Yamukta Özellikler ve İspatları

En az iki kenarı paralel olan dörtgene yamuk denir. ABCD yamuğunda, [AB] // [CD]’dır. Yamukta karşılıklı köşelerde yer alan açıların ölçüleri toplamı 180 derece olur.

m(A) +m(D) = 180º, m(B) + m(C) = 180º’dir. 

Yamuğun paralel olan kenarları yamuğun tabanlarıdır. Paralel olmayan kenarları eşit uzunlukta olan yamuğa ikizkenar yamuk denir. İkizkenar yamukta taban açılarının ölçüleri birbirine eşittir. İkizkenar yamukta köşegen uzunlukları eşittir.  Yan kenarlardan biri tabanlara dik olan yamuğa dik yamuk denir. Yamukta paralel olmayan kenarların orta noktalarını birleştiren doğru parçasına "orta taban" denir.

Dörtgende Alan Bağıntıları

Herhangi bir dörtgenin alanı, köşegen uzunlukları ile köşegenlerin arasında yer alan açının sinüsünün çarpımının yarısı ile hesaplanır.  Burada özel olarak açı 90 derece olarak alınırsa yani köşegenler birbiriyle dik kesişirse o zaman dörtgenin alanı köşegenlerin çarpımının yarısı kadar olur.

Dörtgende Uzunluk Teoremleri ve İspatı

Bir dörtgende köşegenler birbirini dik olarak keser ise dörtgenin karşılıklı kenarlarının kareleri toplamı birbirine eşit olur. Bütün konveks dörtgenlerde bu genel özelliktir. Kuralın geçerli olması için köşegenlerin birbirini dik olarak kesmesi gerekir. Konkav dörtgende de aynı bağıntı geçerlidir. İspatı yapılırken dörtgenin iç bölgesinde oluşan üçgenlerde ayrı ayrı pisagor teoreminden yararlanılır.

** Bu şekildeki bir dörtgenin alanı da köşegenleri çarpımının yarısı kadardır. Köşegenler dik kesiştiği için Üçgende sinüs alan formülünden sin 90=1 olduğundan iki parça halinde üçgen toplamı olarak  verilen dörtgen düşünülürse; köşegenleri dik kesişen dörtgenin alanı köşegenler çarpımının yarsı olur.

Dörtgende Açı Özellikleri ve ispatı

Dörtgenler bir çokgen çeşididir. Çokgenler kenar sayılarına göre isimlendirilmesi nedeniyle dört kenarı bulunan çokgene "dörtgen" ismi verilir. Dörtgenin açı özelliklerini bilebilmek için üçgen üzerindeki açı özelliklerini iyice kavramış olmak gerekmektedir.
TEOREM: Herhangi bir konveks dörtgenin iç açıları ölçüleri toplamı düzlem üzerinde 360 derecedir. Aynı şekilde dış açıları ölçüleri toplamı da 360 derecedir. Dörtgenin iç açılarının ölçüsünün toplamının 360 derece olduğunu göstermek için dörtgeni iki parçaya ayıracak şekilde bir tane köşegen çizilir oluşan üçgenlerde iç açılar tek tek yazılarak üçgenin açıları toplamı 180 derece olduğundan çizilen bu iki adet üçgenin iç açıları toplamı 2.180°=360° olarak bulunur. Altta bir çokgenin genel iç açıları toplamı formülünden dörtgenin iç açısı ölçüsü toplamı ispatı verilmiştir. Yukarıda anlattığımız ispat şeklinin matematik dilindeki gösterimidir. 

İSPAT: Dörtgenin iç açılarının ölçüleri toplamı, (n–2).180° olup  n = 4 kenar için, (4–2).180° = 360° bulunur. Konu ile ilgili aşağıdaki örnekleri inceleyiniz.

Katı Cisimlerin Alan ve Hacim Formülleri

Birbirine paralel olacak şekilde seçilen iki çokgenin karşılıklı olarak köşe noktalarını birleştiren doğruların arasında kalan kapalı geometrik şekle katı cisim denir. Bu katı cisimler tabanında bulunan geometrik şekle göre isimlendirilir. Bütün kenar uzunlukları birbirine eşit olan katı cisimlere düzgün katı cisim adı verilir. 

Türevle Grafik Çizimi

Fonksiyonların grafiğini çizebilmek için aşağıdaki temel adımlar uygulanır. Burada anlatılanlar, her türlü fonksiyonun grafiğini el yordamıyla çizmek için genel şartları içerir. Daha üst fonksiyonların çiziminde çeşitli matematik yazılımları kullanılabilir. Bir fonksiyonun grafiğini çizmek o fonksiyonun fotoğrafını çekmek gibi olduğundan bize fonksiyon hakkında kısa ve net bir şekilde görsel bir bilgi verir.

1) Fonksiyonun tanım kümesi bulunur. Bulunan tanım kümesi çizim yapılırken dikkate alınır.

2) Fonksiyon periyodik bir fonksiyon ise periyodu bulunur. (Trigonometrik Fonksiyonlar gibi)

3) Varsa Yatay ve düşey asimptotları bulunur. (Eğer eğik-eğri asimptotu varsa ayrıca belirlenir)

4) x ve y eksenlerini kestiği noktalar bulunur. x=0 için y eksenini kesen nokta, y=0 için x eksenini kesen nokta bulunur. x ve y eksenini kesmeyen fonksiyonlar ayrıca belirlenir.

5) Fonksiyonun birinci türevi alınır. Ekstremum noktaları bulunur. Maksimum ve minimum olduğu yerler ile artan ve azalan olduğu durumlar belirlenir.

6) Fonksiyonun ikinci türevi alınarak büküm(dönüm) noktası varsa bulunur. 

7) Fonksiyonun birinci ve ikinci türevine göre işaret tablosu yapılarak grafiğin artan azalan olduğu aralıklar ile çukurluk ve tümseklik (konveks ve konkav) aralıkları bulunur.

8) Bütün bu veriler ışığında fonksiyonun grafiği çizilir.

Düşey ve Yatay Asimptot

Bir fonksiyonun grafiği çizildiğinde bu grafikte sonsuza giden bir kolu varsa, bu kol üzerindeki rastgele bir nokta alındığında bu nokta sonsuza doğru götürüldüğünde bu noktanın bir doğruya ya da eğriye olan uzaklığı da sıfıra yaklaşıyorsa (limit değeri olarak) bu doğru ya da eğriye o fonksiyonun için asimptot değeri denir. Asimptotlar yatay ve düşey (dikey) olmak üzere, iki boyutlu uzayda iki kısımda incelenir.

Maksimum ve Minimum Problemleri

Maksimum ve minimum problemlerinde öncelikle verilen ifadelerden tek değişkene bağlı bir fonksiyon yazılır. Bu yazılan fonksiyonun istenen değişkene göre türevi alınır. Daha sonra türev sıfıra eşitlenerek kökler bulunur. Daha sonra işaret tablosu yapılarak minimum ve maksimum noktaları belirlenir. Aşağıda türev yardımıyla maksimum ve minimum problemlerinin nasıl çözüldüğüne dair örnekler verilmiştir. 

Bileşke Fonksiyonun Türevi ve İspatı

Bileşke fonksiyonların türevi bulunurken eğer fonksiyonun bileşkesi bulunabiliyorsa öncelikle fonksiyonun bileşkesi alınır daha sonra istenen türev bulunur. Bileşke fonksiyonun bulanmayacağı veya daha zor olarak hesaplanacağı durumlarda ise öncelikle birinci fonksiyonun türevinde ikinci fonksiyon bilinmeyen yerine yazılır daha sonra ikinci fonksiyonun da ayrı olarak tekrar türevi alınarak çarpım halinde yanına yazılarak bileşke fonksiyonun türevi bulunur.