Doğruların birbirine göre durumları

Doğru tanımsız bir terimdir. Doğru, noktalardan oluşan, birbiri ardınca sıralanmış sonsuz noktaların kümesi olarak ifade edilebilir. Doğrular ya küçük harflerle ya da üzerinde bulunan iki nokta ile gösterilir. 

Doğrusal (doğrudaş) Noktalar: Aynı doğru üzerinde bulunan noktalardır. Doğru Parçası; Bir doğru üzerindeki herhangi iki nokta ve bu noktalar arasında kalan tüm noktalar kümesidir.

İki Doğrunun aynı düzlem içinde birbirine göre 3 farklı durumda bulanabilir. 1) Paralel olma durumu; Aynı düzlemde olup kesişmeyen doğrulara "paralel doğrular" denir. Birbirine paralel olan doğruların kesişim kümesi boş kümedir. 2) Kesişme durumu; İki doğrunun yalnız bir ortak noktası varsa bu doğrulara "kesişen doğrular" denir. Kesişen doğruların kesişim kğmesi sadece tek noktadan oluşur. 3) Çakışık olma durumu; En az ikişer noktası ortak olan doğrulara "çakışık doğrular" denir. Çakışık doğruların kesişim kümesi, sonsuz elemanlı bir kümedir.

Doğruların aynı düzlemde üç farklı durumunun haricinde, aynı düzlemde yer almayan doğrular da bulunabilir. Bu şekilde aynı düzlemde olmayıp farklı düzlemlerde bulunan doğrular aykırı doğrulardır. Aykırı olma durumu; Farklı düzlemlerde olup kesişmeyen doğrulara "aykırı doğrular" denir. 

Kapalı doğru denklemleri verilen doğruların birbirine göre durumları incelenirken, doğruların taşıyıcı vektörlerinin (yani x ve y değişkenlerinin katsayılarının) birbirine oranlarına bakılır. Eğer bu oranlar birbirine tümüyle eşit ise bu doğrular birbirine çakışık olur. Doğru denklemlerinde x ve y katsayılarının oranları birbirine eşit değilse, bu durumda bu doğrular birbiriyle tek noktada kesişir. Bu doğruların kesişim noktası, doğru denklemlerinin yok etme metodu ile ortak çözümünden bulunur.

Vektörler yardımıyla doğruların birbirine göre durumları incelenebilir. Bir doğrunun doğrultusuna dik olan vektöre, doğrunun "normal vektörü" denir.

Normalleri lineer bağımlı olan iki doğru, paralel ya da çakışıktır. (Bkz. Vektörlerde Lineer Bağımlılık) Normalleri dik olan iki doğru birbirine diktir.İki doğrunun normal vektörlerinin iç çarpımı pozitif ise bu vektörler arasındaki açı doğrular arasındaki açıya eştir. (Bkz. Vektörlerde İççarpım)

Srinivasa Ramanujan

Srinivasa Ramanujan 1887 yılında Güney Hindistan’daki bir küçük kentte, pek varlıklı olmayan bir ailenin çocuğu olarak doğdu. Okul arkadaşları ile aynı şekilde matematik öğrenerek büyüdü, ancak kısa sürede onun bu alanda arkadaşlarından çok önde olduğu ortaya çıktı. Hatta matematiği çok sevdiğinden dolayı, diğer derslerine gereğinden az zaman ayırınca, derslerinde başarısız olunca yüksek eğitim şansını da kaybetti.

25 yaşına geldiğinde, Madras’ta evli ve düşük ücretle çalışan bir katipti. O zaman bile matematikle uğraşmaktan vazgeçmemişti. Defterleri yazdığı çok çeşitli denklemlerle dolu idi. Bu denklemler arasında pi sayısının yaklaşık çözümünü bulmakla ilgili olanlarda vardı. Ama kanıt göstermeye, yöntemlerini göstermeye gelince ortaya fazla bir şey çıkamıyordu. Hesaplıyor, teoriler üretiyordu ama bunları paylaşabileceği kimsede yoktu etrafında, kendi sayılar dünyasında yapayalnızdı.

Ramanujan 1913’te çalışmalarından birkaç sayfalık kısmı, önde gelen üç İngiliz matematikçisine gönderdi. Bunlardan ikisi onu reddetti ancak üçüncü matematikçi G.H. Hardy onun mektubunu aldığı zaman dikkate değer buldu ve Ramanujan’ı İngiltere’ye çağırdı.

“Bu buluşların doğru olması gerekir, çünkü eğer doğru değillerse, hiç kimse onları icat edecek hayalgücüne sahip olamaz – G.H. Hardy “

Süreç içinde bu ikili çoğu zaman öğretmen – öğrenci rollerini değişerek çalışmaya başladılar birlikte. Ramanujan’ın hiç matematik eğitimi yoktu ama konuları sezgisel kavrayışı olağanüstüydü.

İngitere’de Ramanujan sadece klasik matematiği değil aynı zamanda Batı kültürünü de öğrendi. Ancak yemekleri çatal, bıçakla yemekten ve ayaklarını ayakkabılar içine hapsetmekten hiç hoşlanmamıştı. Birinci Dünya Savaşı’nın başlamasından kısa süre sonra Ramanujan, olası alıştığı beslenme biçimini sürdürememesi ve ciddi vitamin eksikliği nedeniyle hastalandı, uzun süre sanatoryumlara girdi, çıktı. Savaş ardından, 1919’da Hindistan!a yolculuk yeniden güvenli olunca, Ramanujan ülkesine döndü. Buesna’da halen defterlerine birbirinden ilginç hesaplamalar yapmaya devam ediyordu. Bir yıl sonra, 32 yaşındayken öldü.(26 Nisan 1920)

Aradan geçen zaman zarfında günümüzde bile halen matematikçiler bu dahinin denklemlerini anlamaya çalışıyorlar. Denklemleri güncel problemlere uyguluyorlar, algoritmalar geliştiriyorlar. 1980’lerin ortalarında Jonathan ve Peter Borwein, pi sayısını hesaplamak için, Ramanujan’ın denklemlerini temel alan güçlü bir yöntem geliştirdi.

Yöntem yenilenen denklemlerdi. Yani pi’ye daha da yakın bir yaklaştırma elde etmek için, hesaplama sonucunu formüle tekrar yerleştirme. Sonuçlar inanılmazdı çünkü her hesaplamada bulunan basamak sayısı katlanarak artıyordu. Matematikçilerin çoğu gibi Ramanujan da pi’yi araştırma dürtüsüne karşı koyamamıştı. Eğer daha uzun yaşasaydı başka neler keşfedebilirdi? Bu sorunun yanıtı, pi’nin kendisi kadar gizem içine gömülüdür…

Kaynakça: Pi Coşkusu, David Balther, s. 64-66

Birim Çember

Birim çember: 1 birim yarıçaplı ve merkezi orijin olan çembere birim çember denir. Özellikle trigonometride çok sıklıkla kullanılan birim çember, Öklid düzlemine göre Kartezyen koordinat sisteminde,merkezi orijin üzerinde (0,0) olan ve yarıçapı bir birim olarak tanımlanan ve denklemi: x²+y²=1 olan çemberdir. 

Birim çember üzerinde alınan bütün (x,y) noktaları, bu denklemi x²+y²=1 sağlamaktadır. Sadece birim çember kullanarak, hesap makinesine ihtiyaç olmadan birçok açının  trigonometrik değeri, toplam ve fark formülleri yardımıyla hesaplanabilir.

Açıı ölçü birimi olarak genelde derece kullanılır. Dereceden başka trigonometri konusunda sıklıkla radyan birimi de kullanılır. Grad da bir başka ölçü birimidir.  

Derece; bir çemberin çevre yay uzunluğu, 360 eş parçaya ayrıldığında bu parçalardan her birinin merkezle oluşturduğu açının ölçüsü, 1 derece olarak ifade edilir.

1 derece 60 dakikadır. 1 dakika da 60 saniyedir. (Bkz. Açı Ölçü Birimleri)

Radyan: Radyan, bir dairede yarıçap uzunluğundaki yay parçasını gören merkez açıya eşit açı ölçme birimidir. 1 radyan 180°/π ya da yaklaşık 57,2958° derecedir (57°17′45″). Örneğin, yarıçap değeri 1 m, olan bir çemberde 1 m uzunlukta yayı gören merkez açı 1 radyan'dır. Radyan, açısal ölçünün standart birimidir ve matematiğin birçok alanında kullanılır. Bir açının radyan olarak ölçümü sayısal olarak bir birim dairenin karşılık gelen bir yayının uzunluğuna eşittir. 

Ölçü birimleri kendi aralarında birbirine dönüştürülebilir. 360 derecelik tam açının, grad olarak değeri 400 graddır. Radyan ve derece arasında çember çevresinden kaynaklı aşağıdaki bağıntı yazılabilir.

Bir analog saat üzerinde, 360 dereceyi 12 parçaya böldüğümüzde, her iki sayı arası için, 30 derece düşer. Dolayısıyla akrep bir saatte 30 derecelik yol alır. Yelkovan ise, bir saatte 360 derecelik yol alır. Yani 60 dakikada 360 derecelik yol alırsa, yelkovan 1 dakikada 6 derecelik yol alır.

Gündelik Hayatta Hiperbol Biçimleri

Sabit iki noktaya olan uzaklıkları farkı sabit olan noktaların geometrik yerine hiperbol adı verilir. Bu sabit noktalara da hiperbolün odak noktaları denir. Hiperbol eğrileri gündelik hayatta özellikle tasarım ve mimaride sıklıkla karşımıza çıkan matematik kavramlarından biridir. Hiperbolik eğriler son zamanlarda yenilenmiş tasarımlarda ve mimari çizgilerde sıklıkla karşımıza çıkmaktadır.

Hiperbolün Analitik İncelenmesi

Sabit iki noktaya olan uzaklıkları farkı sabit olan noktaların geometrik yerine hiperbol adı verilir. Bu sabit noktalara da hiperbolün odak noktaları denir. Odakları birleştiren doğru parçasının tam orta noktasına hiperbolün merkezi denir. Hiperbolün odakları analitik düzlemde x ya da y ekseni üzerinde olabilir. Merkezi orijin olup odakları x ya da y ekseni üzerinde bulunan hiperbole merkezil hiperbol veya standart hiperbol adı verilir.

Hiperbolün odakları arasında kalan mesafeye asal eksen denir ve uzunluğu yukarıdaki şekilde de gösterildiği gibi 2a olur.Hiperbol birbirine simetrik iki eğri parçasından oluşan noktaların kümesi olarak ifade edilirse bu eğrilere hiperbolün kolları denir. Hiperbolün odaklarını birleştiren doğru parçasını, eğrinin kestiği nokta A hiperbolün köşe noktasıdır.

Hiperbolün kollarına değmeyecek şekilde hiperbolün merkezinden çizilen doğrulara da hiperbolün asimptotları denir.

Hiperbolün odak noktası koordinato F(c,0) olarak isimlendirilirse hiperbolün köşe koordinatları A(a,0) ve B(0,b) koordinatları ile oluşacak üçgenden pisagor bağıntısı yadımıyla verilmeyen koordinat rahatlıkla bulunabilir.

Hiperbol denklemi, aslında hiperbolün kolları üzerinde yer alan herhangi bir P noktasının hiperbolün odaklarına olan uzaklıkları farkının iki nokta arası uzaklık formülü ile bulunması ile ortaya çıkmış bir denklemden ibarettir. 

***Bir hiperbolde herhangi bir odağın asimptotlardan birine olan uzaklığı yedek eksenin yarısı kadardır. Yani odağın asimptotlardan birine uzaklığı; b uzunluğu kadar olur. Bu kavramın doğruluğu, odak noktası bulunduktan sonra odağın asipmtot denklemine uzaklığını 'bir noktanın bir doğruya uzaklığı formülü' ile de hesaplanarak görülebilir.

*** Bir hiperbolde herhangi bir odaktan çizilen dik kiriş uzunluğuna hiperbolün parametresi denir. ve bu parametre 2p ile gösterilir. Odak noktasının koordinatlarından apsis değeri hiperbol denkleminde yerine yazıldığında hiperbolün parametre değerinin y koordinatı bulunur. y koordinatları arasındaki mesafe de hiperbolün parametre değerini verir.

Koordinat sisteminde asal eksen uzunluğu 2a ve yedek eksen uzunluğu 2b olan bir hiperbol için hiperbol ile aynı merkeze sahip ve yarıçap uzunluğu a kadar olan çembere hiperbolün asal çemberi denir. Aynı şekilde hiperbol ile aynı merkeze sahip ve yarıçap uzunluğu b kadar olan çembere de hiperbolün yedek çemberi denir. 

Asimptotları 1.açıortay ve 2.açıortay doğrusu olan a ve b değerleri birbirine eşit olan hiperbole ikizkenar hiperbol denir. Hiperbol denkleminde x ve y katsayıları birbirine eşit olarak verilen hiperbol çeşidi ikizkenar hiperboldür.

Bir doğru ile bir hiperbolün biribine göre durumları incelenirken doğru denkleminde y cinsinden bulunan ifade hiperbol denkleminde y yerine yazılır. ortaya çıkan yeni ikici dereceden denklemde diskriminant değeri hesaplanır.Diskriminant değeri 0 ise doğru ile hiperbol tek noktada kesişir yani birbirlerine teğet olurlar. Diskriminant değeri 0'dan daha büyük ise o zaman doğru ile hiperbol iki farklı noktada kesişir. Diskriminant değeri 0'dan daha küçük ise o zaman doğru ile hiperbol iki farklı noktada kesişmez. Yani hiçbir ortak noktaları yoktur. Kesim noktalarına bakılarak da diskriminant değeri bulunmadan doğru ve hiperbol durumları incelenebilir.

  

Bir hiperbolün dış merkezliği; hiperbol üzerinde alınan rastgele bir noktanın hiperbolün doğrultmanına olan uzaklığının o noktanın odağa olan uzaklığına bölümü ile bulunur.

Hiperbolün Ötelenmesi: Hiperbol daima orijinde olmak zorunda değildir. Asal ekseni x ve y eksenine paralel biçimde ötelenmiş merkezil olmayan hiperboller de olabilir. Bu tür hiperbol denklemlerinde ötelenme miktarı hangi eksende ise denklemde belirtilerek yeniden hiperbol denklemi oluşturulur.