Karenin Özellikleri

Kare, matematikteki en temel geometrik şekillerden birisidir. Pek çok yerde kullanımı mevcuttur. Özellikle seramik/fayans döşeme ve kaplamalarında, mobilya tasarımlarında sıklıkla kare tercih edilir. Kenar uzunlukları eşit olan dikdörtgene kare (murabba) denir. 

Kare, bir düzgün çokgen örneğidir.  Kare esasında özel bir dikdörtgen çeşididir. Aynı zamanda eşkenar dörtgendir. Eşkenar dörtgende ve dikdörtgende yer alan tüm özellikleri sağlar. Bütün iç ve dış açıları 90 derecedir. iç açıları ve dış açıları ölçüleri toplamı 360 derece olup tamamı 90 derecedir. Köşegenleri dikdörtgendeki gibi birbirine eşittir ve birbirini ortalar. Köşegenlerin kesim noktası, karenin ağırlık merkezi (denge noktası) olur.

Dikdörtgen ve Özellikleri

Tüm açılarının ölçüsü, 90 derece olan paralelkenara dikdörtgen (mustatil) adı verilir. Paralelkenarın bütün özelliklerini taşır. Karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir. Her dikdörtgen, aynı zamanda bir paralelkenardır. Bu ifadenin tersi doğru olmaz. Yani her paralelkenar, her zaman bir dikdörtgen olmaz. Kare şekli de özel bir dikdörtgen formatıdır.

Eşkenar Dörtgen ve Özellikleri

Bütün kenar uzunlukları birbirine eşit olan paralelkenara eşkenar dörtgen denir. Paralelkenarın tüm özelliklerini sağlar.  (Bkz: Paralelkenar Özellikleri)

Eş veya benzer üçgenlerde yardımcı elemanlar

Bütün kenarları ve bütün açılarının ölçüleri birbirine eşit olan üçgenelere, eş üçgenler denir. Sonuç olarak; "Eş üçgenlerde, eş açılar karşısında eş kenarlar ve eş kenarlar kaşısında da eş açılar bulunur." Eş üçgenlerde karşılıklı açı ve kenar uzunlukları eşit olduğu gibi iki eş üçgende yardımcı elemanlar olan yükseklik, kenarortay ve açıortay da birbirine eşit uzunluktadır.

İkizkenar üçgende yardımcı elemanlar

Üçgenin yardımcı elemanları, kenarortay, yükseklik ve açıortaydır. Taban açıları birbirne eşit olan üçgene ikizkenar üçgen denir. İkizkenar üçgende, eş açıların karşısındaki kenarların uzunlukları birbirine eşittir. İkizkenarlara ait, yükseklik, açıortay ve kenarortay uzunlukları, karşılıklı olarak birbirine eşittir.  

Paralelkenarda Alan Hesabı

Bir paralelkenarda, alan hesabı için taban uzunluğu ve yükseklik bilinmelidir. Paralelkenarın yüksekliği, paralelkenar içerisinde bir köşeden karşı kenara dik uzaklık olarak çizilebileceği gibi, o kenarın uzantısına da çizilebilir. 

Paralelkenar Özellikleri

Paralelkenar, karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşit olan ve iç açıları toplamı 360 derece olan bir dörtgendir. 

Eşlik ve Benzerlik Teoremleri

Açı Kenar Açı (A.K.A.) Eşliği: İki üçgenin karşılıklı birer kenarı ve bu kenara komşu olan açıları arasında eşlik varsa, "iki üçgen birbirine eştir" denir. 

Üçgen eşitsizliği cebirsel ispatı

Üçgen Eşitsizliği: Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları farkından büyük, toplamından küçüktür. Bir üçgenin çizilebilmesi için olmazsa olmaz şart üçgen eşitsizliğidir. Üçgen eşitsizliği hakkında detaylı açıklama ve geometrik yorumu için aşağıdaki bağlantıyı kullanabilirsiniz.

(Bkz. Üçgen eşitsizliği)

Üçgen Eşitsizliğinin Cebirsel İspatı:

Üçgen eşitsizliğinin cebirsel formu mutlak değer ve eşitsizlik kavramları ile birlikte: 

||x|-|y||≤|x+y|≤|x|+|y| 

şeklinde ifade edilir ve mutlak değer teoremleri ve Cauchy-Schwarz Eşitsizliği yardımıyla ispatlanır. 

Aşağıda verilen teoremler, alt alta sırayla incelendiğinde, bütün bu teoremlerin birlikte sonucu olarak cebirsel üçgen eşitsizliğine ulaşılır.