Lineer Trigonometrik Denklemlerin Çözümü

Lineer Trigonometrik Denklemler: sin ve cos fonksiyonlarına bağlı olarak verilen birinci dereceden tek değişkenli a, b ve c sıfırdan farklı reel katsayılar olmak üzere aynı dereceden a.sinx+b.cosx=c şeklindeki denklemlere lineer(doğrusal) trigonometrik denklem adı verilir. Bu tip denklemlerin çözümünde eşitliğin her iki tarafı sinx (veya cosx) katsayısı olan a (veya b) ile bölünür, buna göre tekrar yazılan trigonometrik denklem gerekli özdeşlikler kullanılarak temel denklemlere dönüştürülür. (Bknz: Trigonometrik denklemlerin çözüm kümesi)

Homojen Trigonometrik Denklemler

sin ve cos fonksiyonlarına bağlı olarak verilen birinci veya ikinci dereceden tek değişkenli a ve b reel katsayılar olmak üzere aynı dereceden a.sinx+bcosx=0 şeklindeki denklemlere homojen denklem denir. Bu denklemlerin çözüm kümeleri bulunurken denklemler, tanjant veya cotanjant denklemlerine dönüştürülmeye çalışılır. Bunun için denklemin her iki tarafı sinx veya cosx ile taraf tarafa bölünür. (Bknz: Trigonometrik Denklemlerin Çözüm Kümesi)

Temel Trigonometrik Denklemlerin Çözümü

Trigonometrik fonksiyonlarla birlikte verilen denklemlerin çözüm kümelerinin bulunmasında trigonometrik fonksiyonların genel özelliklerinden ve birim çemberden yararlanılır. (Bknz. Trigonometrik Fonksiyonlar) Verilen açı ölçülerinin birim çember üzerinde gösterilmesi ve bu açı değerine esas ölçü olarak eşit olan diğer açıların da varlığının kabul edilmesi ile trigonometrik denklemlerin genel çözümleri yazılır. (Bknz: Birim Çember)

Tanjant Teoremi ve İspatı

Bir ABC üçgeninde iç açılar; A, B, ve C olmak üzere bunlardan B ve C açıları ve bunlara ait kenar uzunlukları verildiğinde b>c olmak üzere kenar uzunlukları ve açılar arasında taanjant teoremi uygulanır. Buna göre kenarların farkının kenarların toplamına oranı, bu kenarların ait olduğu açıların farkının yarısının tanjant değeri ile bu açıların toplamlarının yarısının tanjant değerine bölümü aynı oranı verir. 

Teoremin ispatı yapılırken çemberde açıların özelliklerinden yararlanılabilir. Buna göre bir ABC üçgeni için A köşesini merkez kabul eden [AB] kenarını da yarıçap kabul eden bir çember çizilir. Buna göre uygun açılardan yararlanılarak teorem ispatlanır. (Bknz: Çemberde Açılar)

Periyodik Fonksiyonlar

Bir fonksiyon f(x) periyodik fonksiyon ise, grafiği çizildiğinde belli bir aralıkta aynı grafik sürekli olarak tekrar eder. Yani matematiksel olarak bir pozitif Reel sayı "$T$" için, fonksiyonun her $x$ değeri f(x+T)=f(x) oluyorsa  bu fonksiyon periyodiktir. Buradaki T sayısı da fonksiyonun periyodu olarak adlandırılır. Başka bir deyişle, fonksiyonun grafiği T birim aralıklarla kendini tekrar eder. Örneğin, sinüs ve kosinüs fonksiyonlarında bu tekrar 2π birimlik aralıklarla gerçekleşir. Kısacası periyodik fonksiyon, belirli bir uzunluktan sonra aynı değerleri sürekli tekrar eder. Periyodik fonksiyonlar, sadece matematikte değil, fizik, mühendislik ve günlük hayatta da önemli uygulamalara sahiptir. Örneğin, ses dalgaları, elektrik devrelerindeki akımlar, mevsimlerin değişimi ve saatlerin hareketi gibi olaylar periyodik davranış gösterir. Ayrıca periyodik fonksiyonların grafikleri dalga biçiminde olup, temel periyodu bilindiğinde fonksiyonun tüm davranışı tahmin edilebilir. Bu özellik, mühendislikte sinyal analizi ve Fourier serileri gibi alanlarda çok faydalıdır.

Yukarıdaki örnekte verilen fonksiyon periyodik bir fonksiyondur. Fonksiyonun Periyodu yani tekrar sıklığı veya uzunluğu 4’tür, yani her 4 birimde fonksiyon kendini aynen tekrar ediyor. 0–4 arasındaki değerler için fonksiyon, f(x) = x² olarak tanımlanırken, 4 ten büyük değerlerde fonksiyon, f(x)=f(x-4) olarak periyotla birlikte tanımlanmıştır, 4 ve 4'ten daha büyük değerler, periyodik olarak [0,4) aralığın değerlerini sürekli olarak tekrar ediyor.

Yukarıdaki örnekte verilen fonksiyon periyodik bir fonksiyondur. Fonksiyonun periyodu yani tekrar sıklığı veya uzunluğu 5’tir, yani her 5 birimde fonksiyon kendini aynen tekrar ediyor. 0–5 arasındaki değerler için fonksiyon, f(x)=3x+1 olurken, 5’ten büyük değerlerde fonksiyon, f(x)=f(x−5) şeklinde periyotla birlikte tanımlanmıştır. Böylece 5 ve 5’ten daha büyük değerler, periyodik olarak [0,5) aralığındaki değerleri sürekli olarak tekrar etmiş olur. Örneğin f(79) değeri bulunmak istenirse burada kalan bulma işleminden yararlanmak gerekir. Örnekte verilen fonksiyon her 5 birimde kendini tekrar ettiğinden 79 gibi 5’ten büyük bir x değeri bulunurken fonksiyonun değeri periyodun uzunluğuna göre küçültülür. Bunun için 79’u 5’e bölüp kalanı alırız: 79 sayısının 5 ile bölümünden kalan 4 olduğundan aslında bu periyodik fonksiyon için f(79)=f(4) anlamına gelir. f(79)'un 0–5 aralığındaki değeri ile f(79) aynı değere sahiptir. Buna göre f(4) değeri 0–5 aralığında fonksiyon [f(x)=3x+1] kuralına göre f(4)=3⋅4+1=13 olarak bulunur. f(79)=f(4) olduğundan böylece f(79)=13 olur.

Trigonometrik fonksiyonlar da temel olarak birim çemberden türetildiğinden periyodik fonksiyondur. Birim çemberde bir açıyı sürekli olarak döndürdüğümüzde, açı 360° veya 2π radyan kadar arttığında, sinüs ve kosinüs değerleri tekrar baştaki değerlerine döner. Yani fonksiyonların değerleri belirli bir açı artışından sonra kendini tekrar eder. Tanjant ve kotanjant gibi fonksiyonlar da benzer şekilde birim çemberde tanjant ve kotanjant değerlerinin tekrar etmesi nedeniyle periyodiktir; tanjant ve kotanjant fonksiyonları π radyanlık aralıklarla kendini tekrar eder. Kısaca, trigonometrik fonksiyonlar açıların döngüsel doğasından dolayı periyodiktir; belirli bir açı artışında fonksiyonun değerleri tekrar eder.  

(Bkz. Trigonometrik Fonksiyonların Periyodu)

Üçgende Trigonometrik Dönüşüm Formülleri

Daha önceki yazılarımızda trigonometrik fonksiyonlarda dönüşüm ve ters dönüşüm formüllerini verip bunların ispatlarını da açıklamıştık. Bu formüllere bağlı olarak çeşitli teoremler üretilmiştir. Bunlara örnek olarak; üçgen uygulamalarından iki güzel örnek verilebilir.  (Bknz. Dönüşüm Formülleri)

**Bir ABC üçgeninde üçgenin iç açıları arasında trigonometrik dönüşüm formüllerinin uygulaması görülebilir. Aşağıda buna bağlı iki farklı teorem verilmiştir, ispatlarını inceleyebilirsiniz. 

Aynı teoremi verilen ABC üçgeninin iç açılarının cosinüs değerlerine de uygularsak farklı bir sonuçla karşılaşırız. Aşağıda teorem ve ispatı birlikte verilmiştir.

Benzer biçimde aynı formül kullanılarak bir üçgende çeşitli açı bağıntıları bulunabilir. Aşağıdaki örneği inceleyebilirsiniz.

Cosinüs teoremi ispatı

Kosinüs Teoremi, üçgenlerde kenar uzunlukları ile açıların arasındaki ilişkiyi veren bir teoremdir. Bir üçgende eğer iki kenar ve aralarındaki açı biliniyorsa, üçüncü kenarı bulmak için kosinüs teoremi kullanılır. Üçgenin tüm kenar uzunlukları biliniyorsa,herhangi iki kenar arasındaki açıyı bulmak için kosinüs teoreminin tersine çevrilmiş hali kullanılır. Dik üçgenlerde kosinüs teoreminin özel hali olan pisagor teoremi kullanılır.

Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri

Trigonometrik fonksiyonların grafiklerinde bazı ortak özellikler bulunur. Bunlar periyodiklik, süreklilik, kesiklik ve simetridir. Periyodiklik, grafiğin belirli bir aralıkta kendini tekrar etmesi anlamına gelir. Sinüs ve kosinüs fonksiyonları sürekli, tanjant ve kotanjant fonksiyonları ise belirli aralıklarda kesiklidir. Ayrıca sinüs ve tanjant fonksiyonları tek fonksiyon, kosinüs ve kotanjant fonksiyonları ise çift fonksiyon özelliği gösterir. Bu durum grafiğin eksenlere göre yansımasını ve genel şeklini belirler. Trigonometrik fonksiyonların grafiklerinin çizimi, bu fonksiyonların temel özelliklerinin ve bu özelliklerin grafik üzerindeki etkilerinin sistematik biçimde incelenmesiyle yapılır. Bu süreçte genellikle periyot, genlik, faz farkı ve dikey kayma gibi ortak nitelikler dikkate alınır. 

Grafikler çizilirken belli adımlara dikkat etmek gerekir. y=a.sin⁡(bx+c)+d şeklindeki bir trigonometrik fonksiyonda a fonksiyonun genliği, b fonksiyonun periyodu, c faz değeri (yatay kayma değeri), d dikey kayma değeri olarak tanımlanır. a, b, c ve d değişkenlerine göre grafik çizimi yapılır.

Sekant ve Kosekant Grafikleri

Sekant ve kosekant fonksiyonlarının grafikleri, dikey asimptotlara sahip periyodik eğrilerdir ve değerleri bazı noktalarda fonksiyon tanımları gereği tanımsızdır. Sekant fonksiyonu, cos(x) fonksiyonunun tersi olarak 1/cosx olarak tanımlanır. Bu nedenle grafik çizilirken paydayı sıfır yapan değerlerde tanımsızlık oluştuğundan asimptotlar meydana gelir. x = 0 noktasında fonksiyon y=1 değerinden başlar. x=π/2 ve x =-π/2 noktalarında cos(x)=0 olduğundan sekant tanımsızdır ve bu noktalarda dikey asimptot oluşur. x arttıkça grafik yukarı veya aşağı yönde dallanır ve her 2π birimlik aralıkta aynı şekilde grafik tekrar eder; yani sekant fonksiyonunun periyodu, cosinüs fonksiyonundan dolayı 2π olur.

Ters Trigonometrik Fonksiyonlar

Ters trigonometrik fonksiyonlar, (arcsin, arccos, arctan arccot) trigonometride değeri bilinen bir fonksiyon için o değeri veren açıyı bulmak için kullanılır. Yani “bir trigonometrik oranı verildiğinde, o orana sahip fonksiyon adını ve açıyı bulmak” için ters trigonometrik fonksiyonlar kullanılır. Ters trigonometrik fonksiyonlar sadece soyut matematikte değil, mühendislikten fiziğe kadar birçok alanda kullanılır. Eğim açısı, fırlatma açısı, yansıma açısı gibi durumlarda kullanılır. Örneğin bir topu fırlatıldığında, topun hızı ve yer değiştirmesi biliniyorsa, atış açısını bulmak için arctan kullanılır. Örneğin Trigonometride cos değeri 1/2 olan açı için arccos(1/2) yazılır ve buradan 60⁰ açısı elde edilir.  GPS sistemlerinde iki nokta arasındaki açısal yön hesaplanırken ve nesnelerin yönünü, kameraların bakış açısını veya robot kollarının dönme açısını hesaplamak gibi sebeplerle ters trigonometrik fonksiyonlar kullanılır. 

Trigonometrik fonksiyonlar periyodik fonksiyon olduğundan belirli aralıklarda tanımlanarak ters fonksiyonları bulunur. 

(Bkz. Periyodik Fonksiyonlar)

 

Trigonometrik Fonksiyonların Periyodu

Trigonometrik fonksiyonlar da temel olarak birim çemberden türetildiğinden periyodik fonksiyondur. Birim çemberde bir açıyı sürekli olarak döndürdüğümüzde, açı 360° veya 2π radyan kadar arttığında, sinüs ve kosinüs değerleri tekrar baştaki değerlerine geri döner. Yani fonksiyonların değerleri belirli bir açı artışından sonra kendini aynen tekrar eder. Tanjant ve kotanjant gibi fonksiyonlar da benzer şekilde birim çemberde tanjant ve kotanjant değerlerinin tekrar etmesi nedeniyle periyodiktir; tanjant ve kotanjant fonksiyonları π radyanlık aralıklarla kendini tekrar eder. Kısaca; trigonometrik fonksiyonlar, açıların döngüsel doğasından dolayı periyodiktir; belirli bir açı artışında fonksiyonun değerleri tekrar eder.

Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonu Grafiği

Tanjant fonksiyonunun grafiği, sinx/cosx şeklinde tanımlandığı için paydayı sıfır yapan açı değerlerinde tanımsız olacağından buralarda dikey asimptotlara sahip periyodik bir eğridir. Grafik çizilirken belli özel açı değerleri alınır ve bunların y eksenindeki karşılıkları bulunur. x=0 noktasında y=0 değerinden başlar ve x arttıkça y değerleri yükselir. x=π/2 noktasında tanjant tanımsız olduğu için dikey bir asimptot oluşur; yani grafik bu noktada sonsuza doğru gider ve bu noktadan sonra aşağıdan yukarıya tekrar devam eder. x =π noktasında y=0 değerine tekrar ulaşır ve x =3π/2 noktasında tanjant yeniden tanımsız olacağından tekrar dikey asimptot oluşur. Bu şekilde, her π birimlik aralıkta aynı desen tekrar eder, yani tanjant fonksiyonu π periyoduna sahip bir fonksiyondur. 

Cosinüs Fonksiyonu Grafiği

Cosinüs fonksiyonunun grafiği periyodik bir dalga şeklindedir. Grafik x=0 değeri için cos0=1 olduğundan y=1 noktasından başlar. Ardından x=π/2 noktasında cos(π/2)=0 olduğundan sıfır değerine düşer, x=π noktasında minimum değeri olan y=-1 noktasına ulaşır, x=3π/2 noktasında cos(3π/2)=0 olduğundan tekrar sıfıra döner ve x=2π noktasında cos(2π)=1 olduğundan  2π noktasında yeniden maksimum değere y=1 ulaşır. Bu değerler döngüsel olarak tekrarlandığından grafik tüm reel sayılar boyunca aynı biçimde periyodik olarak devam eder.

Sinüs Fonksiyonu Grafiği

Sinüs fonksiyonunun grafiği, y =sin(x) şeklinde tanımlanan periyodik bir eğridir. Fonksiyonun tanım kümesi tüm reel sayılar, değer kümesi ise [−1,1] aralığıdır. Sinx fonksiyonun periyodu 2π’dir; yani sinüs değeri her 2π birimlik artışta kendini tekrar aynen eder. Grafik çizilirken bazı özel açı değerleri alınarak bunlara karşılık gelen y değerleri bulunur ve bu noktalar koordinat düzleminde gösterilir. 

Kendini bulma yolculuğunda insan nesilleri

İnsanın anlam arayışı yolculuğunda, yakın çağımızın insanları incelendiğinde birbirinden ayırt edici özellikleri bakımından üç farklı nesile/döneme/sınıfa ayrılabileceğini düşünüyorum. Sözünü ettiğim bu özellikler, birbirinden keskin çizgilerle ayrılamamakla birlikte, üç farklı profil içinde benzer şekillerde kendini göstermektedir. Teknoloji ve bilimsel ilerlemelere paralel olarak ortaya çıkan özelliklerin, insan düşüncesinde ve yaşamında meydana getirdiği değişiklikleri gözlemlediğimizde, insan profili içinde farklı sınıflarda çeşitlendirebiliriz. Bazı son dönem yazılarında bu birbirinden farklı özelliklere sahip nesiller için X, Y, Z kuşakları/nesilleri gibi bir tabirler kullanılır. Lakin kullanılan bu kavramlar muhtevayı anlatması açısından kısır bir ifade olacaktır. Meramımız; nesillerin birbirinden farklı olması, kuşaklar arası çatışma ve ayrılıklar değil, her yaş seviyesini içine alan belli özelliklerin toplandığı mevcut durumu gözler önüne serebilmektir. Aşağıda izah etmeye çalışacağım özelliklerin oluşturduğu nesil çeşitleri, her yaş seviyesinde görülebilecek belirgin hususiyetleri ihtiva eden bir gruplama ve temel sınıflama biçimidir diyebiliriz. Burada yaşa bağlı bir kriter baz alınmayıp, huy ve özellik içerikli bir betimleme söz konusudur.

Birinci nesil olarak, "hâlleriyle yaşayan" insanları (ehli hâl) örneklendirebiliriz. Bu nesildeki insan, her şeyi başka bir insan aracılığıyla öğrenmiş, insandan insana kültürel özelliklerini, sosyal becerilerini ve sahip oldukları yetenek ve birikimlerini ilk ağızdan yaşantı yoluyla aktarabilmiş bir varlık olarak göz önündedir. Yaparak, görerek ve yaşayarak kendine gerekli bilgileri öğrenen ve başkalarının ihtiyacı olan bilgileri de onlara öğreten bir model vardır karşımızda. Anneler, babalar, dedeler, öğretmenler, ustalar..vs sahip oldukları ilim, bilgi, beceri ve ahlakı adına kişinin yaşamı boyunca işini kolaylaştıracak her ne varsa, gerekli olanı ilk ağızdan öğretmekle vazifelidir. Usta, yanına aldığı çırağa göstererek, yaşatarak bilgi ve beceri yüklemesi yapar. Bu neslin öğretmenleri, öğrencilerine örnektir. Muallimlern hareketleri ve yaşamlarıyla zuhur eden gerekli ilimler, adeta bir vücuttan muhatabı olan öğrenciye doğru akar gider.

2021 TYT- AYT Matematik Soru Dağılımı

2021 TYT Matematik sınavındaki sorular, tamamen lise müfredatı içerisinde olan konuların, yenilikçi problem tarzındaki sorulardan oluşmuştur. Önceki yıllara göre zorlayıcı soruların olduğunu kabul etmek gerekir.  Problemler ünitesi ile ilgili soruların başarı sıralamasını belirleyici tarzda, zorlayacak biçimde sorulmuş olması, yüzyüze eğitimin tam olarak yapılamadığı şu zaman diliminde, 120 soru için 135 dk'lık bir süre olduğu düşünülürse, bu sınavda matematik sorularının öğrencileri çok zorladığını düşünüyorum. Ders kitabı bilgileri ve matematik müfredatı dikkate alınarak hazırlanan sınavda, 30 soru Matematik, 10 adet de Geometri sorusu sorulmuştur. Klasik soru biçiminin çok az olduğu ve özellikle geometri sorularının daha fazla yorumlama becerisi gerektiği de ayrıca ifade edilmelidir. TYT Matematik 2021 sınavının konulara göre soru dağılımı aşağıdaki tablodaki gibidir. 

Sınav Sorularına ÖSYM sitesinden ulaşabilirsiniz.

https://www.osym.gov.tr/ 

YKS 2021 Matematik Netleri Sayısal Bilgiler

Temel Matematik testi

Ortaöğretim kurumlarının son sınıfında okuyan öğrencilerin TYT Matematik Net ortalaması: 5,546 nettir. Bu ortalamaya liseden mezun olmuş olan adaylar da dahil edildiğinde, tüm adayların TYT Matematik Net ortalaması: 5,117 net olmuştur.

AYT Matematik testi

Ortaöğretim kurumlarının son sınıfında okuyan öğrencilerin AYT Matematik Net ortalaması: 5,294 nettir. Bu ortalamaya liseden mezun olmuş adaylar da dahil edildiğinde tüm adayların AYT Matematik Net ortalaması 5,297 net olmuştur.

YKS 2021 sınavına ait TYT ve AYT testlerinin matematik ortalamaları aşağıdaki grafikte verilmiştir.

 

2021 AYT Matematik Çözümleri (PDF)

2021 AYT Matematik sınavındaki sorular, tamamen lise müfredatı içerisinde olan konuların, yenilikçi problem tarzındaki sorulardan oluşmuştur. Önceki yıllara göre zorlayıcı soruların olduğunu kabul etmek gerekir.  Sınav süresive işlemlerin uzunluğu dikkate alındığında, bu sınavın matematik sorularının öğrencileri zorladığını düşünüyorum. Ders kitabı bilgileri ve matematik müfredatı dikkate alınarak hazırlanan sınavda, 30 soru Matematik, 10 adet de Geometri sorusu sorulmuştur. Klasik soru biçiminin çok az olduğu ve özellikle geometri sorularının daha fazla yorumlama becerisi gerektiği de ayrıca ifade edilmelidir. AYT Matematik 2021 sınavının konulara göre soru dağılımı aşağıdaki tablodaki gibidir. 

Sınav Sorularına ÖSYM sitesinden ulaşabilirsiniz.

https://www.osym.gov.tr/ 

https://www.osym.gov.tr/TR,21158/2021-yks-tyt-ayt-ve-ydt-temel-soru-kitapciklari-ve-cevap-anahtarlari.html

 AYT 2021 Matematik testi çözümlerine PDF olarak ulaşmak istiyorsanız bağlantıya tıklayınız.

2021 TYT Matematik Soruları ve Çözümleri

2021 TYT Matematik sınavındaki sorular, tamamen lise müfredatı içerisinde olan konuların, yenilikçi problem tarzındaki sorulardan oluşmuştur. Önceki yıllara göre zorlayıcı soruların olduğunu kabul etmek gerekir.  Problemler ünitesi ile ilgili soruların başarı sıralamasını belirleyici tarzda, zorlayacak biçimde sorulmuş olması, yüzyüze eğitimin tam olarak yapılamadığı şu zaman diliminde, 120 soru için 135 dk'lık bir süre olduğu düşünülürse, bu sınavda matematik sorularının öğrencileri çok zorladığını düşünüyorum. Ders kitabı bilgileri ve matematik müfredatı dikkate alınarak hazırlanan sınavda, 30 soru Matematik, 10 adet de Geometri sorusu sorulmuştur. Klasik soru biçiminin çok az olduğu ve özellikle geometri sorularının daha fazla yorumlama becerisi gerektiği de ayrıca ifade edilmelidir. TYT Matematik 2021 sınavının konulara göre soru dağılımı aşağıdaki tablodaki gibidir. 

Sınav Sorularına ÖSYM sitesinden ulaşabilirsiniz.

https://www.osym.gov.tr/

https://www.osym.gov.tr/TR,21158/2021-yks-tyt-ayt-ve-ydt-temel-soru-kitapciklari-ve-cevap-anahtarlari.html

TYT 2021 Matematik testi çözümlerine PDF olarak ulaşmak istiyorsanız bağlantıya tıklayınız.

Yaz Dönemi Matematik Çalışma Planı

Sevgili öğrenciler, uzun ve yorucu bir ders döneminin ardından yaz tatili dönemine giriyoruz. Bu yaz dönemlerinde, birçok öğrenci ders çalışmaktan kaçıp, sadece eğlence ve dinlenmeye zaman ayırarak, oldukça verimsiz bir şekilde tatilini geçirebiliyor. Ancak bir amacı olan başarılı öğrenciler, her zaman boş vakitlerinin kıymetini bilen (özel anlamda da yaz tatilini verimli bir şekilde değerlendiren) öğrencilerdir. Tatil kavramı; ekranların başında vakit öldürmek, boş boş gezmek ve sadece oyun/eğlence anlamına gelmemelidir. Elbette uzun yaz tatili, öğrencilerin bedenen ve zihnen dinlenme zamanıdır.  Lakin bu "dinlenme" vakitlerin boşa harcanmasına, amaçsız bir şekilde heba edilmesine sebep olmamalıdır. Esasında herşeyi vaktinde ve düzenli olarak yaptığımız zaman, stres ve kaygıdan uzaklaşarak yaratılış amacımıza uygun bir hayata sahip olabiliriz. İslam dini, asla boş kalmayı ve tembelliği kabul etmez. Kur’ân-ı Kerîm’de Peygamber efendimize hitaben: “O halde önemli bir işi bitirince hemen diğerine koyul!” [İnşirah Suresi/7] buyrulmaktadır. Âyet-i Kerime, bir iş tamamlandığında boş kalarak dinlenilmesini değil, bilakis insana fayda veren farklı bir işle meşgul olunmasını emrediyor. Kur’an-ı Kerim'de zikredilen ve tavsiye edilen dinlenme çeşidi bu şekildedir. Kur’an-ı Kerim'in "insanın başıboş olarak dünyaya gönderilmediğini" [Kıyamet Suresi/36] ifade ettiği biçimiyle, kamil insanın “tembellik ve boşluk” anlamlarına gelen "tatil" (عطله) kelimesi ile bağdaştırılabilecek herhangi bir yönü yoktur. Bir işi bitirdiğiniz zaman eğer dinlenmek istiyorsak; boş ve âtıl kalarak değil, iş değişikliği yaparak veya başka bir işle meşgul olarak ancak kamil manada dinlenebiliriz.  

John Farey Dizisi

Farey dizileri, adını İngiliz matematikçi John Farey'den alır ve birbirine yakın kesirlerin bir sıralaması olarak tanımlanır. John Farey  (1766-1826), bir jeolog olmasına rağmen matematikle ilgili yaptığı bir gözlem nedeniyle matematik tarihinde önemli bir yere sahip olmuştur. Farey dizisi, ona adını veren bu gözleminden doğmuştur. Farey, Woburn'da yerel bir okulda eğitim aldıktan sonra Halifax'ta matematik, çizim ve haritacılık üzerine eğitim görmüştür. Farey, 1792'de Bedford Dükalığı'nın Woburn arazilerinin yöneticisi olarak atanmış ve bu görevde çalışırken jeolojiye olan ilgisi artmıştır. 1801'de William Smith ile tanışarak stratigrafi bilimi üzerine bilgi edinmiş, bu alanda önemli katkılarda bulunmuştur. Farey, jeolojiye olan katkılarının yanı sıra, bilimsel makaleler yayımlamış ve William Smith'in jeolojik çalışmalarının takdir edilmesi için çaba sarf etmiştir. Farey, 1804'te Philosophical Magazine was On the mensuration of timber "Kereste ölçümü" üzerine yazdığı ilk makalesini, 1824'te ise On the velocity of sound and on the Encke planet "Sesin hızı ve Encke gezegeni" üzerine yazdığı son makalesini yayımlamıştır. Farey'in matematiksel katkısı, 1816 yılında yayımladığı "On a curious property of vulgar fractions" (Sade Kesirlerin Garip Bir Özelliği) başlıklı makalesi ile olmuştur. Bu makalede Farey, ismi ile anılan meşhur dizisini tanıtarak, ardışık kesirlerin özel bir özelliğini keşfetmiştir. Farey dizisi, paydalı 1'e kadar olan kesirler arasındaki sıralamadır ve her bir kesir, yanındaki kesirlerin paylarının toplamı, paydalarının toplamı olarak bulunabilir. Farey, bu özelliği örneklerle açıklamış, ancak modern bir ispat sağlamamıştır. Farey'in keşfi, Fransız matematikçi Cauchy tarafından ispatlanmıştır ve Farey'in bu konuda yaptığı başvuru, diğer bazı çalışmalardan önce olsa da ispat eksikliği nedeniyle matematiksel olarak daha geniş bir kabul görmemiştir. Ayrıca, Farey'den önce, 1802'de Haros adlı bir araştırmacı benzer bir diziyi tanımlamış, ancak Farey'in belirttiği özelliği açıkça göstermemiştir. Farey, matematiksel katkılarının yanı sıra, tarihsel olarak daha çok jeoloji alanındaki çalışmalarıyla tanınmıştır. 6 Haziran 1826 yılında Londra'da ölmüştür. Farey'in jeoloji alanındaki araştırmaları ve haritaları, jeolojik eserlerin bir kısmı, British Museum'a bağışlanmıştır.

 

Farey dizisi, 0 ile 1 arasındaki rasyonel sayılardan oluşan, belirli bir payda sınırına sahip bir dizidir. Farey dizileri, özellikle rasyonel sayılar arasındaki ilişkilerin incelenmesinde kullanılır. Farey dizisinde, 0 ile 1 arasındaki ve paydası en fazla n olan tüm kesirler yer alır.  Farey dizisi F_n, 0 ile 1 arasındaki tüm kesirlerden oluşan, payları a ve paydalı b olan kesirlerin, a.d-b.c=1 bağıntısıyla sıralandığı bir kümedir. Buradaki kısıtlamada paydanın b≤n olmasına dikkat edilirken kesirler büyüklüklerine göre küçükten büyüğe doğru sıralanır. Farey dizileri, özellikle sayıların büyüklüğü çok arttığında, çok hassas bir yakınsaklık gösterir. Bu kesirler sıralandıkları sıraya göre birbirine yakın olacak şekilde düzenlenir ve her iki ardışık kesir arasındaki fark, Farey dizisinin matematiksel özelliklerine uygun şekilde mümkün olan en küçük farklardan biri olur. Farey dizileri, sıklıkla sayı teorisi, analitik geometri ve rasyonel sayılarla yapılan hesaplamalar gibi alanlarda kullanılır.
Bir Farey dizisi, genellikle F_n olarak gösterilir ve paydası en fazla n olan tüm kesirleri içerir. Bu kesirler, sıralı bir şekilde düzenlenir ve her ardışık kesir, birbirine en yakın iki kesir arasındaki farkı minimize edecek şekilde seçilir. Bu dizi, her zaman 0 ve 1 ile başlar ve biter, çünkü bu iki sayıya eşit olan kesirler dizinin ilk ve son elemanlarıdır. Farey dizisi, rasyonel sayıları belirli bir düzene göre sıralamak için kullanılır.
Farey dizisinin önemli özelliklerinden biri, her iki ardışık kesir arasındaki farkın belirli bir ölçüye sahip olmasıdır. Bu fark, her iki kesirin paydalarının büyüklüğüne bağlı olarak değişir, ancak genellikle Farey dizisinin özelliklerine göre çok küçük olur. Bu da, rasyonel sayılar arasındaki "yoğunluğu" göstermektedir. Yani, Farey dizisindeki kesirler ne kadar büyük bir diziyi kapsasa da, ardışık iki kesir arasındaki fark hala çok küçüktür. Dizinin elemanları a/b ve c/d ise bu iki dizi terimi arasında a.d-b.c=1 eşitliği vardır. Aşağıdaki terimler arasındaki kurala dikkat edebilirsiniz.Örneğin F5 Farey dizisi, paydası en fazla 5 olan 0 ile 1 arasındaki kesirlerin sıralandığı bir dizidir. Bu dizide yer alan tüm kesirler, paydaları 5'e kadar olan rasyonel sayılardır. Dizinin doğru sıralaması şu şekildedir:
F5 = {0, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1}
Farey dizisi F7​, paydası en fazla 7 olan ve 0 ile 1 arasındaki rasyonel kesirlerin sıralandığı bir dizidir. Bu dizideki tüm kesirlerin paydası 7'yi geçmez ve her iki ardışık kesir arasındaki fark, Farey dizisinin özelliklerine uygun şekilde minimize edilmiştir. Bu kesirler, büyüklük sırasına göre dizilmiştir ve matematiksel olarak birbirine yakın olacak şekilde yerleştirilmiştir. 
F7 = { 0/1, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 1/1 }
Farey dizisi F8 için terimi almak, 8. paydadan oluşan Farey dizisinin elemanlarını bulmayı içerir. Bu durumda, F8 dizisinin elemanları, 8'e kadar olan paydalara sahip olan ve birbirine en yakın olan kesirlerden oluşur. Burada kesirler sırasıyla artan bir şekilde yerleştirilmiştir.
F8 = {0/1, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8, 1/1}

Buna benzer dizilerin oluşturulması, rasyonel sayılar arasındaki düzenin ne kadar yoğun olduğunu gösterir. Görüldüğü gibi, her iki ardışık kesir arasındaki fark son derece küçüktür. Örneğin, 1/7 ve 1/6 arasındaki fark, oldukça küçüktür. Daha büyük paydalar alındığında farkların daha da küçüldüğü görülecektir. Farey dizisinin her iki ardışık elemanı arasındaki benzer farklar, tüm dizide gözlemlenir. 

Çember ve Daire Ünitesi Konu Başlıkları

Çember, düzlemde sabit bir noktaya eşit uzaklıkta bulunan noktaların kümesinin oluşturduğu geometrik şekile verilen isimdir. Düzlemde bir çemberin çevrelediği iki boyutlu yüzeye de daire denir. Çember tanımında bahsi geçen sabit nokta, çemberin merkezidir. Çemberin merkezi ile çember üzerinde alınan herhangi bir noktayı birleştiren doğru parçasına "yarıçap", yarıçapın iki katı uzunluğa da "çap" denir.  Genellikle,yarıçap r (küçük r harfi), çap ise 2r ile gösterilir. Matematikte çevrel çemberin yarıçapını R (büyük R harfi) ile gösteririz. Bu nedenle sıradan bir çemberin yarıçapını R şeklinde büyük harfle gösterek kullanmak hatalıdır. Yarıçap ve çapların uzunlukları sabitdir. 

Çember üzerindeki iki noktayı birleştiren doğru parçasına ise "kiriş" adı verilir. Kirişlerin uzunlukları farklı olabilir. Bu anlamda, merkeze göre birbirine simetrik olan iki noktayı birleştiren doğru parçasının uzunluğu aynı zamanda çapa eşittir. Çap en uzun kiriştir. 

Çemberin iki noktası arasında kalan parçaya "çember yayı" (çember parçası) denir. Çember üzerindeki iki farklı noktadan geçen doğruya "kesen" adı verilir. Bir kesenin, çember içerisinde kalan parçasına da "kiriş" denir. 

Çember, bulunduğu düzlemi; çemberin iç bölgesi, dış bölgesi ve kendisi olmak üzere üç bölgeye ayırır. Çemberin kendisi ve iç bölgesinin birleşiminden daire oluşur.

Çemberin merkezi, merkez açının köşesidir. Çevre açının köşesi, çemberin üzerindedir. Merkez açının içinde kalan çember parçasına, "merkez açının gördüğü yay"; çevre açının içinde kalan çember parçasına, "çevre açının gördüğü yay" denir. Merkez açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsüne eşittir. Çevre açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsünün yarısı kadardır. Merkez açının kenarlarının, çemberi kestiği noktaların arasındaki yaylardan birisi "majör", yani büyük çember yayı, diğeri de "minör", yani küçük çember yayıdır. Merkez açının gördüğü yay, minör yaydır. Merkez açının ölçüsü, 0 ile 180 derece arasında, çevre açı yaylarının ölçüleri ise, 0 ile 360 derece arasındadır. Tüm çemberin ölçüsü 360 derecedir. Radyan cinsinden ölçüldüğünde 2π radyan olur. 

Çemberde açı özellikleri

Çemberde teğet ve kiriş özellikleri

Çemberde Kiriş Özellikleri

Çemberde kiriş uygulamaları

Kirişler Dörtgeni

Çembere teğet çizmek

Çemberde Teğet Özellikleri

Çemberde teğet uygulamaları

Teğetler Dörtgeni

**Çemberde kuvvet fonksiyonu

**Koordinatları verilen noktanın çembere göre kuvveti

**Çemberler yardımıyla fraktal oluşturma

Üçgenin Çevrel Çemberi ve alanı

Üçgenin çevrel çember/sinüs alan formülü

İçteğet çemberi çizilen üçgenin alan formülü

Birim Çember

**Açı Ölçü Birimleri

Sinüs teoremi ve ispatı

Çemberin çevresi ve ispatı

Çemberin çevresinin iple sarılması

**Çemberin çevresi integralle ispatı

Dairenin alanı ve ispatı

Dairede çevre ve alan özellikleri

**Dairenin alanın integralle ispatı

**Pi sayısı

**Pi sayısının tarihçesi

(**) İşaretli olanlar Fen Liseleri, Yeterlilik Sınavları, Olimpiyat/Matematik yarışmaları ve matematik meraklısı her seviye ilim aşığı için hazırlanmış olup, biraz daha ileri matematik konularını ihtiva eden matematik müfredatının daha kapsamlı olduğu alanlar için önceliklidir. 

Dairede çevre ve alan özellikleri

O merkezli ve r yarıçaplı bir dairenin çevre uzunluğunun, dairenin çap uzunluğuna (2r) oranı π sabit sayısını verir. Buna göre; Çemberin çevresi, çemberi çapı ile pi sayısının çarpımı ile bulunur. (Bkz. Çemberin çevresi ve ispatı) Dairenin alanı; pi sayısı ile dairenin yarıçapının karesinin çarpımı ile bulunur. Dairenin alanını bulabilmek için, bir düzgün çokgenin düzenli olarak kenar sayısı arttırılarak çokgen limit değerinde çembere yaklaştırılır. (Bkz. Dairenin alanı)

Dairenin alanı integralle ispatı

Bir düzgün çokgende kenar sayısı ne kadar fazla olursa, düzgün çokgen o kadar çembere benzer. Bu durumda bir düzgün çokgende kenar sayısını sonsuza yaklaştırdığımızda, (limit değeri) düzgün çokgen artık çembere dönüşmüş olur. Dolayısıyla n kenarlı (sonsuz kenarlı) çokgenin alanı hesaplandığında, meydana gelen dairenin de alanı bulunmuş olur.  (Bkz. Dairenin Alanı) Bu şekilde dairenin alanın hesaplanmasında, limit yaklaşımı metodu kullanılır. 

Benzer şekilde dairenin alanı, elipsin alanında olduğu gibi integral yardımıyla da hesaplanabilir.  (Bkz. Elipsin alan ispatı) Bu yöntem ile dairenin alanı hesaplanırken; belirli integral ve açısal (kutupsal) dönüşüm kullanılır.

Dairenin alanı ve ispatı

Dairenin alanı; pi sayısı ile dairenin yarıçapının karesinin çarpımı ile bulunur. Dairenin alanını bulabilmek için, bir düzgün çokgenin düzenli olarak kenar sayısı arttırılır. Kenar sayısı ne kadar fazla olursa düzgün çokgen o kadar çembere benzer. Dolayısıyla n kenarlı (sonsuz kenarlı) çokgenin alanı hesaplandığında, meydana gelen dairenin de alanı bulunmuş olur. 

Bir daire esasında daire dilimlerinin toplamından meydana gelmiştir. Bu daire dilimleri, yan yana hiç boşluk kalmayacak şekilde sıralandığında, bir dikdörtgen meydana gelir. Ortaya çıkan bu dikdörtgenin alanı hesaplandığında dairenin alanına ulaşılır. 

Dairenin alan hesabı için, yukarıda anlatılan özellikle ilgili olarak hazırlanmış animasyonu, aşağıdaki videodan izleyebilirsiniz. (Daire Alanı-Youtube)

Yukarıdaki örnek matematiksel olarak ifade edilirse; Bir düzgün çokgende kenar sayısını ne kadar arttırırsak, o çokgen o kadar çembere benzer. Yani çokgenin kenar sayısını sonsuza yaklaştırdığımızda, çokgen (limit değeri) artık çembere dönüşmüş olur. Bu şekilde dairenin alanı hesaplanırken, limit yaklaşımından yararlanılır. (Bkz. sinx/x limiti)

Daire alanındaki mantıkla, benzer şekilde silindirin hacmine de ulaşılır. Yani bir silindir taban dairesi baz alınarak, çok sayıda silindir dilimine ayrıldığında, bu dilimler boşluk kalmayacak şekilde dizilirse ortaya bir dikdörtgen çıkar. Silindirdeki dilim sayısı sonsuz olduğunda, silindirin toplam hacmi, ortaya çıkan dikdörtgenin alanına eşit olacaktır. Konu ile ilgili hazırlanmış silindir hacim materyalini inceleyebilirsiniz.  (Bkz. Silindirin Hacmi Materyali) 

Yarıçapı, r olan dairenin alanı, integral yardımıyla da hesaplanabilir. Bunun için 4 tane eş daire dilimlerinden birinin alanı integralle hesaplandıktan sonra, çeyrek daire diliminin alanı bulunur.  Bulunan bu sonuç, 4 ile çarpılarak tüm dairenin alanı hesaplanmış olur. İntegral hesabında açısal (kutupsal) dönüşüm uygulanır.

Daire diliminin alanı bulunurken, dilimin gördüğü merkez açının ölçüsü bilinmelidir. (Bkz. Çemberde Açılar) Bunun için ya merkez açının ölçüsü verilmeli ya da bu daire dilimini çevreleyen yayın uzunluğu bilinmelidir. Buna göre, oran-orantı yardımıyla daire diliminin alanı hesaplanır.

Çemberin çevresinin iple sarılması

O merkezli ve r yarıçaplı bir dairenin çevre uzunluğunun, dairenin çap uzunluğuna (2r) oranı π sabit sayısını verir. Buna göre; Çemberin çevresi, çemberi çapı ile pi sayısının çarpımı ile bulunur. (Bkz. Çemberin çevresi ve ispatı) Bazı durumlarda birleştirilmiş çemberlerin çevrelerinin  bir kayış ya da ip benzeri araçlarla çevrelenmesi ve gergin biçimde sarılması istenebilir. Bunların çevre uzunluğunun hesaplanmasında çemberin çevre formülü ve oluşacak çokgenlerin çevre formüllerinin toplamının bilinmesi gerekir. 

n tane eş çemberin çevresine gergin sarılan ipin uzunluğu çemberin merkezlerinin birleştirilmesi ile elde edilen n-genin çevre uzunluğu ile bir çemberin çevre uzunluğunun toplamına eşittir. Aşağıdaki şekilden de görüleceği üzere, bir çemberin ertafında sarılacak gergin ipin uzunluğu, 2πr kadardır. 

Aşağıda verilen çeşitli çemberler için çevrelerine gergin ipler sarılmıştır. Bu çemberlerin etrafına sarılan gergin iplerin uzunluklarının nasıl olacağına dikkat ediniz.