Zamanın izafiyetine matematiksel bakış

Zamanın ne kadar hızlı geçtiğinden şikayet ediyoruz. Acaba zaman gerçekten hızlı mı akıyor? Herkes için zaman kavramı aynı mı? Zamanın izafiyeti ve göreceliği ne demek? Zaman gittikçe kısalıyor mu? Bu soruların cevabına dair fikirlerimiz bilim ve din çevrelerinde değişkenlik gösteriyor. Zaman; insanın doğduğu ilk günden beri yakalayamadığı, sürekli peşinde koşarak aldandığı, nice vakitleri boş yere harcayıp tükettiği bir kavramdır. Zaman, ölçmeye çalıştıkça parçalanan ve her çağda başka suretlere bürünen bir muammadır. Çocukken ağır aksak ilerleyen, yetişkinlikte hızlanan, ihtiyarlıkta göz açıp kapayıncaya dek geçen bu zaman algısı, aslında insanın hayatla kurduğu bağın ve tecrübe yoğunluğunun aynasıdır. Allah Rasülü ﷺ “Zaman yakınlaşmadıkça kıyâmet kopmaz! Bu yakınlaşma öyle olur ki, bir yıl bir ay gibi, ay bir hafta gibi, hafta da bir gün gibi, gün saat gibi, saat de saman alevi gibi veya kibritin tutuşup hemen sönmesi gibi (kısa) olur.” (Tirmizî, Zühd, 24/2332) sözü ile ahir zamanda zamanın değişeceğine ve bereketsiz hale geleceğine dikkat çekmiştir.

Zamanın değişken ve göreceli olduğu, gözlemcilerin hareketlerine bağlı olarak farklı hızlarda aktığı, günümüz dünyasında Albert Einstein'ın Görelilik Teorisine göre (Relativite Teorisi*¹) bilimsel olarak açıklanmıştır. Işık hızı, saniyede 300.000 km olduğundan hareketle sabit bir ışık hızında bir cisim (ışık hızına yakın) hareket ederse, bu cismin geçirdiği zaman, dışarıdan bakan herhangi bir gözlemciye göre daha yavaş akacağı teorik olarak belirtilmiştir. Bu olaya "zamanın genişlemesi" (time dilation*²) adı verilmiştir. Bu teoriye göre hareket halindeki bir nesne, zaman genişlemesi yaşar, yani bir nesne çok hızlı hareket ettiğinde zamanı durağan halinden daha yavaş yaşamış olur. Kütleye sahip herhangi nesnenin yakınında, “uzay-zaman bozulur. Bu da uzayın bükülmesine ve zamanın genişlemesine neden olur. 

Meşhur bir paradoksa göre ("ikizler paradoksu*³") ışık hızına yakın hızda seyahat eden bir astronot, Dünya'ya döndüğünde Dünya'da göreceli olarak daha fazla zaman geçmiş olacağından yaşıtlarına göre daha genç kalacaktır. Roketin içindeki uzun bir seyahatin ardından dünyaya dönen astronot, ikiziyle yaş ve vücut olarak farklılık görür. Dünyadaki zamanın daha hızlı aktığı düşüncesinden hareketle, dünyada kalan ikizi roket içinde seyahat eden astronota göre daha hızlı yaşlanmıştır. Bu teori yerçekimini de işin içine katar. Bütün kütleli cisimler, örneğin gezegenler veya kara delikler zamanı büker. Zaman, güçlü yerçekimi alanlarında daha yavaş akarken, zayıf yerçekimi alanlarında daha hızlı akar.

Güçlü yerçekimi alanları, çok büyük kütleli cisimlerin uzay-zamanı şiddetli şekilde bükerek oluşturduğu, zamanın ve uzayın davranışını hissedilir biçimde değiştirdiği bölgelerdir. Kara delikler gibi ışığın bile kaçamadığı çok güçlü yerçekim alanlarında, zaman aşırı derecede yavaş akar. Teoride bir kara deliğe yaklaşan bir cisim için dışarıdaki gözlemciler, zamanı "donmuş" gibi görebilir. 1976 yılında NASA tarafından yapılan ve Einstein'ın genel görelilik teorisini test eden Gravity Probe*⁴ deneyiyle, Dünya'nın yerçekimi nedeniyle bir saatin yüksek irtifada yerçekimi etkisinin zayıflığı nedeniyle daha hızlı çalıştığı gösterilmiştir. Buna göre deniz seviyesinde yaşayan biri, yüksek dağın zirvesindeki birinden biyolojik olarak daha yavaş yaşlanır. Bu etkiyi araştırmak için yapılan bir deneyde, yer zemininde ve yüksek irtifaya fırlatılan bir roketin içinde birer eş zamanlı atom saati bırakılmış ve sonuçta iki saatin de çok az da olsa farklı zamanları gösterdiği tespit edilmiştir. Bu nedenle belli bir yükseklikte bulunan uydu ve GPS sistemleri, bu zaman sapması etkisini hesaba katmak zorunda olduklarından, çeşitli hatalara sebep olmamak için sürekli olarak saat düzeltmeleri yaparlar. Zaman, Allah'ın yaratmış olduğu kavramlardan bir tanesi olup değişmeyen, mutlak bir şey değildir. Gözlemcinin hızına, kütlesine ve bulunduğu yerçekimi alanına göre değişkenlik gösterir. Sonuç olarak yükseklere çıkıldıkça, yerçekimi zayıfladığından uzay-zaman daha az büküleceği için zaman daha hızlı akar. Güçlü yerçekiminin olduğu mekanlarda uzay-zamanı daha çok eğip bükeceğinden bu durum zamanın akışını da yavaşlatır.

"Zamanın izafiyetine matematiksel bakış" yazısını PDF olarak okumak isterseniz bağlantıya tıklayınız.

Çemberin parametrik denklemi

Bir çemberin parametrik denklemi, genellikle merkez koordinatları ve yarıçapına bağlı olarak trigonometriden yararlanılarak yazılır. Bir çemberin merkezi (a,b) ve yarıçapı r ise bu çemberin parametrik denklemi t bir açı olmak üzere: x(t)=a+r.cos⁡(t) ve y(t)=b+r.sin⁡(t) şeklindedir. Merkezil çemberin merkezi M(0,0) orijindir.

Çemberlerin birbirine göre durumları

Düzlemde verilen iki çemberin birbirine göre 3 temel durumu vardır. İki çemberin merkezleri arasındaki mesafeye d ve yarıçaplarına r₁ ve r₂ dersek buna göre çemberlerin durumlarını şöyle açıklayabiliriz: 

1) Çemberler birbiriyle kesişmez.Yani çemberlerin hiç ortak noktaları yoktur. d>r₁+r₂ 

Çemberle doğrunun birbirine göre durumları

Bir düzlemde verilen bir çember ile bir doğru arasında üç temel durum vardır: 

1) Doğru Çemberi Kesmez (Çemberle doğrunun ortak bir noktası yoktur. Dıştan Ayrık) 

Verilen doğru ile çemberin kesişim kümesi boş küme ise doğru çemberin dışındadır. Bu durumda doğrunun çemberin merkezine uzaklığı d ve çemberin yarıçap uzunluğu r ise doğru ile çemberin merkezinin uzaklığı (d ile r) arasında d>r ilişkisi vardır Böylece doğru çemberi kesmez, doğru bu durumda çemberin dışında yer alır. Doğru ile çember denklemi birbirine eşitlenip ortak çözüm yapıldığında,  elde edilen ikinci dereceden tek değişkenli denklemin diskriminant değeri, sıfırdan küçük olur. Yani düzlem geometride denklemin reel kökü olmaz.

2) Doğru Çembere teğet olur. (Çemberle doğrunun ortak sadece bir noktası  vardır.)

Verilen doğru ile çemberin kesişim kümesi sadece tek nokta ise doğru çembere teğet olur. Bu durumda doğrunun çemberin merkezine uzaklığı d ve çemberin yarıçap uzunluğu r ise doğru ile çemberin merkezinin uzaklığı (d ile r) arasında d=r ilişkisi vardır Böylece doğru çembere teğet olur. Doğru ile çember denklemi birbirine eşitlenip ortak çözüm yapıldığında, elde edilen ikinci dereceden tek değişkenli denklemin diskriminant değeri sıfıra eşit olur. Yani denklemin tek kökü olur.

3) Doğru Çemberi iki farklı noktada keser. (Çemberle doğrunun iki ortak noktası  vardır.)

Verilen doğru ile çemberin kesişim kümesi iki farklı nokta ise doğru çembere teğet olur. Bu durumda doğrunun çemberin merkezine uzaklığı d ve çemberin yarıçap uzunluğu r ise doğru ile çemberin merkezinin uzaklığı (d ile r) arasında d<r ilişkisi vardır Böylece doğru çemberi keser. Doğru ile çember denklemi birbirine eşitlenip ortak çözüm yapıldığında, elde edilen ikinci dereceden tek değişkenli denklemin diskriminant değeri sıfırdan büyük olur. Yani denklemin iki farklı kökü olur.

Çemberin Analitik incelemesi

Geometri biliminde düzlemdeki sabit bir noktaya (merkez) eşit uzaklıktaki sonsuz sayıdaki noktaların oluşturduğu kümeye (kapalı eğriye) "çember" denir. Çemberin üzerindeki noktalara eşit uzaklıkta bulunan, çemberin tam ortasında yer alan sabit noktaya "çemberin merkezi" denir ve genellikle M veya O harfi ile gösterilir. Merkezi (a,b) olan ve yarıçapı r olan bir çember; Ç(M,r) şeklinde yazılır.  Çember merkezi ile çember üzerindeki herhangi bir nokta arasındaki uzaklığa çemberin "yarıçapı" denir ve genellikle "r" harfi (radius) ile gösterilir. Çemberin merkezinden geçerek çemberin üzerinde bulunan herhangi iki noktayı birleştiren en uzun doğru parçasına "çap" (diameter) adı verilir ve 2r ile gösterilir. 

Bir çemberin yay uzunluğunun tamamını veren ifadeye "çemberin çevresi" denir ve çemberin çevresi Çevre= 2πr formülüyle hesaplanır. Çemberin kendisi ve çemberin iç bölgesi de çembere dâhil edilirse bu plaka biçimine "daire" denir, daire bir yüzey (alan) belirtir. Yarıçapı r olan dairenin alanı: Alan=π.r² formülüyle bulunur. Alan ve çevrede kullanılan π sayısı irrasyonel bir sayıdır. π=3.14159265359... devam eden irrasyonel sabit bir sayıdır.

Merkezi M(a,b) ve yarıçapı r olan bir çemberin genel denklemi şu şekildedir: (x−a)²+(y−b)²=r² Bu çember denklemi, çember üzerindeki tüm noktaların merkez noktasına olan uzaklığının r olduğunu ifade eder. Esasında çember denklemi analitik geometride iki nokta arası uzaklık formülü ile oluşturulur. 

(x−a)²+(y−b)²=r² çember denklemine çemberin standart denklemi denir. Örneğin orijin merkezli ve yarıçapı 5 birim olan bir çemberi (x−0)²+(y−0)²=5² şeklinde yazabiliriz. Buradan orijin merkezli bu çember; x²+y²=25 olur. Merkez (3, -2) ve Yarıçapı r=4 olan bir çemberi, (x−3)²+(y+2)²=16 şeklinde yazabiliriz. 

1) Merkezi x ekseni üzerinde olan bir çemberin merkezi noktası M(a, 0) şeklindedir. Yani, merkezi x ekseni üzerinde olan çemberin y-koordinatı sıfırdır. Bu durumda Merkezi x ekseni üzerinde olan bir çemberin genel denklemi şöyle olur:  (x−a)²+y²=r² olur. Bu çember, x ekseni üzerinde bir noktayı merkez alır ve y ekseni boyunca yukarı ya da aşağıya doğru simetrik olarak uzanır. Örneğin merkezi (2, 0) ve yarıçapı 6 olan bir çemberin denklemini (x−2)²+y²=36 şeklinde yazabiliriz. 

2) Merkezi y ekseni üzerinde olan bir çemberin merkezi M(0,b) şeklindedir. Yani, merkezi y ekseni üzerinde olan bir çemberin x-koordinatı sıfırdır. Bu durumda çemberin genel denklemi şöyle olur: x²+(y-b)²=r² olur. Bu çember, y ekseni üzerinde bir noktada merkezlenmiştir ve x ekseni boyunca sağa ya da simetrik olarak uzanır. Örneğin; Merkezi (0,−3) ve yarıçapı 5 olan bir çemberin denklemi: x²+(y+3)²=25 olur. 

3) Merkezi orijin M(0, 0) üzerinde olan bir çemberin denklemi çemberin en basit ve standart halidir. Merkezi orijin M(0, 0) ve yarıçapı r olan çemberin denklemi: x²+y²=r² olur. Bu çember, hem x hem de y eksenine göre simetriktir çünkü merkez orijin üzerindedir.

Örneğin Merkezi M(0, 0) ve yarıçapı 7 olan bir çemberin denklemi: x²+y²=49 şeklindedir. Merkezi M(0, 0) ve yarıçapı 9 olan bir çemberin denklemi: x²+y²=81 şeklindedir. 

Merkezi M(0, 0) ve yarıçapı 1 olan çembere birim çember denir trigonometrik fonksiyonları tanımlamada birim çember kullanılır. Birim çemberin denklemi: x²+y²=1 şeklindedir.

4) Merkezi M(a, b) ve yarıçapı r olan bir çember y eksenine teğet ise çemberin yarıçapı |a| olur ve çemberin merkezi a koordinatına bağlı olarak x ekseninin sağında ya da solundadır. M(a,b) ve yarıçapı r olan bir çember, y eksenine teğet ise bu çemberin denklemi: (x−a)²+(y−b)²=a² şeklinde olur. Aynı denklemi r'ye bağlı olarak (x−r)²+(y-b)²=r² şeklinde yazarız.

5) Merkezi M(a, b) ve yarıçapı r olan bir çember, x eksenine teğet ise çemberin yarıçapı |b| olur ve çemberin merkezi, b koordinatına bağlı olarak y ekseninin aşağısında ya da yukarısında yer alır. M(a,b) ve yarıçapı r olan bir çember x eksenine teğet ise denklemi: (x−a)²+(y−b)²=b² şeklinde olur. Aynı denklemi r'ye bağlı olarak (x−a)²+(y-r)²=r² şeklinde yazarız. 

6) Merkezi M(a, b) ve yarıçapı r olan bir çember, her iki eksene de teğet ise (x ve y eksenine teğet ise) çemberin merkezi M(a,b)=(±r,±r) şeklinde olur ve bölgelere göre dört farklı çember çizilebilir. Çemberin merkezi ve yarıçapı verildiğinde denklemi (x−a)²+(y−b)²=r² olduğundan; merkez koordinatlarının bölgelere göre a=±r ve b=±r ihtimali olduğundan dört farklı çember yazılabilir. 

 

Buna göre birinci bölgedeki eksenlere teğet çember şöyle olur: (x−r)²+(y−r)²=r² 

İkinci bölgedeki eksenlere teğet çemberin denklemi: (x+r)²+(y-r)²=r² olur. 

Üçüncü bölgedeki eksenlere teğet çemberin denklemi: (x+r)²+(y+r)²=r² olur. 

Dördüncü bölgedeki eksenlere teğet çemberin denklemi de (x-r)²+(y+r)²=r² olur. 

Eksenlere teğet olan bu çemberlerin merkez koordinatları bölgelere göre şöyledir: Birinci bölgede A(r,r) ; ikinci bölgede B (−r,r) ; üçüncü bölgede C(-r,−r) ; dördüncü bölgede D(r,-r) olur.

 

Bir çemberin standart denklemi denklemi (x−a)²+(y−b)²=r² ifadesi açıldığında x²+y²+Dx+Ey+F=0 şeklinde çemberin genel denklemi elde edilir. Bu denklemde katsayılar olan D, E, F gerçek sayılardır. 

x²+y²+Dx+Ey+F=0 Denkleminin çember belirtmesi için x² ve y² terimlerinin denklemde kesinlikle olması ve x² ve y² terimlerin katsayılarının birbirine eşit olması gerekir. Ayrıca x.y çarpanı şeklinde bir terim bulunmamalıdır. Ayrıca denklemde elde edilecek r yarıçapının tanımlı olması gerekir. (r>0) 

Merkezi M(a,b) ve yarıçapı r olan çemberin standart denklemi: (x−a)² + (y−b)² = r² çemberin standart denklemi binom özelliğinden yararlanarak azalan kuvvetlere göre açılırsa:
(x−a)²+(y−b)²=r² ⮕ x² − 2ax + a² + y²−2by + b² = r²
x²+y²−2ax−2by + (a²+b²−r²) = 0 bulunur.
Bu ifade kısa bir şekilde D, E ve F katsayılarıyla D=−2a, E=−2b ve F=a²+b²−r² olacak biçimde en sade halde düzenlenirse; x²+y²+Dx+Ey+F=0 çemberin genel denklemi elde edilir. Bu genel çember denkleminde, çemberin merkezi M(-D/2, -E/2) olur.

x²+y²+Dx+Ey+F=0 tam kareye tamamlama işlemi ile yarıçap ve merkez koordinatları D, E ve F cinsinden yazılabilir. Yarıçap ifadesinde eğer karekök içi negatif çıkarsa, bu bir gerçek çember belirtmez. (bu denklemin reel sayılarda çözümü yoktur)

Çemberin genel denklemininde çemberin diskiriminantı denebilecek D²+E²-4F ifadesine göre üç farklı durum söz konusu olur.

1) D²+E²-4F>0 ise verilen denklem bir çember belirtir. 

2) D²+E²-4F=0 ise verilen denklem bir çember belirtmez.Yarıçap r=0 olduğundan bu denklem bir nokta belirtir. Bu nokta çemberin merkez koordinatlarıdır. 

3) D²+E²-4F<0 ise verilen denklem bir çember  belirtmez. Yarıçap ifadesi karekök tanımlı olmadığından hesaplanamaz.

 

Herhangi üç noktadan geçen bir çemberin denklemini bulmak için, çemberin genel denklemini: x²+y²+Dx+Ey+F=0 şeklinde kabul ederiz ve verilen üç noktayı bu denkleme yerleştirerek bir denklem sistemi kurarız. Bu denklem sistemi ikişerli olarak çözülerek D,E,F katsayıları bulunur. Bu katsayılara göre çember denklemi yazılır. 

 

Örneğin verilen 3 nokta: A(1,2), B(2,3), C(1,0) ise bu noktalardan geçen çemberin denklemini bulmak için genel çember denklemi: x²+y²+Dx+Ey+F=0 olarak alınır ve her nokta x ve y yerine koyularak bir denklem sistemi kurulur. 

A(1, 2) noktası için:

1²+2²+D(1)+E(2)+F=0⇒1+4+D+2E+F=0⇒D+2E+F=−5 

B(2, 3) noktası için: 

4+9+2D+3E+F=0⇒2D+3E+F=−13

C(1, 0) noktası için: 

1²+0²+D(1)+E(0)+F=0⇒1+D+F=0⇒D+F=−1

Bu üç denklemi kendi arasında ikişerli olarak yoketme metodu ile çözersek sonuçta denklemin katsayılarını D=-6, E=-2 ve F=5 buluruz. Bu katsayılara göre çemberin genel denklemi: x²+y²−6x−2y+5=0 olur. Böylece bu çemberin merkezi M(3,1) ve yarıçapı da r=√5 olur.

 

 Çemberin Analitik incelemesi ile ilgili konu özetine ulaşmak için tıklayınız. (PDF)