Christian Goldbach ve Goldbach Kestirimi

Sayılar teorisi konusunda çalışmalarıyla ünlü Rus matematikçi. Uzun yıllar matematikçileri uğraştıran ve halen daha çalışmaları sorgulanan çözüme kavuşturulmaya çalışılan acayip bir bilim insanı. Goldbach, 18 Mart 1690’da Rusya’nın Konigsberg (şimdiki Rusya, Kaliningrad) şehrinde doğmuştur. 1725 yılında St. Petersburg’da tarih ve matematik profesörü olmuştur. 1728 yılında 2. Peter’e özel dersler vermek amacıyla Moskova’ya yerleşmiş, burada bir süre kaldıktan sonra Avrupa’ya gitmiştir. Avrupa’da, dönemin önemli matematikçileriyle görüşmek üzere dolaşmış, Leibniz, Bernoulli, De Moivre ve Hermann gibi matematikçilerle tanışmıştır.

Goldbach’ın önemli çalışmaları Sayılar teorisi üzerinedir. Nerdeyse tüm akademik başarıları, Sayılar teorisi üzerine yaptığı çalışmalardan ve yayınladığı makalelerden dolayıdır. Goldbach, çalışmalarında dönemin ünlü sayı kuramcısı Euler’le sürekli diyalog halinde olmuştur. Matematikçiye asıl ün kazandıran çalışması, asal sayılar ile ilgili öne sürdüğü varsayımdır. Goldbach’a göre “2’den büyük her çift sayı, iki asal sayının toplamı olarak ifade edilebilir.” Goldbach, bu varsayımından 1742’de Euler’e gönderdiği ünlü mektubunda bahseder.

Goldbach asal sayılarla ilgili olarak ayrıca, her tek sayının üç asal sayının toplamı olduğunu da söylemiştir (Goldbach hipotezi). Ancak bu iki varsayımıyla ilgili olarak herhangi bir ispat sunmamıştır. Goldbach’ın birinci varsayımı hala doğruluğu kanıtlanmamış bir teori olarak görülmesine rağmen, ikinci varsayımı 1937’de Vinogradov’un çalışmaları sonucu ispatlanmıştır. Goldbach ayrıca, Sonlu toplamlar, Eğriler teorisi ve Denklemler teorisi üzerine de çalışmıştır.20 Kasım 1764’de Moskova’da ölmüştür.[1]

Goldbach hipotezi

1742'de Goldbach, Euler'e yazdığı bir mektupta "2'den büyük her çift sayı, iki asal sayının toplamı şeklinde ifade edilebilir" önermesinin, ya doğru olduğunu ispatlamasını ya da bunu sağlamayan bir örnek göstererek yanlış olduğunu ispatlamasını istedi. Goldbach kestirimi olarak bilinen bu hipotezle asal sayılar dünyasına yeni bir heyecan geldi. Bu heyecan o gün bugündür tüm matematik severleri sardı. Yine de henüz bir cevap bulunamadı. Bu varsayım daha doğrusu kestirim en orjinal haliyle şöyle ifade edilir. ...En azından 2'den büyük her sayı üç asal sayının toplamdır...

Goldbach burada 1 sayını da asal kabul etmektedir. (Bu konvansiyon artık terkedilmiştir.) (1 sayısı niçin asal değildir: Çünkü bir asal sayı başka bir asal sayıyı asla tam bölmez. Oysa 1 sayısı diğer asalları da tam böler.)Kuvvetli ikil varsayım, 3'ten büyük her çift doğal sayının iki asal sayının toplamı olarak ifade edilebileceğini öne sürer. Faber and Faber adli şirket bu sanının doğru olduğunu 20 Mart 2000 ve 20 Mart 2002 arasındaki 2 yıllık sürede kanıtlayabilecek ilk kişiye 1.000.000 Amerikan doları ödül vaat etmiştir, fakat halen ispatsız olduğu üzere bu ödülü de kazanan olmamıştır. (2010)[2]

---

[1] http://tr.wikipedia.org/wiki/Christian_Goldbach

[2] http://www.biltek.tubitak.gov.tr/gelisim/matematik/problemler.htm#goldbach

Sıfır Sayısı "Yoktan Yonga Kopmaz"

Sıfır (0) Arapça şafira ya da şifr , Sanskritçe sünya, İngilizce zero(nil-null). Boş, hiç olan; ya da herhangi bir şey olmayan. Batı dillerindeki şifre sözcüğünün kökeni. Günümüz sayı sisteminin merkezine, hangi serüvenleri izleyerek gelip oturduğu aşağı yukarı biliniyor. Matematiğin tarihi,bu sayının, Hint kökenli olduğundan hemen hemen emin. Basamak yerine ilk kullanımı, çok eskilere gitmesine rağmen, bu günkü anlamdakine en yakın kullanımı, Hint matematikçi Brahmagupta'nın Brahmasputha Siddhanta adlı eserinde anlatılmaktadır. 

MS 628 tarihini taşıyan bu eserinde Brahmagupta, sıfır ile dört işlemin kurallarını sıralar. Toplama, çıkarma ve çarpmada sorunsuz sıyrılan Brahmagupta, bölmede zorlanmaktadır. Şöyle diyor:

"-Herhangi bir pozitif ya da negatif sayının sıfır ile bölünmesi durumunda, sonuç paydasında sıfır bulunan bir kesirdir".

"-Herhangi bir pozitif ya da negatif sayı tarafından bölünen sıfır, ya sıfırdır veya payında sıfır, paydasında bir sayı bulunan kesirdir."

"-Sıfır bölü sıfır, sıfırdır." Daha sonraki yıllarda tanımsız olarak kabul edilen sıfırla bölme işlemi gerçekten hala kafalarımızı karıştırmaya devam ediyor. 

Limitte 0/0 belirsizlik olarak tanımlanmakta ve bununla ilgili limit işlemleri ve türev işlemleri anlam kazanabilmektedir. (Bkz. Limitte 0/0 belirziliği)  Halbuki sıfır'ın bir sayıyla bölünmesinde hiçbir sorun yok.0/5=0 diyebiliriz. Sıfır bölü sıfır (0/0) ise sıfır değil; o da matematikte belirsiz olarak tanımlanıyor. Herhangi bir sayının sıfıra bölümü (örn:5/0) ise paydada sıfır olamayacağı için tanımsız olarak belirlenmiştir. Harezmi tarafından Brahmagupta'nın eserini Arapça'ya tercüme ederek günümüz dünyasına sıfır sayısı kazandırılmış oldu. Günümüzde kullandığımız sayı sistemine Hint-Arap sayı sistemi diyoruz. Ondalık basamaklı sayı sistemi, Hindistan'dan Arap yarımadasına, oradan da İslam İmparatorluğu'nun genişlemesine parelel olarak Kuzey Afrika ve Endülüs üzerinden Avrupa'ya ulaşmıştır. Kendisi Becaiye'de (Cezayir) yetişmiş olan ünlü matematikçi Fibonacci, 1202 de yayınladığı Liber Abaci adlı eserinde bu sistemi Avrupa'ya tanıtmıştır.

 

Herhangi bir sayının sıfırla çarpımı sıfır olduğu için, sıfırın yutan eleman olduğunu söyleriz. Oysa duruma şöyle bakalım:

3*2=2+2+2=6 olarak yazılabilir. Benzer şekilde m*0=0+0+...+0(m tane 0'ın toplamı)=0 olur. Burada anlaşılma kolaylığı için m'yi sonlu bir pozitif tam sayı olarak kabul edelim. Sıfır m'yi yutmuyor; m tane sıfır toplanınca sonuç sıfır çıkıyor. Ya da: (m burada sonlu herhangi bir sayı olmak üzere.)

0=m*0

=m*0+(m-m)

=m*0+m*1-m

=m(0+1)-m

=m*1-m

=m-m=0

Sıfırın şifresi: Yoktan yonga kopmaz.

Kaynak: http://www.biltek.tubitak.gov.tr/gelisim/matematik/sayilar.htm

G.Friedrich Bernhard Riemann

(17 Eylül 1826 - 20 Temmuz 1866), analiz ve diferansiyel geometri dalında çok önemli katkıları olan Alman matematikçidir. Söz konusu katkılar daha sonra izafiyet teorisinin geliştirilmesinde önemli rol oynamıştır. Bu matematikçinin ismi aynı zamanda zeta fonksiyonu, Riemann hipotezi, Riemann manifoldları ve Riemann yüzeyleri ile de bağlantılıdır. Almanya'da Dannenberg yakınlarındaki Hanover Krallığının Breselenz kasabasında doğan matematikçinin babası Friedrich Bernhard Riemann idi. Bernhard Riemann altı çocuklu bir ailenin ikinci çocuğuydu. 

Riemann, 1840 yılında büyükannesi ile yaşamak ve Lyceum'u ziyaret etmek için Hanover'e gitti. Büyükannesinin 1842 yılındaki vefatından sonra Lüneburg'daki Johanneum'a giden Riemann, 1846'da yani 19 yaşında Göttingen Üniversitesi'nde filoloji ve teoloji çalışmaya başladı. En küçük kareler yöntemini anlatan matematikçi Gauss'un derslerine katıldı. 1847 yılında Riemann'ın babası ona teolojiyi bırakıp matematik çalışması için izin verdi. 1847 yılında Berlin'e gitti. Burada Jacobi, Dirichlet veya Steiner ders veriyordu. Berlin'de iki yıl kalan matematikçi 1849 yılında Göttingen'e döndü. 

Riemann ilk dersini 1854'te verdi ve bu dersle sadece Riemann geometrisinin temellerini kurmakla kalmadı aynı zamanda daha sonra Einstein'in izafiyet teorisinde kullanacağı yapıların da temellerini attı. 1857'de Götingen Üniversitesi'nde özel profesörlük kademesine terfi etti ve 1859'da profesör oldu. 1862 yılında Elise Koch ile evlendi. Selasca, İtalya'ya doğru gerçekleştirdiği üçüncü seyahatte hayata gözlerini yumdu. Riemann hipotezi (Riemann zeta hipotezi olarak da bilinmektedir), matematik alanında ilk kez 1859 yılında Bernhard Riemann tarafından ifade edilmiş fakat günümüze kadar çözülememiş problemlerden biridir.Bilindiği gibi asal sayılar düzenli bir dağılıma sahip değiller. 

Alman matematikçi G.F.B. Riemann (1826 - 1866) asal sayıların dağılımlarının Riemann-Zeta adını verdiği bir fonksiyon ile çok yakından ilişkili olduğunu gözlemledi. Bazı pozitif tamsayıların kendilerinden küçük ve 1'den büyük tamsayıların çarpımı (örn. 2, 3, 5, 7, ...) cinsinden yazılamamak gibi bir özelliği vardır. Bu tür sayılara Asal sayılar denir. Asal sayılar, hem matematik hem de uygulama alanlarında çok önemli rol oynar. Asal sayıların tüm doğal sayılar içinde dağılımı bariz bir örüntüyü takip etmemektedir.

Riemann toplamı ile ilgili ayrıntılı bilgiye ulaşmak için yazımıza tıklayabilirsiniz. (Bkz. Riemann Toplamı)

Augustin Louis Cauchy

İlk büyük Fransız matematikçisi olan Cauchy, 1789’da Paris’te doğdu. 1814 yılında, karmaşık fonksiyonlar kuramını geliştirdi. Bugün, Cauchy teoremi adıyla bilinen ünlü teoremi ifade ederek ispatladı. Bu alanda integraller ve bunların hesaplama yöntemleri yine Cauchy tarafından verildi. Bu sahadaki eseri 1827 yılında basıldı. 1815 yılında, Fermat’ın bir teoreminin ispatını verdi.1816 yılında sıvılar üzeirnde dalgaların yayılmasının kuramını içeren yaptıyla Akademi ödülünü aldı. 1815 yılında Polytechnique’te analiz öğretmeni ve profesör oldu. Sorbonne’a ve College de France’a girdi. Her işte başarılı oluyordu.
Akademiye haftada iki çalışma sunuyordu. Geliştirdiği ve yaptığı çalışmaları öğrenmek için Avrupa’nın her yanından matematikçiler geliyordu. 1816 yılında Akademiye başkan seçildi.1816 yılından itibaren cebir ve mekanik dersleri vermeye başladı. 1830 devriminden sonra bağlılık andını kabul etmediği için görevinden ayrıldı ve Torino’ya giderek kendisi için açılan matematik kürsüsünde çalışmaya başladı. 1833’te Bordeaux Dükü’nün fen eğitimini yönetmek üzere Prag’a çağrıldı. 1838’de Paris’e döndü. Paris Fen Fakültesi matematiksel gökbilim profesörlüğüne atandı ve 1852 yılına dek bu görevine devam etti. Cauchy, arı ve uygulamalı matematiğin bütün bölümleriyle ilgilendi.
Ama tarihe çözümleme üstüne yaptığı çalışmalarla geçti. 1821’de yayımlanan Cours d’analyse adlı kitabında çözümlemenin ana ilkelerini gözden geçirdi ve bunları yapıcı bir biçimde eleştirdi; böylece elementer fonksiyonların ve serilerin incelenmesine kesinlik kazandırdı. Cauchy herşeyden önce, karmaşık bir değişkenin fonksiyonları kuramının yaratıcısıdır. Bu konuda çıkış noktası karmaşık bölgelerde integrallemeydi (1814 - 1830): eğrisel integrali tanımladı, bunun temel özelliklerini kanıtladı ve kalanlar hesabını ortaya attı. İkinci grup çalışmasında (1830 - 1846) fonksiyonların serilere açılımını ve karmaşık diferansiyelleme ya da analitiklik kavramlarını inceledi. Yaptığı cebir çalışmaları (yerine koyma hesabı, determinantlar ve matrisler kuramı, gruplar ve cebirsel genişlemeler kuramının oluşturulması) XIX. yy tarihsel hareketine, cebirsel yapıların bulunması ve incelenmesi biçiminde geçti. Cauchy mekanik alanında esneklik kuramının matematikle ilgili yönünü düzenledi. Gökbilim hesaplarını kolaylaştırdı ve hatalar kuramını geliştirdi. Fonksiyonlar kuramında da çok yenilikleri olan Cauchy, Cauchy - Riemann denklemleri, Cauchy teoremi, Cauchy integral formülü ve cauchy esas değeri buluşları sayılabilir. Bu saydığımız bağıntılar oldukça geniş buluşlardır. Karmaşık analizde çok uygulaması olan çok derin konuları içine almaktadır. İstenildiği kadar da genişletilip ilmin diğer dallarına uygulanabilirliği vardır.

Pierre de Fermat ve Denklemi

Fermat, 1601’de Fransa’nın Lomagne kentinde doğdu. İlk öğrenimini doğduğu şehirde yapmıştır. Yargıç olmak için çalışmalarına Toulouse’de devam etmiştir...Fermat, memurluğunun yoğun işlerinden geriye kalan zamanlarında matematikle uğraşmıştır. Arşimet’in eğildiği diferansiyel hesaba geometrik görünümle yaklaşmıştır. Bu problem şimdi lise öğrencilerine bile kolaylıkla öğretilebilir. Fakat, bu problemin açtığı çığır önemlidir. Fiziğe uygulamaları da ilginçtir. Eğrilerin çiziminde maksimum ve minimum noktaların önemi bilinmektedir. İşte bu kavramları koyan yine Fermat’tır. Oldukça kolay gibi görülen bu problemin matematik ve fizikte çok geniş ve ileri uygulamaları vardır. Ayrıca, bu kavramları ışık bilmine uygulamasını çok iyi beceren yine odur. Buna bağlı olarak, yansıma, kırılma, geliş ve yansıma açıları üzerine yaptığı bağlılıklar önemini bugün bile korumaktadır. Fermat, analitik geometriyi üç boyutlu uzaya aktarmıştır. Amatör bir matematikçi ve düzenli bir evrak memuru olan Fermat’ın en önemli matematik çalışması sayılar kuramı üzerinedir. Asal sayılar üzerinde de çok durmuştur. Onun bu konuda çeşitli teoremleri vardır. örneğin, (4n + 1) şeklinde yazılan bir asal sayı, yalnızca bir tek şekilde iki karenin toplamı olarak yazılabilir. Bu teoremi daha sonra Euler kanıtlamıştır. "Fermat Teoremi" olarak tanınan meşhur teoremi ise, "p asal bir sayı ve a ile p aralarında asal olduğu zaman, (a^p-1-1)  sayısı p sayısına bölünebilir" biçiminde ifade edilebilir. Bu teoremi Leibniz ve Euler ispatlamışlardır.  

Fermat’nın asıl önemli teoremi ise, xⁿ + yⁿ =zⁿ (burada n x,y,z sayılarının kuvvetidir) denklemi x, y, z ve n’nin pozitif değerleri için n>2 ise imkansızdır" biçimindedir.  Fermat, bütün teoremlerinin ispatlarını vermemiştir. 1879 yılına kadar onun kullanmış olduğu ispat yöntemleri tamamıyla kayıptır; bu tarihte Leiden Kütüphanesi’nde Huygens’in yazmaları arasında bulunan bir belge, Fermat’nın indüktif metodu kullandığını gösterdi. Fermat, bu metodun, özellikle belirli bağıntıların imkansızlığının ispatına uygun olduğunu söylemiştir.

Niels Henrik Abel

Niels Henrik Abel, 1802 ile 1829 yılları arası yaşamış Norveçli bir matematikçidir. O dönemler, genç bir matematikçinin şöhreti yakalayabilmesi için tek çaresi, Paris gibi büyük merkezlerdeki tanınmış kişilerin takdirini kazanabilmek olduğundan, Abel de Paris’te zamanın büyük isimlerinden Cauchy’ye bir çalışmasını takdim eder. Oysa Cauchy kendi ünüyle meşgul, bu kuzeyden gelen genç adamın verdiği çalışmayı okumadan kaybeder. Abel de Berlin’de tanıştığı Crelle adlı bir matematikçinin teklifine uyarak onun yeni çıkaracağı bir matematik dergisine makale göndermeye başlar...
Bugün Crelle Dergisi takma adıyla bilinen bu çek prestijli derginin ilk sayısında altı makale yayınlar ve matematik dünyasında tanınması da bu sayede olur. Abel’in matematiğe katkısı, eliptik integral adıyla bilinen bazı tür integrallerin kavram olarak anlaşılmasını sağlamaktan ibarettir. Bu integrallerin nasıl hesaplanacağı hala bilinmemekle birlikte, altlarında yatan temel kavramların ne olduğu Abel’in ve çağdaşlarının çalışmalarıyla aydınlanmıştır.

Abel’in matematik dünyası dışında da tanınmasını sağlayan çalışması ise beşinci derece polinom denklemlerinin çözümleriyle ilgilidir. Birinci ve ikinci derece polinom denklemlerinin çözümü yıllardır biliniyordu. Üçüncü derece polinom denkleminin çözümünü, 15. Yüzyılda İtalyan matematikçi Cardano, dördüncü derece polinom denklemin çözümünü de Cardano’nun arkadaşı Ferrari, yine katsayılar cinsinden çözmeyi başardı. İnsanlar dördüncü derece denklemlerden sonra beşinci derece denklemlerle tam üç yüzyıl hiçbir sonuç almadan uğraşmışlardır. İşte Abel burada tarih sahnesine çıktı. Abel, beşinci dereceden genel bir polinomun köklerinin bilinen yöntemlerle bulunmasının mümkün olmadığını gösterdi. Bazı özel beşinci derece denklemlerin çözümünün bulunduğu halde, her denkleme aynı şekilde uygulandığında, bize çözümü verecek bir metodun olmadığını ispatladı.

Abel, matematikte elde ettiği parlak sonuçlara rağmen hayatı boyunca doğru dürüst bir iş bile bulamadı. Matematikçi olarak kendisini Avrupa’daki matematik çevrelerine bir türlü kabul ettiremedi. Sonunda 26 yaşında, yokluk içinde veremden öldü. Ölümünden iki gün sonra adına bir mektup geldi. Berlin Üniversitesi’nden gönderilmiş bir mektup, Abel’in ölümünden habersiz, genç matematikçiye çalışmalarının dikkat çektiğini ve kendisine üniversitede iş teklif ettiklerini bildiriyordu. Öldükten sonra anlaşılma olgusunun bu denli tez gerçekleştiği bir daha görülmedi.
Kaynak: www.matematikdosyasi.com

David Hilbert

Bir Alman matematikçisi olan David Hilbert, 1862 yılında Königsberg'de doğdu. 1895 ile 1929 yılları arasında Göttingen Üniversitesinde profesörlük yaptı. Yirminci yüzyılın başlarında, Alman matematik okulunun önderi sayılır. 1897 yılında cisim kavramını ve cebirsel sayılar cisminin kuramını kurdu. 1890 yıllarındaki ilk çalışmaları sırasında, cebirsel geometri ve modern cebirde önemli bir rol oynayan çokterimli idealleri kuramının temellerini atarak, invaryantlar kuramının temel kanunlarını ortaya koymayı başardı. 1899 yılında, geometrinin temelleri üstüne araştırmalarının bit sentezi olan "Geometrinin Temelleri" adlı eserini yayınladı. Bu, matematiğin çeşitli bölümlerinde aksiyomlaştırma amacına yönelen birçok verimli çalışmaya yol açtı.

Somut görüntülere başvurmaktan kaçınan Hilbert, noktalar, doğrular ve düzlemler diye adlandırdığı "Üç nesne sistemini" matematiğe soktu. Ne oldukları kesin olarak gösterilmeyen bu nesneler, beş grupta toplanmış yirmi bir aksiyomla açıklanan bazı ilişkiler ortaya koyar. Ait olma, sıra, eşitlik veya denklik, paralellik ve süreklilik aksiyomu bunlardandır. Bundan sonra, aksiyomlardan birinin veya öbürünün doğrulanmadığı geometriler kurdu.

Temel terimleri kendilerine aksiyomlarla yüklenen özelliklerden başka özelikleri bulunmayan mantıksal varlıklar olarak ele aldı. Klasik matematiği savunmak ve ondaki apaçıklığı göstermek için Brouwer ile giriştiği tartışmalar, matematikte geniş biçimli incelemelere yol açtı. 1943 yılında Göttingen'de öldü. (1862-1943)