Türevle Grafik Çizimi

Fonksiyonların grafiğini çizebilmek için aşağıdaki temel adımlar uygulanır. Burada anlatılanlar, her türlü fonksiyonun grafiğini el yordamıyla çizmek için genel şartları içerir. Daha üst fonksiyonların çiziminde çeşitli matematik yazılımları kullanılabilir. Bir fonksiyonun grafiğini çizmek o fonksiyonun fotoğrafını çekmek gibi olduğundan bize fonksiyon hakkında kısa ve net bir şekilde görsel bir bilgi verir.

1) Fonksiyonun tanım kümesi bulunur. Bulunan tanım kümesi çizim yapılırken dikkate alınır.

2) Fonksiyon periyodik bir fonksiyon ise periyodu bulunur. (Trigonometrik Fonksiyonlar gibi)

3) Varsa Yatay ve düşey asimptotları bulunur. (Eğer eğik-eğri asimptotu varsa ayrıca belirlenir)

4) x ve y eksenlerini kestiği noktalar bulunur. x=0 için y eksenini kesen nokta, y=0 için x eksenini kesen nokta bulunur. x ve y eksenini kesmeyen fonksiyonlar ayrıca belirlenir.

5) Fonksiyonun birinci türevi alınır. Ekstremum noktaları bulunur. Maksimum ve minimum olduğu yerler ile artan ve azalan olduğu durumlar belirlenir.

6) Fonksiyonun ikinci türevi alınarak büküm(dönüm) noktası varsa bulunur. 

7) Fonksiyonun birinci ve ikinci türevine göre işaret tablosu yapılarak grafiğin artan azalan olduğu aralıklar ile çukurluk ve tümseklik (konveks ve konkav) aralıkları bulunur.

8) Bütün bu veriler ışığında fonksiyonun grafiği çizilir.

Bütün bu adımları incelemek test sınavlarda biraz zaman alabileceğinden özellikle asimptot değerleri, x ve y eksenini kesen noktaların bulunması ve birinci türevin işaret incelemesinin yapılması grafik çizimi için hemen hemen her zaman yeterli olabilmektedir. Ayrıca düşey asimptotu bulurken paydanın köklerinden tek katlı olanların kelebek şeklinde grafiğinin olması ve çift katlı köklerde de baca şeklinde grafik görünümünün olması bize soru çözümlerinde zaman kazandıracaktır.

---

Bir test sorusu üzerinde kuralı verilen bir fonksiyonun grafiğinin nasıl bulunabileceğini gösterelim. Bu tip soruların çözümünde düşey ve yatay asimptotlar bulunduktan sonra eksenleri kesen noktalara göre şıklardan eleme usulü ile doğru cevaba ulaşılabilir. 

---

---

Konuyu kavramaya yardımcı olmak amacıyla bazı fonksiyonların grafikleri çizilerek aşağıda verilmiştir. Burada çizilen fonksiyonların grafiklerinde baca ve kelebek şekli olma durumları ile asimptotların yerlerini dikkatle inceleyiniz. 

Düşey ve Yatay Asimptot

Bir fonksiyonun grafiği çizildiğinde bu grafikte sonsuza giden bir kolu varsa, bu kol üzerindeki rastgele bir nokta alındığında bu nokta sonsuza doğru götürüldüğünde bu noktanın bir doğruya ya da eğriye olan uzaklığı da sıfıra yaklaşıyorsa (limit değeri olarak) bu doğru ya da eğriye o fonksiyonun için asimptot değeri denir. Asimptotlar yatay ve düşey (dikey) olmak üzere, iki boyutlu uzayda iki kısımda incelenir.

Düşey (dikey) Asimptot: Bir fonksiyonun herhangi bir x=a noktasındaki sağ veya sol limitlerinden en az birisi +/-sonsuz'a yaklaşıyorsa bu fonksiyonun o noktada "düşey asimptotu vardır" denir. Genelde; pay ve payda durumundaki rasyonel fonksiyonlarda en sade halde çarpanlarına ayrılmış durumdaki fonksiyon için  paydayı sıfır yapan kökler düşey asimptot değerini verir. Pay kökleri ile sadeleşen kökler limit değerleri sonsuza gitmediği için düşey asimptot olarak kabul edilmez. Paydanın köklerinden tek katlı olanlarda o noktada grafik kelebek kanatları görünümünde, çift katlı köklerde ise o noktada baca görünümünde olur.

Yatay Asimptot: Bir fonksiyonun +/- sonsuza giderken limiti alındığında bir gerçek sayıya yaklaşıyorsa bu yaklaştığı gerçek sayı o fonksiyonun yatay asimptotu olur. Yatay asimptot bulunurken limite bakılır.

Eğri ve Eğik Asimptot: Bazı durumlarda limit alındığında bir gerçek sayıya yaklaşılmayabilir. Böyle fonksiyonlarda yatay asimptot olmadığından bu fonksiyonların asimptotları  eğik veya eğri şeklinde olur. Payın derecesi paydanın derecesinden büyük olduğu durumlarda; eğik ve eğri asimptot bulunurken pay ve paydada yer alan fonksiyonlar polinom bölmesi yapılarak birbirine bölünür. Ortaya çıkan birinci dereceden doğru denklemine eğik asimptot, ikinci veya daha fazla dereceli eğri denklemine de eğri asimptot adı verilir. 

Maksimum ve Minimum Problemleri

Maksimum ve minimum problemlerinde öncelikle verilen ifadelerden tek değişkene bağlı bir fonksiyon yazılır. Bu yazılan fonksiyonun istenen değişkene göre türevi alınır. Daha sonra türev sıfıra eşitlenerek kökler bulunur. Daha sonra işaret tablosu yapılarak minimum ve maksimum noktaları belirlenir. Aşağıda türev yardımıyla maksimum ve minimum problemlerinin nasıl çözüldüğüne dair örnekler verilmiştir. 

Bazı kısa ip uçlarını aklınızda bulundurmanız bu tür maksimum ve minimum problemlerin çözümünde kolaylık sağlar. 

1) Toplamları sabit iki sayının çarpımının maksimum olması için sayılar  birbirine eşit olmalıdır. Eşit olarak alınan iki sayının çarpımı daha büyük olur. Örnek: x + y = 12 ise x,y nin en büyük değeri için bu iki sayı birbirine eşit olarak seçilmelidir. x = y = 6 için x.y = 6.6 = 36 olarak bulunur. 

2) Çarpımları sabit iki sayının toplamının minimum olması için sayılar birbirine eşit olmalıdır. Örnek: x.y = 25 ise x + y nin en küçük değeri x = y = 5 için x + y = 5 + 5 = 10 dur.

3) Çevresi sabit olan çokgenler içinde alanı maksimum olanı düzgün çokgendir. Örnek: Çevresi 12 cm olan üçgenlerden alanı en büyük olanı bir kenarı 4cm olan eşkenar üçgenin alanıdır. Çevresi 16 cm olan dörtgenlerden alanı en büyük olanı bir kenarı 4 cm olan karedir.

4) Alanı sabit olan çokgenler içinde çevresi minimum olanı düzgün çokgendir. Örnek: Alanı 64 cm2 olan dikdörtgenlerden çevresi en küçük olanı bir kenarı 8 cm olan karedir. 

5) Bir daire içine çizilen dikdörtgenlerden alanı maksimum olanı karedir. Örnek: Yarıçapı 2 cm olan dairenin içine çizilen dikdörtgenin alanının en büyük olması için, dörtgen kare olmalıdır.

6) Tabanları aynı ve alanları sabit olan üçgenlerden çevresi minimum olanı ikizkenar üçgendir. Tabanları aynı ve çevreleri sabit olan üçgenlerden alanı maksimum olanı ikizkenar üçgendir. Örnek: ABC üçgeninde |BC| = 6 cm ve Çevre(ABC) = 16 cm ise alanın en büyük olması için üçgenin ikizkenarları |AB| = |AC| = 5 cm olmalıdır.

7) Bir üçgen içine çizilen dikdörtgenlerden alanı maksimum olanının alanı, üçgenin alanının yarısına eşit olanıdır.

8) Hacimleri sabit olan dörtgen prizmalardan alanı minimum olanı küptür. Hacmi sabit olan dik silindirlerden alanı minimum olanı çapı yüksekliğine eşit olanıdır.

Bileşke Fonksiyonun Türevi ve İspatı

Bileşke fonksiyonların türevi bulunurken eğer fonksiyonun bileşkesi bulunabiliyorsa öncelikle fonksiyonun bileşkesi alınır daha sonra istenen türev bulunur. Bileşke fonksiyonun bulanmayacağı veya daha zor olarak hesaplanacağı durumlarda ise öncelikle birinci fonksiyonun türevinde ikinci fonksiyon bilinmeyen yerine yazılır daha sonra ikinci fonksiyonun da ayrı olarak tekrar türevi alınarak çarpım halinde yanına yazılarak bileşke fonksiyonun türevi bulunur.

Aşağıda yer alan sorular bileşke fonksiyonun türevinin nasıl alınabileceğini gösteren farklı tipteki sorulardır. Buralarda birden fazla fonksiyonun bileşkesi şeklinde yeni fonksiyonlar verildiğinde bunların türevi yine aynı bileşke fonksiyonun türevi kuralı yardımıyla bulunur.