Türevle Grafik Çizimi

Fonksiyonların grafiğini çizebilmek için aşağıdaki temel adımlar uygulanır. Burada anlatılanlar, her türlü fonksiyonun grafiğini el yordamıyla çizmek için genel şartları içerir. Daha üst fonksiyonların çiziminde çeşitli matematik yazılımları kullanılabilir. Bir fonksiyonun grafiğini çizmek o fonksiyonun fotoğrafını çekmek gibi olduğundan bize fonksiyon hakkında kısa ve net bir şekilde görsel bir bilgi verir.

1) Fonksiyonun tanım kümesi bulunur. Bulunan tanım kümesi çizim yapılırken dikkate alınır.

2) Fonksiyon periyodik bir fonksiyon ise periyodu bulunur. (Trigonometrik Fonksiyonlar gibi)

3) Varsa Yatay ve düşey asimptotları bulunur. (Eğer eğik-eğri asimptotu varsa ayrıca belirlenir)

4) x ve y eksenlerini kestiği noktalar bulunur. x=0 için y eksenini kesen nokta, y=0 için x eksenini kesen nokta bulunur. x ve y eksenini kesmeyen fonksiyonlar ayrıca belirlenir.

5) Fonksiyonun birinci türevi alınır. Ekstremum noktaları bulunur. Maksimum ve minimum olduğu yerler ile artan ve azalan olduğu durumlar belirlenir.

6) Fonksiyonun ikinci türevi alınarak büküm(dönüm) noktası varsa bulunur. 

7) Fonksiyonun birinci ve ikinci türevine göre işaret tablosu yapılarak grafiğin artan azalan olduğu aralıklar ile çukurluk ve tümseklik (konveks ve konkav) aralıkları bulunur.

8) Bütün bu veriler ışığında fonksiyonun grafiği çizilir.

Düşey ve Yatay Asimptot

Bir fonksiyonun grafiği çizildiğinde bu grafikte sonsuza giden bir kolu varsa, bu kol üzerindeki rastgele bir nokta alındığında bu nokta sonsuza doğru götürüldüğünde bu noktanın bir doğruya ya da eğriye olan uzaklığı da sıfıra yaklaşıyorsa (limit değeri olarak) bu doğru ya da eğriye o fonksiyonun için asimptot değeri denir. Asimptotlar yatay ve düşey (dikey) olmak üzere, iki boyutlu uzayda iki kısımda incelenir.

Maksimum ve Minimum Problemleri

Maksimum ve minimum problemlerinde öncelikle verilen ifadelerden tek değişkene bağlı bir fonksiyon yazılır. Bu yazılan fonksiyonun istenen değişkene göre türevi alınır. Daha sonra türev sıfıra eşitlenerek kökler bulunur. Daha sonra işaret tablosu yapılarak minimum ve maksimum noktaları belirlenir. Aşağıda türev yardımıyla maksimum ve minimum problemlerinin nasıl çözüldüğüne dair örnekler verilmiştir. 

Bileşke Fonksiyonun Türevi ve İspatı

Bileşke fonksiyonların türevi bulunurken eğer fonksiyonun bileşkesi bulunabiliyorsa öncelikle fonksiyonun bileşkesi alınır daha sonra istenen türev bulunur. Bileşke fonksiyonun bulanmayacağı veya daha zor olarak hesaplanacağı durumlarda ise öncelikle birinci fonksiyonun türevinde ikinci fonksiyon bilinmeyen yerine yazılır daha sonra ikinci fonksiyonun da ayrı olarak tekrar türevi alınarak çarpım halinde yanına yazılarak bileşke fonksiyonun türevi bulunur.

Bölüm Türevi ve İspatı

Bazı durumlarda bölüm fonksiyonunu bulmak verilen fonksiyonlar açısından kolay olmayabileceği gibi bölme işlemi ile uğraşmak zaman bakımından da sıkıntılı olacaktır. İki fonksiyonun birbirine bölümünün türevi alınırken çarpım türevine benzer biçimde bölüm türevi kuralı yardımıyla hesaplama yapılabilir. Bölüm türevi alınırken çarpım türevindeki gibi 

(birinci fonksiyonun (pay fonksiyonun) türevi . ikinci fonksiyonun (payda fonksiyonun) aynısı - birinci fonksiyonun aynısı . ikinci fonksiyonun türevi pay kısmına yazılır daha sonra payda olarak da ikinci fonksiyonun [payda fonksiyonun] karesi yazılır. ) bölüm türev kuralı yazılabilir. Bölüm türevinin ispatı da türevin limit tanımından yararlanarak yapılabilir.

Çarpım Türevi ve İspatı

Çarpım türevi alınırken fonksiyonları öncelikle çarpıp daha sonra türev almak daha zor olacağından çarpım türevini bilmek işlemlerde bizlere kolaylık sağlayacaktır. Kolayca formüle edilebilen çarpım türevine göre iki fonksiyon verildiğinde çarpım türevi;

(birinci fonksiyonun türevi . ikinci fonksiyonun aynısı + birinci fonksiyonun aynısı . ikinci fonksiyonun türevi ) şeklinde yazılabilir.Bu kuralın ispatı yapılırken de türevin limit tanımından yararlanarak çarpımın türevini bulabiliriz.

İkiden fazla fonksiyon verilirse kural aynı şekilde geçerli olur. Örneğin üç fonksiyon verilirse sırasıyla aynı kuralı yazabiliriz.

Toplam-Fark Türevi İspatı

Toplam veya fark durumunda bulunan fonksiyonların türevi alınırken fonksiyonların ayrı ayrı türevi alınıp, daha sonra bulunan türev değerleri toplanır veya çıkarılır.

İSPAT: İspatı yaparken; türevin limit tanımından yararlanarak yapalım.

Polinom Fonksiyonların Türevi ve İspatı

Polinom fonksiyonların türevi alınırken bilinmeyenin kuvveti katsayı olarak bilinmeyenin başına geçer ve kuvvet bir sayı azalarak yeniden yazılır. Köklü ifadelerde polinom fonksiyonlara benzetilerek üslü biçime çevrildikten sonra aynı kural yardımıyla türevi alınabilir. Türevin limitle olan tanımından yola çıkarak bu kuralın ispatı yapılabilir. Aşağıdaki ispatı ve örnekleri inceleyiniz.

f(x+h) ifadesini açarken yukarıdaki özdeşlik kullanımı yerine, binom katsayıları kullanırsak farklı bir yoldan da ispatı gösterebiliriz.

Doğrunun Eğiminde Türev

Verilen bir y=mx+n şeklindeki doğrunun eğimi bulunurken türevden yararlanılabilir. Denklemi verilen doğrunun birinci türevi alınırsa doğrunun eğimine ulaşılmış olur. İspatı yapılırken genel türev tanımından yararlanılarak sonuca ulaşılır. Altta doğrusal fonksiyonun eğimini bulurken kullanacağımız türev kuralının ispatı verilmiştir.

Öklid Algoritması

Öklid Algoritması; (Bkz.Euclidin Hayatı) (MÖ.325-MÖ.265) tarafından bulunan kullanışlı bir bölüm işlevidir. EBOB bulma işlemlerinde genellikle asal çarpanlarına ayrılması yönteminden yararlanırız. Lakin bazı durumlarda bu asal çarpanlarına ayırma işlemi sıkıntılı olabilir. Özellikle büyük sayılar verildiğinde EBOB bulma işlemi, asal çarpan yönteminde daha zor hale gelebilir. İki tam sayının en büyük ortak bölenini bulmak için yapılan ardışık bölme işlemine öklit algoritması denir. Ardışık bölme işlemine kalan sıfır oluncaya kadar devam edilir. Sıfırdan önceki en son bölen sayı EBOB u verir. Öklid algoritmasında yapılması gereken temel mantık; ardışık olarak büyük sayıyı küçük sayıya bölerek kalanın 0 olması durumuna kadar devam edilmesidir. Bazı durumlarda kalan 0 olmayabilir bu durumlarda farklı çözüm yolları geliştirilmelidir. 

Alt Küme sayısı formulü ispatı

Bir kümenin bütün elemanları o kümeden farklı olan başka bir kümenin de aynen elemanları oluyorsa bu küme diğer kümenin alt kümesi olur. Alt küme sayısı kümenin eleman sayısı n olmak üzere, 

2ⁿ  formülü ile hesaplanır. 

Pisagor Teoremi Vektörel İspatı

Pisagor Teoremi, dik üçgenlerde geçerli temel bir bağıntıdır. Esasında trigonometride yer alan cosinüs teoreminin dik üçgen için geçerli halidir. Öklid geometrisinde bir dik üçgenin üç kenarı verildiğinde  dik kenarların karelerinin toplamları hipotenüsün karesine eşittir. Bilinen en eski matematiksel teoremlerden biridir. Teorem Hint, Çin Mısır ve Mezopotamya Coğrafyasında bilinen ve gündelik yaşamlarında uygulanan bir bağıntı olarak kaynaklarda belirtilse de, yaygın kanaate göre ilk defa Pisagor tarafından yazılı olarak bahsedildiği sanılmaktadır. Pisagor teoreminin bilinen ilk matematiksel ispatı Öklid'in Elementler eserinde yer almıştır.

Pisagor Teoereminin farklı ispatları önceki yazılarımızda verilmiş ve video çözümlerle de bu ispat teknikleri gösterilmiştir. (Bkz. Pisagor teoremi ispatı) Bu yazımızda pisagor teoreminin vektörel yolla nasıl ispat edilebileceğini göstermek istiyoruz. Bunun için önce bir dik üçgeni taşıyıcı kollar olarak üçgenin köşe noktalarından tanımlanmış vektörleri belirliyoruz. Bu belirlediğimiz vektörlerde dört işlem özelliklerinden yararlanarak pisagor teoreminin ispatını aşağıdaki gibi vektörel yolla göstermiş oluruz.

LYS Matematik Soru Dağılımı (2010-2016)

LYS, ciddi bir çalışma ve emek neticesinde başarılı olunabilecek bir sınavdır. Bu nedenle öğrencilerimizin bu sınava hazırlanırken herşeyden önce azim ve kararlılıkla planlı bir çalışma yapmaları gerekmektedir. LYS konularının analizi yapılarak hangi üniteden daha yoğun soru geldiği belirlenmeli ve eksiklik hissedilen konulara buna göre öncelik verilmelidir. Aşağıdaki tablo, LYS Matematik konuları hakkında sizlere bilgi sunması bakımından önemlidir.

Pisagor Teoremi ve İspatı

Pisagor Teoremi, dik üçgenlerde geçerli temel bir bağıntıdır. Esasında trigonometride yer alan cosinüs teoreminin dik üçgen için geçerli halidir. Öklid geometrisinde bir dik üçgenin üç kenarı verildiğinde  dik kenarların karelerinin toplamları hipotenüsün karesine eşittir. Bilinen en eski matematiksel teoremlerden biridir. Teorem Hint, Çin Mısır ve Mezopotamya Coğrafyasında bilinen ve gündelik yaşamlarında uygulanan bir bağıntı olarak kaynaklarda belirtilse de, yaygın kanaate göre ilk defa Pisagor tarafından yazılı olarak bahsedildiği sanılmaktadır. Pisagor teoreminin bilinen ilk matematiksel ispatı Öklid'in Elementler eserinde yer almıştır.

Pisagor Teoremi İspatı: Pisagor teoreminin çok fazla ispatı yapılmıştır bunlardan en bilineni bir dik üçgenin kenarlarına bitişik olacak şekilde çizilen üç adet karenin alanları arasındaki eşitlikten, dik kenarlara bitişik olan karelerin alanları toplamı hipotenüse ait çizilen karenin alanına eşittir.

12.Sınıf Matematik Müfredatı (2016)

12.sınıf matematik müfredatı malum olduğu üzere kademeli olarak değiştirilmiş ve bu öğretim yılı 2016-2017 itibariyle de uygulamaya koyulmuştur. Matematik ve Geometrinin birleştirilerek tek ders haline getirilmesiyle birlikte konular buna göre düzenlenmiş olup İleri Matematik (6 saatlik) ve Temel Matematik (2 Saatlik) olarak iki farklı ders kategorisi haline getirilmiştir. Ben 12.Sınıf ileri Matematik müfredatı ve gözlemleyerek konuları ve içeriğine dair izlenimlerimi paylaşıyorum.

0/0 neden belirsiz?

“0/0” ifadesi belirsizdir. Bunu özellikle bir soyut ve analitik bakış açısıyla şöyle açıklayabiliriz: Bir cebirsel yapı içerisinde bölme işlemi, paydanın sıfır olmadığı durumlarda tanımlıdır; dolayısıyla herhangi sıfırdan farklı bir reel ya da kompleks sayı için (a/0) ifadesi tanımsızdır. Ancak (0/0) özel bir konuma sahiptir; çünkü bu ifadenin tek bir değeri zorunlu kılan hiçbir cebirsel sayı değeri yoktur. Daha açık bir ifadeyle: Eğer (0/0 = L) gibi bir değere eşit olduğunu varsayarsak, bu durum mecburi olarak içler dışlar çarpımından  (0 = 0*L) eşitliğini gerektirir. 0*L= 0 eşitliği, her L Reel sayısı için sağlanır. Örneğin L yerine 0*4=0,  0*(-7)=0, 0*98=0, 0*√2=0, 0*0=0, 0*(-2/3)=0....vs gibi çeşitli L değerleri için doğru olur. Dolayısıyla bu 0*L=0 veya L*0=0 eşitliğinde L herhangi bir reel sayı olabileceğinden benzersiz bir L değeri atamak imkansız hale gelir. Bu nedenle 0/0 analizde ve özellikle limit kuramında, bir fonksiyonun değersel olarak değil, davranışsal olarak incelenmesi gereken durumları temsil eden bir belirsizlik durumunu gösterir.

Limit hesaplamalarında karşılaşılan (0/0) biçimleri, fonksiyonun çevresel değerlerinden hareketle çözülür; aksi hâlde bu ifade salt aritmetik düzlemde anlamsız kalır. Kısacası 0/0 sonucu hesaplanabilecek belirli bir sayı değildir; bölme gereği tanımlanamaz olduğu için ve hangi değerlere eşit olacağı tam olarak bilinemeyeceğinden 0/0 belirsizdir. Bu belirsizlik, cebirsel tanımlardan ziyade, analitik yöntemlerle ele alınması gereken yapısal bir özellik olarak ortaya çıkar.

0/0 bölme işlemi tanımından da 0/0 belirsizliğini açıklayabiliriz. Bir sayıyı kendisine böldüğümüzde 5/5 gibi sonuç 1 çıkar. 0 da bir sayıdır dolayısıyla 0/0 bölme işleminin de sonucunun 1 çıkması beklenir. Örnek olarak 0'a çok yakın sayılar seçerek bölme işlemlerini yapalım. 0.1/0.1 = 1, 0.001/0.001 = 1 ve 0.000001/0.000001 = 1. Bu örnekler bize “o hâlde 0/0 da 1 olabilir mi?” sorusunu akla getirir. Diyelim ki 0/0 işleminin sonucu 1 olsun. Bu 0/0 işleminin sonucunun böyle olmadığını irdeleyelim. 0 sayısını 0 dan farklı herhangi bir sayıya bölersek sonuç 0 çıkar. Örneğin 0/7 işleminin sonucu 0'dır. Pay 0 iken payda sıfıra çok yakın ama sıfır olmayan sayılar aldığımızda, sonuç yine 0 çıkar; örneğin 0/0.1 = 0, 0/0.001 = 0 ve 0/0.000001 = 0. Bu da bölmeyi paydayı gittikçe 0'a çok yakın sayılar seçtiğimizde  ifade 0/0 = 0 olabilir mi?” sorusunu akla getirir. Ancak önceki durumdan 0/0 sonucu 1 çıkarken şimdi burada 0/0 işleminin sonucu 0 çıkmış olur ki iki farklı yaklaşım iki farklı sonuç verdiği için bu durum bir çelişki oluşturur: Bir yandan sonuç 1 gibi görünürken diğer yandan 0 gibi görünmektedir. Bu bir çelişki olur. İşte bu nedenle 0/0’ın tek bir kesin sonucu yoktur ve bu ifade matematikte belirsiz olarak kabul edilir.

Analiz ve kalkülüs perspektifinden bakıldığında 0/0 ifadesi, yalnızca aritmetik düzeyde tanımsız bir oran olmaktan çıkarak, limit süreçlerinde belirleyici bir yapısal belirsizlik hâline gelir. Kalkülüsün temel kavramlarıyla ilişkilendirdiğimizde bu durum daha net anlaşılır. Limit hesabında herhangi bir sayıya yaklaşırken f(x)/g(x) değeri 0/0 çıktığında, (aynı sayıya yaklaşırken limit alınınca bile) farklı limit değerleri ortaya çıkacağı için fonksiyonlar farklı olduğunda 0/0 belirsiz olarak ifade edilir. Aşağıda iki farklı 0/0 belirsizliği limit örneği verilmiştir:

lim (x²-4)/(x-2) fonksiyonu x=2 için limit alınırsa 0/0 belirsizliği oluşur ve bunun sonucu 4 çıkar. lim (x-2)/(2x-4) fonksiyonu x=2 için limit alınırsa 0/0 belirsizliği oluşur ve bunun sonucu 1/2 çıkar. Aynı sayıya yaklaşırken 0/0 ifadesi en basitinden iki farklı sonuç çıkmıştır. Bu nedenle 0/0 ifadesi limitte bir belirsizlik olarak alınır.

(Bkz. Limitte 0/0 Belirsizliği)

Peki bölme işleminde 0 ile bölmek neden tanımsızdır? Yani A/0 neden tanımsızdır? Bölme işleminin matematikteki tanımı çarpma işleminin tersi üzerine kuruludur. Bir sayıyı başka bir sayıya böldüğümüzde aslında şu ilişkiyi kurarız. "a sayısı b sayısına bölündüğünde c elde ediliyorsa, bu ancak a=b*c eşitliğinin doğru olması halinde mümkündür." Bu tanımın geçerli olabilmesi için bölenin, yani paydanın sıfırdan farkl olması gerekir. Çünkü bölen olarak sıfır alındığında bu tanım çöker. Bir sayının sıfır ile çarpım her zaman sıfırdır dolayısıyla a = 0. c eşitliği ancak a'nin da sıfır olması durumunda sağlanabilir. a sıfır değilse denklem çözümsüz kalır, a sıfırsa da denklem tüm c değerleri için sağlanır, c yerine 0=5*0, 0=7*0, 0=13*0, 0=-4*0 gibi ne yazılırsa yazılsın sonuç doğru olur ve tek bir sonuç elde etmek mümkün olmaz. Bu durumda bölme işlemi, işlemlerin temel özelliği olan "her girdi için tek bir çıktı üretme' ilkesini kaybeder. Bu nedenle bölme işleminde hiçbir zaman payda 0 olamaz. Yani A/0 tanımsızdır.

Cebirsel olarak da A/0 bölme işlemi tanımsızlık sunar. a = b = 1 olsun. Önce 1=1 yani a = b eşitliği yazılsın. Sonra eşitliğin her iki tarafını a (1) ile çarpalım. a² = ab, ardından her iki taraftan da b² ifadesini çıkaralım. Buradan bir özdeşlik elde etmeye çalışalım. a² – b² = ab – b² iki kare farkı özdeşliği elde edilir. Bu da (a + b)(a – b) = b(a – b) şeklinde çarpanlara ayrılır. Buraya kadar her şey doğru olmuştur. Şimdi hatayı yapalım. Eşitliğin her iki tarafını (a – b)’ye yani (1-1=0) ile bölelim. a = b olduğundan a – b = 0’dır. Yani yapılan işlem 0’a bölmedir ve matematikte tanımsızdır. Buna rağmen bölünürse (a + b)(a – b)/(a-b) = b(a – b) /(a-b)  işleminin sonucu a + b = b bulunur ki bu durumda yani 1 + 1 = 1 çıkar ve buradan 2 = 1 gibi saçma bir sonuç elde edilir. Bu sonucun nedeni tamamen 0’a bölme hatasıdır; işlem geçersizdir. Bu işlem hatası bize 0 ile bölmenin tanımsız olacağını gösterir. 

Limitte ∞-∞ belirsizliği

∞-∞ belirsizliği limit çözümleri yapılırken ∞/∞ belirsizliği (Bkz.Limitte ∞/∞ belirsizliği)  veya 0/0 belirsizliklerine (Bkz.Limitte 0/0 Belirsizliği) dönüştürme yapılarak çözüme ulaşılır. Rasyonel ifadelerde, limit hesabında payda eşitlemesi yoluyla çözüme ulaşılır. Köklü ifadelerde ise verilen limit hesabı yapılırken köklü ifadenin eşleniğiyle çarpımı yoluyla çözüme ulaşılır. ∞-∞ belirsizliği için aşağıda verilen limit formülünün kullanımı da hesaplamalarda kolaylık sağlar.

Limitte ∞/∞ Belirsizliği

Limitte polinom fonksiyon olarak verilen ifadelerde x değişkeni için bulunan ∞/∞ belirsizliklerinin çözümünde temel mantık olarak en büyük dereceli terime göre paranteze alma işlemi yapılır.Daha sonra genişletilmiş reel sayılardaki limit (Bkz. Genişletilmiş reel sayılarda limit) kurallarına göre hareket edilerek sonuca ulaşılır. 

Limitte 0/0 Belirsizliği

0/0 Belirsizliklerinde verilen fonksiyonlar çarpanlara ayırma işlemlerinden yararlanılarak sadeleştirilmeye çalışılır. Daha sonra x değişkeni için verilen sayı değerine göre limit sonucu hesaplanır. Trigonometrik fonksiyonların oluşturduğu bu tip 0/0 belirsizliklerinde ise sinx/x limite bakmak daha yararlı olacaktır. Bu sinx/x ve tanx/x limitlerinin hesaplanış yöntemine (Bkz. sinx/x limiti) göre diğer trigonometrik fonksiyonların limitleri bulunabilir. 

L-Hospital Kuralı

L'Hospital 1661 'de Paris'te doğmuştur. Asil ve zengin üst tabaka bir Fransız ailesinden gelir. Asil bir aileden gelmesi nedeniyle bir süvari alayında yüzbaşı rütbesi ile görev yaptı. Ancak gözlerinin ileri derecede bozuk olması ve matematiğe olan yoğun ilgisi ve yeteneği sonucu askerliği bırakarak tamamen matematiğe yöneldi. Bernoulli 'nin öğretmenliğinde yetişmiştir. Johann Bernoulli fakir ve üretken bir matematikçi olduğundan onun teoremlerini, ispatlarını satın alarak kendi adıyla yayınlayan amatör bazı matematik çalışmaları da bulunan kişi L-Hospital'dir. 

Bugün türev ve limit konusunda çok meşhur olan ve L- Hospital adıyla anılan "L'Hospital Kuralı"nın da sonradan yapılan araştırmalar sonucu anlaşıldığı üzere asıl sahibi Bernoulli 'dir. Bu bilgiler ışığında L'Hospital için "matematiğe meraklı amatör bir matematikçi" yorumunu yapmak daha doğru bir yaklaşım olacaktır. 

Matematiksel analizde, L'Hôpital kuralı, (Löpital) bir fonksiyonun limitini türevle almak için yapılan bir formüldür. Limitinin 0/0 veya ∞/∞ olması durumunda pay ve paydanın türevinin ayrı ayrı alınması kuralına denir. Belirsizlik durumu ortadan kalkıncaya kadar türev almaya devam edilmesiyle, limitteki belirsizlik durumunun kaldırılması işleminden ibaret önemli bir türev kuralıdır. Bu yönteme L'Hopital ismi; 17. yüzyıl Fransız matematikçi Guillaume de l'Hôpital'ın, 1696 yılında yayımladığı "l'Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes" adlı kitabında açıklaması sonucu verilmiştir. Ancak yöntemin aslında Johann Bernoulli tarafından bulunduğu sonradan kabul edilmesine rağmen bu kural halen L-Hospital ismi ile kaynaklarda yer almaya devam etmektedir. 

L’Hospital, Bernoulli ile belli bir miktar aylık karşılığı anlaşma yapmış, birtakım problemleri ona çözdürmüş ve anlaşmayı kimseye söylememesini ondan istemiştir. Bu önemli limit kuralı da, ilk olarak bu şekilde ortaya çıkmış ve L’Hospital’in 1696’da yayımladığı matematik kitabıyla dünyaya tanıtılmıştır. Ancak yakın zamanda keşfedilmiştir ki L’Hospital kuralının ispatı ve ilgili örnekleri, Bernoulli’nin 1694 yılında L’Hospital’e yazdığı bir mektupta aynen bulunmaktadır. Yayınlanmış Eserleri: Analyse des infiniment petits pour l'intélligence des lignes courbes (Paris, 1696) Traité analytique des sections coniques (Paris, 1707) Recueil de l'académie des sciences (Paris, 1699-1701) Acta eruditorum (Leipzig, 1693-1699)

Trigonometrik Fonksiyonların Limitleri

Trigonometrik fonksiyonların limitleri bulunurken verilen radyan cinsinden açıya göre trigonometrik fonksiyonun alacağı değer bilinmelidir. Ayrıca trigonometrik fonksiyonların özellikleri toplam-fark formülleri, dönüşüm formülleri, yarım açı formülleri bilinirse limit alma işlemlerinde kolaylık sağlanır. Verilen açı değeri fonksiyonda yerine yazılarak limit değeri bulunur.

Genişletilmiş Reel sayılar kümesinde limit

Genişletilmiş Reel sayılar kümesinde limit işlemleri yapılırken önce Genişletilmiş Reel Sayılar kümesinin özelliklerinin bilinmesi gerekir. Aşağıdaki örnekleri incelediğinizde bu küme üzerinde limit işlemleri yapmak daha kolay hale gelecektir.

Elipsin alanı ve ispatı

Elips, sabit bir noktaya ve verilen bir doğruya uzaklıkları oranı birden küçük bir sayıya eşit olan noktalarının geometrik yeridir. Elipsin alanı integral yardımıyla alan hesabı uygulamalarından yararlanarak bulunabilir. Bunun için elipsin denkleminden yola çıkarak eksenler arasında kalan bölgelerin sınırlandığı bölgelerin uç noktalarını bularak integralle alan ispatı yapılabilir. Elipsin çevre formülünün ispatında olduğu gibi alan ispatında da integral bilgisi gerekmektedir.

Eksen uzunlukları asal eksen 2a ve yedek eksen 2b olan elipsin Alanı (elips) = π.a.b olduğunu elips denkleminden yola çıkarak ispatlayalım.

Elipsin çevresi ve ispatı

Bir koninin bir düzlem tarafından kesilmesi ile elde edilen düzlemsel, ikinci dereceden, kapalı eğridir.Elips, bir düzlemde verilen iki noktaya odak noktası (F1, F2) uzaklıkları toplamı sâbit olan noktaların geometrik yeridir; verilen bu iki noktaya F1 ve F2 noktaları elipsin odakları denir. Odaklarının arasındaki uzunluğa 2c dersek ortadaki nokta elipsin merkez noktasıdır. 

Elipsin x ekseni üzerinde kalan F1 ve F2 noktaları arasındaki uzaklığa orijine eşit olacak biçimde a+a=2a asal eksen, y ekseni üzerinde kalan aynı şekildeki b+b=2b uzunluğuna ise yedek ekseni denir. Aynı zamanda pisagor teoremi gereği burada oluşan dik üçgenden b² + c² = a² bağıntısı bulunur. b ve F1 ile merkez arasındaki doğru parçası, yani c dik kenarlar, a ise hipotenüs´dür.Elipsin 2a büyüklüğünde büyük (büyük ekseni) ve 2b büyüklüğünde küçük ekseni mevcuttur. Elips bunları çap kabul eden küçük ve büyük çemberleri arasında kalır.

Elipsin çevresi yerleşik bilgilere göre Π(a+b) şeklinde verilse de elipsin çevresi ve alanı integral yardımıyla en düzgün biçimde hesaplanır.

Artan ve Azalan Fonksiyonlar

Bir fonksiyonun artan ya da azalan olduğunu bulmak için türev konusunu işlemeden bulmak her zaman işe yaramayabilir. Bunun için en kesin tespit türev sayesinde yapılabilir. Eğer türev konusu bilinmiyorsa o zaman fonksiyonun grafiğini çizerek buradan yorumda bulunulabilir. Ayrıca artan ve azalan fonksiyonun aşağıda verildiği gibi tanımını kullanarak da fonksiyonun çeşidi hakkında yorum yapılabilir. 

Şimdi verilen bu tanıma göre artan ve azalan fonksiyonlara grafiklerini çizerek basit birer örnek verelim. Burada verilen örnek kavramı daha iyi anlamanız için özellikle basit fonksiyon türlerinden seçilerek hazırlanmıştır.

Birebir ve Örten Fonksiyon

Bir fonksiyonun birebir olması için tanım kümesinde yer alan her elemanın görüntülerinin de farklı elemanlara eşlenmesi gerekmektedir. 

 

Değer kümesi ile görüntü kümesi birbirine eşit ise bu çeşit fonksiyonlara örten fonksiyon denir. Yani değer kümesinde dışarıda boşta eleman kalmayan fonksiyonlara örten fonksiyon denir. Eğer değer kümesinde dışarıda en az bir eleman kalmış ise bu tür fonksiyonlara da içine fonksiyon denir.

Şimdi bu tanımları grafik üzerinde görebilmek adına bir örnek daha verelim. Burada dikkat edilmesi gereken nokta bire-bir fonksiyonların grafikleri çizildiğinde grafiği kesecek şekilde x-eksenine paralel doğrular çizilmesi durumunda fonksiyonun grafiği hiçbir zaman iki farklı nokta kesilmez. Eğer çizilen doğrular ile grafik birden fazla noktada kesişim yapıyorsa o zaman fonksiyon bire bir olmaz. (Yatay Doğru Testi)