Toplam ve Fark Formülleri Geometrik İspatları

Etiketler :
"Bu geometrik ispat biçimi, Leonard M. Smiley, Alaska Üniversitesi tarafından kosinüs ve sinüs için trigonometrik toplama ve çıkarma formülleri delillerini göstermek için ortaya konmuştur. Toplam ve fark formüllerinin geometrik ispat biçimleri Matematik Dergisi'nin Aralık,1999 sayısında yer almıştır.

Burada yer alan ispat ve deliller sadece "dar" açılar için geçerlidir, ama tamamen sentetik ve minimal diyagram kullanan Öklid geometrisinde yaygın olarak kullanılır. Buradaki deliller kartezyen koordinatları kullanarak standart analitik ispat için ortak olmayacak şekilde genel bir ispat biçimi sunmaya tamamlayıcı niteliktedir." orjinal metin:(http://math.uaa.alaska.edu/~smiley/trigproofs.html)

Aşağıda toplam ve fark formüllerinin geometrik olarak nasıl ispatlanabileceğini gösteren şekiller çizilmiştir. Açıklamalara göre bu toplam ve fark formülleri verilen dar açılar için geçerli olarak geometrik ispatları yapılmış olur.
 
Şekil 1: Bir dik üçgen çizilip buradaki açılar yerleştirildiğinde cos ve sin değerleri kenar uzunlukları olarak yazılırsa burada alfa açısının tanjant değerinden cos(a+b) değeri geometrik olarak gösterilmiş olur.

Şekil 2: Bir dik üçgen çizilip buradaki açılar yerleştirildiğinde açılara göre cos ve sin değerleri kenar uzunlukları olarak yazılırsa burada h ile gösterilen kenar uzunluğu yazılırsa, aynı şekilde alttaki dik üçgen üzerinden de  kenarı uzunluğu yazılırsa bu iki uzunluğun birbirleri yerine yazılmasıyla yani x uzunluğunda yer alan h değeri için bulunan ifade yazılıp düzenlenirse; cos(a-b) geometrik olarak gösterilmiş olur.  

Şekil 3: Bir dik üçgen çizilip buradaki açılar yerleştirildiğinde, açılara göre cos ve sin değerleri kenar uzunlukları olarak yazılır ve buradaki büyük dik üçgende alfa açısının sin değeri yazılıp içler çarpımı yapılarak gerekli düzenlemeler yapılırsa sin(a+b) değeri geometrik olarak gösterilmiş olur. 
Şekil 4: Bir dik üçgen çizilip buradaki açılar yerleştirildiğinde, açılara göre cos ve sin değerleri kenar uzunlukları olarak yazılır ve buradaki altta yer alan küçük dik üçgende beta açısına göre h değeri yazılıp, aynı şekilde diğer dik üçgende de x kenarının h'ye bağlı olarak değeri yazılırsa ve burada bulunan h değeri x kenarında yerine yazıldığında gerekli düzenlmeler yapılırsa sin(a-b) değeri geometrik olarak gösterilmiş olur.

Cebirsel ispatları daha önceki yazılarımızda gösterilmişti. (Bkz. Toplam ve fark formülleri) Sitemizde arama yapılarak kapsamlı izahlara ulaşılabilir.  Kısa bir şekilde formülleri burada tekrarlayacak olursak; 

Bu formüllerin ispatında açıların dönüşümünden yararlanılabilir. Formüllerin ispatı yapılırken birim çember özellikleri iyi bilinmelidir.
* Cosinüs trigonometrik fonksiyonunda iki açının toplam formülü (Cosinüs) aşağıdaki gibi gösterilebilir.

* Sinüs trigonometrik fonksiyonunda iki açının fark formülü (Sinüs) aşağıdaki gibi gösterilebilir.

* Sinüs trigonometrik fonksiyonunda iki açının toplam formülü (Sinüs) aşağıdaki gibi gösterilebilir.

* Cosinüs trigonometrik fonksiyonunda iki açının fark formülü (Cosinüs) ispatı da detaylı olarak birim çember üzerinden (Bkz. Toplam ve fark formülleri) adresindeki gibi gösterilebilir.

cos (x-y) formülü için farklı bir ispat yöntemini de birim çember üzerinden aynı açıyı gören kiriş uzunlukları yardımıyla analitik olarak ispatlayabiliriz. Bu ispatı yaparken bilmemiz gereken iki nokta arası uzaklık kavramı ve çemberde kiriş özellikleri kavramlarıdır. Aşağıda verilen ispatı inceleyiniz.

1 yorum:

  1. Hocam gerçekten güzel bir araştırma olmuş.Ellerinize sağlık...

    YanıtlaSil

Fayda vermeyen ilimden Allah'a sığınırım. “Allah'ım; bana öğrettiklerinle beni faydalandır, bana fayda sağlayacak ilimleri öğret ve ilmimi ziyadeleştir."

İlim; amel etmek ve başkalarıyla paylaşmak içindir. Niyetimiz hayır, akıbetimiz hayır olur inşallah. Dua eder, dualarınızı beklerim...

Aşağıdaki Yazılar İlginizi Çekebilir!!!

  • Şehir ve Medeniyet Kavramı16.06.2016 - 0 Yorum Medeniyet kelimesi Arapça'da esasında şehir anlamına gelen "medine" kelimesinden türemiş bir isim olduğu söylenebilir. Daha farklı anlamlara göre Arapça "din (dyn)" kelimesi ile de ortak anlamları olduğu belirtilmiştir. Kök anlamları…
  • 2023 AYT Matematik testi çözümleri (PDF)07.07.2023 - 0 Yorum17 Haziran 2023 tarihinde uygulanan 2023-YKS 1. Oturum Temel Yeterlilik Testi (TYT), 18 Haziran 2023 tarihinde uygulanan 2023-YKS 2. Oturum Alan Yeterlilik Testleri (AYT)sınavlarının ardından ÖSYM tarafından soru kitapçıkları erişime açılmıştır.…
  • Ateşperest ile Yetim18.06.2011 - 0 YorumVaktiyle bir ateşperest, oğlunu evlendirmektedir. Düğün günü çok koyun ve inek kesilir. Et kokuları mahalleyi sarar. Ancak evin bitişiğinde, Müslüman, dul bir kadın, dört yetimiyle yaşamaktadır. Hepsi de günlerdir açtırlar. Kadıncağız, düğün evinin…
  • İçteğet Çemberi Çizilen Üçgenin alanı03.03.2017 - 0 YorumBir üçgenin iç açıortayların kesim noktası, üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir. Bir üçgenin iç teğet çemberinin yarıçap uzunluğu (r) ve üçgenin çevre uzunluğunun yarısı (u) biliniyorsa, üçgenin alanı hesaplanabilir. Bu üçgenin…
  • Çemberin çevresi integralle ispatı07.05.2021 - 0 YorumO merkezli ve r yarıçaplı bir dairenin çevre uzunluğunun, dairenin çap uzunluğuna (2r) oranı π sabit sayısını verir. Buna göre; Çemberin çevresi, çemberi çapı ile pi sayısının çarpımı ile bulunur. (Bkz. Çemberin Çevresi) Çemberin çevresi,…
  • Öğretmenler nasıl olmalıdır?05.02.2009 - 0 Yorum 1- Öğretmenler; tartışmasız vatansever ve milliyetperver olmalıdır. Milletini seven ve milli değerlere candan bağlı olan öğretmenlerin inandırıcı gücü daha fazla olur. Türklerin kahramanlığı, fedakarlığı, vatan ve millet severliliği, yüksek…
  • Müslümanların Tuzaklarla İmtihanı21.07.2015 - 0 YorumGazete köşe yazarlarımız; Müslümanların bugünlerde yaşadığı elem dolu günlerinin sebepleri hakkında uzun uzadıya yazılar kaleme alırken her biri farklı sebepleri sıralamaktadır. Bu yazarlardan kimileri çok isabetli tespitler yapmakta kimileri de…
  • 2024-TYT Matematik testi çözümleri (PDF)24.06.2024 - 0 Yorum8 Haziran 2024 tarihinde uygulanan 2024-YKS 1. Oturum Temel Yeterlilik Testi (TYT), 9 Haziran 2024 tarihinde uygulanan 2024-YKS 2. Oturum Alan Yeterlilik Testleri (AYT)sınavlarının ardından ÖSYM tarafından soru kitapçıkları erişime açılmıştır.…