Eşkenar Dörtgen ve Özellikleri

Etiketler : dörtgenler eşkenar dörtgen geometri ispat köşegen matematik teorem ispatları

Bütün kenar uzunlukları birbirine eşit olan paralelkenara eşkenar dörtgen denir. Paralelkenarın tüm özelliklerini sağlar.  (Bkz: Paralelkenar Özellikleri)

Eşkenar dörtgenin karşılıklı açıları eşittir. Paralelkenardaki gibi ardışık açılar birbirini bütünler, yani 180 dereceye tamamlar. 

Eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirini ortalar. Paralelkenardan farklı olarak eşkenar dörtgende, köşegenler birbirine diktir; yani eşkenar dörtgenin köşegenleri birbiriyle dik olarak kesişir. Eşkenar dörtgenin köşegenleri açıortaydır. Köşegenler birbirine eşit uzunlukta değildir.

TEOREM: Bir paralelkenarın köşegenleri dik ise, bu paralelkenar eşkenar dörtgen olur. İspatı yapılırken eşlik teoremleri kullanılabilir. Aşağıda bu teoremin ispatı detaylıca verilmiştir. 

Eşkenar dörtgende köşegenler çizildiği zaman açıortay olacağından, köşegenler yardımıyla eşkenar üçgenin iç bölgesinde dört tane birbirine eş üçgen meydana gelir. Eşlik teoreminden K.A.K eşliği ile bu üçgenlerin eşliği gösterilebilir.

Eşkenar dörtgenin bütün kenar uzunlukları aynı olduğundan, bir köşeden karşı kenara çizilen yüksekliklerin uzunlukları eşkenar dörtgenin her köşesi için aynı olur. Buna göre eşkenar üçgenin alanı, bir kenara ait yükseklik ile taban kenarının çarpımına eşit olur. 

Eşkenar dörtgenin alanı, köşegenler yardımıyla da bulunabilir. Buna göre eşkenar dörtgenin alanı, köşegenler çarpımının yarısı kadar olur. Eşkenar dörtgenin çevresi ise bütün kenarları birbirine eşit olduğundan bir kenarının dört katı olur.

Eşkenar dörtgen, bir teğetler dörtgenidir. (Bkz. Teğetler Dörtgeni) İçine çizilen çember eşkenar dörtgenin kenarlarına teğet olur ve teğetlerin parçaları birbirine eşit olur. Eşkenar dörtgen köşelerinden geçecek bir çevrel çember çizilemez. Eşkenar dörtgende kenarların orta nokataları birleştirildiği zaman, ortada bir dikdörtgen meydana gelir.  

Eşkenar dörtgen sorularında, genellikle pisagor teoremi, öklid bağıntıları, açıortay teoremleri sıklıkla kullanılır. Eşkenar dörtgende köşegenler dik kesiştiğinden ek çizgiler yardımıyla, öklid ve pisagor bağıntıları soru çözümünde kolaylık sağlar. Ayrıca köşegenler açıortay olduğundan iç açıortay teoreminin de bazı sorularda kullanılması gerekebilir. Sıklıkla 30-60-90 ve 45-45-90 özel üçgenleri sorularda karşımıza çıkacaktır. Bu nedenle özel açılı üçgenlerin özellikleri iyi bilinmelidir. (Bkz. Açılarına göre Özel Üçgenler)

Eşkenar dörtgenin alanı, vektörel olarak da ifade edilebilir. Eşkenar dörtgende köşegenler birbiriyle dik olarak kesiştiği için, köşegen vektörleri verilen bir eşkenar dörtgenin alanı, köşegen vektörlerinin normlarının çarpımının yarısı olur.