Matematik Eğitiminde Yapılandırmacılık

"Öğrenmenin yapılandırmacı teorisi; bizler kendi kendimize öğrenirken yeni bilgiyi aktif bir şekilde inşa ettiğimizi ifade eder. Bu öğrenme teorisine göre, öğrenme= inşa etmedir. Bizler geçmiş deneyimlerimizin zeminindeki duyusal verilerle etkileşime geçerek yeni bilgiler inşa ederiz. (http://mia.openworldlearning.org/constructivism.htm adresinden alıntıdır.) Papert: “Yapılandırmacılık çocukların daha önce yaptıklarından daha iyi şeyler yapmaları için onlara iyi şeyler vermektir.” der. Böylelikle anlarız ki yapılandırmacılık çocuğun, gencin sahip olduğu, ulaştığı verilerle birlikte kendi potansiyelini bütünleştirip özgün bir anlayış ortaya çıkarmasıdır.

Yapılandırmacılığın temellerinden de kısaca bahsedecek olursak; yapılandırmacılığın anlamını netleştirmek için, Good, Wandersee, ve St. Julien (1993) yapılandırmacılığın önüne on beş farklı sıfat koymuştur: bağlamsal, diyalektik, deneysel, insancıl, bilgi işleyen, metodolojik, ılımlı, Piaget’nin öne sürdüğü, epistemolojik, yararcı, radikal, rasyonel, gerçekçi, sosyal, sosyo-tarihsel şeklindedir. Pek çok terim kavramlarla ve varsayımlarla örtüşürken, diğerleri kelime anlamları bakımından farklılıklara sahiptir. Paul Ernest’in de tanımladığı gibi zayıf yapılandırmacılık, nesnel bilginin varlığını kabul ederek kendi bilgisini yapılandırmayı varsayar. Buna ek olarak radikal yapılandırmacılık, kişisel bilgiyi sürekli adaptasyon ve yeniden oluşum olarak varsayar. Bu anlayışa göre bilgi problem haline getirilir. Sosyal yapılandırmacılık da ise bireysel bilgi ve sosyal bilgi tek bir halinde bütünleştirilir. (Ishii, Drew K., 2003).

Öyle görünüyor ki yapılandırmacılık pek çoklarına göre matematik alanına ters görünüyor. Çünkü matematikte gerçek, kesin sonuçlar, prensipler, teoremler ve değişmez kurallar var. Örneğin, 2+2 nin değişmez ve 4 olduğu gibi (Ishii, Drew K., 2003). Hal böyle olunca yapılandırmacılığın matematiğe uygulanmasının zor olduğu kanısına varılıyor. Ancak bu kesin sonuçları olan; prensipler, teoremler, değişmez kurallar bütünü matematik, kendi içerisindeki kavramlar, diğer disiplinler ve gerçek yaşamla kurulan bağlantılar ve bu bağlantılar neticesinde çıkarılan anlamlarla bir kurallar yığını olmaktan çok özünü ortaya koymaktadır. NCTM News Bulletin’de bu durum reform zihinli öğretmen davranışları ile ifade edilmiştir. Şöyle ki, reform zihinli öğretmenler, öğrencilerinin muhtemel çözüm yolları üretebilmeleri ve derin düşünebilmeleri için problemler öne sürerler ve onları çözüm üretebilmeleri konusunda cesaretlendirirler. Onlar matematikteki diğer fikirlerle ve başka disiplinlerle olan bağlantıları kuvvetlendirirler. Öğretmenler, öğrencilerin kendi çalışmaları ile ilgili açıklama ve ispatlarını sürekli yenilemek ve tazelemek için sürekli sorular sorarlar. Onlar öğrencilerin daha iyi matematiksel anlayış kazanmaları için matematiksel fikirlerin farklı ifadelerini kullanırlar. Bu öğretmenler öğrencilerinden matematiği açıklamalarını isterler (Stiff, L. V.,2000-2002). Bu nokta da yapılandırmacılığın anlam kazandığı noktadır.

Reform zihinli öğretmenlerin öğrencilerinden farklı problemleri çözmeleri, matematiği gerçek yaşam koşullarına uygulamaları, ayrıca bildiklerini geliştirmeleri beklenir. Bazen başka öğrencilerle birlikte, bazen kendi kendilerine çalışırlar. Bazen hesap makinesi kullanırlar. Bazen sadece kağıt kalem kullanırlar (Stiff, L. V.,2000-2002). Bu konu ile ilgili geometri alt alanından bahsedecek olursak, geometri kendi içinde kendine özel kavram ve formüllere sahiptir. Öğrenciler bu yeni, kendine özgü dili kullanmada güven geliştirmek için yeterli zamana ihtiyaç duyarlar. Bu bağlamda geometride tanımlar, öğrenci tarafından, onlara yeterli zaman sağlanarak, figürlerin özelliklerine göre, yapılandırılması, görselleştirilmesi, ölçülmesi, karşılaştırılması, sınıflandırılmasındaki deneyimlerinden çıkarılmalıdır. (http://www.sedl.org/scimath/compass/v01n03/2.html adresinden alıntıdır). Yani tanımları, sunulan verilerle birlikte öğrenci kendi deneyimleri ile yapılandırması ile ortaya çıkarabilmektedir.

Matematik eğitiminde yapılandırmacılık, öğrencilerin nasıl öğrendiğini ve öğretmenlerin öğrencilerin anlayışlarını güçlendirmek için neler yapabileceklerini işaret ederler. Sosyal yapılandırmacılıkta, öğrenciler sosyal bir durum ile etkileşime girdiklerinde sahip oldukları bilgileri daha iyi inşa ederler. Bu yüzden, öğretmen ve öğrenciler arasındaki etkileşim, öğrencilerin birlikte çalıştığı geniş bir komiteyi içerdiğinde geliştirilir. Matematik eğitimine özel bir şekilde uygulanan sosyal yapılandırmacılığın bir tipi matematiğin problem çözmeyi vurgulayarak öğretilmesini doğrular. Bu etkileşim a) öğretmen- öğrenci arasında, b) öğrenciler arasında gerçekleşir ve öğrenciler problem durumlarını çözmek için kendi stratejilerini oluşturmaları konusunda cesaretlendirilir. (Lee V. Stiff, 2000-2002). Radikal yapılandırmacılık da bu bağlamda matematikte yerini şöyle alır: öğrencilerin bilgileri ailelerinden veya öğretmenlerinden hiçbir değişikliğe uğramadan alınmasını değil, bilginin her bir öğrenenin zihninde aktif bir şekilde bütünleştirilmesini ifade eder. Bu noktada öğrenen bireyin kendi çabası matematiksel anlamı oluşturmak için temel teşkil etmektedir. (Lee V. Stiff, 2000-2002). 

Sonuç olarak yapılandırmacı felsefeler, öğrencilerde derin bir matematik algısı oluşturmak için var olan bilgiyle yeni bilgiyi bütünleştirmeleri konusuna odaklanır. Her bir felsefe, öğrenciyi öğrenme-öğretme sürecinin aktif bir katılımcısı olarak tanımlar. Son olarak yapılandırmacı yaklaşımın sınıflara uygulanması ile ilgili birkaç noktadan bahsedip yazımı sona erdirmek istiyorum. Ernest sınıf ortamındaki yapılandırmacılık için beş durum öne sürer:

1) Öğrenenlerin daha önceden sahip oldukları yapılara dikkat edilmeli. Örneğin, öğrenenlerin sahip oldukları kavramlar, informal bilgiler gibi.

2) Yanlış anlaşılmaları gidermek için bilişsel teknikleri kullanmalı. Öğrencilerin düşünme ve anlam oluşturmalarına yardımcı olmak gibi.

3) Metabiliş ve stratejik kişisel düzenlemeye dikkat edilmeli. Öğrenciler ne zaman kendi düşünmeleri hakkında düşünürlerse o zaman kendi öğrenmelerinden sorumlu olurlar.

4) Farklı ifade şekillerini kullanmalı. Özellikle matematikte çoklu ifade biçimleri önceki kavramlarla yeni kavramlar arasındaki bağlantıları görmek ve kuvvetlendirmek açısından önemlidir.

5) Öğrenen için amaçların öneminin farkında olmalı.(Ishii, Drew K., 2003 )

Sonuç olarak diyebiliriz ki yapılandırmacılık günümüz matematik eğitim sisteminin anlam kazanması açısından büyük öneme sahiptir. Öğrenci temelli olarak uygulanan bu yaklaşımın amacına ulaşabilmesi için öğretmenlere ve tüm eğitimcilere büyük görevler düşmektedir. Ancak günümüzde bu yaklaşımın ve uygulamalarının bilincinde olan eğitimciler etkili bir matematik eğitimi gerçekleştirirler. "

Zekiye MORKOYUNLU
05/08/2011

1) Ishii, Drew K., 2003, Constructivist Views of Learning in Science and Mathematics
2) Lee V. Stiff, 2000-2002, Constructivist Mathematics and Unicorns
3) Geometry for the Early and Middle Grades,1995, http://www.sedl.org/scimath/compass/v01n03/3. html adresinden alıntıdır.

Yazı; http://www.mufettisler.net/yazarlar/54-zekiye-morkoyunlu/438-matematk-egtmnde-yapilandirmacilik.html adresinden alınmıştır. 

Limitin Tarihçesi

Matematikçilerin, limit kavramının varlığından şüphelenmeye (bu kavramı sezmeye) başlamaları ile limiti tam olarak tanımlamaları arasında, yüzyıllarla ölçülebilecek kadar uzun zaman vardır. Hatta ilk çağ- larda bile limit kavramını hisseden matematikçiler vardı. Örneğin Archimedes, 2π sayısına olabildiğince yakın bir sayı elde edebilmek için köşeleri 1 birim yarıçaplı çemberin noktaları olan düzgün çokgenin çevresinden yararlanmış, bunun kenar sayısı sınırsız arttıkça çokgenin çembere, bu nedenle de çevresinin uzunluğunun 2π ye yaklaşacağını düşünmüştür. Bazı matematikçiler bu tür yaklaşımları, Rönesans Dönemine doğru, bir kısım alan hesaplamalarında da kullanmışlardır. 

17. yüzyılın ünlü matematikçilerinden Isaac Newton (1642-1727) ve Gottfried Leibniz (1646-1716), limiti kendilerinden önceki matematikçilere oranla çok daha doğru şekilde tanımlamışlar ve pek çok karmaşık limiti hesaplamışlardır. Newton ve Leibniz’in limit hakkındaki düşünceleri, bu kavramın gelişmesinde temel oluşturmuştur. 1754 yılında Fransız matematikçi d’Alembert (1717-1783), matematiğin daha ileriki konularının mantıksal temelinin limit kavramı olduğunu iddia etmiştir. Daha sonra ünlü matematikçi Cauchy (1789-1857), 1821 yılında yayınladığı “Cours d’Analyse” adlı eserinde limit tanımını, “Bir değişkenin ardışık değerleri, sabit bir sayıya olabildiğince çok yaklaştığında elde edilen son değerdir.” şeklinde yapmıştır. Bu tanım, bugün kullandığımız limit tanımına en yakın olandır. Günümüz matematikçilerinin kullandığı limit tanımı, 1860 yılında Alman matematikçi Karl Weierstrass (1815-1897) tarafından yapılmıştır.(Matematik-12, Emrullah KAPLAN, Paşa Yayınları,2011)

Karl Weierstrass, Bonn Üniversitesine hukuk okumak üzere gitmesine rağmen üniversiteden mezun olamadı. Daha sonra kendisi matematikle ilgilenmeye başladı. Laplace'ın Gök Mekaniğini üzerine yaptığı çalışmaları inceledi. Diferansiyel denklem sistemleri üzerinde çalışmalarda bulundu. Karl Weierstrass, 22 Mayıs 1798'de Münster Akademisine girdi.Uzun yıllar öğretmenlik yaptı. 1853 yılında abelyan fonksiyonlar üzerinde çalışmasını yayınladı.1856 da Berlin Üniversitesinde yardımcı profesörlük ünvanı elde etti ve Berlin Akademisine üye olarak seçildi. Weierstrass, 1864 ile 1897 yılları arasında Berlin Üniversitesinde matematik profesörü olarak görev yaptı 1897'de Berlin'de öldü.

1821’de Augustin Louis Cauchy (Bkz. Augustin Cauchy), Karl Weierstrass’ı takiben kullanılan limit tanımını  yunan alfabesindeki harfler olan  (ε, δ) harfleri (yunan alfabesindeki 5.harf küçük epsilon harfi ve yunan alfabesindeki 4.harf küçük delta harfi) kullanarak düzeltip, matematik literatüründe limitin tanımı olarak (ε, δ) tekniğini kabul ettirdi.

Limitin Tanımı: f(x) fonksiyonu, bir açık aralıkta tanımlanmış olsun ve L bir gerçek sayı olsun. Bütün ε>0 değerleri için, bir δ >0 değeri bulunabiliyor ki bütün 0<|x-a|<δ eşitsizliğini sağlayan x değeri için,  |f(x)-L|<ε eşitsizliği doğru ise; buradaki L değerine, "f(x) fonksiyonunun a noktasındaki limitidir" denir.

Limit ifadesinde, yaklaşmayı belirtmek için sağ tarafa doğru ok işareti kullanılır. x değişkeni, a'ya yaklaşırken f(x) fonksiyonunun limitinin L'ye yaklaştığı söylenir ve bu limit, sağ ok işareti ile limitin altına yazılarak gösterilir.  

19. yüzyıldan sonra  literatürde limitin gösterimi, (ε, δ) tanımlamasıyla kabul gördü. Tanımda yer alan ε harfi, her küçük pozitif sayıyı gösterir. Böylece “f(x) isteğe bağlı olarak L’ye yakın olur”, sonuçta f(x) fonksiyonu, (L − ε, L + ε) aralığında, iki sayı arasında yer alır demektir. Aynı zamanda mutlak değer işareti kullanılarak da bu aralık ifadesi yazılabilir 

Tanımda yer alan |f(x) − L| < ε.”x değişkeni, a’ye yaklaşırken” ifadesi, a’den uzak olan x’lerin bir δ  pozitif sayısından küçük olduğunu gösterir. x’lerin ya (a − δ, a) ya da (a, a + δ) aralığı içindeki değerleri 0 < |x − a| < δ ile ifade edilebilir. Buradaki yaklaşma miktarı için, x'in a değerine eşit olmaksızın en yakın noktasına kadar gelmesi anlamındaki çok çok kısa bir mesafe kadardır demek yanlış olmaz. İkinci eşitsizlikte; x değişkeni, a’nın δ uzaklığı içinde olduğunu ifade edilirken, ilk eşitsizlikte x ve a arasındaki uzaklık 0’dan büyüktür ve x ≠ a demek anlamına gelir. Bu tanım, fonksiyonun a noktasında tanımlı olmadığı zamanlarda ve fonksiyonun a değerindeki f(a) karşılığı, fonksiyonun o noktadaki limit değerinden L'den farklı olduğu zamanlarda da doğru olur. f(a)≠  L veya f(x), a noktasında tanımlı olmasa bile fonksiyonun o noktada limiti olabilir. Limitinin olması için fonksiyonun x değişkeninin a noktasına sağdan ve soldan yaklaşmalarındaki bulunan limit değerlerinin birbirine eşit olması gerekir. Kısaca fonksiyonun bir noktadaki sağ ve sol limitleri eşitse bu noktada limiti vardır aksi halde o noktada limit yoktur.  

Limitle ilgili bazı konu başlıklarının ayrıntılarına ulaşmak isterseniz aşağıdaki bağlantıları kullanabilirsiniz.

Limit konusu ile ilgili çıkmış ÖSYM Soruları

Trigonometrik Fonksiyonların Limiti

sinx/x limitinin ispatı

Genişletilmiş Reel Sayılar Kümesinde Limit

0/0 Belirsizliği

Limitte ∞/∞ belirsizliği

Limitte ∞-∞ belirsizliği

Limitte belirsizliklerde L-Hospital Kavramı (türev)