Çokgenler Ünitesi Konu Başlıkları

Düzlem üzerinde dört farklı noktanın ardışık sırayla birleştirilmesiyle oluşan kapalı geometrik şekle dörtgen ismi verilir. Dörtgenler çokgenlerin özel bir çeşidi olduğu için farklı başlıklar altında özellikleri incelenebilir. Çokgenler ünitesinde yer alan aşağıdaki konu başlıkları ile ilgili olarak hazırlanmış konu anlatımı ve önemli teoremlerin ispatlarına, örnek soru çözümlerine ilgili bağlantının/yazının üzerine tıklayarak ulaşabilirsiniz. 

Çokgenler ve Genel Özellikleri

Dörtgenlerde Açı Özellikleri ve ispatları

Dörtgenlerde Uzunluk Teoremleri ve İspatları

Dörtgenlerde Alan Bağıntıları

**Dörtgenlerin vektörel alan formülleri

Yamukta Özellikler ve İspatları

Yamukta alan bağıntıları

Paralelkenar ve Özellikleri

Paralelkenarda Alan Hesabı

Eşkenar Dörtgen ve Özellikleri

Dikdörtgen ve Özellikleri

Karenin Özellikleri

Deltoidin Özellikleri

Teğetler Dörtgeni

Kirişler Dörtgeni

Katı Cisimlerin Alan ve Hacim Formülleri

Piramitin Alanı ve Hacmi

Prizma ve Piramitlerde Euler Bağıntısı

**Çok Yüzlüler ve Çeşitleri

**Çok Yüzlü cisimler için "Euler Formulü"

**Platon Katı Cisimleri

Çokgenlerle Fraktal Oluşturma

Çokgenlerde Kaplama Teknikleri

Çokgenlerle Desen-Kaplama Oluşturma

**Geometrik Cisimlerin Birim Küp Kodlaması

Geometrik Cisimlerde Simetri

(**) İşaretli olanlar Fen Liseleri, Yeterlilik Sınavları, Olimpiyat/Matematik yarışmaları ve matematik meraklısı her seviye ilim aşığı için hazırlanmış olup, biraz daha ileri matematik konularını ihtiva eden matematik müfredatının daha kapsamlı olduğu alanlar için önceliklidir. 

Deltoid ve Özellikleri

Çocukluğumuzda mutlaka uçurtma yapmayı denemiş veya satın alınan bir uçurtmayı uçurmak için yoğun çaba sarf etmişizdir. Hazır olarak alınanlarda belli bir denge olduğu için, daha kolay uçabilmektedir. Kendi yaptıklarımızın da sağlıklı bir şekilde uçabilmesi için belli özellikleri olmalıdır. İşte çocukluğumuzun güzel hatıralarında saklanmış, gökyüzünde sıklıkla karşılaştığımız bu geometrik şeklin adı deltoid'tir.  

Deltoid; matematikte taban kenarı aynı uzunlukta olan iki farklı ikizkenar üçgenin, taban kenarları ortak olacak şekilde birleşimi ile oluşur. Deltoidin en önemli özelliği, uçurtmada da görülebileceği gibi, köşegenleri olan ana eksenlerin birbirine dik olmasıdır. Uçurtmanın da dengeli olarak uçabilmesinin temel şartı bu dikliktir.

Deltoid için köşegenler dik kesişir. Deltoidin ikiz olmayan kenarları arasında kalan açılarının ölçüleri birbirine eşittir. İkizkenar üçgenin özelliği gereği, deltoidteki tepe açılarını birleştiren köşegen, aynı zamanda açıortaydır. Deltoidin farklı kenarlarının birleştiği köşelerdeki açıların ölçüleri eşittir. Köşegenleri dik kesişen tüm dörtgenlerde olduğu gibi deltoidin de alanı, köşegen uzunlukları çarpımının yarısı olarak bulunur. 

Eşkenar dörtgen, esasında özel bir deltoid biçimidir. (Bkz. Eşkenar dörtgen ve Özellikleri) Aynı şekilde kare de köşegenleri çizildiğinde iki ikizkenar üçgenin birleşimi şeklinde olacağından, deltoid olarak isimlendirilebilir. (Bkz. Karenin Özellikleri) Bunları ayrıntılı olarak şekil üzerinden de aşağıda izah edelim.

Yukarıda çizilmiş şekillerde ABCD karesi ve EFGH eşkenar dörtgeni ile bu dörtgenlerin karede [AC] ve eşkenar dörtgende [EG] köşegenleri çizilmiştir. Herhangi bir karenin, kenar uzunlukları birbirine eşit olduğundan, birinci şekildeki ABCD karesinde ABC ve ADC üçgenleri ortak tabanlı iki ikizkenar üçgendir. Bir eşkenar dörtgenin kenar uzunlukları birbirine eşit olduğundan, ikinci şekilde de EFG ve EHG ortak tabanlı ikizkenar üçgenlerdir. Bundan dolayı kare ve eşkenar dörtgen ortak tabanlı iki ikizkenar üçgenden oluşmuştur. Sonuç olarak, kare ve eşkenar dörtgen özel bir deltoid'tir.

PROBLEM:

Uzunlukları 52 cm ve 67 cm olan iki çıta ile deltoid şeklinde bir uçurtma yapılacaktır. Uçurtmanın İplerini bağlamak için uçurtmanın köşelerinde ikişer cm boşluk bırakılmıştır. Uzun çıta kısa çıta tarafından 2 ve 5 ile orantılı olacak şekilde bölündüğüne göre; Düğümlenen ipleri göz ardı ederek uçurtmayı çevrelemek için kullanılacak ipin uzunluğunun kaç cm olduğunu bulalım. Uçurtmayı kaplamak için kaç cm² naylon kullanılacağını bulalım. (Katlanan bölgeler göz ardı edilecektir.)

ÇÖZÜM: 

Deltoidin köşelerini A, B, C ve D olarak adlandıralım. Çıtalar deltoidsel bölgenin köşegenlerini oluşturur. Bu yüzden çıtaların arasındaki açı 90° dir. Çıtaların kesim noktası E olsun. Köşelerde ikişer cm boşluk bırakıldığı için kalan uzunluk |BD|= 52-2-2=48 olur. Köşegenlerin kesim noktasına göre parçaların uzunlukları da |BE|=|ED|=(52- 4)/2= 24 cm  olur. 

Uzun çıtada aynı şekilde köşelerden 2cm boşluk bırakılacağı için deltoid bölgesine 67-2-2=63 cm kalır. Bu kalan uzun çıta, 2 ve 5 ile orantılı olacak biçimde iki parçaya bölüneceğinden, toplam uzunluğu 63 cmyi orantılı parçalara ayırmak gerekir. |EC|=5k, |AE|=2k  |AC|=7k=63 buradan da k=9cm olarak bulunur. 

Tepe noktasının köşegenlerin kesim noktasına olan uzaklığı; |AE|= 2k= 2.9= 18 cm bulunur. Geriye kalan parçanın uzunluğu da |EC|=63-18=45 cm olur.

AEB ve BEC dik üçgenlerinde Pisagor teoremlerinden küçük ikizkenar üçgenin ikizkenarlarının uzunlukları |AB| =30 cm (18-24-30) ve diğer büyük ikizkenar üçgenin ikizkenar uzunluklarının ölçüsü de |BC|=51 cm (24-45-51) olur. [Bu dik üçgenler (3-4-5) üçgeni ve (8-15-17) üçgeninin katlarıdır.]

Uçurtmayı çevrelemek için kullanılacak ipin uzunluğu deltoidin çevresinin uzunluğu kadar olacağından Deltoidin çevresi: 30+30+51+51 = 2.(30 + 51) = 162 cm ip kullanılacaktır. Kaplamada kullanılacak naylon miktarı deltoidsel bölgenin alanı kadar olur. Deltoidin köşegenleri, 48 cm ve 63 cm olduğundan bu köşegenlerin çarpımın yarısı, deltoidin alanını verir.  Deltoidin Alanı= 48.63/2 =1512 cm² olur.

Deltoidin alanı, vektörel olarak da ifade edilebilir. Vektörlerde iç çarpım özelliklerinden yararlanarak, köşegen vektörleri bilinen bir deltoidin alanı, köşegen vektörlerinin arasındaki açı 90 derece olduğu için, köşegen vektörlerinin normlarının çarpımının yarısı kadar olur.

Karenin Özellikleri

Kare, matematikteki en temel geometrik şekillerden birisidir. Pek çok yerde kullanımı mevcuttur. Özellikle seramik/fayans döşeme ve kaplamalarında, mobilya tasarımlarında sıklıkla kare tercih edilir. Kenar uzunlukları eşit olan dikdörtgene kare (murabba) denir. 

Kare, bir düzgün çokgen örneğidir.  Kare esasında özel bir dikdörtgen çeşididir. Aynı zamanda eşkenar dörtgendir. Eşkenar dörtgende ve dikdörtgende yer alan tüm özellikleri sağlar. Bütün iç ve dış açıları 90 derecedir. iç açıları ve dış açıları ölçüleri toplamı 360 derece olup tamamı 90 derecedir. Köşegenleri dikdörtgendeki gibi birbirine eşittir ve birbirini ortalar. Köşegenlerin kesim noktası, karenin ağırlık merkezi (denge noktası) olur.

Karenin köşegen uzunlukları birbirine eşittir. Karede köşegenler, dikdörtgenden farklı olarak açıortaydır. Bu önermenin doğruluğu, eşlik bağıntıları kullanılarak gösterilir. Karede köşegenler açıortay olduğu için üçgenin iç açıları toplamından dolayı köşegenler, birbiriyle dik olarak kesişir. Yani karede köşegenler birbirini dik açıyla ortalar. 

TEOREM:Karenin köşegenleri ve iç açılarının açıortayları eşit uzunluktadır. (Teoremin ispatı eşlik teoremleri ile yapılacaktır) (Bkz. Eşlik Teoremleri)

Karede açı soruları çözülürken öncelikle karenin kenarları ile birlikte birbirine eşit olarak verilen kenarlar işaretlenir, bu şekilde gizlenmiş olan ikizkenar veya eşkenar üçgenler ortaya çıkmış olur. Buna bağlı olarak sorunun çözümü kolaylaşır.

Karede bazı açı sorularında, ilişkili görünmeyen bir uzunluk karenin bir köşegen uzunluğuna eşit olarak verilebilir.Bu durumda karenin diğer köşegeni çizilerek ikizkenar üçgen elde edilir.

Karede açılar 90 derece olduğundan, sorularda sıklıkla pisagor ve öklid bağıntıları kullanılır. Köşegenler birbirini ortaladığı için genellikle köşegen üzerinde bir dikme çizilerek, öklid veya pisagor bağıntısı oluşturulmaya çalışılır.

Karede bütün açılar 90 derece olduğu için, sıklıkla A.A.A benzerliği ile karşılaşılır. Karenin kenarları birbirine eşit olduğundan, kenarların dışından ek doğru parçaları uzatılarak yeni eş üçgenler çizilebilir. Sorularda benzerlik uygulamaları her zaman dikkate alınmalıdır. 

Karenin alanı, bir kenar uzunluğunun karesi ile hesaplanır. Köşegen uzunluğu biliniyorsa karenin alanı, köşegen uzunluğunun karesinin yarsı olur.

Karenin alanı vektörel olarak ispatlanırken, vektörlerde iç çarpım özelliklerinden yararlanılır. Köşegenler birbirine eşit ve aralarındaki açı 90 derece olduğundan cos90=0 olduğundan iç çarpım tanımlanırken karenin birbirine dik olan kenarların taşıyıcı vektörlerinin iç çarpımı sıfır olur. Buna göre alan bağıntısı yazıldığında karenin alanı herhangi bir kenarının karesi olur. (Bkz. Vektörlerde İççarpım)

Bir şekil kendi merkezi etrafında döndürüldüğünde 360° den küçük açılı dönmelerde en az bir defa kendisi ile çakışıyorsa bu şekil dönme simetrisine sahiptir. Kare 90°, 180° ve 270° döndürüldüğünde yine kendisi ile çakıştığından dönme simetrisi vardır. Karenin simetri eksenleri, köşegenlerin taşıyıcı doğruları ve karşılıklı kenarların orta noktalarını birleştiren doğru parçalarının taşıyıcı doğruları olmak üzere dört tanedir. (Bkz. Geometrik Cisimlerin Simetrisi)

Dikdörtgen ve Özellikleri

Tüm açılarının ölçüsü, 90 derece olan paralelkenara dikdörtgen (mustatil) adı verilir. Paralelkenarın bütün özelliklerini taşır. Karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir. Her dikdörtgen, aynı zamanda bir paralelkenardır. Bu ifadenin tersi doğru olmaz. Yani her paralelkenar, her zaman bir dikdörtgen olmaz. Kare şekli de özel bir dikdörtgen formatıdır.

Dikdörtgenin tüm iç açıları dik açı olduğundan, dikdörtgende köşegenler birbirine eşit olur. Köşegenlerin birbirine eşliği, dikdörtgenin iç bölgesinde meydana gelen üçgenlerin kenar uzunluklarındaki, eşlik bağıntıları gereğince yazılarak elde edilir.  Yine köşegenlerin birbirine eşitliğini, pisagor bağıntısı yardımıyla da gösterebiliriz. (Bkz. Eşlik ve Benzerlik Teoremleri)

Dikdörtgende köşegen uzunlukları birbirine eşit olmakla birlikte, aynı zamanda birbirini ortalar. Köşegenler çizildiğinde ikizkenar üçgenler meydana gelir. Aynı açıların karşısına aynı açılar gelecek şekilde, köşegenler yardımıyla eş üçgenler çizilebilir.

TEOREM: Dikdörtgenin iç bölgesinde alınan rastgele bir noktadan, dikdörtgenin köşelerine çizilen doğru parçalarının karşılıklı köşeler için kareleri toplamı, birbirine eşit olur. 

İspatı yapılırken rastgele verilen bir noktadan dikdörtgenin kenarına paralel bir doğru parçası çizilerek dik üçgenler oluşturulur ve bu oluşan dik üçgenelerde, pisagor bağıntıları ayrı ayrı yazılarak karşılıklı olarak toplanır. Elde edilen toplam sonuçlarının birbirine eşit olduğu görülür.

Yukarıda belirtilen özellik, P noktası (rastgele nokta) dikdörtgenin dış bölgesinde verildiğinde de sağlanır. İspatı aynı şekilde gösterilebilir. Dikdörtgenin kenarlarına paralel doğrultuda çizilen dik üçgenlerdeki pisagor bağıntıları yazıldığında doğru parçalarının karşılıklı kareleri toplamı birbirine eşit olur.

Dikdörtgenin çevresi, bütün kenarlarının toplamı kadardır. Sonuç olarak uzun ve kısa kenarların toplamının iki katı alınarak, dikdörtgenin çevresi hesaplanır.

Dikdörtgenin alanı, dikdörtgenin uzun kenarı ile kısa kenarının çarpımı ile bulunur. Eğer köşegenleri verilirse, köşegenler çarpımı ile köşegenlerin arasındaki açının sinüs değerinin çarpımının yarısı ile hesaplanır.

Dikdörtgende dik açılar bulunduğundan, sorularda sıklıkla pisagor ve öklid bağıntıları kullanılır. Özellikle köşegen üzerinde dikme çizilerek, öklid bağıntısı kullanımına dikkat edilmelidir.

Katlama sorularında açıortay ve eş/benzer üçgenlerin oluşacağı unutulmamalıdır. Katlama eksenine göre oluşan üçgenler belirlendikten sonra, eş ölçülü olanlar yazılarak soru çözümü yapılmalıdır. Bazen sorularda hiç şekil verilmeden sadece sözel bir dille problem çözümü istenebilir. Bu durumda probleme uygun şekil çizimi yapıldıktan sonra verilen ölçüler şekil üzerinde yazılıp, sorunun çözümüne öyle geçilmelidir. (Bkz. Katlama Soruları Genel Özellikleri)

Dikdörtgenin alanı, vektörlerde iç çarpım yoluyla da gösterilebilir. Bunun için dikdörtgenin taşıyıcı vektörleri olan uzun ve kısa kenar vektörleri iç çarpım özelliklerinden yararlanılarak dikdörtgenin alanı yazılır. AB ve AD vektörlerinin arasındaki açı 90 derece olduğundan, AB ve AD vektörleri birbirine dik olur ve cos90=0 olduğundan, <AB , AD> = ||AB|| . ||AD|| . cos90° = ||AB|| . ||AD|| . 0 = 0 bulunur. Buradan da dikdörtgenin alanı A(ABCD) uzun ve kısa kenarların taşıyıcı vektörlerinin normunun çarpımına eşit olur. A(ABCD)=||AB|| . ||AD|| olur. (Bkz. Vektörlerde İç Çarpım) (Bkz. Vektörün Normu)

Kare dışındaki tüm dikdörtgenlerin iki tane simetri ekseni bulunur. Bunlar şekli tam ortadan olacak şekilde enine ya da boyuna bölen simetri doğrularıdır. Kare özel bir dikdörtgen biçimidir. Buna göre Kare gibi tüm kenarları birbirine eşit olan dikdörtgenlerde, enine ve boyuna simetri eksenlerinin yanında köşegenler de birer simetri ekseni olur. (Bkz.Geometrik Cisimlerin Simetrisi)

Eşkenar Dörtgen ve Özellikleri

Bütün kenar uzunlukları birbirine eşit olan paralelkenara eşkenar dörtgen denir. Paralelkenarın tüm özelliklerini sağlar.  (Bkz: Paralelkenar Özellikleri)

Eşkenar dörtgenin karşılıklı açıları eşittir. Paralelkenardaki gibi ardışık açılar birbirini bütünler, yani 180 dereceye tamamlar. 

Eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirini ortalar. Paralelkenardan farklı olarak eşkenar dörtgende, köşegenler birbirine diktir; yani eşkenar dörtgenin köşegenleri birbiriyle dik olarak kesişir. Eşkenar dörtgenin köşegenleri açıortaydır. Köşegenler birbirine eşit uzunlukta değildir.

TEOREM: Bir paralelkenarın köşegenleri dik ise, bu paralelkenar eşkenar dörtgen olur. İspatı yapılırken eşlik teoremleri kullanılabilir. Aşağıda bu teoremin ispatı detaylıca verilmiştir. 

Eşkenar dörtgende köşegenler çizildiği zaman açıortay olacağından, köşegenler yardımıyla eşkenar üçgenin iç bölgesinde dört tane birbirine eş üçgen meydana gelir. Eşlik teoreminden K.A.K eşliği ile bu üçgenlerin eşliği gösterilebilir.

Eşkenar dörtgenin bütün kenar uzunlukları aynı olduğundan, bir köşeden karşı kenara çizilen yüksekliklerin uzunlukları eşkenar dörtgenin her köşesi için aynı olur. Buna göre eşkenar üçgenin alanı, bir kenara ait yükseklik ile taban kenarının çarpımına eşit olur. 

Eşkenar dörtgenin alanı, köşegenler yardımıyla da bulunabilir. Buna göre eşkenar dörtgenin alanı, köşegenler çarpımının yarısı kadar olur. Eşkenar dörtgenin çevresi ise bütün kenarları birbirine eşit olduğundan bir kenarının dört katı olur.

Eşkenar dörtgen, bir teğetler dörtgenidir. (Bkz. Teğetler Dörtgeni) İçine çizilen çember eşkenar dörtgenin kenarlarına teğet olur ve teğetlerin parçaları birbirine eşit olur. Eşkenar dörtgen köşelerinden geçecek bir çevrel çember çizilemez. Eşkenar dörtgende kenarların orta nokataları birleştirildiği zaman, ortada bir dikdörtgen meydana gelir.  

Eşkenar dörtgen sorularında, genellikle pisagor teoremi, öklid bağıntıları, açıortay teoremleri sıklıkla kullanılır. Eşkenar dörtgende köşegenler dik kesiştiğinden ek çizgiler yardımıyla, öklid ve pisagor bağıntıları soru çözümünde kolaylık sağlar. Ayrıca köşegenler açıortay olduğundan iç açıortay teoreminin de bazı sorularda kullanılması gerekebilir. Sıklıkla 30-60-90 ve 45-45-90 özel üçgenleri sorularda karşımıza çıkacaktır. Bu nedenle özel açılı üçgenlerin özellikleri iyi bilinmelidir. (Bkz. Açılarına göre Özel Üçgenler)

Eşkenar dörtgenin alanı, vektörel olarak da ifade edilebilir. Eşkenar dörtgende köşegenler birbiriyle dik olarak kesiştiği için, köşegen vektörleri verilen bir eşkenar dörtgenin alanı, köşegen vektörlerinin normlarının çarpımının yarısı olur.