Fraktal Geometrinin Tarihçesi

Her şey, Benoit Mandelbrot’un kafasında oluşan ve aslında basit gibi görünen bir soru ile başladı: İngiltere’nin kıyı uzunluğu ne kadardır? Yanıtı bulmak için yapılabilecek ilk şey, ölçeği belli bir harita bulduktan sonra, buradan kıyı şeridinin uzunluğunu, sözgelimi bir iple ölçmek ve sonucu haritanın ölçeğiyle çarparak, kıyı uzunluğunu hesaplamak olabilir. Peki, kıyı şeridinin uzunluğu ‘gerçekte’ ne kadardır? Kıyı şeridinin uçaktan çekilmiş bir dizi fotoğrafı ile daha doğru bir ölçüm yapabilirsiniz; şüphesiz bu değer, harita üzerinde hesaplanandan biraz daha büyük çıkacaktır. Biraz daha ileri gidip, tüm kıyıyı adım adım ölçtüğünüzü düşünelim; bu durumda ne kadarlık bir uzunluk hesaplayabilirsiniz? Peki ya tüm uzunluğu milimetrik bir cetvelle ölçebildiğinizi düşünün; hatta moleküler boyulara kadar uzanan hassas bir uzunluk ölçümü yapabildiğinizi… Sonuçta, ölçümlerinizi hassaslaştırdıkça, kıyı uzunluğunun sonsuza gittiğini farkedeceksiniz. Sonlu bir kara parçasının sınırları, aslında sonsuz uzunluktadır! Bu basit ve çarpıcı sonuç, Benoit Mandelbrot gibi bir matematikçinin elinde, ‘fraktal geometri’ dediğimiz yeni bir matematik dalının temellerinin atılmasını sağladı.

 

Mandelbrot, tabiattaki biçimlerin matematiğini keşfeden ve buna latince ‘kırıklı’ anlamına gelen ‘fractus’ sözünden türettiği ‘fractal’ adını veren kişidir. Kendisinin tanımladığı (yahut kendi ifadesiyle, keşfettiği) ünlü ‘Mandelbrot Kümesi’, belki de dünyanın en meşhur geometrik şekillerinden birisidir. Mandelbrot aslında fraktal dünyanın ilk kaşifi değildir. Ondan neredeyse bir yüzyıl kadar önce matematikçi Gaston Julia, 1. DÜnya Savaşında yaralanmasının ardından hastanede geçirdiği uzun ve acılı günlerde, bu gün Julia kümesi olarak bildiğimiz ilk fraktal geometrik kumeyi tanımlamıştır.Elbette Julia, defalarca tekrarlayan işlemleri hızlıca gerçekleştirebilen bigisayarların icadından yıllar önce, kuramsal olarak keşfettiği bu geometrik biçimi tam olarak görme şansına sahip değildi. Defterlerinin arkasına yaptığı bir kaç çizimle fraktal geomtrinin ilk esaslarını ortaya koymuş, fakat bu yeni geometrinin harika dünyasına tam olarak tanıklık edemeden bu dünyadan ayrılmıştı. Yıllar sonra Mandelbrot’un, Julia kümesinin de türetilebildiği ana fraktal biçim olan o meşhur Mandelbrot Kümesi’ni keşfi de zaten bilgisayarların bu gün bildiğimiz şekliyle kullanıma girmesi sonucu mümkün oldu. Çünkü fraktal geometri milyonlarca kez tekrarlanan işlemlerle elde edilebilen çok karmaşık geometrik biçimlerden oluşur ve bunları elle yapmanın imkansızlığı ancak bilgisayarlar hayatımıza girdikten sonra anlaşılabilmiştir. (Bkz. Gündelik hayattan Fraktal Geometriye örnekler ve uygulamalar)

Fraktal geometri, bildiğimiz Euklid (Öklid) geometrisinden oldukça farklıdır. Euklid geometrisi, okullarda okuduğumuz, üniversite sınavlarında karşımıza çıkan sıfır, bir iki ve üç boyutlu geometrik şekillerle ilgilenir. Bu şekillerin genellikle gerek dünyada tam olarak bir kaşılıkları yoktur ve çoğunlukla idealleştirmelerden ibarettirler (gerçek dünyada kalınıksız bir kağıt, yahut boyutsuz bir nokta görme olasılığımız yoktur).

Mandelbrot ve Kesirli Boyut

Mandelbrot’un fraktalleri ise, “kesirli” boyutlara (fractal dimensions) sahip olmaları açısından, geleneksel geometriden kökten farklı bir yapı sergiler. Matematiğe çok girmeden bunu şöyle örneklendirebiliriz: Elinizde bir sayfa kağıt olduğunu ve bunun iki boyutlu olduğunu düşünün (aslında kağıt, kalınlığı da olan üç boyutlu bir nesnedir ama, şimdilik kalınlıksız iki boyutlu bir yüzey düşünüyoruz). Kağıdı elinizde o kadar çok buruşturup sıkıştırıyorsunuz ki, artık son derece karmaşık hale gelmiş bu iki boyutlu yüzeyi ‘iki boyutlu’ olarak nitelemek gittikçe imkansızlaşıyor. Üç boyutlu olduğunu da iddia edemiyorsunuz, zira elinizdeki ne kadar buruşmuş olursa olsun, iki boyutlu bir yüzeydir aslında. Dolayısıyla, buruşma miktarı arttıkça, 2.05, 2.28, 2.4 gibi kesirli boyutlara sahip bir yüzey şekli elde etmeye başlarsınız. İşte fraktallerdeki kesirli boyut kavramı da buna benzer bir karmaşıklığın neticesinde ortaya çıkar. Aslında doğada hakim olan geometri de işte bu ‘fraktal geometri’dir…

Doğadaki biçimler gerçekten de geleneksel geometrinin bize öğrettiğinden çok farklıdır. Geleneksel (Euklid’çi) geometri daha ziyade idealize edilmiş soyutlamalardan oluşurken, tabiattaki biçimler çok daha karmaşıktırlar. Yerküreyi 6-7 kez dolaşabilecek kan damarlarını ve bir tenis kortu kadar alan kaplayan akciğer hava keseciklerini bu küçücük vücudumuza; açıldığında 2 metreyi aşkın bir uzunluğa erişen DNA molekülümüzü 100 trilyon hücremizin her birindeki bir kaç mikrometrelik (milimetrenin binde biri) çekirdeğin içine paketlenmesinin ardında, işte bu ‘fraktal’ kurallar yatmaktadır…

Fraktal özelliklere sahip bir geometrik şekli evinizde kendi başınıza elde etmenin bu gün için en kolay yolu, internette rahatlıkla bulunabilen hazır bilgisayar programlarından birisini kullanmaktır (örneğin: Fractal Explorer). Zira her ne kadar basit olursa olsun, bir ‘fraktal’ ortaya çıkarmak, matematiksel bir dizi işlem serisi (iterasyonlar) gerektirir ki, bu tekrarlayan işlem serileri, tam da bilgisayarlara göre bir iştir. Örneğin Mandelbrot Kümesi aslında, ‘karmaşık sayılar’ı da içeren ve kendi sonucunu her tekrarda ‘giriş verisi’ olarak kullanan bir iterasyon, yani tekrar tekrar hesaplama işlemidir. Bu hesaplama sonucu elde edilen kapalı noktalar kümesi, alanı sonlu, fakat kenar uzunluğu sonsuz bir küme olarak tüm fraktallerin –tabir yerindeyse- atasıdır.

Fraktallerin bir başka çarpıcı özelliği, doğada çokça rastladığımız ‘kendine benzeme’ (self similarity) özelliğidir. Herhangi bir iterasyon dizgesi ile oluşturulan bir fraktal biçim, aynı matematiksel formül çekirdeğinin defalarca üst üste tekrarlanması ile ortaya çıktığından, ana kümenin şekli, küme kenarlarının mikroskobik detaylarında dahi benzer görünüm ve biçimlerde tekrarlanır.

Fraktal ve örüntü arasındaki farklar için tıklayınız. (Bkz. Fraktal ile Örüntü arasındaki Farklar)

Yaşamdan Fraktal Geometri Örnekleri

Fraktal Geometri, bir özel geometri dalı olarak ilk ortaya çıktığı yıllardan beri araştırıcıların hızla ilgisini çeken bir bilim alanı olmaya devam ediyor. Bu ilginin en önemli nedeni, fraktallarla doğal biçimler arasındaki benzerliğin sadece görsel bir benzeşimin çok ötesinde olmasıdır aslında. Doğadaki bir çok biçimin bazı basit fraktal kurallarla kısmen yahut tamamen ifade edilebiliyor olması, bu basit kurallarla doğal biçimlere benzer yapıların bilgisayarlarca oluşturulabilmeleri, araştırıcıları bu alanın derinliklerine doğru kafa yormaya sevkediyor. Doğadaki biçimlerin oluşumlarını inceleyen morfogenez biliminin şu anda en önemli ayaklarından birisini, fraktal geometri ile doğadaki biçimler arasındaki benzerlikleri araştırarak, özellikle canlılardaki karmaşık biçim oluşumlarının şifresini çözebilme çabası oluşturmaktadır.

Fraktal geometri ayrıca fraktal analiz olarak adlandırılan yeni bir ölçüm yöntemleri dizisinin de bilim gündemine girmesini sağladı. Sadece biçimlerin değil, süreçlerin de karmaşıklıklarını ölçmek için kullanılan fraktal analiz ve dekompozisyon teknikleri, doğada karşımıza çıkan biçimlerin ve olayların karmaşıklık düzeylerini sayısal halde izleyip inceleyebilmek için bize yeni yöntemler sunmakta. Örneğin, mikroskop altında incelediğimiz, hücreler gibi doku bileşenlerinin çeşitli nedenlerle uğradıkları biçimsel değişiklikleri artık bir de “fraktal boyutlarını” hesaplayarak sayısallaştırabiliyoruz. Veya beyin aktivitesi sırasında kaydedilen elektroensefalogram (EEG) sinyallerinin benzer yöntemlerle analiz edilmesi, bize kaydedilen aktivitelerin karmaşıklık düzeyi ve altında yatan nedenler konusunda yepyeni fikirler sunuyor. Kısacası, fraktal geometri bu gün, her alanda kullanılan ve gelecekte gittikçe de gözde hale gelecek bir alan olma özelliğini koruyor.

Fraktal geometri, bildiğimiz Euklid (Öklid) geometrisinden oldukça farklıdır. Euklid geometrisi, okullarda okuduğumuz, üniversite sınavlarında karşımıza çıkan sıfır, bir iki ve üç boyutlu geometrik şekillerle ilgilenir. Bu şekillerin genellikle gerek dünyada tam olarak bir kaşılıkları yoktur ve çoğunlukla idealleştirmelerden ibarettirler (gerçek dünyada kalınıksız bir kağıt, yahut boyutsuz bir nokta görme olasılığımız yoktur).

Fraktal ile örüntü arasındaki farklar

Fraktal; matematikte, çoğunlukla kendine benzeme özelliği gösteren karmaşık geometrik şekillerin ortak adıdır. Fraktallar, klasik, yani Eukleidesçi geometrideki kare , daire , küre gibi basit şekillerden çok farklıdır. Bunlar, doğadaki, Eukleidesçi geometri aracılığıyla tanımlanamayacak pek çok uzamsal açıdan düzensiz olguyu ve düzensiz biçimli tanımlama yeteneğine sahiptir. Fraktal terimi “parçalanmış” yada “kırılmış” anlamına gelen Latince “fractus” sözcüğünden türetilmiştir. İlk olarak 1975’te Polonya asıllı matematikçi Beneoit B. Mandelbrot tarafından ortaya atılan fraktal kavramı, yalnızca matematik değil fiziksel kimya, fizyoloji ve akışkanlar mekaniği gibi değişik alanlar üzerinde önemli etkiler yaratan yeni bir geometri sisteminin doğmasına yol açmıştır

Fraktalların içinde veya üzerinde oluşturulan şekiller birbirinin küçültülmüş veya büyütülmüş şekilleridir. Genellikle küçülme ve büyüme yoluyla oluşturulurlar.

Örüntü, çoğunlukla uzaysal ve geometrik karaktere sahip, iki veya üç boyutlu bir nesne olarak düşünülebilir. Diğer bir ifadeyle örüntü, ilgilenilen varlıkla ilgili gözlenebilir veya ölçülebilir bilgilere verilen isimdir. Türk Dil Kurumu'nun güncel sözlüğüne göre örüntü olay veya nesnelerin düzenli bir biçimde birbirini takip ederek gelişmesidir. Örnek verecek olursak haftanın günleri bir örüntüdür.Dokunun arasında çizgi, noktacık veya renklerin ritmik tekrarıyla oluşan görünüme denir.

Örüntü, bir nesne ve ya olay kümesindeki elemanların ardışık olarak düzenli bir biçimde birbirlerini takip ederek yenilenmesi olarak da tanımlanabilir. Basit bir örnek olarak sene içerisinde ardışık olarak gelen aylar bir örüntü oluşturur. Örüntü kavramı çok basit bir kavrammış gibi gözüksede yapay zekaya giden yol örüntülerden geçmektedir. Yüz tanıma sistemleri, optik karakter okuyucular, parmak izi tanıma sistemleri, DNA çözümleme sistemlerinde ki algoritmalar hep örüntülerden faydalanılır. İngilizce karşılığı pattern olarak geçmektedir.

Tekerlemeler de esasında birer örüntüdür. Anlamlı veya anlmasız kelimeler belli bir düzen halinde sıra ile yan yana gelerek bir bütün ifade etmektedir.

"Kelkit’ te keklikler Kesmik’ e dadanmışlar. Kelkitliler de Kesmik’ teki kekliklerin etine dadanmışlar. Kelkit’ teki keklikler Kesmik’ e dadanmayaydılar, Kelkitliler de Kesmik’ teki kekliklerin etine dadanmazlardı." 

veya

"Bir tarlaya kemeken ekmişler. Bu tarlaya iki kürkü yırtık kel kör kirpi dadanmış. Biri kürkü yırtık erkek kel kör kirpi, öteki kürkü yırtık dişi kel kör kirpi. Kürkü yırtık erkek kel kör kirpinin yırtık kürkünü, kürkü yırtık dişi kel kör kirpinin yırtık kürküne; kürkü yırtık dişi kel kör kirpinin yırtık kürkünü, kürkü yırtık erkek kel kör kirpinin yırtık kürküne eklemişler." 

veya

"Sizin bacaya konmuş allı ballı kabaklı baykuşa, bizim bacaya konmuş allı ballı kabaklı baykuş demiş ki; Nasılsın allı ballı kabaklı baykuş..?" 

Bu şekilde sürekli söylenebilen tekerlemeler sözel dilde karşımıza çıkabilecek örüntü örneğidir. Aynı cümleler defalarca aynı şekilde aynı kurallı olarak devam eder gider. Bir desen, tekrar eden bir dizi veya dizidir.  Desenleri (renkler, şekiller, eylemler veya tekrar eden diğer diziler gibi) her yerde gözlemleyebilirsiniz. Binalardaki şarkılar, çizgiler ve eğrilerdeki veya hatta çeşitli öğelerin kutularının ve kavanozlarının sıralandığı markette veya bir müzikte sıralanmış notalar veya melodiler birer örüntü örneği olarak karşımıza çıkar.  Örüntü bir desen ve ya bir model olabileceği gibi bir fikir bir kavram da olabilir. Bazı desenler belli bir şeyi tekrar ede ede oluşurlar. Örneğin fayans döşeli bir zemindeki gibi sürekli tekrarlanan bir sıra ve desen bir örüntüdür. Ancak, örüntü veya desen bulmak için en yaygın yerlerden biri matematiktir. Matematik kalıpları, bir kural veya kurallara göre yinelenen dizilerdir. Matematikte kural, bir problemi hesaplamak veya çözmek için belirlenmiş bir yoldur.

Matematikte örüntü örnekleri sıklıkla görülebilir. Özellikle belli bir kurala sahip aritmetik ve geometrik diziler örüntü olarak kabul edilebilir. Kuralı belirlenmiş fonksiyonlar da bir örüntü örneğidir. Diziler içide örüntüye en güzel örnek olarak Fibonacci dizisi verilebilir. Altın Oran sabitesi de Fibonacci dizisi yardımıyla ortaya çıkmıştır.

Fibonacci dizisi sayıları 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, … vb. şeklinde devam eder. Dikkat edilecek olursa her sayı kendinden önce gelen iki sayının toplamı şeklinde sonsuza kadar gider.(Bkz. Altın Oran)

Aritmetik diziler de birer örüntü örneğidir. Aritmetik dizi, bir sıra, belirli bir kurala dayalı olarak bir kalıbı izleyen sayı grubudur. Aritmetik bir dizi, aynı miktarın eklendiği veya çıkarıldığı bir sayı dizisini içerir. Toplanan veya çıkarılan miktara ortak fark denir. Örneğin, “1, 4, 7, 10, 13…” dizisinde, sonraki sayıyı elde etmek için her sayı 3'e eklenmiştir. Bu dizi için ortak fark 3'tür.

Geometrik diziler de birer örüntü örneğidir. Geometrik dizi/sıra, aynı miktarla çarpılan (veya bölünen) sayıların listesidir. Sayıların çarpılma miktarı ortak oran olarak bilinir. Örneğin, “2, 4, 8, 16, 32 ...” dizisinde her sayı 2 ile çarpılır. 2 sayısı, bu geometrik dizi için ortak orandır.

Üçgensel  Sayılar da bir örüntü örneğidir. Üçgensel sayı, bir dizinin terimleri, bir üçgen oluşturmak için gereken noktaların toplam sayısı ile ilgilidir. Üç noktalı bir üçgen oluşturmaya başlarsın; biri üstte ve ikisi altta. Bir sonraki satırda üç nokta olacak ve toplam altı nokta olacaktı. Üçgendeki bir sonraki satırda dört nokta olacak ve toplam 10 nokta olacaktı. Aşağıdaki satırda toplam 15 nokta olmak üzere beş nokta olacaktır. Bu nedenle, üçgen bir dizi başlar: “1, 3, 6, 10, 15…”)

Kare Sayılar da bir örüntü örneğidir.  Kare sayı dizisinde, terimler dizideki konumlarının kareleridir. Bir kare dizisi “1, 4, 9, 16, 25…” ile başlar.

Küp Numaraları da bir örüntü örneğidir. Bir küp numarası dizisinde, terimler dizideki konumlarının küpleridir. Bu nedenle, bir küp dizisi “1, 8, 27, 64, 125…” ile başlar.

Buna benzer şekilde pek çok kuralı ihtiva eden diziler birer örüntü örneği olmaya adaydır.  Cebir ve Matematik bazen desen-örüntü bilimi olarak da adlandırılır. Matematiğin kurallı bir yapısı vardır. ve bu yapı sayesinde bizler problemleri rahatlıkla çözebiliyoruz. Yapılar, kurallar, teoremler, sonuçlar, örüntüler, anlamlı kalıplar bir problemin çözümü için bizlere kolaylık sağlamak amacıyla tıpkı birer, desen gibi matematik biliminde inşa edilmiştir. Gerçek dünyada, karşımıza çıkan pek sonucun yansımasını modelleyebilmek, bilgisayar düzenine aktarabilmek gibi pek çok eylemi tanımlamak için matematiği kullanırız. Gezegenlerin yıldızların hareketlerini çözümlemek için de matematik kullanılır. Belirli bir zamanda nerede olacaklarını anlamak için yörünge gezegenlerinin hızlarından yola çıkarak anlamlı kurallar oluşturulur. (Gerçekte, gezegenler uzayda diğer büyük cisimlerden olan mesafelerinden etkilenen yerçekimi çekilmesine tepki olarak yavaşlar ve hızlanırlar, ancak bu varyasyon bile bir desen izler) Bunlar heyecan verici kalıplardır. Bir mikro hücrenin bir virüsün bölünme ve çoğalma hızları için de belli kalıplara sahip örüntü ve modellemeler oluşturmak için matematikten yararlanılır.

 

Örüntüler; bir alandaki sonuçları analiz edebilmek için, bölüm, kalıplar ve kalıp etkinlikleri hakkında düşünme yollarını açıklamak için kullanabileceğimiz en kolay modellemelerdendir. Tanıma, çoğaltma, genişletme, oluşturma ve bunların tamamında kalıpların genelleştirilmesi anlamında örüntü oluşturmaya daha terim anlamıyla fonksiyon veya dizi kuralını belirlemeye ihtiyacımız vardır. Bunu yapabilmenin en temel yolu da örüntüyü kestirebilmek ve bunun sayısal olarak modellemesini yapabilmekten geçer.  Her bilim dalında desen veya örüntüler vardır. Bunların analizi için de modellemeye ve özellikle bilgisayar üzerine aktarılması için de çeşitli algoritmalara ihtiyaç vardır.

Örüntüler gündelik hayatlarımızda da sık sık karşımıza çıkar. görsel olarak (iki hızlı davul ritmi ve ardından yavaş bir tane; bir kuş çağrısı; veya kalp atışımız), görsel olarak (itfaiye aracı uyarı ışıkları, kaldırım geçidindeki şeritler), somatik olarak dokunsal veya aksiyona dayalı duyumlar (dokunarak) algılayabiliriz. kişinin ayağını müziğe, daha önce bahsedilen davul çalmalarını çalmaya) veya üç boyutlu nesneler olarak (bir yeşil blok-bir kırmızı blok-iki mavi blok-bir yeşil blok-bir kırmızı blok – iki mavi blok; nergis-papatya-nergis-papatya ). gibi pek çok örnek örüntü modellemeleri için verilebilir.

Desenler, bir bakışta algılayabildiğimiz düzenliliklerdir.  Desenleri ayırt etmek için bir desen birimini tanımlamalıyız (blok örneğinde: “yeşil – kırmızı – mavi – mavi”). Sadece bu desen birimindeki öğeleri tek tek değil, aynı zamanda desen biriminin nasıl tekrarlandığını da anlamalıyız. Yalnızca AB görürseniz, kalıbı tanımlamak için yeterli kanıtınız yoktur. Ancak AB biriminin ABABAB'da olduğu gibi tekrarlandığını görürseniz, kararınızdan emin olabilirsiniz. Bu örneklerin tümü yinelenen kalıplardır. Dünyamız da büyüyen desenlerle doludur. Başka bir deyişle, ABAB olarak tanımlanan bir desen, kırmızı boncuk-mavi boncuk-kırmızı boncuk-mavi boncuk gibi görünebilir. Bunu söylemenin başka bir yolu, bu farklı desen tezahürlerinin (sesler veya harfler veya alkışlar) birbirine eşdeğer olduğunu söylemektir. (Desenleri bu şekilde düşünmeyi öğrenmek, birçok farklı tezahürde desenlerle çalışma konusunda çok fazla deneyim gerektirebilir.) Desen oluşturma cebirde fonksiyon veya dizi oluşturmak için erken bir yapı taşı olarak kabul edilir. Kalıpları genelleme yeteneği, daha sonraki cebirsel denklemleri anlamalarına katkıda bulunur.

Tüm fraktallar kendine benzer ya da en azından tümüyle kendine benzer olmamakla birlikte, çoğu bu özelliği taşır. Kendine benzer bir cisimde cismi oluşturan parçalar ya da bileşenler cismin bütününe benzer. Düzensiz ayrıntılar ya da desenler giderek küçülen ölçeklerde yinelenir ve tümüyle soyut nesnelerde sonsuza değin sürebilir; öyle ki,her parçanın her bir parçası büyütüldüğünde, yine cismin bütününe benzer. Bu fraktal olgusu, kar tanesi ve ağaç kabuğunda kolayca gözlenebilir. Bu tip tüm doğal fraktallar ile matematiksel olarak kendine benzer olan bazıları, stokastik, yani rastgeledir; bu nedenle ancak istatistiksel olarak ölçeklenirler.

Fraktal cisimler,düzensiz biçimli olduklarından ötürü Öklidçi şekilleri ötelenme bakışına sahip değildirler. (Ötelenme bakışımına sahip bir cisim kendi çevresinde döndürüldüğünde görünümü aynı kalır.)

Fraktalların bir başka önemli özelliği de, fraktal boyut olarak adlandırılan bir matematiksel parametredir. Bu cisim ne kadar büyütülürse büyütülsün ya da bakış açısı ne kadar değiştirilirse değiştirilsin, hep aynı kalan fraktalların bir özelliğidir. Fraktaller, kendilerini farklı ölçeklerde tekrarlayan motiflerdir. Sıkça kullanılan bir örnek brokolidir; her küçük çiçekçik temel motif olarak kendisini tekrarlayarak bir sonraki çiçekçik katını oluşturur ve brokolinin nihai şekli böylece tamamlanır.Yakın zamanda yapılan araştırmalar bireylerin davranışlarının, takım ve kurumların işleyişinin, pazar dinamiklerinin, ekonomilerdeki hareketliliğin, hatta çevre ve toplum gibi kapsayıcı sistemlerin hareketlerinin fraktal dinamikler gösterdiğine işaret eder. Fraktal sistemlerin özgünlüğü bir temel motifin (brokolinin çiçekçiği örneğinde olduğu gibi) bütün bir sistemin yapısını kararlaştırmasıdır. Temel motifi keşfet, değiştir ve bütün sistem değişsin. Temel motifin değiştirilmesiyle bir kurumun müteakip düzeyleri, pazara, çevre ve topluma yaklaşımı ve bunlarla olan tüm ilişkileri de değiştirilir.

Kendine benzerlik ve tamsayı olmayan boyutlu kavramlarıyla birlikte fraktal geometri, istatistiksel mekanikte, özellikle görünürde rastgele özelliklerden oluşan fiziksel sistemlerin incelenmesinde giderek daha yaygın olarak kullanılmaya başlanmıştır. Örneğin, gökada kümelerinin evrendeki dağılımının saptanmasında ve akışkan burgaçlanmalarına ilişkin problemlerin çözülmesinde fraktal benzetimlerden (simülasyon) yararlanılmaktadır. Fraktal geometri bilgisayar grafiklerinde de yararlı olmaktadır. Fraktal algoritma ise, engebeli dağlık araziler ya da ağaçların karışık dal sistemleri gibi karmaşık, çok düzensiz doğal cisimlerin gerçektekine benzer görüntülerinin oluşturulabilmesini olanaklı kılmıştır.

Fraktallar da bir çeşit örüntüdür.Fakat daha önce gördüğümüz örüntülerden farklıdır. Fraktallar virüs gibidir, her bir parçasından devamlı benzer parçaları oluşur.Normal örüntülerde ise benzer parçalar vardır fakat bu parçalar birbirinden oluşmaz. Bir şeklin fraktal olup olmadığını anlamamızı sağlayan en önemli nokta budur. Fraktallara en çok verilen örnek eğrelti otudur. Eğrelti otunun her yaprağının üzerinde yine küçük küçük yapraklar vardır.

Fraktal geometri, denklemlerin bir sayı koleksiyonundan daha fazlasını göstermek için sanatı matematikle karıştırır. Fraktalları daha da ilginç kılan, kıyı çizgileri, dağlar veya canlı organizmaların parçaları gibi birçok doğal formun mevcut en iyi matematiksel açıklamaları olmalarıdır. Fraktal geometri bilgisayar teknikleri ile yakından bağlantılı olmasına rağmen, bazı insanlar bilgisayarların icadından çok daha önce fraktallar üzerinde çalışmışlardır. Özellikle harita çizimleriyle uğraşan insanlar bu fraktal geometrinin temelini oluşturanlardır diyebiliriz. Harita çiizmlerinde özellikle kıyıların çizimi, dağların ovalarla birlikte çizimlerinde harita boyutlarına göre farklı türlerde algılanabiliyordu. Harita ölçeği büyütüldüğünde ya da küçültüğünde çizimlerde bozulmalar meydana gelmediği gibi farklı bir görüntü de elde edilmiyordu. Büyük ölçekli bir haritada ölçülen sahil şeridi, ayrıntılı bir haritada ölçülen sahil şeridinin yaklaşık yarısı kadardı. Yakından baktıklarında, kıyı şeridi daha ayrıntılı ve daha uzun oluyordu. İşte bu durum aslıdna fraktalın temel özelliğiydi. Yıllar önce bilgisayarın dahi olmadığı dönemlerde bu şekilde bir özelliği keşfetmiş olmaları esasında Fraktalların ana özelliklerinden birini keşfettikleri anlamına gelmekteydi. Bugün bile hala sorgulanan Piri Reisin harita çizimleri, bu bakış açısıyla tekrar irdelenirse matematikteki bu fraktal güzelliğine daha fazla katkılar sunabileceği açıktır.

Fraktalların en önemli özelliklerinden ikisi öz-benzerlik ve tamsayı olmayan boyuttur. Fraktalları birçok kez büyütebilirsiniz ve her büyütme veya küçültme adımından sonra o fraktalın karakteristiği olan aynı şekli görürsünüz. Tamsayı olmayan boyutu açıklamak daha zordur. Klasik geometri, tamsayı boyutlardaki nesnelerle ilgilidir: sıfır boyutlu noktalar, bir boyutlu çizgiler ve eğriler, kareler ve daireler gibi iki boyutlu düzlem figürler ve küpler ve küreler gibi üç boyutlu katılar. Bununla birlikte, birçok doğal olay, iki tam sayı arasındaki bir boyut kullanılarak daha iyi açıklanmaktadır. Dolayısıyla, düz bir çizginin bir boyutu olsa da, bir fraktal eğri, büküldükçe ve eğrildikçe ne kadar yer kapladığına bağlı olarak bir ile iki arasında bir boyuta sahip olacaktır. Düz fraktal bir düzlemi ne kadar fazla doldurursa, iki boyuta o kadar yaklaşır. Benzer şekilde, "tepelik bir fraktal sahne" iki ile üç arasında bir boyuta ulaşacaktır. Dolayısıyla, küçük höyüklerle kaplı büyük bir tepeden oluşan fraktal manzara ikinci boyuta yakın olurken, birçok orta boy tepeden oluşan pürüzlü bir yüzey üçüncü boyuta yakın olacaktır.

Fraktal geometri astrofizik, biyolojik bilimler gibi birçok bilim alanına nüfuz etmiş ve bilgisayar grafiklerinde en önemli tekniklerden biri haline gelmiştir.Fraktal dağılımlar, gökyüzünde duman izleri veya dalgalı bulutlar gibi hiyerarşiktir. Türbülans, hem gökyüzündeki bulutları hem de uzaydaki bulutları şekillendirir ve onlara fraktal geometri yardımı olmadan tanımlanması imkansız olan düzensiz ama tekrarlayan bir desen verir.Biyologlar, doğal nesneleri veya serilerin Öklid temsillerini kullanarak doğayı geleneksel olarak modellenmiştir. Kalp atışlarını sinüs dalgaları, kozalaklı ağaçlar koniler, hayvan habitatları basit alanlar ve hücre zarları eğriler veya basit yüzeyler olarak temsil ettiler. Bununla birlikte, bilim adamları birçok doğal yapının fraktal geometri kullanılarak daha iyi karakterize edildiğini fark ettiler. Biyolojik sistemler ve süreçler; tipik olarak, sürekli azalan bir formda tekrarlanan aynı genel desen ile birçok alt yapı seviyesi ile karakterize edilir. Bilim adamları bir kromozomun temel mimarisinin ağaç benzeri olduğunu keşfettiler; her kromozom birçok 'mini kromozomdan' oluşur ve bu nedenle fraktal olarak tformüle edilebilir.

KaynaklarDNA dizilerinde de kendine benzerlik bulunmuştur. Bazı biyologların görüşüne göre hayvanlarda evrimsel ilişkileri çözmek için DNA'nın fraktal özellikleri kullanılabilir.Ay manzaraları, dağ sıraları ve kıyı çizgileri gibi doğal sahnelerin her türlü gerçekçi "fraktal sahteleri" görüntülerini oluşturmak mümkündür. Filmlerde gerçeğine kullanmanın zor olduğu görüntülü durumlarda bilgisayar yazılımları sayesinde sahte fraktal formları üretilerek gerçekçi görüntüler kullanılabilir. Sanal gerçeklik adı verilen formlar fraktalların teknolojik alandaki yansımalarından yalnızca bazılarıdır. Birçok bilim adamı, fraktal geometrinin çok çeşitli sistemlerden sırları ortaya çıkarmak ve uygulamalı bilimdeki önemli sorunları çözmek için güçlü bir araç olduğunu bulmuştur. Bilinen fiziksel fraktal sistemlerin listesi çok uzundur ve hızla çeşitli alanlara da doğru büyümektedir. Fraktal geometri zaman geçtikçe daha fazla incelenecek ve daha fazla özellikleri keşfedilerek yeni alanlarda kullanıma sunulacaktır. Belki de zamanla yerini daha farklı sistem ve görüntülere bırakıp unutulmaya yüz tutacak akıllarda sadece matematiğin desensel bir formu olarak kalacaktır.

KAYNAKÇA:

1) Fraktal Geometri, Prof. Dr. H. Hilmi Hacısalihoğlu, Ankara, 2005

2) matder.org.tr

3) tr.wikipedia.org/wiki/Fraktal

4) matlab.s5.com/fraktal.htm

5) oyakcimento.com/turkce/incvbs/DosyaOku.asp?intDokumanID=2137

6) prek-math-te.stanford.edu/patterns-algebra/mathematics-patterns-and-algebra

7) fractal.org/Bewustzijns-Besturings-Model/Fractals-Useful-Beauty.htm

Matematik Eğitiminde Yapılandırmacılık

"Öğrenmenin yapılandırmacı teorisi; bizler kendi kendimize öğrenirken yeni bilgiyi aktif bir şekilde inşa ettiğimizi ifade eder. Bu öğrenme teorisine göre, öğrenme= inşa etmedir. Bizler geçmiş deneyimlerimizin zeminindeki duyusal verilerle etkileşime geçerek yeni bilgiler inşa ederiz. (http://mia.openworldlearning.org/constructivism.htm adresinden alıntıdır.) Papert: “Yapılandırmacılık çocukların daha önce yaptıklarından daha iyi şeyler yapmaları için onlara iyi şeyler vermektir.” der. Böylelikle anlarız ki yapılandırmacılık çocuğun, gencin sahip olduğu, ulaştığı verilerle birlikte kendi potansiyelini bütünleştirip özgün bir anlayış ortaya çıkarmasıdır.

Yapılandırmacılığın temellerinden de kısaca bahsedecek olursak; yapılandırmacılığın anlamını netleştirmek için, Good, Wandersee, ve St. Julien (1993) yapılandırmacılığın önüne on beş farklı sıfat koymuştur: bağlamsal, diyalektik, deneysel, insancıl, bilgi işleyen, metodolojik, ılımlı, Piaget’nin öne sürdüğü, epistemolojik, yararcı, radikal, rasyonel, gerçekçi, sosyal, sosyo-tarihsel şeklindedir. Pek çok terim kavramlarla ve varsayımlarla örtüşürken, diğerleri kelime anlamları bakımından farklılıklara sahiptir. Paul Ernest’in de tanımladığı gibi zayıf yapılandırmacılık, nesnel bilginin varlığını kabul ederek kendi bilgisini yapılandırmayı varsayar. Buna ek olarak radikal yapılandırmacılık, kişisel bilgiyi sürekli adaptasyon ve yeniden oluşum olarak varsayar. Bu anlayışa göre bilgi problem haline getirilir. Sosyal yapılandırmacılık da ise bireysel bilgi ve sosyal bilgi tek bir halinde bütünleştirilir. (Ishii, Drew K., 2003).

Öyle görünüyor ki yapılandırmacılık pek çoklarına göre matematik alanına ters görünüyor. Çünkü matematikte gerçek, kesin sonuçlar, prensipler, teoremler ve değişmez kurallar var. Örneğin, 2+2 nin değişmez ve 4 olduğu gibi (Ishii, Drew K., 2003). Hal böyle olunca yapılandırmacılığın matematiğe uygulanmasının zor olduğu kanısına varılıyor. Ancak bu kesin sonuçları olan; prensipler, teoremler, değişmez kurallar bütünü matematik, kendi içerisindeki kavramlar, diğer disiplinler ve gerçek yaşamla kurulan bağlantılar ve bu bağlantılar neticesinde çıkarılan anlamlarla bir kurallar yığını olmaktan çok özünü ortaya koymaktadır. NCTM News Bulletin’de bu durum reform zihinli öğretmen davranışları ile ifade edilmiştir. Şöyle ki, reform zihinli öğretmenler, öğrencilerinin muhtemel çözüm yolları üretebilmeleri ve derin düşünebilmeleri için problemler öne sürerler ve onları çözüm üretebilmeleri konusunda cesaretlendirirler. Onlar matematikteki diğer fikirlerle ve başka disiplinlerle olan bağlantıları kuvvetlendirirler. Öğretmenler, öğrencilerin kendi çalışmaları ile ilgili açıklama ve ispatlarını sürekli yenilemek ve tazelemek için sürekli sorular sorarlar. Onlar öğrencilerin daha iyi matematiksel anlayış kazanmaları için matematiksel fikirlerin farklı ifadelerini kullanırlar. Bu öğretmenler öğrencilerinden matematiği açıklamalarını isterler (Stiff, L. V.,2000-2002). Bu nokta da yapılandırmacılığın anlam kazandığı noktadır.

Reform zihinli öğretmenlerin öğrencilerinden farklı problemleri çözmeleri, matematiği gerçek yaşam koşullarına uygulamaları, ayrıca bildiklerini geliştirmeleri beklenir. Bazen başka öğrencilerle birlikte, bazen kendi kendilerine çalışırlar. Bazen hesap makinesi kullanırlar. Bazen sadece kağıt kalem kullanırlar (Stiff, L. V.,2000-2002). Bu konu ile ilgili geometri alt alanından bahsedecek olursak, geometri kendi içinde kendine özel kavram ve formüllere sahiptir. Öğrenciler bu yeni, kendine özgü dili kullanmada güven geliştirmek için yeterli zamana ihtiyaç duyarlar. Bu bağlamda geometride tanımlar, öğrenci tarafından, onlara yeterli zaman sağlanarak, figürlerin özelliklerine göre, yapılandırılması, görselleştirilmesi, ölçülmesi, karşılaştırılması, sınıflandırılmasındaki deneyimlerinden çıkarılmalıdır. (http://www.sedl.org/scimath/compass/v01n03/2.html adresinden alıntıdır). Yani tanımları, sunulan verilerle birlikte öğrenci kendi deneyimleri ile yapılandırması ile ortaya çıkarabilmektedir.

Matematik eğitiminde yapılandırmacılık, öğrencilerin nasıl öğrendiğini ve öğretmenlerin öğrencilerin anlayışlarını güçlendirmek için neler yapabileceklerini işaret ederler. Sosyal yapılandırmacılıkta, öğrenciler sosyal bir durum ile etkileşime girdiklerinde sahip oldukları bilgileri daha iyi inşa ederler. Bu yüzden, öğretmen ve öğrenciler arasındaki etkileşim, öğrencilerin birlikte çalıştığı geniş bir komiteyi içerdiğinde geliştirilir. Matematik eğitimine özel bir şekilde uygulanan sosyal yapılandırmacılığın bir tipi matematiğin problem çözmeyi vurgulayarak öğretilmesini doğrular. Bu etkileşim a) öğretmen- öğrenci arasında, b) öğrenciler arasında gerçekleşir ve öğrenciler problem durumlarını çözmek için kendi stratejilerini oluşturmaları konusunda cesaretlendirilir. (Lee V. Stiff, 2000-2002). Radikal yapılandırmacılık da bu bağlamda matematikte yerini şöyle alır: öğrencilerin bilgileri ailelerinden veya öğretmenlerinden hiçbir değişikliğe uğramadan alınmasını değil, bilginin her bir öğrenenin zihninde aktif bir şekilde bütünleştirilmesini ifade eder. Bu noktada öğrenen bireyin kendi çabası matematiksel anlamı oluşturmak için temel teşkil etmektedir. (Lee V. Stiff, 2000-2002). 

Sonuç olarak yapılandırmacı felsefeler, öğrencilerde derin bir matematik algısı oluşturmak için var olan bilgiyle yeni bilgiyi bütünleştirmeleri konusuna odaklanır. Her bir felsefe, öğrenciyi öğrenme-öğretme sürecinin aktif bir katılımcısı olarak tanımlar. Son olarak yapılandırmacı yaklaşımın sınıflara uygulanması ile ilgili birkaç noktadan bahsedip yazımı sona erdirmek istiyorum. Ernest sınıf ortamındaki yapılandırmacılık için beş durum öne sürer:

1) Öğrenenlerin daha önceden sahip oldukları yapılara dikkat edilmeli. Örneğin, öğrenenlerin sahip oldukları kavramlar, informal bilgiler gibi.

2) Yanlış anlaşılmaları gidermek için bilişsel teknikleri kullanmalı. Öğrencilerin düşünme ve anlam oluşturmalarına yardımcı olmak gibi.

3) Metabiliş ve stratejik kişisel düzenlemeye dikkat edilmeli. Öğrenciler ne zaman kendi düşünmeleri hakkında düşünürlerse o zaman kendi öğrenmelerinden sorumlu olurlar.

4) Farklı ifade şekillerini kullanmalı. Özellikle matematikte çoklu ifade biçimleri önceki kavramlarla yeni kavramlar arasındaki bağlantıları görmek ve kuvvetlendirmek açısından önemlidir.

5) Öğrenen için amaçların öneminin farkında olmalı.(Ishii, Drew K., 2003 )

Sonuç olarak diyebiliriz ki yapılandırmacılık günümüz matematik eğitim sisteminin anlam kazanması açısından büyük öneme sahiptir. Öğrenci temelli olarak uygulanan bu yaklaşımın amacına ulaşabilmesi için öğretmenlere ve tüm eğitimcilere büyük görevler düşmektedir. Ancak günümüzde bu yaklaşımın ve uygulamalarının bilincinde olan eğitimciler etkili bir matematik eğitimi gerçekleştirirler. "

Zekiye MORKOYUNLU
05/08/2011

1) Ishii, Drew K., 2003, Constructivist Views of Learning in Science and Mathematics
2) Lee V. Stiff, 2000-2002, Constructivist Mathematics and Unicorns
3) Geometry for the Early and Middle Grades,1995, http://www.sedl.org/scimath/compass/v01n03/3. html adresinden alıntıdır.

Yazı; http://www.mufettisler.net/yazarlar/54-zekiye-morkoyunlu/438-matematk-egtmnde-yapilandirmacilik.html adresinden alınmıştır. 

Limitin Tarihçesi

Matematikçilerin, limit kavramının varlığından şüphelenmeye (bu kavramı sezmeye) başlamaları ile limiti tam olarak tanımlamaları arasında, yüzyıllarla ölçülebilecek kadar uzun zaman vardır. Hatta ilk çağ- larda bile limit kavramını hisseden matematikçiler vardı. Örneğin Archimedes, 2π sayısına olabildiğince yakın bir sayı elde edebilmek için köşeleri 1 birim yarıçaplı çemberin noktaları olan düzgün çokgenin çevresinden yararlanmış, bunun kenar sayısı sınırsız arttıkça çokgenin çembere, bu nedenle de çevresinin uzunluğunun 2π ye yaklaşacağını düşünmüştür. Bazı matematikçiler bu tür yaklaşımları, Rönesans Dönemine doğru, bir kısım alan hesaplamalarında da kullanmışlardır. 

17. yüzyılın ünlü matematikçilerinden Isaac Newton (1642-1727) ve Gottfried Leibniz (1646-1716), limiti kendilerinden önceki matematikçilere oranla çok daha doğru şekilde tanımlamışlar ve pek çok karmaşık limiti hesaplamışlardır. Newton ve Leibniz’in limit hakkındaki düşünceleri, bu kavramın gelişmesinde temel oluşturmuştur. 1754 yılında Fransız matematikçi d’Alembert (1717-1783), matematiğin daha ileriki konularının mantıksal temelinin limit kavramı olduğunu iddia etmiştir. Daha sonra ünlü matematikçi Cauchy (1789-1857), 1821 yılında yayınladığı “Cours d’Analyse” adlı eserinde limit tanımını, “Bir değişkenin ardışık değerleri, sabit bir sayıya olabildiğince çok yaklaştığında elde edilen son değerdir.” şeklinde yapmıştır. Bu tanım, bugün kullandığımız limit tanımına en yakın olandır. Günümüz matematikçilerinin kullandığı limit tanımı, 1860 yılında Alman matematikçi Karl Weierstrass (1815-1897) tarafından yapılmıştır.(Matematik-12, Emrullah KAPLAN, Paşa Yayınları,2011)

Karl Weierstrass, (Bkz.Karl Weierstrass) Bonn Üniversitesine hukuk okumak üzere gitmesine rağmen üniversiteden mezun olamadı. Daha sonra kendisi matematikle ilgilenmeye başladı. Laplace'ın Gök Mekaniğini üzerine yaptığı çalışmaları inceledi. Diferansiyel denklem sistemleri üzerinde çalışmalarda bulundu. Karl Weierstrass, 22 Mayıs 1798'de Münster Akademisine girdi.Uzun yıllar öğretmenlik yaptı. 1853 yılında abelyan fonksiyonlar üzerinde çalışmasını yayınladı.1856 da Berlin Üniversitesinde yardımcı profesörlük ünvanı elde etti ve Berlin Akademisine üye olarak seçildi. Weierstrass, 1864 ile 1897 yılları arasında Berlin Üniversitesinde matematik profesörü olarak görev yaptı 1897'de Berlin'de öldü.

1821’de Augustin Louis Cauchy (Bkz. Augustin Cauchy), Karl Weierstrass’ı takiben kullanılan limit tanımını  yunan alfabesindeki harfler olan  (ε, δ) harfleri (yunan alfabesindeki 5.harf küçük epsilon harfi ve yunan alfabesindeki 4.harf küçük delta harfi) kullanarak düzeltip, matematik literatüründe limitin tanımı olarak (ε, δ) tekniğini kabul ettirdi.

Limitin Tanımı: f(x) fonksiyonu, bir açık aralıkta tanımlanmış olsun ve L bir gerçek sayı olsun. Bütün ε>0 değerleri için, bir δ >0 değeri bulunabiliyor ki bütün 0<|x-a|<δ eşitsizliğini sağlayan x değeri için,  |f(x)-L|<ε eşitsizliği doğru ise; buradaki L değerine, "f(x) fonksiyonunun a noktasındaki limitidir" denir.

Limit ifadesinde, yaklaşmayı belirtmek için sağ tarafa doğru ok işareti kullanılır. x değişkeni, a'ya yaklaşırken f(x) fonksiyonunun limitinin L'ye yaklaştığı söylenir ve bu limit, sağ ok işareti ile limitin altına yazılarak gösterilir.  

19. yüzyıldan sonra  literatürde limitin gösterimi, (ε, δ) tanımlamasıyla kabul gördü. Tanımda yer alan ε harfi, her küçük pozitif sayıyı gösterir. Böylece “f(x) isteğe bağlı olarak L’ye yakın olur”, sonuçta f(x) fonksiyonu, (L − ε, L + ε) aralığında, iki sayı arasında yer alır demektir. Aynı zamanda mutlak değer işareti kullanılarak da bu aralık ifadesi yazılabilir 

Tanımda yer alan |f(x) − L| < ε.”x değişkeni, a’ye yaklaşırken” ifadesi, a’den uzak olan x’lerin bir δ  pozitif sayısından küçük olduğunu gösterir. x’lerin ya (a − δ, a) ya da (a, a + δ) aralığı içindeki değerleri 0 < |x − a| < δ ile ifade edilebilir. Buradaki yaklaşma miktarı için, x'in a değerine eşit olmaksızın en yakın noktasına kadar gelmesi anlamındaki çok çok kısa bir mesafe kadardır demek yanlış olmaz. İkinci eşitsizlikte; x değişkeni, a’nın δ uzaklığı içinde olduğunu ifade edilirken, ilk eşitsizlikte x ve a arasındaki uzaklık 0’dan büyüktür ve x ≠ a demek anlamına gelir. Bu tanım, fonksiyonun a noktasında tanımlı olmadığı zamanlarda ve fonksiyonun a değerindeki f(a) karşılığı, fonksiyonun o noktadaki limit değerinden L'den farklı olduğu zamanlarda da doğru olur. f(a)≠  L veya f(x), a noktasında tanımlı olmasa bile fonksiyonun o noktada limiti olabilir. Limitinin olması için fonksiyonun x değişkeninin a noktasına sağdan ve soldan yaklaşmalarındaki bulunan limit değerlerinin birbirine eşit olması gerekir. Kısaca fonksiyonun bir noktadaki sağ ve sol limitleri eşitse bu noktada limiti vardır aksi halde o noktada limit yoktur.  

Limitle ilgili bazı konu başlıklarının ayrıntılarına ulaşmak isterseniz aşağıdaki bağlantıları kullanabilirsiniz.

Limit konusu ile ilgili çıkmış ÖSYM Soruları

Trigonometrik Fonksiyonların Limiti

sinx/x limitinin ispatı

Genişletilmiş Reel Sayılar Kümesinde Limit

0/0 Belirsizliği

Limitte ∞/∞ belirsizliği

Limitte ∞-∞ belirsizliği

Limitte belirsizliklerde L-Hospital Kavramı (türev)

Johann Bernoulli

Johann Bernoulli (Jean ya da John olarak da bilinir. d. 6 Ağustos 1667 – ö. 1 Ocak 1748), Bernoulli ailesindeki ünlü matematikçilerden biridir. Sonsuz küçük kalkülüsü ne yaptığı katkılarla ve gençlik yıllarında Leonard Euler’in hocası olması ile ünlüdür. Johann, Basel’de bir eczacı olan Nicholas Bernoulli ve karısı Margaretha Schonauer’in oğlu olarak dünyaya geldi. Basel Üniversitesinde tıp okumaya başladı. Babası işletme okumasını istemişti. Çünkü bu sayede baharat ticareti işinin başına geçebilecekti. Ancak Johann Bernoulli işletme eğitimi almak fikrinden hoşlanmadı ve babasını tıp okumak için ikna etti ama tıp eğitimi onu hoşnut etmedi ve abisi Jacob’un yanında matematik eğitimi almaya başladı. 

Johann Bernoulli’nin Basel Üniversitesindeki eğitim hayatı boyunca Bernoulli kardeşler zamanlarının çoğunu yeni keşfedilen sonsuzküçük kalkülüsü üzerinde çalışarak geçirdiler. Bu iki kardeş yalnızca bu konu üzerinde çalışan değil aynı zamanda bunu çeşitli problemlere uygulayabilen ilk matematikçiler arasındaydı. Basel Üniversitesinden mezun olduktan sonra diferansiyel denklemler üzerine ders vermek için oradan ayrıldı. Daha sonra 1694’te Dorothea Falkner ile evlendi ve ardından matematik profesörü olarak Groningen Üniversitesine kabul edildi. Kayın pederinin ricası üzerine Johann Bernoulli 1705’te doğup büyüdüğü yere geri dönme kararı aldı. Yola çıktıktan kısa bir süre sonra kardeşinin tüberküloz nedeniyle öldüğü haberini aldı. Johann, dönüşüyle Basel Üniversitesinde Yunanca profesörü olmayı planlamıştı ancak abisinin ölümüyle boşalan matematik profesörlüğü pozisyonuna geçebildi. Leibniz kalkülüsü (analiz dersi) ile yetişen bir öğrenci olarak 1713’teki Newton-Leibnitz tartışmasında Lebniz’in yanında yer aldı. 

Johann Bernoulli Lebniz’i Newton’un çözmekte başarısız olduğu problemleri Leibnitz yöntemi ile çözerek savundu. Bernoulli ayrıca Descartes’in girdap kuramını Newton’un yerçekimi kuramına karşı destekledi ve bu durum Newton’un kuramının Avrupa’da kabulünü erteledi. 1724’te Fransız Académie Royale des Sciences tarafından desteklenen bir yarışmaya katıldı. Yarışmada, “Havasız veya hava bulunan bir ortamda kendisi ile aynı doğaya sahip sabit konumdaki ya da hareket halindeki bir cismi hareket ettiren hareket halindeki kusursuz sert cisim için gerekli kanunlar nelerdir?” sorusu sorulmuştur. Leibniz tarafından benimsenen görüşü savunmak adına cismi elastik yapmak için cismi sert yapan sonsuz iç kuvveti aşacak bir sonsuz dış kuvvet gerektiğini varsaymıştır. Bu nedenle yarışmadan diskalifiye olmuş ve ödül Maclaurin tarafından kazanılmıştır. Ancak Bernoulli’nin bu çalışması sonradan 1726 yılında Académie çalışmaları elastik cisimlere ilişkin olarak ele aldığında, bu konuda ödülü Pierre Maziére kazanmıştır, kabul görmüştür. Bernoulli her iki yarışmada da mansiyon ödülü aldı. Johann Bernoulli kardeşi Jakob ile Basel Üniversitesinden mezun olana dek beraber çalışmasına rağmen kısa bir süre sonra ikilinin kıskançlık ve rekabete dayanan bir ilişkisi oldu. Johann; Jakob’un pozisyonunu kıskanıyordu ve ikisi sıkça birbirine üstün gelmeye çalışıyordu. Jakob’un ölümünden sonra bu kıskançlık kendi yetenekli oğlu Daniel için de devam etti. 

1738’de baba ve oğul ikilisi hidrodinamik üzerine neredeyse eşzamanlı olarak yayınlar ürettiler. Johann Bernoulli kendi çalışmasının tarihini oğlununkinden iki yıl önce olarak göstererek önceliği elde etmeye çalıştı. 

Johann, Basel şehir meclisi üyesinin kızı Dorothea Falkner ile evlendi. Nicolaus II Bernoulli, Daniel Bernoulli ve Johann II Bernoulli adlarında üç adet çocukları oldu. Johann aynı zamanda Nicolaus I Bernoulli’nin de amcasıdır. Bernoulli kardeşler sıkça aynı problemler üzerinde çalışmışlardır. Bu çalışmalar genellikle büyük anlaşmazlıklar içerisinde yapılmıştır. İki kardeşin en şiddetli anlaşmazlığı eğer sadece yalnızca yerçekimi etkisi altında ise bir parçacığın en kısa sürede aldığı yol için bir eşitlik bulmaya çalışırlarken yaşanmıştır. Bu problem ilk olarak 1697’de Galileo tarafından incelenmiştir. 1697’de Jakob bu problemin çözümüne ödül teklif etmiştir. Bu meydan okumayı kabul ettikten sonra Johann bir dönel yuvarlanma eğrisi, hareket eden bir teker üzerindeki bir noktanın yolu, önermiştir. Uzun süren bu şiddetli anlaşmazlık Jakob’un bu çözüme meydan okuyup kendi çözümünü ortaya atması ile meydana geldi. Bu anlaşmazlık değişkenler kalkülüsü adında yeni bir disiplinin temelini attı. 

Bernoulli özel matematik eğitimi için Guillaume de L’Hôpital tarafından işe alınmıştı. Bernoulli ve L’Hôpital aralarında bir sözleşme imzaladılar. Bu sözleşmeye göre L’Hôpital Bernoulli’nin keşiflerini istediği gibi kullanma hakkına sahipti. L’Hôpital, ilk kitabı (Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes) 1696 yılında sonsuz küçük kalkülüsü üzerine yazdı. Bu kitap çoğunlukla, günümüzde L’Hôpital kuralı olarak bilinen türev kuralını da içeren Bernoulli’nin çalışmalarından oluşuyordu. Daha sonradan Bernoulli, Liebniz, Varignon ve diğerlerine yazdığı mektuplarda  L’Hôpital’in kitabın önsözünde borcunu kabul etmesine rağmen yaptığı katkılar için yeterince itibar gösteremediğinden şikâyet etmiştir. 

"Je reconnais devoir beaucoup aux lumières de MM. Bernoulli, surtout à celles du jeune (Jean) présentement professeur à Groningue. Je me suis servi sans façon de leurs découvertes et de celles de M. Leibniz. C'est pourquoi je consens qu'ils en revendiquent tout ce qu'il leur plaira, me contentant de ce qu'ils voudront bien me laisser." 

"Birçok kişiye borçlu olduğumun farkındayım. Bernoulli’nin kavrayışı, özellikle Groningue’de profesör olan geç John’a. Bay Leibnitz’in keşiflerinin yanı sıra onların keşiflerini de gayri resmi bir şekilde kullandım. Bu sebepten ötürü kendimi onların istedikleri kadar hak iddia etmelerine razı ettim ve bana bırakmaya karar verecekleri şeyler için kendimi memnun edeceğim."

GeoGebra Dinamik Matematik Yazılımı

GeoGebra Matematik ve Geometri alanında yazılmış dinamik geometri yazılımları arasında yer alıyor. Açık kaynak kodlu olması ve her geçen gün geliştirilebilir içeriği sayesinde yenileşme çabalarına da fırsat vermesiyle de ön plana çıkıyor.

GeoGebra , Cambridge Üniversitesi Eğitim Enstitüsü tarafından geliştirilen bir ücretsiz cebir ve geometri yazılımıdır. Avrupa Akademik Yazılım Ödülü-2002 , Avusturya Eğitim Yazılım Ödülü-2003 , Almanya Eğitim Yazılım Ödülü-2004 , Uluslararası Bedava Eğitim Yazılım Ödülü-2005 gibi bir çok ödül almış bu yazılım bir çok ülke tarafından eğitim sistemlerinde kullanılmaktadır.

Geogebra Anasayfa Linki: http://www.geogebra.org

Windows için ücretsiz geogebra programı indirme linki: https://www.geogebra.org/download

GeoGebra Nedir? GeoGebra; geometri cebir ve analizi birleştiren dinamik bir matematik yazılımıdır. Bu yazılım okullarda matematik öğretimi ve öğrenimini geliştirmek için Markus Hohenwarter ve bir grup uluslararası yazılım uzmanı tarafından geliştirilmiştir. Matematiksel Nesneler için Birden fazla Görünüm GeoGebra, matematik nesnelerinin Grafik, sayısal Cebir ve Çizelge (Spreadsheet) olmak üzere 3 farklı görünümünü sağlar. Bunlar matematikle ilgili nesneleri Grafiksel (örneğin noktalar, fonksiyon grafikleri gibi), Cebirsel (noktaların koordinatları, denklemler) ve çizelge (spreadsheet) hücreleri olarak 3 farklı şekilde görebilmenizi sağlar. Böylece aynı nesnenin farklı gösterimleri dinamik olarak birleştirilir ve gösterimlerin herhangi biri için yapılan değişiklikler, ilk olarak hangi şekilde oluşturulursa oluşturulsun, otomatik olarak 3 gösterimin hepsi için de uyarlanır.

GeoGebra, eğitimin tüm seviyeleri için geometri, cebir, hesap tabloları, grafik, istatistik ve calculus’ü kullanımı kolay bir pakette birleştiren dinamik bir matematik yazılımıdır. GeoGebra, nerdeyse her ülkede yerleşik milyonlarca kullanıcıyla hızla genişleyen bir topluluktur. GeoGebra, fen bilimleri, teknoloji, mühendislik ve matematik eğitimini (STEM) ve dünya genelinde öğrenim ve öğretimde innovasyonu destekleyerek önde gelen bir dinamik matematik yazılımı haline gelmiştir.

Geometri, Cebir ve Hesap tabloları ilişkilendirilmiştir ve tamamen dinamiktir. Kullanımı kolay bir arayüz ve çok güçlü özellikler. Web sayfası olarak etkileşimli öğrenme kaynakları oluşturmak için yardımcı bir araçtır. Dünyanın her yerindeki milyonlarca kullanıcı için her dilde mevcuttur. Açık kaynak kodlu yazılım olup Ticari olmayan kullanımlar için ücretsizdir.

Matematiksel Modelleme Çeşitleri

Matematiksel modelleme çeşitleri: dört kısma ayrılır.1.Deneysel modelleme,2.Teorik modelleme,3.Simülasyon modelleme, 4.Boyutsal analiz modelleme

1.Gözlenebilen verilere dayalı olarak oluşturulan grafikleri matematiksel olarak ifade edilmesine deneysel modelleme denir. Örneğin; dünyadaki sicaklık artışının grafik ile gösterimi bir deneysel modellemedir.

2.Matematiksel modelin formüle edilmesinde, verilerden çok teoriye dayanan farklı problem çözme süreci gerektiren modellemeye teorik modelleme denir. Caddelerdeki yaya geçidi ihtiyaçlarının belirlenmesi bir teorik modelleme örneğidir.

3.Genellikle matematiksel modeller ifade edilirken cebirsel semboller kullanılır. Bazı problemlerde çözümler, analitik olarak modellenemezler. Bu tür modellemelere simülasyon modeli adı verilir. Örneğin; türev kavramının bilgisayarda fizik sel anlamını verecek bir animasyon bir simülasyon modelidir.

4.Fiziğin temel özelliklerine dayalı oluşturulan modellere boyutsal analiz modeli denir. Bu tür modelleme, bilim ve teknolojide ilişkiyi biçimlendirmede kullanılır. Örneğin; boyutu kullanarak hız ve alan arasındaki ilişkiyi temsil eden matematiksel ifadeyi bulma bir boyutsal analiz modelidir.

Modelleme terimi, bütün modelleme süreçlerini açıklamasına karşın başlangıçta bir problemin matematiksel formülünü elde etme şeklinde daha sınırlı bir süreci açıklamak için kullanılabilir. Matematiksel modelleme aşağıdaki süreçlerden oluşur.

• Modelleme süreci,
• Problemin analizi,
• Problem belirleme ve matematiksel ifade,
• Model analizi ve teknikleri.

Kaynak: MEB Lise Matematik Programı-2005

Matematik Öğretiminde Modelleme Nedir?

Matematik ve gerçek hayat problemlerinin arasındaki ilişkilerin oluşturulmasında matematiksel modelleme önemli rol oynar.Matematiksel modelleme; gerçek hayat problemlerinin matematiksel terimlerle çözümünü bulmayı temsil eden bir yöntemdir. Matematiksel modelleme; aslında gerçek hayat problemlerinin sadeleştirilmesi, soyutlanması ya da bir matematiksel forma dönüştürülmesidir. Matematiksel problem, bilinen tekniklerle matematiksel çözümü bulmak için kullanılabilir. Daha sonra bu çözüm yorumlanarak gerçek terimlere dönüştürülür.

Matematik öğrenimindeki modelleme etkinlikleri; kavramların doğrulanmasında, tanımlanmasında, genelleştirilmesindeki zorlukların ve stratejilerin gözlem ve analizinde, öğrenme ve iletişim kurma becerileri kazanma sürecinde etkin rol oynamaktadır. Matematik, kültürümüzün bir parçası ve bir sosyal fenomen olarak toplumda, doğada ve diğer disiplinlerde, uygulamalarıyla yer alır.

Matematiksel modelleme, hayatın her alanındaki problemlerin doğasındaki ilişkileri çok daha kolay görebilmemizi, onları keşfedip aralarındaki ilişkileri, matematik terimleriyle ifade edebilmemizi, sınıflandırabilmemizi, genelleyebilmemizi ve sonuç çıkarabilmemizi kolaylaştıran dinamik bir yöntemdir. Diğer bir şekli ile matematiksel modellemeler, matematiksel düşünme becerileri kazanılmasına ve bu becerilerin geliştirilmesine katkı sağlar.

Bilgisayar ortamında geliştirilen matematiksel modeller, matematikle iletişim kurulmasında olağanüstü öneme sahiptir. Özellikle, interaktif matematiksel modeller farklı disiplinlerin doğasındaki olgusal gözlemlerin mantıksal ilişkilerinin kurulabilmesinde ve soyut düşünmeye dayalı becerilerin kazınılmasında mükemmel fırsatlar sunar.

Matematiksel modellemeler ve uygulamaların öğrenimi ve öğretimi karmaşık ve zor bir alandır. Ancak, gerçek hayat problemlerinin matematiksel modelleri kavramsallaştırıldığı zaman, problemin karmaşıklığının sadeleştiğini ve anlamlandırmanın kolaylaştığını görürüz. Böylece matematiksel modeller, öğrenme sürecinde bilişsel yapıların oluşmasını kolaylaştırıp, öğrencilerin gerekli matematiksel bilgi ve becerilerini gerçek hayat problemlerine uygulayabilme davranışını kazanmalarını hızlandırır.

Kaynak: MEB Lise Matematik Programı-2005