekten Möbius Şeridi üzerindeki karıncaların yolunu takip ederseniz, onların aslında farklı yüzeylerde yürümediklerini fark edersiniz.

Perspektif çizimleri: Escher’in bir başka temel ilgi noktası da perspektiftir. Herhangi bir perspektif çalışmasında, kaçış noktaları, gözün sonsuzdaki noktalar gibi algıladığı noktalar olarak seçilir. Escher, Yüksek ve Alçak’ın perspektif çalışmasında, beş kaçış noktasına yer verir: Tavanın sağı ve solu, tabanın sağı ve solu ve merkez. Bunun sonucunda resmin alt yarısında yukarıya doğru bakılıyormuş gibi görünen sahne, üst yarısından ise aşağıya bakılıyormuş gibi algılanır.

İmkânsız biçimler: Escher'e göre imkansız biçimler oluşturmanın bir başka yöntemi de, beynin, üç boyutlu nesnelerin oluşturulmasında iki boyutlu görsel ipuçlarını kullanmaya olan ısrarı üzerine kuruludur. Escher de çalışmalarında bu çeşit anormalliklerden yararlanır.

Topolojik kavramlar: Escher'in Resim Galerisi adlı eseri kabaca bu kanıtın görsel ifadesidir. Resim galerisinde genç bir adam bir sahil kasabasının ve limanın betimlendiği resmi incelemektedir, fakat resmin içindeki resim galerisinde de genç bir adam sahil kasabasının resmedildiği resmi inceler. Escher eserinde, bir şekilde, uzaya, kendi içine geri döner, genç adam aynı zamanda hem resmin içinde hem de dışında bulunmaktadır.

Escher'in çalışmalarıyla önemli bir teorem ve ilginç bir resim aynı anlatıma ulaşıyor! Escher'in eserlerinin açıklığı, kolay okunurluğu, akıcı anlatımı, iyi kurgulanmış güçlü yapısı iz bırakıcıdır. Dikkatli bir göz sanatçının resimlerinde tanık olduğu gariplikleri kolay kolay unutmaz. Escher oldukça sofistike ve detaycı işçiliğiyle matematiğin örgüsüyle çakışır. Yaşamı süresince ve sonrasında çok tartışılmış bir sanatçı olan Escher, matematikçi olmasa da çalışmaları pek çok matematikçiyi etkilemektedir.

Ceren Burcak Türkiye Bilim Sitesi, “Matematiği resmeden olağanüstü sanatçı: Escher” Bilim ve Gelecek Dergisi, sayı: 39

David Darling and Agnijo Banerjee; At the Edge of the Possible; Oneworld Publications, 2019

Atatürk'ün Matematiğe yaptığı katkılar

“Müsellesin, zaviyetan-ı dahiletan mecmu’ü 180 derece ve müselles-i mütesaviyü’l-adla, zaviyeleri biribirine müsavi müselles demektir.

Arapça, Farsça ve Türkçe karışımı geniş bir dil olan Osmanlı Türkçesini, (Kısaca halk arasında Osmanlıca diye isimlendirilmiş) bilmeyenlerimizin, özellikle yeni nesil gençlerimizin yukarıda zikredilen  cümleyi, anlayacağını maalesef zannetmiyoruz. Bugün kullandığımız Türkçe ile yukarıdaki cümle şu anlama geliyor: “Üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir ve eşkenar üçgen, açıları birbirine eşit üçgen demektir.” (“Müsellesin, zaviyetan-ı dahiletan mecmu’ü 180 derece ve müselles-i mütesaviyü’l-adla, zaviyeleri biribirine müsavi müselles demektir.)

1937 yılından önce, metematik ve geometri derslerinde, Türkçe, Arapça ve Farsça dillerinin yoğun kullanıldığı karma bir dil terimleriyle bilim dilini öğreniyorlardı. Zamanla harf inkılabının da etkisiyle yeni bir bilim diline ihtiyaç duyulmuş ve bazı kelimelere Türkçe karşılıklar bulunmuştur. 1937 yılının Kasım ayında yeni bir eğitim ve öğretim yılına girilirken, Mustafa Kemal Atatürk, Türk Dil Kurumu’nun çeşitli bilim dallarına ait Türkçe terimler saptadığını ve bu sayede "dilimizin yabancı dillerin etkisinden kurtulma yolunda" esaslı bir adım attığını ilan eder. Aynı yıl okullarda, eğitim-öğretim Türk Dil Kurumu ve Türk Tarih Kurumu  tarafından hazırlanmış ve yeni Türkçe terimlerle basılmış olan kitaplarla başlar ve bu olay kültür hayatı için önemli bir adım olur. Atatürk, dil imkanlarını özleştirme adımlarını zorlayarak, bilim ve düşünce dilinin sadeleştirilmesinin ve eğitimin yeni Türkçe ile yapılmasının gerekliliğini her ortamda önemle vurgulamıştır.

Atatürk’ün geometri kitabı; Bilimsel terimlerin Türkçeleştirilmesinde karşımıza çıkan ilk adım yine, Atatürk’ün 1936-37 kış aylarında kendisinin yazdığı ve geometri öğretiminde yol gösterici olarak tasarlanan, 44 sayfalık bir geometri kitabıdır. Kitap, 1937’de Milli Eğitim Bakanlığı tarafından yazar adı konmadan yayınlanmıştır. 1971 yılında da aynı geometri kitabının, ikinci bir baskısı Türk Dil Kurumu tarafından yapılmıştır. Kitapta yer alan, günümüzde de yaygın olarak kullanılmakta olan pek çok terim, Atatürk tarafından türetilmiştir. 

Aşağıdaki tablodan da görülebileceği gibi bugün kullandığımız matematik terimlerinin hemen hemen tamamı, Mustafa Kemal Atatürk tarafından türetilmiş, başka bir ifadeyle bu sözcüklerin büyük çoğunluğu dile yerleşerek kabul görmüştür diyebiliriz.

Atatürk tarafından önerilerek bugün dilimize yerleşen bazı kavramlar sırayla belirtilmiştir.

Bu’ud - boyut,

mekan - uzay,

satıh - yüzey,

kutur - çap,

nısf-ı kutur - yarıçap,

muhit - çevre,

kavis - yay,

muhit-i daire - çember ,

mümâs - teğet,

veter - kiriş,

zâviye - açı,

zaviyei hadde - dar açı,

tamamlıyan zaviye - tümey açı,

re’sen mütekabil zâviyeler - ters açılar,

zâviyetân-ı mütevâfıkatân - yöndeş açılar,

zâviyetan’ı mütabâdiletân-ı dâhiletan - iç ters açılar,

hattı munassıf - açıortay,

kaaide - tabanufkî - yatay,

şâkulî - düşey,

amûd - dikey,

muvazi - paralel

mahattı mail - eğik,

hat - çizgi,

mukavves - eğri,

dılı - kenar,

re’s - köşe,

müselles-i mütesâviyü’l-adlâ’ - eşkenar üçgen,

müselles-i mütesâviyü’ssâkeyn -ikizkenar üçgen,

kaim zaviyeli müselles - dikey üçgen,

münharif - yamuk,

murabba - kare,

va’zîyet - konummustatîl - dikdörtgen,

muhammes - beşgen,

muvazi dılı - paralelkenar,

mecmû - toplam,

müsavi - eşit,

nisbet - oran,

tenasüb - orantı,

mesâha-i sathiyye - alan,

müştak - türev,

faraziye - varsayı,

seviye - düzey,

koşut,menşur - pürüz,

mahrut - koni,

mümaselet - imsiyumumi totale - ökül,

küre - yüre

Atatürk’ün önerdiklerinden sadece “varsayı, pürüzma, dikey üçgen, dikey açı, tümey açı, imsiy, ökül, yüre” terimleri yerine, bugün sırasıyla “varsayım, prizma, dik üçgen, dik açı, tümler açı, benzerlik, tüm/bütün, küre” terimleri kullanılıyor. 

Harezmi'ye Ün Kazandıran "Cebir Kitabi"

Harzemli'nin bilim tarihinde kısaca, "Cebir Kitabı" adı ile anılan eseri, " Kitab-ül Muhtasar Fi Hesab al-Cebr Ve'l Mukabele" , Türkçe deyişle; "Özetlenmiş , Benzer terimleri yoketme-Mukabele ve Bilinenleri bir tarafta toplama-Cebir, Hesaplamasının Elkitabi " dir. Harzemli Dar Ül Hikmede , çesitli matematiksel problemlerin çözümü üzerinde çalışırken, Hindli matemetikçilerin yeni bir aritmetik üzerinde çalıştıklarını öğrenir. M.S. 825 Tarihlerinde Halife Memun'un izni ile, Hint matematiğini izlemek üzere Hindistan'a gider. Hint matemetikçilerinin kullandığı yeni sayı sistemini ve aritmetiği bütün yönleri ile inceler, notlar alır ve bilgi yükü ile Bağdat'a döner.

Bilim tarihçilerinin bir konuyu işleme zenginliğini görmek ve bu yaklaşımın ulaşımlarını değerlendirmek için, bilim tarihçisi B. K. Stonaker'in , "Famous Mathematicians" (1966, N.York) isimli kitabından Harzemli'nin Bağdat dönüşü hikayesini okuyalım: " Kervan Bağdat'a doğru tekrar yola çıktı. Havanın sıcaklığından, çölde yolculuk çok zor geçiyordu. Kervan bin güçlükle Bağdat'a ulaştı. Harzemli'yi Halife Memun karşıladı. Ve Harzemli  " Allah, bana çok yararlı ve başarılı bir gezi bahşetti. dedi. Harzemli koltuğunda bir deste kağıt ve kitap taşıyordu. Bir ara kağıtların bir bölümü yere düştü. Birinin üzerinde şifre gibi bilinmeyen simgeler vardı. Halife bu acayip şekilleri görünce kızar gibi oldu ve "Bunlar nedir?"diye sordu. Harzemli." Bunlar Hint sayılarıdır." Diye cevapladı. "Bunlar sayıların tanımlanmasını ve aritmetik işlemleri çok kolaylaştıracaktır efendim." şeklinde niyetini açıkladı. Halife, Harzemli'nin Hindistan'dan getirdiği yenilikleri bundan sonra daha iyi karşıladı ve "geliştirip herkese yararlı hale getirmesini ve diğerlerine öğretmesini buyurdu.".. Harzemli, Hint gezisi dönüşünde, orada matematik işlemlerde kullanımını incelediği onlu sayı birimleri (1,2,3,.,9 )ile kurulan sayıların işlemsel kullanımı yöntemlerini kendi çabalarıyla geliştirdi. Harezmi'nin çalışmalarından sonra bu sayı sistemleri, sonradan Arap sayıları diye anılan onlu sayı sistemini oluşturmuştur. Aritmetiğe onlu sayı sisteminin girişi Harzemli'nin eserinin çevirileri ile dünyaya yayılmıştır. Cebirde denklem çözümü ve güncel problemlerin çözümünde kullanmak için çalışmalar yaptı. Kendine özgü sözlü biçimde denklem çözümünü içeren bir yöntem geliştirdi. Denklem çözme yöntemini öğretmeyi amaçlayan bir kitap hazırladı. 

Harzemli "Cebir Kitabı"nın önsözünde :" Lütüfkar ve merhametli Allah adına, bu eser Harzemli Musa Oğlu Muhammed tarafından yazılmıştır. O şöyle bir başlangıç yapmak ister: Allah'a şükürler olsun ki, onun iyilikseverliğine ve korumacılığına sığınabildim. Onun emirlerine uydum. Şükürler olsun ki, görevimi yapmak için Onun değerli ve sürekli yardım severliğinden yararlandım. Onun kudretli, eksilmeyen yüceliğini ve saygın büyüklüğünü kabul ederim. O Muhammedi Allah'ın elçisine yakışır bir görevle görevlendirdi. Ne zaman haklılık zayıflasa, doğru yolda ilerlemek çaresiz kalsa, Onun yardımları yetişti. Allah, sadık komutan Al-Memun 'u ilim sevgisi ile ünlü kıldı öyle ki, O bilim adamlarından yardım ve desteğini hiç eksik etmedi. Onları güçlüklerden korudu. O halifeliği yanında, yüceltmede, ödünlendirmede , adalet ve hak dağıtmada da çömertti.. Beni "bir araya getirme-cebr ve sadeleştirme-mukabele" kuralları ile hesaplama üzerine özlü bir eser yazmaya teşvik etti, bana cesaret verdi.."

Bir kaynağa göre, Harzemli "cebir Kitabı"nı yazar ve Halife Memun'a sunar. Memun: " Harzemli çok güzel ama bunları halkım anlayıp kullanamaz. Haydi git yeniden, öyle yaz ki herkes bu kurallarla problem çözebilsin" der. Bu buyrukla, Harzemli konuyu yeniden inceler ve kitabını yeniden herkesin anlayıp, uygulayabileceği sistemli bir anlatım yapısı düzeni ile düzenler. Gerek, Harzemli' nin önsözünde belirttiği; Memun'un "Özlü bir kitap yaz." Gerekse, yukarda sözü edilen; " yeniden öyle yaz ki herkes anlayıp kullanabilsin" cümlelernin içinde yatan anlamı, Harzemli öylesine değerlendirmiş ki, özgün bir anlatım yöntemi oluşturarak, çığır açan üç kavramı birbirinin bütünleyicisi olarak ortaya koymuştur. Bunlar; onlu sayı sistemi , denklem kuramı ile çözüm ve yeni çözümleme yöntemi ya da algoritmik anlatımlardır ve bütün bunlar ayrı ayrı önem taşıyan Ortaçağ biliminin ilklerindendir.

Harzemli'nin çalıştığı ortam gereği Arapça el yazması ile hazırladığı "Cebir Kitabı", 11. Yüzyılın sonlarında, İspanya yolu ile Avrupa'ya ulaştıktan sonra , birkaç kez Latince, Italyanca ve sonra İngilizce'ye, çevrilmiş, bu çevirilerde özgün elyazmasının farklı kopyaları kullanılmıştır. Ayrıca sayısı yüzden fazla araştırmacı, Harezmi'nin kitabı üzerine değerlendirme ve yorum yayımlamıştır. Çevirilerden en yaygın kullanılanı; M.S. 1145 yılında Chester'lı Robert sanı ile tanınan araştırmacının İspanya'nın Segova kentinde Latinceye çevirdiği "Al-Khwraizmi's Al-Jabr" isimli kitabı ile Frederic Rosen'ın 1831 deki İngilizce çevirisi " The Algebra of Muhammed Ben Musa" isimli kitabıdır. 19. Yüzyılda en çok yararlanılan kaynaklar ise, L.C. Karpinski'nin Chester çevirisinden yararlanarak , 1915 deki İngilizce, " Robert of Chester's Latin Translation of Al-Khowarizmi" çeviri ve değerlendirmesi ile 1989 Yılında Barnabas B. Hughes'in değerlendirme, karşılaştırma ve yorumu içeren İngilizce "Robert of Chester's Latin Translation of Al-Khwarizmi's Al-Jabr " adlı eserleridir.

Harezmî önce bu denklemlerin analitik çözümlerini verir, daha sonra katışık denklemlerin geometrik ispatını yapar. Kitaptaki denklem çözümlerinden birine örnek olarak x²+21=10x denkleminin iki farklı kökünü geometrik modellemeyle vermiştir. x²-2x-5x= 6=0 denkleminde iyileştirme ile negatif terimleri diğer tarafa atmayı ifade ederek denklemi x²=+5x+2x+6 şekline dönüştürerek modellemiştir. Sadeleştirme ile benzer terimlerin birleştirilmesini ifade eder ve bu durumda denklem; x² = +7x+6 şekline dönüştürerek denklemlerin sade hallerinden geometrik modellemelerini alan hesabından yararlanarak açıklamıştır. Harezmî özel olarak x² +10x-39=0 denkleminin çözümünü geometrik olarak aşağıdaki gibi bulmuştur.

Harzemli'nin "Cebir Kitabı" kısaca tanımlamak gerekirse; On tabanlı sayı sisteminin ve dört işleminin tanımı, birinci ve ikinci derece denklem oluşturma öğelerinin tanımı. (kök-bilinmeyen, kare- bilinmeyenin karesi, kare ya da kök olmayan yalın sayı), birinci ve ikinci derece eşitlik- ya da denklem kurma, cebr ve mukabele işlemleri, cebirsel ifadeler üzerine çeşitli işlemler, karekök, İkinci derece denklemin kökünü bulma yöntemi, denklem çözümlerinin geometrik ispat ve modellemelerini içerir. Yer alan, birinci ve ikinci derece denklem türleri: bx = c, ax = c, ax² = bx, ax²+bx=c, ax²+c = bx ve ax² = bx+c tanımı ile denklem kurma yolu ile çözümü verilen, miras, alan, faiz ve arazi problemlerinin sistemli-açıklamalı, çok sayıda çözüm örnekleri sözel biçimde aktararak, çeşitli matematiksel ve geometrik modellemelerle eserde sıralanmaktadır.

Ünlü Matematik Sözleri

• “Algoritma şöyle diyor: Rabbimiz ve koruyucumuz olan Allah ‘a hamd ve senalar olsun“ (Harezmi)
•  Allah kainatı matematik dilinde yaratmıştır. Doğanın muazzam kitabının dili matematiktir.(Galileo)
• “Matematikle ifade edebiliyorsanız, bilginiz doyurucudur.” (Lord Kelvin)
• ”Tarihte üç büyük olay vardır: Bunlardan ilki, evrenin oluşumudur. İkincisi, yaşamın başlangıcıdır. Bu ikincisi ile aynı derecede önemli olan üçüncüsüyse, yapay zekanın ortaya çıkışıdır." (Edward Fredkin)
• “Hayat sadece iki şey için güzel; matematiği keşfetme ve öğretme…” (Simeon Poisson)
• “Başka her şey de olduğu gibi matematiksel bir teori için de öyledir; güzellik algılanabilir fakat açıklanamaz.“ (Cayley, Arthur)
• “İnsanoğlunun değeri bir kesirle ifade edilecek olursa; payı gerçek kişiliğini gösterir, paydası da kendisini ne zannettigini, payda büyüdükçe kesrin değeri küçülür.“(TOLSTOY)
• “Gerçeği aramak onu elde etmekten daha kıymetlidir.“ (Einstein, Albert (1879-1955)
• “Hayat sadece iki şey için güzel;matematiği keşfetme ve öğretme“ (Simeon Poisson)
• “Sen de biliyorsun ki biz hepimiz aynı sebepten dolayı matematikçi olduk; tembeliz.” (Rosenlicht, Max (1949)
• “Çözümde görev almayanlar, problemin bir parçası olurlar.” (GOETHE)
• “Bir matematikçi sanmaz fakat bilir.ınandırmaya çalısmaz çünkü ispat eder.Güveninizi beklemez.Belki dikkat etmenizi ister.” (Henri POINCARE)
• “Dünyadaki en mâsum uğraş matematiktir” (G. H. HARDY)
• “…evren her an gözlemlerimize açıktır; ama onun dilini ve bu dilin yazıldığı harfleri öğrenmeden ve kavramadan anlaşılamaz. Evren matematik diliyle yazılmıştır; harfleri üçgenler, daireler ve diğer geometrik biçimlerdir. Bunlar olmadan tek sözcüğü bile anlaşılamaz; bunlarsız ancak karanlık bir labirentte dolanılır.” (GALİLEO)
• “Bilim deyince, onda hakikat diye öne sürdüğü önermelerin pekin olmasını ister; pekinlik ise en mükemmel şekliyle matematikte bulunur. O halde bilim o disiplindir ki; önermeleri matematikle ifade edilir. O zaman matematiği kullanmayan disiplinler bilimin dışında kalacaklardır.” (M.Kemal Atatürk)
• “İnsanlar sayılar gibidir, o insanın değeri ise o sayının içinde bulunduğu sayı ile ölçülür.” (NEWTON)
• “Matematiğin hiçbir dalı yoktur ki, ne kadar soyut olursa olsun, bir gün gerçek dünyada uygulama alanı bulmasın.” (LOBACHEVSKY)
• “Matematikte bir şeyleri asla anlamazsın, sadece onlara alışırsın.” (John von Neumann)
• “Matematik ne neden söz ettiğimizi, ne de söylediğimiz şeyin doğru olup olmadığını bilmediğimiz bir konudur.”(Bertrand Russell)
• Bir teoremin zerafeti onda görebildiğin fikirlerin sayısıyla doğru, o fikirleri görebilmek için harcadığın çabayla ters orantılıdır.” (George Polya)
• “Geometri zekayı aydınlatır ve aklı doğru yola sokar. Onun bütün kanıtları açık ve düzenlidir. Çok iyi düzenlendiğinden geometrik mantık yürütmeye hata girmesi neredeyse imkansızdır. Bu nedenle sürekli geometriye başvuran bir aklın hataya düşmesi çok nadirdir. Buna göre de geometri bilen kişi zeka kazanır. Eflatun’un kapısında aşağıdaki sözlerin yazılı olduğu nakledilir: “Geometrici olmayan evimize giremez.” (Ibn Haldun (1332-1406)
• “Bir karenin kenarlarıyla köşegenlerinin rasyonel orantılı olmadığı gerçeğinden habersiz olan, insan sıfatına layık değildir.” (Plato (429-347 B.C.)
• “Bir matematik problemine dalıp gitmekten daha büyük mutluluk yoktur.“ (C. MORLEY)
• “Matematik, dünyayı anlamamızda ve yaşadığımız çevreyi geliştirmede başvurduğumuz bir yardımcıdır”(Baykul, (1999:25)
• “Bir matematikçi sanmaz fakat bilir, inandırmaya çalışmaz çünkü ispat eder.”(HENRI POINCARE)
• Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. (Albert Einstein)
• Geometri, yaratılış öncesi de vardı.(Plato)
• Tanrı vardır, çünkü matematik tutarlıdır; şeytan vardır, çünkü bunu ispat edemiyoruz. (Morris Kline)
• Kara delikler, Tanrının 0′a böldüğü yerlerdir.(Steven Wright)
• Resim bir bilimdir ve tüm bilimler matematiğe dayanır. İnsanın ortaya koyduğu hiçbir şey matematikte yerini bulmaksızın bilim olamaz.(Leonardo Da Vinci)
• Şu an ispatlananlar, bir zamanlar sadece tasavvurdu.(Atasözü)
• Matematik düzen, simetri ve limitleri ortaya koyar ve bunlar güzelliğin en muhteşem formlarıdır.(Aristotle)
• Ne kadar çok bilirsen, o kadar az emin olabilirsin.(Voltaire)
• Aritmetik, ayakkabıları çıkarmadan yirmiye kadar sayabilmektir.(Mickey Mouse)
• Dinsiz ilim topal, ilimsiz din kördür.(Albert Einstein)
• Matematik bilimlerin sultanıdır.(Carl Friedrich Gauss)
• “Matematik, insan zihninin idrak edebildiği bütün kavramların ve bu kavramlar arasındaki bütün ilişkilerin ifade edildiği dildir.” (Mustafa Aydos)
• Matematiksel olarak gösterilemeyen hiçbir araştırma gerçel bilim sayılamaz.(Leonardo da Vinci)
• Eğer mutsuzsam, matematikle uğraşıp mutlanırım. Eğer mutlu isem; matematikle uğraşıp mutluluğumu muhafaza ederim.(P. Turan)
• Matematik aşk gibidir: Basit bir fikir, fakat her an karmaşıklaşabilir.(R. Drabek)
• "Bariz(Aşikar)” matematikteki en tehlikeli sözcüktür. (E.T. Bell)

Doğrunun Analitiği "Doğrunun Eğimi ve Denklemi"

Eğim, dikey mesafenin yatay mesafeye oranlanması ile bulunur. Eğim, ondalık kesir veya yüzde olarak ifade edilir.Bir doğruda, eğim hesaplanırken doğrunun eksenle yaptığı açının tanjantına bakılır. Tanjant, bir dik üçgende karşı kenar uzunluğunu komşu kenar uzunluğuna bölmektir. Denklemi y = ax + b biçiminde olan bir doğrunun eğimi, x'in kat sayısına yani a değerine eşittir. Eğer doğru denklemi bu şekilde verilmezse ya denklemde eşitliğin bir tarafında y tek başına bırakılarak yazılmaya çalışır ya da x'in katsayısı y nin katsayısına oranlanır başına bir "-"yazılır.

Örnek: y = 2x + 5 doğru denkleminin eğimi 2'dir.
Örnek: y=-15x+4 doğru denkleminin eğimi -15 tir.
Örnek: 3x+4y=5 denkleminin eğimi -3/4 tür.
Örnek: -3x+5y=8 denkleminin eğimi 3/5 tür.
Örnek: 6x-3y=1 doğrusunun eğimi 6/3=2 olur.

Yandaki şekillerde d doğrusunun farklı durumlarına karşılık oluşan (alfa) eğim açısı gösterilmiştir. Herhangi bir doğru verildiğinde o doğrunun x ekseni ile yaptığı açı biliniyorsa doğrunun eğimi kolayca bulunabilir. Açının tanjantı doğrunun eğimidir.

Örnek: Doğru x ekseni ile 45 derecelik açı yapıyorsa eğimi tan45=1 olur. Eğer doğru x ekseni ile 135 derecelik açı yapıyorsa doğrunun eğimi tan135=-1 olur.

x eksenine paralel doğruların eğimleri 0'dır.

y eksenine paralel doğruların eğimleri ise doğru x eksenine dik olduğu için açısal olarak tanjant fonksiyonu burada tanımlanamadığından doğruların eğimlerinden söz edilemez. Eğim=Tanımsızdır.

Örnek: y=3 doğrusunun eğimi x eksenine tam paralel bir doğru olduğu için herhangi bir açı oluşmayacaktır bu nedenle de bu doğrunun eğimi "0" olacaktır. x=5 doğrusunun eğimi yoktur.

Paralel Doğrular; Hiçbir ortak noktası olmayan doğrulara paralel doğrular denir. Paralel doğrular bir düzlem üzerinde hiçbir zaman kesişmezler. Paralel doğruların eğimleri eşittir. 

Dik Doğrular; İki doğrunun keşisimleri varsa ve bu doğruların aralarındaki açı 90 derece ise bu doğrular birbirine diktir. Dik olan doğruların eğimleri çarpımı (-1)'dir. Yeni birinin eğimi dik olan diğer doğrunun eğiminin çarpma işlemine göre tersinin negatif işaretlisidir. 

Doğruların denklemi 

Analitik düzlemde, eğimi ve üzerinden geçtiği bir noktası bilinen bir doğrunun denklemi yazılabilir. Doğrunun eğimi verilmeden sadece iki noktası verilmişse yine doğrunun denklemi bulunabilir. İki noktası verilen bir doğrunun denklemi için öncelikle verilen iki noktadan geçen doğrunun eğimi hesaplanır. İki noktası verilen doğrunun eğimi; noktaların ordinatları farkının apsisleri farkına bölümü ile hesaplanır. Eğim bulunduktan sonra doğrunun denklemi aşağıda gösterildiği gibi yazılır.

Doğrunun denkleminin veren bu ifade; aslında doğru üzerinde yer alan iki farklı noktanın arasındaki eğim hesabından yola çıkılarak elde edilmiş bir denklemdir. Bu denklem bulunurken doğru üzerinde yer alan her iki noktanın arasında kalan eğimler eşit olması kuralı kullanılır.

Sadece iki noktası verilen doğruların denklemi yazılırken öncelikle iki noktadan doğrunun eğimi bulunur. Daha sonra yukarıdaki bir nokta ve doğrunun eğimi yardımıyla doğrunun denklemi yazılır.

Doğruların Grafikleri:

Doğruların grafiklerini çizmek için x ve y eksenlerini kestikleri noktalar bulunur. x eksenini kestiği nokta için y = 0 ve y eksenini kestiği nokta için x = 0 değerleri alınır. Eğer bir doğrunun eksenleri kestiği x ve y değerleri 0 çıkıyorsa bu doğru orijinden geçer. Bu durumda doğrunun koordinat düzlemindeki 1.veya 2.bölgeye olan uzantısının bulunması gerekecektir. Bunu belirlemek için de x yerine farklı bir nokta alınarak y değeri bulunur bu noktanın bulunduğu bölge ile orijinden doğru grafiği çizilir.

Ayrıntılı grafik çizme işlemleri için doğru grafiği çizme yazımızı okuyabilirsiniz. (Bkz. Doğruların Grafik Çizimi)

Öteleme, Süsleme ve Örüntü Oluşturma

Öteleme nedir?

Bir nesnenin bir yerden başka bir yere belirli bir doğrultu ve yönde (sağ, sol, yukarı, aşağı) yaptığı kayma hareketi ötelemedir. Öteleme hareketi sonunda nesnenin geldiği yer, görüntüsüdür. Ötelemede şeklin duruşu, biçimi ve boyutları aynı kalır. Örneğin şeklimiz 3 birim yukarı, 4 birim sağa kaydırılacak ama yönü değişmeyecek sadece yer değiştirmiş olacaktır.

Örüntü nedir?

Belirli bir kurala göre art arda gelen eş veya benzer şekillerin oluşturduğu topluluğa örüntü denir. Farklı şekillerin biraraya gelerek oluşturdukları yeni şekildir. Örneğin, kağıttan birbirine eş bir sürü üçgen şeklini kestiniz. Bunlarla bulmaca gibi balık, kuş, ev, halı, kare, dikdörtgen gibi farklı desenlerde yeni şekiller meydana getirebilirsiniz. İşte bu oluşturduğunuz yeni şekillere birbiri ile anlamlı bir kural oluşturduğu takdirde örüntü adı verilir. Yalnız buradaki kestiğiniz üçgenlerin birbirine eş ve benzer olması gerekir. 

Süsleme nedir?

Bir düzlemin boşluk kalmadan ve şekiller üst üste gelmeden örüntü oluşturacak şekilde döşenmesidir. Süsleme yapılırken düzgün olan ya da düzgün olmayan çokgenler kullanılabilir. Çokgenler arasında boşluk kalmamalıdır. Üçgenle, kareyle, dikdörtgenle, düzgün altıgenle, düzgün sekizgenle süsleme yapılabilir. Arada boşluklar kalan cisimlerle süsleme motifleri oluşturulamaz. Şekiller öteleme hareketi ile döşenirse ötelemeli süsleme yapılmış olur. Örneğin okuldaki fayansların dizilişi, halı desenleri gibi.

Süsleme yapılabilmesi için, her bir köşede oluşan açıların ölçülerinin toplamı 360 derece olmalıdır.

Süslemenin Kodu Nasıl Bulunur?

Bir süslemede, her köşedeki düzgün çokgensel bölgelerin kenar sayıları süslemenin kodunu verir. Burada verilen süslemeli şeklin ortadaki köşelerinden birini belirleriz ve bu köşe etrafında oluşan şekillerin kenar sayısı ve kaç tane olduğuna göre kod yazarız.

Karelerden oluşan bir süslemede kod: 4,4,4,4 

(köşe etrafında 4 kenarlı 4 tane kare vardır anlamına gelir.)

Eşkenar üçgenlerden oluşan bir süslemede kod:3,3,3,3,3,3 

(köşe etrafında 3 kenarlı 6 tane üçgen vardır anlamına gelir.)

Düzgün altıgenlerden oluşan bir süslemede kod: 6,6,6 

(köşe etrafında 6 kenarlı 3 tane altıgen vardır anlamına gelir.)

Farklı çokgenler bir arada kullanılarak da süslemeler elde edilebilir. Bu durumda kullanılan çokgenlere göre süsleme kodu değişir. Hangi çokgenler kullanılmış ise bunların kenar sayılarına göre süsleme kodu sırayla yazılır.

Aşağıda öteleme/süsleme ve örüntü ile ilgili konuyu pekiştirmenizi sağlayacak testler verilmiştir.İnceleyebilirsiniz.

Bir Cismin İzdüşüm özellikleri

İzdüşüm: Bir cismin, bir düzlem üzerine,ışınların etkiyle düşürülen görüntüsüne, o cismin izdüşümü, görüntünün elde edilebilmesi için uygulanan metoda ise izdüşüm metodu denir.Sinemada perdeye yansıyan film,güneşli bir günde yolda yürürken meydana gelen gölgemiz birer izdüşüm kabul edilir. İzdüşüm metodunun uygulamaları cisimlerin biçimlerinin teknik ve meslek resmi yönünden anlatılmasına hizmet eder. 

Günümüzde, cisimlerin anlatımı, teknik resim,perspektif ve fotoğraflarla birlikte en iyi şekilde tasarı geometri çizimleri ile yapılabilmektedir. Özellikle mühendislikte ve mimaride iz düşümün önemi çok büyüktür.Bir teknik elemanın insanların ihtiyaçlarında kullanmak istediği herhangi bir şeyi düşünüp yaptırabilmesi için, yapacak olan kişiye gerçek örneğini vermesi veya küçük ölçekte modelini (maketini) yapması gerekir. Bu anlatım çok masraflı ve zaman alıcı olacağından çizimle anlatımda kolaylık sağlayan, teknik resim kuralları uygulanarak iş resimleri çizilmektedir. 

Teknik resim, tanımlanması istenen cisimlerin geometrik yapılarını,konusunu, şekil ve boyutlarını tam veya bir ölçek altında belirtir. Bu tanımlama, üç boyutlu cisimlerin iki boyutlu düzlemler üzerine uygun bir metotla çizilmelerini ve ölçülendirilmelerini gerektirir. İki boyutlu düzlem üzerinde yapılacak çizimin gerçekleştirilmesi ancak iz düşüm metotlarının uygulanması ile mümkün olur.İzdüşüm (perspektif) genel olarak iki başlık altında incelenir. Konik perspektif, paralel ve kotlu izdüşüm. Bu başlıklar da kendi alt birimlere ayrılabilir. Bir merkezden çıkan ışınların açı oluşturarak, cismin çevre ve kenarlarından geçerek, düzlem üzerinde bir görüntü meydana getirmesiyle oluşur. İz düşüm düzlemine sonsuz uzaklıkta olmayan bir gözlem noktasından ışınlar gönderilerek, bir cismin iz düşüm düzlemi üzerindeki görüntüsünü bulma yoluna merkezi (konik) iz düşüm adı verilir. 

Konik iz düşüm metodunda, cismin boyutları ile iz düşümün boyutları birbirinden farklıdır. Görüntü büyüyüp küçüldüğünden teknik resimlerin çizilmesinde kullanılmaz.Meydana gelen görüntünün (iz düşümün) şekli ve büyüklüğü, o cismin şekline, duruşuna, iz düşüm merkezinin, cisim ve iz düşüm düzlemine uzaklığına bağlıdır. Merkezi (konik) iz düşüm, genellikle, dekor, afiş ve mimari çizimler için kullanılır. Merkezi iz düşümde ışınlar, şekillerde görüldüğü gibi, iz düşüm düzlemlerinden pek uzakta olmayan, bakış noktasında birleştiklerinden birbirlerine paralel değildirler. Cismin, iz düşüm düzlemi üzerindeki görüntüsünün, biçim ve büyüklüğü, cismin kendi biçim ve duruşuna ek olarak, aynı zamanda cismin ve bakış noktasının iz düşüm düzleminden olan uzaklığına da bağlıdır. 

Bakış noktası cisme sonsuz uzaklıkta ise bakış noktasından çıkan ışınlar birbirine paralel olarak gelir. Bu ışınlarla elde edilen iz düşüme paralel iz düşüm denir. İz düşüren ışınların cisme ve iz düşüm düzlemlerine geliş açılarına göre paralel iz düşüm metodu ikiye ayrılır. Bunlar; Paralel dik iz düşüm ve Paralel eğik iz düşüm. Eğer ışınlar düzleme 90°’lik bir açı altında geliyorsa, buna da paralel dik izdüşüm denir. Bu metotta iz düşüm ışınları birbirine paralel, iz düşüm düzlemine ise dik olarak gelir. Cismin duruşunun sabit olması halinde, düzlem ve cisim arasındaki mesafe değişse bile iz düşümde herhangi bir değişiklik meydana gelmez. Gelen ışınlar birbirine paralel kabul edilebileceğinden cismin iz düşümünde kendisine göre bir büyüme veya küçülme meydana gelmez.

Işınlar, iz düşüm düzlemine herhangi bir açıyla da gelebilir. Eğer ışınlar düzleme 90° den farklı bir açıda gelirse görüntüye paralel eğik izdüşüm denir. Bu metotta ışınlar birbirine paralel, iz düşüm düzlemine eğiktir. Cismin bir yüzü iz düşüm düzlemine paralel olduğu halde, ışınlar 90°’den farklı bir açıyla iz düşüm düzlemine gelir. 

Kotlu İz Düşüm Cismin uzaydaki yeri (veya noktaların yerleri) iz düşüm düzleminden çok yüksek,daha alçak veya düzlemin çok altında olabilir. Bu durumda noktanın uzaydaki yeri bir izdüşümü ile tanımlanamaz Bir noktanın uzaydaki yeri sadece düzlem üzerindeki bir izdüşümü ile belirtilemez. Bu tip iz düşümlere en açık örnek olarak haritaları gösterebiliriz.Jeoloji (yeryüzü şekillerini inceleyen bilim dalı) haritaları tek görünüşlü olmalarına rağmen, farklı bir iz düşüm metoduna göre çizildikleri için üç boyutlu olarak okunabilmektedir.Böylelikle yükseklikler (dağlar, tepeler) ile deniz seviyeleri ince birer sınır çizgisi ile belirtilerek kotlandırılmış olur.

İzdüşüm Düzlemleri; Birbirine bitişik ve dik konumda alınan,üzerine izdüşümleri çizdiğimiz düzlemlere izdüşüm düzlemleri denir. İz düşüm düzlemi, metreyi birim olarak kabul eden milletlerde saydamsızdır ve bakış noktası cisimden sonra konur. İnç’i birim olarak kabul eden milletlerde saydamdır ve bakış noktası ile cisim arasına konur. İz düşüm düzlemi cisimden sonra konursa görüntü büyük; bakış noktası ile cisim arasına konursa görüntü küçük çıkar. Uzaydaki bir cisim, bir düzlem önünde tutulup bu cisme karşıdan bakılacak olursa, cismin düzlem üzerine bir görüntüsü düşer. Cisimlerin düzlem üzerine ışık ışınları yolu ile düşürülen bu görüntüsüne iz düşüm denir. 

İz düşüm ışınlarının çıktığı kabul edilen noktaya bakış noktası (odak noktası) denir. İz düşümler belirli kurallar, prensipler ve işlemler sonucunda meydana gelir. Bunların kâğıt üzerinde gösterilmesi ise iz düşüm yöntemleri aracılığıyla olur. İz düşüm çizimlerinde bakış noktasının ışık kaynağı yerine bir göz olduğu kabul edilmiştir. Buna göre kalem görüntüsünün düzlem üzerinde oluşabilmesi için ışık kaynağı veya bakış noktası, cisim ve düzlemin bulunması gerekir. Bakış noktası olarak kabul edilen yer cisimden uzaklaştıkça görüntü küçülür ve cisme yaklaştıkça görüntü büyür. Temel izdüşüm düzlemlerini bir arada bulunduran şekle diedri denir. Diedri üzerinde bulunan «alın» izdüşüm düzlemi önden bakış için, «profil» izdüşüm düzlemi yandan bakış için, «yatay» izdüşüm düzlemi ise üstten bakış için kullanılır. Diedrinin açılmış şekline «epür» denir. 

Bütün geometri elemanlarının esası, noktalar olduğuna göre, bunların uzaydaki yerlerini belirten iki ayrı düzlem, yani yatay ve alın (düşey) izdüşüm düzlemleri, birbirine dik olarak kabul edilir. Yatay izdüşüm düzlemi  (x) ekseni etrafında döndürülerek alın düzlemi ile çakıştırılırlar. Bu suretle elde edilen resme "Epür" denilir. 

Teknik resimlerdeki görünüşler, cisimlerin epürlerinden başka birşey değildirler. Çok çeşitli ve sonsuz sayıdaki parçalardan bir kısmı, iki izdüşümü ile tanınamaz veya tanıtılamaz. Epürlerde düzlemleri sınırlayan çizgilere her zaman ihtiyaç olmadığından,çizilmeyebilir veya sadece koordinat ekseni olan (+) şeklindeki epür çizilebilir. Önemli olan koordinatları verilen bir noktanın perspektifini ve daha önemlisi de epürünü çizmektir 

Dolayısıyla, izdüşümlerin daha anlamlı ve yeterli olmaları bakımından, mevcut yatay ve  alın (düşey) izdüşüm düzlemlerine ek olarak bunlara dik olan üçüncü bir profil izdüşüm düzlemi katılır. Bu şekilde cisimlere ait izdüşüm sayısı arttırılmış olur. Cisimden yatay, düşey ve profil düzlemlerine dik olarak ışınlar gönderilir ve cismin düzlemlerde adeta gölgesi oluşturulur. Bundan sonraki aşamada ise cisim, düzlemler arasından kaldırılır ve sadece düzlemlerdeki izdüşümleri kalır. Daha sonra yatay düzlemi aşağıya, profil düzlemi ise sağa doğru kıvrılır. İzdüşüm düzlemlerinin keşişmesiyle meydana gelen çizgilere de Katlama çizgileri veya kısaca Eksen denilir. 

Harita İzdüşüm; Yer elipsoidini harita düzlemi üzerinde matematiksel olarak gösterme yöntemine “harita izdüşümü” denir. Bu yöntem; uygun izdüşümler, eşdeğer izdüşümler ve perspektif izdüşümler gibi sistemleri kapsar. Genellikle izdüşüm sistemi harita çizecek olan kişinin amacına göre seçilir. Kullanılan izdüşüm sistemleri arasında en eskisi “Mercator izdüşüm sistemi”dir. Uzay şekillerinin izdüşümlerini çıkarmaktaki amaç, izdüşümlerin epüre dönüştürülmesiyle cisimlerin teknik resimlerini elde edebilmektir. 

Yeri küresel kabul edilen bu sistem , deniz haritalarının yapımında bugün de kullanılmaktadır. Bu izdüşüm sisteminin geliştirilmesiyle “Mollweide izdüşümü” bulunmuştur. Mollweide izdüşümünde boylam daireleri kutuplara doğru birbirine yaklaşır. Merkezi bir paralel boyunca yapılan konik bir açılımdan yararlanılan sistem “Lambert sistemi” olmuştur. Bunlardan başka Laborde, dik, stereografik ve çok yüzlü, Gauss gibi daha çeşitli izdüşüm sistemleri de kullanılmaktadır. 

Bir A noktasından bir P düzlemine çizilen dik doğrunun düzlemi kestiği A noktasına, A noktasının P düzlemindeki dik izdüşümü denir. Bir noktalar kümesinin bir düzlem üzerindeki dik izdüşümü, bütün noktaların bu düzlem üzerindeki dik izdüşümlerin kümesidir. Yani bir doğru parçası ya da bir seklin bir düzlem üzerindeki izdüşümünü bulmak için seklin tüm noktalarının izdüşümünü almak gerekir. Buna göre bir şeklin bir düzlem üzerine izdüşümü bulunurken o şeklin düzleme paralel olan yapısı esas alınır. Yandaki şekilde bir çizginin bir düzleme izdüşümü gösterilmiştir. Görüldüğü üzere bu çizginin düzlemle paralel olan izdüşümü alınmıştır. Bu düzlemle yapılan açının sıfırlanması ve trigonometrik olarak izdüşümünün alınması olarak da yorumlanabilir. 

Kaynak: 

İnşaat Teknolojisi İzdüşüm Çizimleri, Ankara, 2012, MEGEP http://www.megep.meb.gov.tr

İzdüşüm nedir? Ders Notları, Ankara Üniversitesi, https://acikders.ankara.edu.tr/pluginfile.php/146019/mod_resource/content/1/Hafta%208.pdf  

Geometrik Cisimlerin simetrisi ile ilgili ayrıntılı bilgiye ulaşmak için bağlantıya tıklayabilirsiniz. (Bkz. Geometrik Cisimlerin Simetrisi)