“0/0” ifadesi belirsizdir. Bunu özellikle bir soyut ve analitik bakış açısıyla şöyle açıklayabiliriz: Bir cebirsel yapı içerisinde bölme işlemi, paydanın sıfır olmadığı durumlarda tanımlıdır; dolayısıyla herhangi sıfırdan farklı bir reel ya da kompleks sayı için (a/0) ifadesi tanımsızdır. Ancak (0/0) özel bir konuma sahiptir; çünkü bu ifadenin tek bir değeri zorunlu kılan hiçbir cebirsel sayı değeri yoktur. Daha açık bir ifadeyle: Eğer (0/0 = L) gibi bir değere eşit olduğunu varsayarsak, bu durum mecburi olarak içler dışlar çarpımından (0 = 0*L) eşitliğini gerektirir. 0*L= 0 eşitliği, her L Reel sayısı için sağlanır. Örneğin L yerine 0*4=0, 0*(-7)=0, 0*98=0, 0*√2=0, 0*0=0, 0*(-2/3)=0....vs gibi çeşitli L değerleri için doğru olur. Dolayısıyla bu 0*L=0 veya L*0=0 eşitliğinde L herhangi bir reel sayı olabileceğinden benzersiz bir L değeri atamak imkansız hale gelir. Bu nedenle 0/0 analizde ve özellikle limit kuramında, bir fonksiyonun değersel olarak değil, davranışsal olarak incelenmesi gereken durumları temsil eden bir belirsizlik durumunu gösterir.
Limit hesaplamalarında karşılaşılan (0/0) biçimleri, fonksiyonun çevresel değerlerinden hareketle çözülür; aksi hâlde bu ifade salt aritmetik düzlemde anlamsız kalır. Kısacası 0/0 sonucu hesaplanabilecek belirli bir sayı değildir; bölme gereği tanımlanamaz olduğu için ve hangi değerlere eşit olacağı tam olarak bilinemeyeceğinden 0/0 belirsizdir. Bu belirsizlik, cebirsel tanımlardan ziyade, analitik yöntemlerle ele alınması gereken yapısal bir özellik olarak ortaya çıkar.
0/0 bölme işlemi tanımından da 0/0 belirsizliğini açıklayabiliriz. Bir sayıyı kendisine böldüğümüzde 5/5 gibi sonuç 1 çıkar. 0 da bir sayıdır dolayısıyla 0/0 bölme işleminin de sonucunun 1 çıkması beklenir. Örnek olarak 0'a çok yakın sayılar seçerek bölme işlemlerini yapalım. 0.1/0.1 = 1, 0.001/0.001 = 1 ve 0.000001/0.000001 = 1. Bu örnekler bize “o hâlde 0/0 da 1 olabilir mi?” sorusunu akla getirir. Diyelim ki 0/0 işleminin sonucu 1 olsun. Bu 0/0 işleminin sonucunun böyle olmadığını irdeleyelim. 0 sayısını 0 dan farklı herhangi bir sayıya bölersek sonuç 0 çıkar. Örneğin 0/7 işleminin sonucu 0'dır. Pay 0 iken payda sıfıra çok yakın ama sıfır olmayan sayılar aldığımızda, sonuç yine 0 çıkar; örneğin 0/0.1 = 0, 0/0.001 = 0 ve 0/0.000001 = 0. Bu da bölmeyi paydayı gittikçe 0'a çok yakın sayılar seçtiğimizde ifade 0/0 = 0 olabilir mi?” sorusunu akla getirir. Ancak önceki durumdan 0/0 sonucu 1 çıkarken şimdi burada 0/0 işleminin sonucu 0 çıkmış olur ki iki farklı yaklaşım iki farklı sonuç verdiği için bu durum bir çelişki oluşturur: Bir yandan sonuç 1 gibi görünürken diğer yandan 0 gibi görünmektedir. Bu bir çelişki olur. İşte bu nedenle 0/0’ın tek bir kesin sonucu yoktur ve bu ifade matematikte belirsiz olarak kabul edilir.
Analiz ve kalkülüs perspektifinden bakıldığında 0/0 ifadesi, yalnızca aritmetik düzeyde tanımsız bir oran olmaktan çıkarak, limit süreçlerinde belirleyici bir yapısal belirsizlik hâline gelir. Kalkülüsün temel kavramlarıyla ilişkilendirdiğimizde bu durum daha net anlaşılır. Limit hesabında herhangi bir sayıya yaklaşırken f(x)/g(x) değeri 0/0 çıktığında, (aynı sayıya yaklaşırken limit alınınca bile) farklı limit değerleri ortaya çıkacağı için fonksiyonlar farklı olduğunda 0/0 belirsiz olarak ifade edilir. Aşağıda iki farklı 0/0 belirsizliği limit örneği verilmiştir:
lim (x²-4)/(x-2) fonksiyonu x=2 için limit alınırsa 0/0 belirsizliği oluşur ve bunun sonucu 4 çıkar. lim (x-2)/(2x-4) fonksiyonu x=2 için limit alınırsa 0/0 belirsizliği oluşur ve bunun sonucu 1/2 çıkar. Aynı sayıya yaklaşırken 0/0 ifadesi en basitinden iki farklı sonuç çıkmıştır. Bu nedenle 0/0 ifadesi limitte bir belirsizlik olarak alınır.
Peki bölme işleminde 0 ile bölmek neden tanımsızdır? Yani A/0 neden tanımsızdır? Bölme işleminin matematikteki tanımı çarpma işleminin tersi üzerine kuruludur. Bir sayıyı başka bir sayıya böldüğümüzde aslında şu ilişkiyi kurarız. "a sayısı b sayısına bölündüğünde c elde ediliyorsa, bu ancak a=b*c eşitliğinin doğru olması halinde mümkündür." Bu tanımın geçerli olabilmesi için bölenin, yani paydanın sıfırdan farkl olması gerekir. Çünkü bölen olarak sıfır alındığında bu tanım çöker. Bir sayının sıfır ile çarpım her zaman sıfırdır dolayısıyla a = 0. c eşitliği ancak a'nin da sıfır olması durumunda sağlanabilir. a sıfır değilse denklem çözümsüz kalır, a sıfırsa da denklem tüm c değerleri için sağlanır, c yerine 0=5*0, 0=7*0, 0=13*0, 0=-4*0 gibi ne yazılırsa yazılsın sonuç doğru olur ve tek bir sonuç elde etmek mümkün olmaz. Bu durumda bölme işlemi, işlemlerin temel özelliği olan "her girdi için tek bir çıktı üretme' ilkesini kaybeder. Bu nedenle bölme işleminde hiçbir zaman payda 0 olamaz. Yani A/0 tanımsızdır.
Cebirsel olarak da A/0 bölme işlemi tanımsızlık sunar. a = b = 1 olsun. Önce 1=1 yani a = b eşitliği yazılsın. Sonra eşitliğin her iki tarafını a (1) ile çarpalım. a² = ab, ardından her iki taraftan da b² ifadesini çıkaralım. Buradan bir özdeşlik elde etmeye çalışalım. a² – b² = ab – b² iki kare farkı özdeşliği elde edilir. Bu da (a + b)(a – b) = b(a – b) şeklinde çarpanlara ayrılır. Buraya kadar her şey doğru olmuştur. Şimdi hatayı yapalım. Eşitliğin her iki tarafını (a – b)’ye yani (1-1=0) ile bölelim. a = b olduğundan a – b = 0’dır. Yani yapılan işlem 0’a bölmedir ve matematikte tanımsızdır. Buna rağmen bölünürse (a + b)(a – b)/(a-b) = b(a – b) /(a-b) işleminin sonucu a + b = b bulunur ki bu durumda yani 1 + 1 = 1 çıkar ve buradan 2 = 1 gibi saçma bir sonuç elde edilir. Bu sonucun nedeni tamamen 0’a bölme hatasıdır; işlem geçersizdir. Bu işlem hatası bize 0 ile bölmenin tanımsız olacağını gösterir.
