Dikdörtgen ve Özellikleri

Tüm açılarının ölçüsü, 90 derece olan paralelkenara dikdörtgen (mustatil) adı verilir. Paralelkenarın bütün özelliklerini taşır. Karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir. Her dikdörtgen, aynı zamanda bir paralelkenardır. Bu ifadenin tersi doğru olmaz. Yani her paralelkenar, her zaman bir dikdörtgen olmaz. Kare şekli de özel bir dikdörtgen formatıdır.

Eşkenar Dörtgen ve Özellikleri

Bütün kenar uzunlukları birbirine eşit olan paralelkenara eşkenar dörtgen denir. Paralelkenarın tüm özelliklerini sağlar.  (Bkz: Paralelkenar Özellikleri)

Eş veya benzer üçgenlerde yardımcı elemanlar

Bütün kenarları ve bütün açılarının ölçüleri birbirine eşit olan üçgenelere, eş üçgenler denir. Sonuç olarak; "Eş üçgenlerde, eş açılar karşısında eş kenarlar ve eş kenarlar kaşısında da eş açılar bulunur." Eş üçgenlerde karşılıklı açı ve kenar uzunlukları eşit olduğu gibi iki eş üçgende yardımcı elemanlar olan yükseklik, kenarortay ve açıortay da birbirine eşit uzunluktadır.

İkizkenar üçgende yardımcı elemanlar

Üçgenin yardımcı elemanları, kenarortay, yükseklik ve açıortaydır. Taban açıları birbirne eşit olan üçgene ikizkenar üçgen denir. İkizkenar üçgende, eş açıların karşısındaki kenarların uzunlukları birbirine eşittir. İkizkenarlara ait, yükseklik, açıortay ve kenarortay uzunlukları, karşılıklı olarak birbirine eşittir.  

Paralelkenarda Alan Hesabı

Bir paralelkenarda, alan hesabı için taban uzunluğu ve yükseklik bilinmelidir. Paralelkenarın yüksekliği, paralelkenar içerisinde bir köşeden karşı kenara dik uzaklık olarak çizilebileceği gibi, o kenarın uzantısına da çizilebilir. 

Paralelkenar Özellikleri

Paralelkenar, karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşit olan ve iç açıları toplamı 360 derece olan bir dörtgendir. 

Eşlik ve Benzerlik Teoremleri

Açı Kenar Açı (A.K.A.) Eşliği: İki üçgenin karşılıklı birer kenarı ve bu kenara komşu olan açıları arasında eşlik varsa, "iki üçgen birbirine eştir" denir. 

Üçgen eşitsizliği cebirsel ispatı

Üçgen Eşitsizliği: Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları farkından büyük, toplamından küçüktür. Bir üçgenin çizilebilmesi için olmazsa olmaz şart üçgen eşitsizliğidir. Üçgen eşitsizliği hakkında detaylı açıklama ve geometrik yorumu için aşağıdaki bağlantıyı kullanabilirsiniz.

(Bkz. Üçgen eşitsizliği)

Üçgen Eşitsizliğinin Cebirsel İspatı:

Üçgen eşitsizliğinin cebirsel formu mutlak değer ve eşitsizlik kavramları ile birlikte: 

||x|-|y||≤|x+y|≤|x|+|y| 

şeklinde ifade edilir ve mutlak değer teoremleri ve Cauchy-Schwarz Eşitsizliği yardımıyla ispatlanır. 

Aşağıda verilen teoremler, alt alta sırayla incelendiğinde, bütün bu teoremlerin birlikte sonucu olarak cebirsel üçgen eşitsizliğine ulaşılır. 

Üçgen eşitsizliği ve ispatı

 

Üçgen Eşitsizliği: Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları farkından büyük, toplamından küçüktür. Bir üçgenin çizilebilmesi için olmazsa olmaz şart üçgen eşitsizliğidir. Üçgen eşitsizliği, üçgenin bütün kenarları için ayrı ayrı uygulanmak zorundadır.

Üçgenin bütün kenarları, üçgen eşitsizliğini sağlamalıdır. Eğer üçgenin herhangi bir kenarı üçgen eşitsizliğini sağlamazsa bu üçgen çizilemez. Üçgende kenar bağıntıları ile ilgili ayrıntılı yazımızı okumak için bağlantıya tıklayabilirsiniz.

https://muallims.blogspot.com/2021/03/ucgende-kenar-bagintilari.html

ÜÇGEN EŞİTSİZLİĞİ GEOMETRİK İSPATI: Geometrik ispatını yapabilmek için herhangi bir ABC üçgeni çizelim. Bu üçgenin herhangi bir kenar uzunluğunun diğer iki kenar uzunluğu toplamından küçük olduğunu göstermeliyiz. Bunun için her hangi bir kenarını örneğin a kenarını alalım. a<b+c olduğunu gösterebilirsek aynı işlemi diğer kenar uzunlukları içind uygulayabiliriz. Bu nedenle ABC üçgeninde c kenarına eşit olacak biçimde b kenarı doğrultusunda yeni bir c kenarı çizelim. Yani b kenarını c br kadar uzatalım. Yeni bir üçgen DBC üçgeni meydana gelir. 

Çizilen DBC üçgeninde, |BC|=a ve |DC|=b+c olur. a kenarını D açısı görürken b+c kenarını da B açısı görmektedir. Buna göre kenar uzunluklarını karşılaştırmak için B ve D açılarını karşılaştırmak yeterli olacaktır. ADB üçgeni ikizkenar üçgendir. Buna göre taban açıları birbirine eşittir. Aşağıdaki şekilde bu ikiz olan açılar, m(CDB)=m(DBA)=x olarak işaretlenmiştir. m(ABC)= y olsun. Buna göre üçgende açılar yardımıyla, BAC açısı, m(BAC)=2x ve DBC açısı da m(DBC)=x+y ölçüsüne sahip olur. Dolayısıyla,m(DBA)<m(DBC) veya m(CDB)<m(DBC) olur.

Bir üçgende, daima büyük açı karşısında büyük kenar olacağından, DBC açısının karşısındaki kenar uzunluğu, CDB açısının karşısındaki kenar uzunluğundan daha büyük olacaktır. Buna göre a<b+c eşitsizliği doğrulanmış olur. Aynı şekilde diğer kenarlar da uzatılarak eşitsizlik bütün kenarlar için doğrulanmış olur. Aşağıda üçgenin bütün kenarları için üçgen eşitsizliği çizilerek gösterilmiştir.

**Geniş açılı bir üçgende en uzun kenar geniş açının karşısındaki kenardır. Dik üçgendeki pisagor bağıntısı bu geniş açılı üçgende uygulandığı zaman, üçgen eşitsizliği ile birlikte pisagor bağıntıs kuralı da yazılır. Yani geniş açılı üçgende, geniş açının karşısındaki kenar uzunluğunun karesi, üçgenin diğer iki kenarının kareleri toplamından daha büyük olur. Buna mukabil dar açılı bir üçgende de, dar açının karşısındaki kenar uzunluğunun karesi, üçgenin diğer iki kenarının kareleri toplamından daha küçük olur. 

**Dar ve geniş açılı üçgenlerde üçgen eşitsizliği yazıldıktan sonra, bazı durumlarda cosinüs teoremi de yazılarak uzunluğu bilinmeyen bir kenarın en küçük veya en büyük değerin bulunması sağlanabilir. 

**Bazı üçgenlerde üçgenin bir açısı, dar veya geniş açılı olarak verilmeyebilir. Bu durumda üçgen eşitsizliği uygulandıktan sonra, bilinmeyen kenar uzunluğunu bulmak için, üçgenin yardımcı elemanları kullanılarak açının dar veya geniş açılı olma durumu tepit edilir buna göre pisagor bağıntısından yararlanarak kenar eşitsizliği yazılır. Özellikle ikizkenar üçgenlerde ikiz kenarlara ait bir dış açının geniş açılı olduğu unutulmamalıdır.

Üçgen eşitsizliğinin cebirsel formu ve ispatı ile ilgili olarak, aşağıdaki bağlantıyı kullanabilirsiniz.

https://muallims.blogspot.com/2021/03/ucgen-esitsizligi-cebirsel-ispat.html