Regresyon Nasıl Hesaplanır?

Bir değişkenin değerini, açıklayıcı değişkenlerle olan ilişkisine dayanarak tahmin etmeye yönelik oluşturulan model istatistiksel bir teknik olarak "Regresyon" diye tanımlanır.  Regresyon kısaca şöyle hesaplanır: Verilerdeki x ve y ortalamaları bulunur → Tüm girdilerin x ve y'nin ortalamalarından sapma miktarları hesaplanır → eğim katsayısı b₁ bulunur → Denklemdeki b₀ katsayısı hesaplanır → y' = b₀ + b₁x regresyon denklemi oluşturulur → her gözlem için artıklar hesaplanır → modelin uygunluğu ve varsayımları değerlendirilir.

ÖRNEK: Bir öğretmenin, öğrencilerin günlük ders çalışma süresi ile sınavdan aldıkları puan arasında bir ilişki olup olmadığını incelemek istediğini düşünelim. Bunun için beş öğrencinin çalışma süresi ve sınav puanı aşağıdaki gibi olsun:

Bu verilere göre amaç, çalışma süresi bilindiğinde sınav puanını tahmin edebilecek bir doğrusal regresyon denklemi elde etmektir. Öncelikle çalışma süresinin ortalaması ve sınav puanının ortalaması hesaplanır. Çalışma süresinin ortalaması 3 saat, sınav puanının ortalaması ise 64'tür. Daha sonra her bir X değerinin kendi ortalamasından, her bir Y değerinin de kendi ortalamasından farkı bulunur. Bu farklar birbirleriyle çarpılır ve elde edilen değerler toplanır. Bizim örneğimizde bu toplam 75'tir. Ardından X değerlerinin ortalamadan farklarının kareleri alınarak toplanır ve sonuç 10 bulunur. Eğim katsayısını elde etmek için 75, 10'a bölünür ve b₁ = 7,5 bulunur.

Daha sonra doğru denklemini tam olarak bulmak için sabit terim hesaplanır. Bunun için Y ortalamasından, eğim katsayısının X ortalamasıyla çarpımı çıkarılır. Böylece b₀ = 64 − (7,5 × 3) = 41,5 elde edilir. Sonuç olarak regresyon denklemi y' = 41,5 + 7,5X şeklinde elde edilir. Bu denklem, çalışma süresine göre tahmini sınav puanını verir. Örneğin bir öğrencinin 6 saat çalıştığı varsayılırsa, x yerine denklemde 6 yazılarak modelin tahmin ettiği sınav puanı 41,5 + (7,5 × 6) = 86,5 olur. Buradaki 7,5 katsayısı, modelde çalışma süresindeki her bir saatlik artışın tahmin edilen sınav puanında 7,5 puanlık artışla ilişkili olduğunu gösterir. y'=41,5+7,5x denklemi, çalışma süresi ile sınav puanı arasındaki ilişkiyi örneklemimiz için yaklaşık olarak ifade eder. 

Örneğin bir öğrencinin 4 saat çalışması durumunda modelin tahmin ettiği puan 41,5 + (7,5 × 4) = 71,5 olurken öğrencinin 2 saat çalışması durumunda modelin tahmin ettiği puan 41,5 + (7,5 × 2) = 56,5 olur. Öğrenci 8 saat çalışmış olursa 41,5 + (7,5 × 8) = 101,5 çıkar ki bu doğal sınav şartlarına aykırı olabilir. Burada 101,5 puan 100 puanlık bir gerçek sınav sonucu olarak yorumlanmaz. Regresyon modelinde sonsuza kadar değer verilebileceği gibi doğal ortamda imkansız olabilecek değerler de bulunabilir. Örneğin öğrenci 100 saat çalışırsa 41,5 + (7,5 × 100) = 791,5 puan elde eder. Bu hesaplamanın bir sınırı yoktur. Bunun nedeni, doğrusal regresyonun verilen verilerdeki ilişkiyi matematiksel olarak bir doğruyla ifade etmesi ve bu doğrunun doğal olarak 100 puanlık sınırı dikkate almamasıdır. Regresyonda özellikle dikkat edilmesi gereken nokta, regresyonun bu ilişkinin nedensel olduğunu kanıtlamadığıdır; yalnızca verilen verilerdeki ilişkiyi matematiksel olarak modeller. Regresyonun asıl amacı, geçmiş verilerdeki ilişkiyi matematiksel olarak ortaya koymak ve yeni gözlemler için makul tahminler yapabilmektir. Bir modelin tahmin yapabilmesi, her koşulda doğru tahmin yapacağı anlamına gelmez. Bu nedenle regresyon uygulamasında modelin hangi aralıkta ve hangi koşullarda kullanılabileceği de değerlendirilir. Regresyon hesaplamada amaç; kesin sonucu bilmek değil, mevcut verilerden yararlanarak modelin uygunluğu, hata düzeyi, varsayımları dikkate alınarak belirsizlik altında daha iyi tahmin yapmaktır.

Kaynakça: 
https://online.stat.psu.edu/stat501/Lesson01
https://www.scribbr.com/frequently-asked-questions/what-a-regression-model/

Regresyon nedir?

Regresyon, bir bağımlı değişken ile bir veya daha fazla bağımsız/açıklayıcı değişken arasındaki ilişkiyi matematiksel olarak modellemek, bu ilişkinin yönünü ve büyüklüğünü incelemek ve uygun koşullarda bağımlı değişken için tahmin yapmak amacıyla kullanılan istatistiksel yöntemler grubudur. Bir değişkenin değerini, açıklayıcı değişkenlerle olan ilişkisine dayanarak tahmin etmeye yönelik oluşturulan model, istatistiksel bir teknik olarak Regresyon diye tanımlanır. Regresyonun birçok türü vardır; en temel türlerden biri, tek bir açıklayıcı değişken ile bir sonuç değişkeni arasındaki ilişkiyi inceleyen basit doğrusal regresyondur. İki veya daha fazla açıklayıcı değişken kullanıldığında ise çoklu doğrusal regresyondan söz edilir. 

Basit doğrusal regresyonda amaç, gözlemlerin oluşturduğu dağılımı en uygun şekilde temsil eden bir doğru denklemi bulmaktır. Bu doğru genellikle y' = b₀ + b₁x biçiminde yazılır. Burada y', x'in belirli bir değeri için tahmin edilen y değeridir; b₀ sabit terimdir ve x sıfırken modelin tahmin ettiği y değerini gösterir; b₁ ise eğim katsayısıdır ve x bir birim arttığında, modelin tahmin ettiği y değerinin ortalama olarak ne kadar değiştiğini ifade eder. Dolayısıyla b₁ (yani doğrunun eğimi) pozitifse doğrusal ilişkinin yönü pozitiftir, negatifse negatiftir. Ancak regresyonda bulunan bir ilişkinin tek başına nedensellik kanıtı olmadığını özellikle belirtmek gerekir. Ayrıca regresyon doğrusu, verilerdeki bütün noktaların üzerinden geçmek zorunda değildir. Yani burada analitik geometrideki klasik doğru denklemi gibi düşünülemez. Her gözlem için gerçek y değeri ile modelin tahmin ettiği y' arasındaki fark artık (residual) olarak adlandırılır ve e = y − y' şeklinde hesaplanır.

Doğrusal regresyonda en yaygın hesaplama yöntemi en küçük kareler yöntemidir. Bu yöntemde amaç, bütün gözlemler için hesaplanan artıkların kareleri toplamını mümkün olduğunca küçük yapan doğruyu bulmaktır. Yani minimize edilen ifade Σ(yᵢ − (b₀ + b₁xᵢ))² biçimindedir. Basit doğrusal regresyonda eğim katsayısı b₁ = Σ[(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ)] / Σ[(xᵢ − x̄)²] formülüyle, sabit terim ise b₀ = ȳ − b₁x̄ formülüyle hesaplanır. Burada x̄, x değerlerinin; ȳ ise y değerlerinin aritmetik ortalamasıdır. Böylece önce x ve y ortalamaları bulunur, ardından her gözlemin kendi ortalamasından farkları hesaplanır, gerekli çarpımlar ve kareler hesaplanarak toplanır ve eğim elde edilir. Son olarak sabit terim hesaplanır. Elde edilen b₀ ve b₁ değerleri regresyon denklemine yerleştirilerek tahminler yapılır. En küçük kareler doğrusu, (x̄, ȳ) noktasından geçer.

Regresyon analizinin önemli özelliklerinden biri, yalnızca bir denklem üretmekle sınırlı olmamasıdır. Modelin verilere ne ölçüde uygun olduğu, artıkların davranışı ve çeşitli istatistiksel ölçütler de incelenir. Örneğin R², bağımlı değişkendeki örneklem varyasyonunun model tarafından açıklanan kısmını değerlendirmede kullanılan önemli bir ölçüdür; ancak yüksek bir R² tek başına modelin doğru olduğu veya nedensel bir ilişkinin bulunduğu anlamına gelmez. Doğrusal regresyonun istatistiksel çıkarım amacıyla kullanılmasında özellikle doğrusallık, hataların bağımsızlığı, hataların yaklaşık normal dağılım göstermesi ve hata varyanslarının sabit olması gibi varsayımlar değerlendirilir. Bu varsayımların ne ölçüde sağlandığını incelemek için saçılım grafikleri, artık-gözlenen/tahmin edilen değer grafikleri ve normal olasılık grafikleri gibi araçlardan yararlanılır. Dolayısıyla regresyon sonucundaki katsayıları hesaplamak kadar, modelin varsayımlarını ve artıklarını kontrol etmek de doğru bir regresyon analizi için önemlidir.

Bölgelere göre Sayım Oranı (BSO)

Bölgelere Göre Sayım Oranı (BSO), iki nicel değişken arasındaki korelasyonun (ilişkinin) yönünü ve gücünü pratik bir şekilde hesaplamaya yarayan yöntemdir. Bu yöntemi uygulamak için öncelikle X ve Y değişkenlerine ait verilerin ortalamaları hesaplanır ve grafikte bu ortalamalardan geçen iki eksen çizilerek grafik dört bölgeye ayrılır. Elde edilen düzlemde 1. ve 3. bölgelerde kalan noktalar pozitif (doğru) ilişkiyi, 2. ve 4. bölgelerde kalan noktalar  ise negatif (ters) ilişkiyi temsil eder. BSO Hesabının formülü ise 1. ve 3. bölgedeki toplam nokta (n₁ + n₃) sayısından, 2. ve 4. bölgedeki toplam nokta (n₂ + n₄) sayısının çıkarılması ve çıkan sonucun toplam nokta sayısına (n₁ + n₂ + n₃ + n₄) bölünmesiyle bulunur.

Noktalar, aritmetik ortalama ekseninin tam üzerinde ise BSO hesaplarına dahil edilmez. Aykırı değerler, korelasyon katsayısını (r) mutlak değerce düşürerek sıfıra yaklaştırır.

Bölgelere göre Sayım Oranı (BSO) işlemini detaylıca şöyle anlatalım: Buradaki Bölgelere Göre Sayım Oranı (BSO), iki nicel değişken arasındaki ilişkinin pozitif mi negatif mi olduğunu ve ne kadar güçlü olduğunu yaklaşık olarak anlamamızı sağlayan pratik bir yöntemdir. Önce Serpilme Grafiğinde X ve Y değişkenlerinin ortalamalarını buluruz. Daha sonra serpilme grafiğinde X ortalamasından dikey, Y ortalamasından yatay bir çizgi çizeriz. Böylece grafik 4 bölgeye ayrılmış olur. Bir nokta hem X hem de Y ortalamasının üstündeyse 1. bölgede, ikisinin de altındaysa 3. bölgede yer alır. 1 ve 3. bölgeler pozitif ilişkiyi gösterir. X ortalamasının altında, Y ortalamasının üstünde olan noktalar 2. bölgede; X'in üstünde, Y'nin altında olan noktalar ise 4. bölgede bulunur ve 2. ve 4. bölgedeki noktalar da negatif ilişkiyi gösterir. 

BSO'yu bulmak için 1. ve 3. bölgelerdeki nokta sayısını toplarız, ardından 2. ve 4. bölgelerdeki nokta sayısını çıkarırız ve sonucu toplam nokta sayısına böleriz. BSO sonucu pozitifse pozitif ilişki, negatifse negatif ilişki, 0'a yakınsa ilişkinin zayıf olduğunu gösterir.

Örnek tabloda verilen on adet veri ikilisi için Bölgelere Göre Sayım Oranı (BSO) hesabı şu şekildedir: Öncelikle değişkenlerin aritmetik ortalamaları hesaplanır. X değerlerinin ortalaması (1 + 3 + 4 + 5 + 8 + 7 + 8 + 8 + 10 + 0) / 10 = 5,4 olarak, Y değerlerinin ortalaması ise (2 + 5 + 4 + 7 + 2 + 8 + 3 + 9 + 5 + 0) / 10 = 4,5 olarak bulunur. Elde edilen X = 5,4 ve Y = 4,5 kesişim doğrularına göre veri noktaları 4 bölgeye ayrılır. 

1. bölgede (X > 5,4 ve Y > 4,5) olan (7, 8), (8, 9) ve (10, 5) olmak üzere 3 nokta bulunur (n₁ = 3). 2. bölgede (X < 5,4 ve Y > 4,5) olan (3, 5) ve (5, 7) olmak üzere 2 nokta bulunur (n₂ = 2). 3. bölgede (X < 5,4 ve Y < 4,5) olan (1, 2), (4, 4) ve (0, 0) olmak üzere 3 nokta bulunur (n₃ = 3). 4. bölgede (X > 5,4 ve Y < 4,5) olan (8, 2) ve (8, 3) olmak üzere 2 nokta bulunur (n₄= 2). Toplam nokta sayısı N = 10'dur. Bölgelere Göre Sayım Oranı hesabı, BSO = [(n₁ + n₃) - (n₂ + n₄)] / N formülü ile yapılır. Veriler yerine konulduğunda BSO = [(3 + 3) - (2 + 2)] / 10 = (6 - 4) / 10 = 2 / 10 = 0,20 sonucu elde edilir. Bu durum, iki değişken arasında pozitif yönlü ancak zayıf bir ilişki olduğunu gösterir.

ÖRNEK (Kitap Okuma Süresi-Türkçe Puanı) BSO hesabı için farklı bir grafik verelim ve burada grafikte sunulan veri seti üzerinden öğrencilerin haftalık kitap okuma süreleri (X) ile Türkçe dersi sınavından aldıkları puanlar (Y) arasındaki ilişkiyi görelim: Yatay eksen haftalık kitap okuma süresini saat cinsinden, dikey eksen ise öğrencilerin Türkçe sınav puanını göstermektedir. 

Veri setindeki noktalar yardımıyla verilerin ortalamaları belirlenerek çizgiler ile grafik dört ana bölgeye ayrılmıştır. Grafikteki pembe çizgiler, X ve Y değişkenlerine ait verilerin aritmetik ortalamaları hesaplanarak çizilmiştir. 

Dikey Pembe Çizgi (X Ortalaması): Grafikteki 30 noktanın X değerleri tek tek okunur: 4, 5, 4, 5, 4, 5, 5, 4, 1, 2, 2, 1, 3, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 1, 3, 3, 8, 5, 7, 5, 5, 4. Bu 30 X değerinin toplamı 105'tir. Toplam veri sayısı 30 olduğuna göre X ortalaması 105 / 30 = 3,50 bulunur. Bu nedenle grafikte X ekseninde 3,50 değerinden geçen dikey çizgi çizilir.

Yatay Pembe Çizgi (Y Ortalaması): 30 noktanın Y değerleri tek tek okunur: 68, 74, 76, 68, 70, 66, 61, 63, 61, 73, 61, 69, 67, 70, 63, 57, 54, 56, 59, 50, 52, 56, 48, 42, 45, 50, 58, 59, 49, 55. Bu değerlerin toplamı 1800'dür. Toplam veri sayısı 30 olduğundan Y ortalaması 1800 / 30 = 60 bulunur. Bu nedenle Y ekseninde 60 değerinden geçen yatay çizgi çizilir.

Bölgelerdeki Noktaların Sayılması: X ortalaması 3,50, Y ortalaması 60 olduğuna göre noktalar bu iki çizgiye göre dört bölgeye ayrılır. I. bölgede (n₁) 6 nokta (1, 2, 3, 4, 5, 6), II. bölgede (n₂) 7 nokta (9, 10, 11, 12, 13, 14, 15), III. bölgede (n₃) 8 nokta (16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23), IV. bölgede (n₄) 7 nokta (24, 25, 26, 27, 28, 29, 30) bulunmaktadır. Sonuç olarak nokta sayımı: I = 8, II = 7, III = 8, IV = 7 şeklindedir.

Bölgelere göre Sayım Oranı (BSO) Hesabı: Toplam nokta sayısı N = 8 + 7 + 8 + 7 = 30'dur. Pozitif ilişkiyi gösteren I. ve III. bölgelerdeki noktalar 8 + 8 = 16, negatif ilişkiyi gösteren II. ve IV. bölgelerdeki noktalar ise 7 + 7 = 14 tanedir. Buna göre:

BSO = [(n₁ + n₃) − (n₂ + n₄)] / N

BSO = [(8 + 8) − (7 + 7)] / 30

BSO = (16 − 14) / 30 = 2 / 30 ≈ +0,067 bulunur. 

BSO değeri (+0,067) pozitif yönlüdür ancak bu değer örneğe göre çok zayıf bir ilişkiye işaret eder. Yani bu veri setinde kitap okuma süresi arttıkça Türkçe sınav puanının artma eğilimi olmasına rağmen BSO'ya göre bu ilişki oldukça zayıftır. Yani verilen örneğe göre kitap okuma süresi arttıkça Türkçe dersi başarı puanlarının arttığı tam olarak söylenemez.

Korelasyon Nasıl Hesaplanır?

Korelasyon, iki değişken arasındaki ilişkinin yönünü ve gücünü gösteren istatistiksel bir ölçüdür. Korelasyonu hesaplamak için önce iki değişkenin herbirinin ayrı ayrı ortalamasını buluruz. X’in ortalamasını X̄, Y’nin ortalamasını Ȳ şeklinde gösteririz. Daha sonra her bir veri değerinin kendi ortalamasından ne kadar uzak olduğunu yani ortalamadan sapma miktarlarını buluruz. Yani X değerlerinden X̄ çıkarılır (Xᵢ − X̄), Y değerlerinden de Y değişkenleri ortalaması Ȳ çıkarılır ((Yᵢ − Ȳ). Bulduğumuz bu sapmaların herbirini birbiriyle çarparız ve tüm çıkan sonuçları toplarız. Sonrasında elde ettiğimiz sonucu, X ve Y’nin sapmalarının kareleri toplamlarının çarpımının kareköküne böleriz. Böylece korelasyon katsayısı olan r değerini buluruz. Korelasyon katsayısı +1 veya -1’e yaklaştıkça ilişki pozitif veya negatif yönde güçlenir, 0’a yaklaştıkça zayıflar. Korelasyon neden-sonuç ilişkisini kanıtlamaz. Yani iki değişken ilişkili olsa bile biri diğerine kesin olarak sebep oluyor demek değildir.

Karl Pearson, 27 Mart 1857 yılında İngiltere’de doğmuş İngiliz matematikçi ve istatistikçidir. Cambridge Üniversitesi’nde eğitim almış ve daha sonra istatistik alanında önemli çalışmalar yapmıştır. İstatistiğin bilimsel bir alan olarak gelişmesine büyük katkı sağlamıştır. Özellikle korelasyon, regresyon ve standart sapma konularındaki çalışmalarıyla tanınmıştır. 1891 yılında University College London’da öğretim üyesi olmuş ve burada çalışmalarını sürdürmüştür. 27 Nisan 1936 yılında hayatını kaybetmiştir. Karl Pearson, modern istatistiğin gelişmesinde önemli bir rol oynamış ve özellikle Pearson korelasyon katsayısı ile istatistik alanında tanınmıştır.

Karl Pearson ve Margaret Moul tarafından 1925 yılında yayımlanan “The Problem of Alien Immigration into Great Britain, Illustrated by an Examination of Russian and Polish Jewish Children” (Annals of Eugenics, 1925, 1/1, 5–54) adlı çalışmada, Rusya ve Polonya kökenli Yahudi çocukları, çeşitli fiziksel ve zihinsel özellikleri açısından incelenmiş ve elde edilen bulgular, Britanya’nın göç politikası açısından değerlendirilmiştir. Pearson’ın bu çalışması ve benzer görüşleri nedeniyle, döneminde öjenik ve sosyal Darwinist olarak nitelendirilmiştir. (https://onlinelibrary.wiley.com/doi/epdf/10.1111/j.1469-1809.1925.tb02037.x )

ÖRNEK: Bir öğretmen, öğrencilerin ders çalışma süreleri ile sınav notları arasındaki ilişkiyi incelemek istemektedir. 5 öğrencinin günlük çalışma süreleri ve sınav notları sırasıyla X = 1, 2, 3, 4, 5 saat ve Y = 50, 55, 65, 70, 80 puandır. Buna göre çalışma süresi ile sınav notu arasındaki Pearson korelasyon katsayısını hesaplayınız ve sonucu yorumlayınız.

Öncelikle X değerlerinin ortalaması olan X̄ = 3, Y değerlerinin ortalaması olan Ȳ = 64 bulunur. Daha sonra her X değerinden X̄, her Y değerinden Ȳ çıkarılarak ortalamadan sapmalar hesaplanır. X için sapmalar -2, -1, 0, 1, 2, Y için sapmalar ise -14, -9, 1, 6, 16 olur. Daha sonra her bir veri için (Xᵢ − X̄)*(Yᵢ − Ȳ) değerleri hesaplanır ve bunların toplamları 75 bulunur. Aynı şekilde x ortalamadan sapma değerlerinin kareleri toplamı (Xᵢ − X̄)²  bulunur. Örnekte bu değerlerinin toplamı 10 olarak hesaplanır., (Yᵢ − Ȳ)² değerlerinin toplamı ise 570 bulunur. Bu değerler Pearson korelasyon formülünde yerine yazılarak korelasyon katsayısı hesaplanır: r = 75 / √(10 × 570) = r = 75 / √(5700)= r =75/75,498 ≈ 0,9934 elde edilir. Bu değer +1’e çok yakın olduğu için çalışma süresi ile sınav notu arasında çok güçlü ve pozitif yönlü bir korelasyon vardır. Yani çalışma süresi arttıkça sınav notunun da artma eğiliminde olduğu söylenebilir.

Korelasyon Nedir?

Korelasyon, iki nicel değişken arasındaki ilişkinin yönünü ve ne kadar birlikte değiştiklerini gösteren istatistiksel bir kavramdır. Örneğin ders çalışma süresi ile sınav notu arasında ilişki varsa, çalışma süresi arttıkça sınav notlarının da artması pozitif bir korelasyonu gösterir. Ancak korelasyon, iki değişken arasında kesin olarak neden-sonuç ilişkisi olduğunu göstermez.

Korelasyon katsayısı, iki değişken arasındaki ilişkinin yönünü ve gücünü sayı olarak ifade eder. Güçlülük derecesine göre -1 ile +1 arasında değer alır. +1 tam pozitif ilişkiyi, -1 tam negatif ilişkiyi, 0 ise doğrusal bir ilişkinin olmadığını gösterir. Örneğin korelasyon katsayısı +0,80 ise güçlü pozitif, -0,70 ise güçlü negatif bir ilişki vardır. +0,10 gibi bir değer ise çok zayıf pozitif ilişkiye örnektir.

Korelasyonun temel çeşitleri pozitif, negatif ve ilişki olmaması şeklinde düşünülebilir. Pozitif korelasyonda bir değişken artarken diğeri de artar; örneğin ders çalışma süresi arttıkça sınav notunun artması pozitif korelasyondur. Negatif korelasyonda bir değişken artarken diğeri azalır; örneğin aracın hızı arttıkça belirli bir mesafeyi tamamlama süresinin azalması negatif korelasyondur.

Korelasyon yoksa değişkenler arasında belirgin bir doğrusal ilişki bulunmaz; örneğin ayakkabı numarası ile sınav notu arasında belirgin bir ilişki beklenmez. Sıfır korelasyonda, noktalar birbirinden ayrı olarak dağınık şekilde veya sabit doğru şeklinde görülebilir.

Korelasyon katsayısı +1 veya -1’e yaklaştıkça ilişki pozitif veya negatif yönde güçlenir, 0’a yaklaştıkça zayıflar. Korelasyon neden-sonuç ilişkisini kanıtlamaz. Yani iki değişken ilişkili olsa bile biri diğerine kesin olarak sebep oluyor demek değildir. Korelasyon birimsizdir; değişkenlerin ölçü birimlerinden etkilenmez. Korelasyon katsayısı SPSS, R, SAS, STATA, AMOS, MINITAB gibi çeşitli istatistik yazılımları ile hesaplanabilir.

Serpilme (Saçılım) Grafiği

Serpilme grafiği (saçılım grafiği), iki nicel değişken arasındaki ilişkiyi göstermek için kullanılan bir grafiktir. Her bir kişi veya gözlem için iki değişkenin değerleri belirlenir ve grafikte bir nokta olarak gösterilir. Örneğin öğrencilerin ders çalışma süresi ile sınav notları arasındaki ilişkiyi inceleyebiliriz.

Oluştururken bir değişkeni yatay eksene (X), diğerini dikey eksene (Y) yerleştiririz. Daha sonra her gözlemin iki değerini eşleştirerek grafiğe nokta koyarız. Örneğin bir öğrenci 3 saat çalışıp 70 aldıysa grafiğe (3, 70) noktası konur. Tüm öğrencilerin verileri bu şekilde işaretlenir. Noktaların genel olarak yukarı doğru gitmesi pozitif ilişkiyi, aşağı doğru gitmesi negatif ilişkiyi, dağınık olması ise belirgin bir ilişki olmadığını gösterebilir.

Serpilme (saçılım) grafiğinin temel özellikleri şunlardır: İki nicel değişken arasındaki ilişkiyi gösterir. Her bir nokta bir gözlemi temsil eder. Yatay eksende (X) bir değişken, dikey eksende (Y) diğer değişken bulunur. Noktaların yönü ve dağılımı, değişkenler arasındaki ilişkinin türü hakkında bilgi verir. Noktalar genel olarak yukarı doğru gidiyorsa pozitif ilişki vardır. Noktalar genel olarak aşağı doğru gidiyorsa negatif ilişki vardır. Noktalar düzensiz ve dağınık durumdaysa belirgin bir ilişki olmayabilir. Noktalar birbirine ne kadar yakın ve belirgin bir çizgi oluşturuyorsa ilişki o kadar güçlü, ne kadar dağınıksa ilişki o kadar zayıftır. Grafikte diğer noktalardan çok uzak duran bir nokta varsa buna aykırı değer denebilir.

Nicel ve Nitel Değişken

Nicel değişken, istatistiki açıdan sayısal olarak ifade edilebilen ve ölçülebilen değişkenlerdir. Örneğin yaş, boy, kilo, gelir ve sınav notu nicel değişkenlere örnektir. Bu değişkenlerle toplama, çıkarma, ortalama alma gibi matematiksel işlemler yapılabilir. Nitel değişken ise bir özelliği veya kategoriyi belirten, sayısal ölçüm ifade etmeyen değişkenlerdir. Örneğin cinsiyet, göz rengi, medeni durum ve kan grubu gibi değişkenler nitel değişkenlere örnektir. Bu tür değişkenlerde amaç, kişileri veya gözlemleri belirli gruplara ayırmaktır. Nitel değişkenlerde matematiksel işlemler yapılamaz.

Nicel değişkene matematiksel örnek: Bir sınıftaki öğrencilerin matematik sınav notları 60, 70, 80, 90 olsun. Bunların ortalaması (60 + 70 + 80 + 90) / 4 = 75 olarak hesaplanabilir. Bu yüzden sınav notu, nicel değişkendir. Nitel değişkene örnek ise öğrencilerin göz renkleri olsun: kahverengi, mavi, yeşil, kahverengi. Burada renkler bir kategori belirtir; “kahverengi + mavi” gibi matematiksel bir işlem yapılamaz. Bu nedenle göz rengi nitel değişkendir. Nitel veride kullanıcıların deneyimlerini, düşüncelerini ve davranışlarının arkasındaki nedenleri anlamaya yarar; “neden?” ve “nasıl?” sorularına odaklanılır. Bu nedenle nitel veriler; görüşmeler, açık uçlu anketler, kullanıcı gözlemleri, röportaj gibi yöntemlerle toplanıp yorumlanabilir. İki veri türünün analiz yöntemleri de farklıdır. Nicel verilerde ortalama, medyan, yüzde, standart sapma gibi betimleyici istatistiklerin yanı sıra regresyon, kohort analizi, ANOVA ve zaman serisi analizi gibi yöntemler kullanılabilir. Nitel verilerde ise tekrar eden fikirleri ve kullanıcı davranışlarını bulmak için tematik analiz, içerik analizi, örüntü analizi kullanılır. Nicel veriler geniş kullanıcı gruplarındaki genel eğilimleri ve istatistiksel ilişkileri ortaya koyarken, nitel veriler bu sonuçların arkasındaki bağlamı ve kullanıcı deneyimini açıklar. İstatistik çalışmaları için en güçlü yaklaşım, nicel ve nitel verileri birlikte kullanmaktır.

Modern Spiritüalizm ve Tevhid Hassasiyeti

Kişisel gelişim ve manevi yönelim arayışlarının yaygınlaşmasıyla birlikte mutlak Yaratıcı olan Allah'a ﷻ ait bazı kavramlar insan nefsine veya başka bir mahluka (evrene) hamledilmeye başlanmıştır. İnsan iradesine büyük bir güç ithaf eden, insanın kendine güveni ve azmi ile başaramayacağı hiçbir şey kalmayacağı gibi söylemler; ilk bakışta insanın niyetine, düşüncelerine ve davranışlarına dikkat etmesini öğütlemiş gibi görünüyor olsa da İslam’ın tevhid, dua, tevekkül, kader ve irade gibi  anlayışlarıyla inanç zemininde çok büyük farklılıklar taşımaktadır. Özellikle Allah’a ait olan kudret, irade, gayb bilgisi ve ilahi tasarruf gibi niteliklerin "evren", "enerji", "bilinç" veya insanın kendi spiritüel gücüyle ilişkilendirilmesi, Müslümanın tevhid inancı açısından üzerinde hassasiyetle durulması gereken bir problem hâline gelmektedir. Bu nedenle spiritüel söylemlerin İslam açısından değerlendirilmesinde, yalnızca kullanılan kelimelere değil bu ifadelerin arkasındaki varlık tasavvuruna da ayrıca bakmak gerekir.

Günümüzde “Evren sana cevap verir”, “Evrene ne gönderirsen onu alırsın”, “Hayatına hangi enerjiyi gönderirsen o enerji sana döner”, “Düşüncelerin geleceğini belirler”, “Zihninde neyi canlandırırsan onu kendine çekersin”, “Neye inanırsan onu yaşarsın”, “Bir şeyin olmasını istiyorsan manifest et”, “Manifest ettiğin şey, doğru enerjiye girdiğinde hayatında görünür hâle gelir”, “Evren senin frekansına göre karşılık verir”, “Yüksek titreşimde kalırsan güzel şeyleri hayatına çekersin”, “Niyetini evrene mesajla gönder”, “Evren senin isteğini bir şekilde sana ulaştırır”, “Hayatını değiştirmek için önce enerjini değiştir”, “Hangi frekansta yaşıyorsan o olayları hayatına çekersin”, “Olmasını istediğin şeye odaklanırsan onu kendine çekersin”, “Kendini bereket frekansına ayarlarsan bolluk hayatına gelir”, “Hayatındaki her şey, yaydığın enerjinin bir yansımasıdır”, “Evrenle aynı frekansa geldiğinde dileklerin gerçekleşir”, “İstediğin hayatı önce zihninde tasarla, sonra evren onu gerçekleştirsin”, “İstediğin şeyi 7 kere tekrar et”, “Evren, hazır olduğunda sana ihtiyacın olanı gönderir”, “olmasını istediğimiz işler için 777 yazmak” gibi şirk kokan hareketler; günümüzde özellikle gençler arasında sıklıkla kullanılmaktadır. Ehl-i sünnet inancı açısından bu sözlere bakıldığında, bu tür ifadelerin ciddi itikadî problemler taşıdığı görülür. Çünkü İslam’da işiten, bilen, dileyen, takdir eden ve kulun duasına karşılık veren mutlak varlık sadece Allah'tır. Burada sözlerde insanın isteklerinin yaratıcısı olarak kulun kendisi veya başka bir mahluk olan “evren” fikrinin sunulmuş olması, itikadi açıdan kabul edilemez. Kainat (Evren) Allah’ın ﷻ yarattığı bir varlıktır; kendisinde bağımsız bir irade, kudret veya tasarruf yetkisi yoktur. Kul, nimetlerin de sıkıntıların da nihai sahibinin Allah olduğunu bilir ve sebeplere başvururken kalbini sebeplere değil, sebepleri yaratan Allah’a bağlar. Ehl-i sünnet anlayışında insanın niyeti, duası ve çabası elbette önemlidir; fakat bunlar Allah’ın iradesinden bağımsız bir güç değildir. İnsan herhangi bir şeyi ister, o şeyin olması için çalışır, Allah'a ﷻ dua eder ve sonunda sebeplere sarılır; neticeyi meydana getiren ise Allah’tır. Bu nedenle "Evren benim düşüncelerimi ve mesajımı algılar ve bana karşılık verir" şeklindeki bir anlayış, farkında olunmadan Allah’a ait bazı fiil ve sıfatların yaratılmış bir varlığa nispet edilmesine yol açacağı için tehlikeli bir söylemdir. Böyle bir dil, insanın hayatındaki sorumluluk, imtihan, kader, dua ve tevekkül kavramlarını itikadi açıdan yanlış bir zemine taşır.

İlim Tahsilinde Benlik Kavgası

İlim öğrenme merakı, özellikle eğitim-öğretim haftalarında ve okul ortamlarına girdiğimiz vakitlerde kendisini daha fazla hissettiriyor. Böyle zamanlarda insanın içinde öğrenmeye, araştırmaya ve yeni şeyler keşfetmeye karşı ayrı bir şevk beliriyor. Okul harcamaları, kırtasiye alışverişleri ve okul kıyafetleri gibi pek çok alanda güzel bir telaş başlıyor. Öğrencilerimizin eğitim-öğretim hayatına hazırlanmaları adına, toplum genelinde bir heyecan ve hareketlilik yaşanıyor. Dünyalık ilim elde etme telaşı bu şekildeyken dini eğitim alanında da bazı yeni işleri, uzun uzadıya devam eden benlik kavgalarını, hiçbir netice elde edilmeyen ilmi tartışmaları görüyoruz. Sosyal medya platformlarında her geçen gün din adına daha önce hiç duyulmamış yeni fikirlerle karşılaşıyoruz. Kitleleri peşinde sürükleyen insanların farklı hezeyanlarını müşahede ediyoruz. İlim adamlarının saygıdan yoksun, ilmi nezaketten mahrum tartışmalarını izliyoruz. Çeşitli meselelerde konuşan kişilerin hep haklı olma çabalarını ve asla geri adım atma ihtiyacı hissetmeyen "ben bilirim" duygularını gözlemliyoruz. İçimize sızmış müslüman görünümlü kimselerin ortaya attığı meselelere yazılı ve görsel medyada sıklıkla rastlıyoruz. Boş yere münazara etmenin bile hoş görülmediği dinimizde, ümmetin zerre yararına olmayan tartışmaları, haklı çıkmak adına uzattıkça uzatıyoruz. Görevi müminlerin arasına nifak sokmak olan bazı kişilerin din karşıtı propagandalarına maruz kalıyoruz. Dini meseleleri hafifleten ve alay konusu haline getiren din düşmanlarıyla uğraşıyoruz. Her yönden saldıran şeytanların tuzaklarını çözmeye çalışıyoruz. Haram olan bir fiili işleyenleri uyardığımızda bile tepkiler görüyor, kendi arkadaş çevremizde dahi böyle durumlarda yalnız bırakılıyoruz. Nefislerin ilahlaştırıldığı bencillik çağının içindeyiz. İnsanların bazıları kendi nefislerinin hüküm koyduğu dini yaşıyor. İlme ulaşmanın bu kadar kolaylaştığı bir devirde, ilmin bazı kimseleri helake sürüklemekten başka hiçbir işe yaramadığını anlıyoruz. İlim elde eden sözde alimlerin şöhret kavgalarını ekranlardan seyrediyoruz. İlim tahsilinde olduklarını söyleyen paraya tapmış cemaatlerin, birbirleriyle  kavgalarını veya kendi içlerindeki rekabetlerini görüyoruz. Kabaca, "ilim insanın cehlini alsa da, insanın hamurunda varsa eşeklik baki kalır." sözünün yansımalarını yaşıyoruz. 

Bu yazıda ilim tahsilinin meziyetlerinden ziyade ilim elde edenlerin,  zamanla helake doğru yuvarlanmaları İslami perspektiften izah edilmeye çalışılacaktır. (İlgili yazı için: İlim Öğrenmenin Fazileti) İlimle meşgul olmak, insanı hakikate yaklaştıran büyük bir nimet olduğu kadar nefis terbiyesi eşlik etmediğinde, kişi için ilim öğrenmek ciddi bir imtihana dönüşebilir. Bir insan yıllarca belli alanlarda ilim tahsili elde edip bunları kitlelere anlatabilir, öğrendikleri ile uzmanlaştığı alanda nice eserler verebilir, binlerce öğrenciyle beraber dersler işleyebilir ve tüm bu çabalarıyla birlikte çevresinde saygın bir hoca olarak kabul görebilir. Özellikle dini alanlarda bu itibar süreci daha kolay şekilde kazanılabilir. Fakat bütün bu aşamalar, o kişinin nefsine karşı emniyette olduğu anlamına gelmez. Özellikle kişinin yaşı ilerledikçe veya ilmi mertebesi arttıkça, insanın ne kadar alim olduğu değil bildiklerinin o kişiyi Allah’a karşı nasıl bir kul hâline getirdiğine iyi bakılması gerekir. Çünkü bilgi arttığı hâlde kişinin hayatında huşû, takva, nefs muhasebesi ve teslimiyet artmıyorsa orada ciddi şekilde düşünülmesi gereken bir durum vardır. İmam Birgivi'nin "Avamil" kitabında geçen bir ibarede bu durum kısa ve özlü bir şekilde şöyle aktarılır; "İnsanlar helâk oldu, âlimler müstesna; âlimler de helâk oldu, amel edenler müstesna, amel edenler de helak oldu ihlas sahibi olanlar müstesna." Burada zikrolunan misali biraz daha anlaşılır şekilde açıklayalım: İnsanların çoğu hakikatten sapıtarak doğru yoldan ayrıldılar; ilim öğrenenler bu durumdan kendilerini öğrendikleri ilimler sayesinde kurtardı. Fakat ilim öğrenmek de tek başına kurtuluş için yeterli olmadı; bu hakikat yolculuğunda ilim sahibi olanlardan hepsi değil de sadece ilmiyle amel edenler kendilerini kurtardı. Ancak amel etmek de tek başına yeterli gelmedi; yaptığı amelleri samimiyetle, ihlasla ve yalnızca Allah’ın rızasını gözeterek yapanlar gerçekten kurtuldu. Yani bu ibareye göre insanın hakikat yolculuğunda istikamet üzere devamlı kalabilmesi ve nihai kurtuluşa erişebilmesi için yararlı ilim sahibi olması gerekir; öğrendiği ilim ile amel etmesi ve ihlâsına dikkat ederek bütün amellerinde samimiyet üzere olması lazımdır.

Kabirlerde gösteriş ve israf

Herhangi bir vesileyle köye geldiğimde, sıla-ı rahim ve ziyaretlerden sonra kesinlikle köy mezarlığına uğrayıp oradaki akrabalarımı ve köyden ölenleri de ziyaret ederim. Bu seferki köy mezarlığı ziyaretimde, mezarlığın dolmaya başladığını, mezarlığın yeni yerlerle genişletildiğini gördüm. Geçen seneye göre bu sene köyde ölümlerin daha fazla olduğunu müşahede ettim. Sırası gelen ebedi istirâhat kapısına gelmişti. Mezar yükseklikleri ve kapladığı hacimlerle, şatafatlı kabir taşlarının önceki yıllara göre belirgin şekilde artmaya başlaması da ayrıca dikkatimi çekti. Buna rağmen o kadar mezar arasında mezarlıkta küçük bir ağaç altında belli belirsiz uzanmış bir şekilde duran, tahminen beş-on yıllık bir zamana ait küçük taşlarla çevrili bir yığın da ayrıca dikkatimi çekti. Araştırıp öğrendiğimde köye uzaklardan gelen tarım işçilerinden birinin vefat eden çocuğuna aitmiş. Vefat edince oraya defn etmişler, başına küçük bir ağaç dikip gitmişler. Ne geleni var ne gideni... Öylesine yalnız, öylesine unutulmuş bir mezar... Mezar demeye bile şahit ister, gömülüp gidilmiş, sınırları bile yok. Bir ona baktım bir de köy halkının şatafatlı mezar taşları yarışında oluşuna baktım. İçimde acayip duygularla mezarlıkta öylece kalakaldım. 

Neden sonra köyün mermer işleriyle meşgul ustamla hasbihalde bulunmak için bir vesileyle dükkanına uğradım. Ustam, o esnada süslü bir mezar taşı ile meşgul oluyordu. Arapça fontlarla bir yazı gelmiş, onu ince işçilikle mezar taşına işlemeye çalışıyordu. O esnada anlatmaya başladı. Mezar işinde mermercilerin çok güzel kazançlar elde etmeye başladığını ifade etti. İnsanların son zamanlarda çok şatafatlı mezarlar yaptırmaya başladığını söyledi. Sade mermer bir mezarın işçilik dahil 10-15 bin arasında yapılabilirken, gösterişli mezarların 350 bin-500 bin rakamlara kadar çıktığını söyledi. Evlerde bile kullanmaya kıyılamayacak kadar değerli mermer ve taşlardan mezarların yapıldığını anlattı. Sonra mezar taşları üzerine ayetler, çeşitli şiirler, özlü sözler, hikayeler yazıldığını anlattı. Mevtanın fotoğrafının sırmalı porselenlere işlenip, mezar taşın üzerine mükemmel bir işçilikle yapıştırıldığını anlattı. İşleme tezgahlarının modernleşmesiyle birlikte tam boy fotoğraflı mezar taşlarının granit mezar taşı üzerine yapılabildiğini anlattı. Son beş yılda bu tür mezar taşlarının köy halkında daha da arttığını söyledi. Halkın herkesten farklı olmak, orjinal olmak çabasıyla, türlü türlü mezar simgeleri, devasa kabirler, ihtişamlı mezar taşları yaptırmaya başladığını söyledi. O anlattıkça hayretler içinde dinledim. Öyle garibime gitti ki anlatamam. Eskiden beri bu tür gariplikler hep vardı ama son zamanlarda gösteriş ve şatafatın böylesine çok küçük kesimlerde bile artmaya başlaması acayip bir işti. Bin-iki bin nüfuslu küçücük yerleşim yerlerinde, insanların süslü mezar yaptırma yarışı, gerçekten tuhafıma gitti. İnsanların böyle gösterişli mezarlar yapması tabi ki mermercilerin işine geliyordu, onlar açısından ne kadar lüks o kadar fazla kazanç demekti. İnsanlar, ceplerine girecek paraya bakıyor artık. Nasıl kazanılırsa kazanılsın hiçbir önemi yok. Önemli olan elde edilen kazancın büyüklüğü. Böyle bir zaman dilimine denk gelmek ne acı bir şey. Böyle zamanlarda Allah, istikametimizi İslam yolunda daim kılsın.

Bir gezi rotası: Bandırma-Balıkesir-Akhisar

Bir gezi rotasını daha paylaşalım. Öncelikli hedefimiz Bandırma sahil şeridi. Sabahın erken saatleriyle birlikte Bandırma'ya ulaştık. Bandırma limanı yanındaki yürüyüş yollarında kısa bir gezintinin ardından park içerisindeki çardaklara oturarak, Marmara Denizi'ne karşı kahvaltımızı yaptık. Bandırma, çok kalabalık bir şehir değil ama yerleşimi yüzölçümüne göre sahil şeridine yığılmış durumda. Nüfus verilerine göre Bandırma'nın 2025 yılı nüfusu 169.476 kişi olarak belirlenmiştir. Bu verilere göre, orta büyüklükte bir şehir olan Bandırma, Balıkesir’in en önemli ilçelerinden biridir. 

Bandırma Sahili

Bandırma, Marmara Denizi kıyısında yer alan ve İstanbul’dan feribotla kolayca ulaşılabilen önemli bir turizm merkezidir. Sahil kenarı, plajları, yürüyüş alanları ve deniz ürünleriyle öne çıkan ilçe; Avşa, Marmara ve Paşalimanı adalarına düzenlenen tekne turlarıyla da ilgi görmektedir. Bandırma; turizm, tarım, sanayi, ticaret ve limancılık açısından hareketli bir merkez konumundadır. Yerleşim yerleri ağırlıklı olarak sahil hattı boyunca olup ilçe merkezi liman çevresinde yoğunlaşmıştır. Konut, ticaret ve sanayi alanları bir arada bulunurken, kıyı kesiminde yürüyüş yolları, parklar ve sosyal tesisler yer alır. 

YKS 2026 Matematik Netleri Sayısal Bilgileri

ÖSYM tarafından uygulanan YKS (Yükseköğretim Kurumları Sınavı) 2026 yılına ait bazı istatistik verileri, aşağıda tablo ve grafikler halinde sunulmuştur. Aşağıdaki grafiklerde, sınava giren tüm adayların TYT Matematik ve AYT matematik net ortalamalarında yıllara göre değişimler söz konusudur.

 

2026-Temel Matematik testi

Ortaöğretim kurumlarının son sınıfında okuyan öğrencilerin TYT Matematik Net ortalaması: 6,8 nettir. Bu ortalamaya liseden mezun olmuş olan adaylar da dahil edildiğinde, tüm adayların TYT Matematik Net ortalaması: 6,4  net olmuştur. TYT-2026 net ortalaması, geçen seneye göre biraz yükselmiştir.

2026-AYT Matematik testi

Ortaöğretim kurumlarının son sınıfında okuyan öğrencilerin AYT Matematik Net ortalaması:  7 nettir. Bu ortalamaya liseden mezun olmuş adaylar da dahil edildiğinde tüm adayların AYT Matematik Net ortalaması 7,1 net olmuştur. AYT-2026 net ortalaması geçen seneye göre yükselmiştir.

2026 TYT Matematik testi çözümleri (PDF)

20  Haziran 2026 tarihinde uygulanan 2025-YKS 1. Oturum Temel Yeterlilik Testi (TYT), 21 Haziran 2026 tarihinde uygulanan 2025-YKS 2. Oturum Alan Yeterlilik Testleri (AYT) sınavlarının ardından ÖSYM tarafından soru kitapçıkları erişime açılmıştır. Soruların çözümlerine aşağıdaki bağlantıdan PDF olarak ulaşabilirsiniz.

 

Sınav Sorularına ÖSYM sitesinden ilgili yılı seçerek ulaşabilirsiniz.

https://www.osym.gov.tr/

TYT 2026 Matematik testi çözümlerine PDF olarak ulaşmak istiyorsanız bağlantıya tıklayınız.

==> TYT-AYT 2026 sorularının ünitelere göre dağılımına ulaşmak için bağlantıyı tıklayabilirsiniz. TYT-AYT Matematik testi soru dağılımlarına ulaşmak istiyorsanız bağlantıya tıklayınız.

2026 TYT-AYT Matematik Soru Dağılımı

2026  TYT sınavı; 20 Haziran 2026 Cumartesi günü ve 2025 AYT sınavı; 21 Haziran 2026 Pazar günü gerçekleştirildi. TYT sınavı, önceki yıllarda olduğu gibi süre yetiştirme derdi olan bir sınavdı. Sınava giren öğrencilerin çoğunluğu, TYT süresini yetiştirmekte maalesef zorlandı. Özellikle matematikte problem tabanlı soru alt yapısı, adayların soruları anlayıp hızlı bir şekilde çözmelerini zorlaştırdı. Türkçe ve sözel bölümde soruların uzunluğu ve anlaşılma güçlüğü sebebiyle sınav için verilen süreyi iyi kullanamama problemlerine sebep oldu. Doğal olarak bu durum, adayların sayısal bölüm için kalan sürelerini de ciddi şekilde azalttı. 

Sorular incelendiğinde, TYT sorularında zor sayılacak sorular olduğu gibi çok kolay sorular da vardı. Önceki yıllara göre TYT zorluk seviyesi daha kolay denilebilir. Geometri soruları da önceki yıllara göre daha az zorlayıcı olmuş.  Matematik soruları, problem tabanlı bir yapıya dönüştürülerek hız ve anlamaya dayalı bir aday eleme işlemi amaçlanmış. Süreyi yetiştirebilen adaylar için TYT sınavı güzel bir sınav olmuştur. AYT soruları, bu sene daha anlaşılır ve çözümü daha klasik sorulardan oluşmuş. AYT sınav süresinin, konu ve kavramları iyi bilen öğrenciler için yeterli olacağını söyleyebilirim. Karmaşık, anlaşılmaz soru tarzı, önceki yıllara nazaran yok gibiydi. 

AYT Sınavında tartışmalı soruların olması, bana sınavın bu sene daha özensiz hazırlandığını düşündürdü. Ya da bazı sorular, sınavdan önce hazırlık aşamasında basına açıklandığı gibi yapay zekaya teslim edilerek hazırlanmış olabilir. Orasını bilemem. Belki de YKS üzerinde böyle tartışmalarla bir şüphe oluşturarak, önümüzdeki yıllarda sınavın değiştirilmesi gerektiğini konuşuyor olacağız. Bu tartışmalı mevzular, bir zemin yoklaması olabilir.

Ülkemizin gençlerinin üzerindeki yük, bu sınavlarla her geçen yıl daha fazla artıyor. Yayınevleri, Eğitim Koçları, Youtube ders fenomenleri gibi eğitim dışı pek çok öğenin şaklabanlıkları neticesinde, sınavda sorulan soruların zorluk seviyeleri her geçen yıl artmaya/farklılaşmaya başladı. Öğrenciler bir at yarışındaymış gibi hazırlandıkları sınavlarda, farklı sınav içerikleriyle karşılaşmaya devam ediyorlar. 

Düşünelim bir kere... Bir türev sorusu (ayt-matematik-23.soru) hazırlanıyor, sınavdan sonra günlerce sosyal medya ortamında, matematik öğretmenleri ve youtube fenomen kitleleri tarafından ÖSYM cevabı tartışılıyor. Üniversite düzeyi açıklamalarla sorunun doğruluğu, yanlışlığı ve çözümü araştırılıyor; sorunun iptal edilmesi gerektiği veya cevabının değiştirilmesi gerektiği gibi söylemler günlerce polemik haline getiriliyor.  En iyisi benim havasında açıklamalarla öğrencilerin stresi biraz daha arttırılıyor. Her kafadan bir sesle, öğrencilerin gelecekleri adına yorumlar yapılıyor. Binlerce hayalle sınava giren Anadolu"nun temiz yürekli çocukları, sınavın psikolojik atmosferinde para kazanma hırsıyla dolu etkileşim peşinde koşan kitleler sayesinde heder ediliyor. Yayınevleri, eğitim koçları, fenomen yayıncılar eşliğinde gençlerle oyuncak gibi oynanıyor. Yazık! Gerçekten yazık! Avrupa’nın yetersiz genç nüfusla imtihan olduğu bu dünyada, muazzam genç kitlemizi, böyle şeylerle kolayca harcıyoruz. 

Bir sınav hazırlanıp, o sınavla adil bir yarışta üniversite kazanmak için aday seçimi yapılacak, olay sadece bu. Ama bu kadar basit bir olayda bile çarkların adilane bir şekilde dönmesi, farklı çevreler eşliğinde engelleniyor. Ortaöğretim başarı puanı ile şişirilen özel okul diploma puanlarıyla, sınavda yeterince başarı gösteremeyenler; paraları ile satın aldıkları puanlarla adil olduğu söylenen sınav yarışında binlerce adayın önüne geçiyorlar. Bunları herkesin bildiği halde çözüm mekanizmalarında sorunlar her geçen gün derinleşiyor. Bir soru bile ne kadar kıymetliyken milyonların girdiği sınavda, şişirilmiş diploma puanları, sınav netlerinin aksine belirleyici olabiliyor. O kadar gencin hayatına yön verecek bir sınavda, tek bir soru ile binlerce kişinin sırası değişebiliyor. 

Hal böyleyken böyle bir ortamda, nasıl yanlış soru yazılabiliyor veya cevabı hatalı çözüm nasıl yapılabiliyor anlamış değilim. Akıl işi değil bu. Günlerce izole mekanlarda soru hazırladığı söylenen soru komisyonun hatası, kolay kabul edilebilir bir mesele değildir. Şaibeli her iş, sınav adaletine ve geçerliliğine gölge düşürür. Bana göre tartışmaya konu olan bu matematik sorusu, cevap filan değiştirilmeden kesinlikle iptal edilmeli, bütün öğrenciler geri kalan sorular üzerinden adil bir şekilde değerlendirilmelidir. Kitlelerin söylemleriyle veya bilirkişi değerlendirmeleriyle cevap değişikliğine filan gidilmemelidir. Aksi halde adayların akıllarında en küçük bir şüphe kalması, sınav geçerliliği açısından sakıncalara sebep olur. 

Bir sınav böyle olmamalıydı maalesef. Değişen teknoloji ve şartlar, herkesin kişiliğini ve kimliğini bozdu. Çağ öyle bir çağ ki kurumlar ve kişiler, sosyal medya ve yapay zeka karşısında aciz bırakılıp yıpranıyor veya bilerek yıpratılarak değersizleştiriliyor. Bu olay; bize bu işlerin böyle gitmeyeceğini, acil önlemler alınması gerektiğini gösteriyor. Teknoloji köleliğine giden yolda kendi kişiliğimizi ve toplum ahlakını korumanın yollarını bulmak zorundayız. Problemler büyüyor ama farkında değiliz. Çılgınca hüküm süren medya araçları ve yapay zeka; insanların ve kurumların hür iradelerini hızla ele geçiriyor ve bizler bu durumun ağırlığı altında yavaş yavaş ezilmeye başladık bile. 

Benlik dünyasında alınan kararlarla yürünen bu yollarda, daha çok tartışmalarımız olacaktır. Bunun sadece bir sıralama sınavı olduğunu, bir aşağılama sınavı olmadığını anlayacak beyinlere ihtiyaç var. Bir gençlik kolay yetişmiyor, basit işlerle kolay harcanmamalıdır. Allah'ın rızasını kazanmaya hizmet edecek bir  gayede, nesillerin ihyası için yeni fikirler üretmek gerek. Geçici dünya hayatında oyalanmaya devam edelim, oyun sahnesi nasıl olsa bizim... Herkes, yaptığı ve yapma imkanı varken yapmadığı bütün fiillerinin karşılığını elbette Allah'ın huzurunda görecektir. (KP)

 

ÖSYM sınav sorularına ve güncel bilgilere ulaşmak için ÖSYM resmi sitesini kullanınız.
Sınav Sorularına ÖSYM sitesinden ulaşabilirsiniz.

https://www.osym.gov.tr/ 

Pratik takvim günü hesaplama

Haftanın herhangi bir gününü Gregoryen Takvim içinde yalnızca birkaç basit işlemle hesaplamak mümkündür. Bu yöntemin temel mantığı, tarihin farklı bileşenlerini ayrı ayrı değerlendirip bunların haftalık döngü üzerindeki etkisini toplamaktır. Çünkü haftanın günleri yedi günde bir tekrar eder. (mod 7) Bu nedenle hesaplamalarda önemli olan toplam gün sayısı değil, bu toplamın 7'ye bölümünden kalan değerdir. Elde edilen kalan sayı, önceden belirlenmiş gün eşleştirmesine göre haftanın hangi gününe ulaşıldığını gösterir.

Hesaplama yapılırken önce tarihin gün değeri alınır. Ardından ilgili ay için önceden belirlenmiş ay kodu eklenir. Sonra yüzyıl kodu eklenir. Daha sonra artık yıl ve yılın son iki hanesi eklenir. Elde edilen toplam 7 ile bölünerek kalan bulunur. Kalan değeri başlangıç günü Pazar (0) kabul edilerek ilerleterek istenen gün bulunur. 

Burada önce kavramları açıklamaya çalışalım ve ardından gün bulma örneği verelim.

Ay kodları rastgele seçilmiş sayılar değildir; her ay başlamadan önce yıl içinde geçmiş olan günlerin 7'ye göre kalanını temsil eder. Ay kodları takvimin referans noktasına göre (başlangıç gününe göre) ne kadar ileride olduğunu gösteren kod değerleri olup sihirli sayılar değildir; takvimin yapısından türetilmiş sayılardır. Mantığı şöyledir: Bir yılın başını (örneğin 1 Ocak'ı) referans alırsak, herhangi bir tarihe ulaşmak için geçen gün sayısını hesaplayabiliriz. Haftanın günü yalnızca 7'ye göre kalan ile ilgilidir. Bu yüzden ay kodları, her ayın başına kadar geçen günlerin 7'ye göre kalanıdır.

Örneğin artık yıl olmayan bir yılda ay kodları aşağıdaki gibi bulunur. Eğer yıl artık yıl ise yalnızca Ocak ve Şubat aylarının kodları değişir: Ocak: 6 Şubat: 2 Diğer ayların kodları aynı kalır.

Ay Öncesindeki toplam gün 7'ye bölümünden kalan Ay kodu

Ocak 0 gün geçti 7 ile bölümünden kalan 0 bu nedenle kod 0

Şubat 31 gün geçti 7 ile bölümünden Kalan 3 bu nedenle kod 3

Mart 59 gün geçti 7 ile bölümünden Kalan 3 bu nedenle kod 3

Nisan 90 gün geçti 7 ile bölümünden Kalan 6 bu nedenle kod 6

Mayıs 120 gün geçti 7 ile bölümünden Kalan 1 bu nedenle kod 1

Haziran 151 gün geçti 7 ile bölümünden  Kalan 4 bu nedenle kod 4

Temmuz 181 gün geçti 7 ile bölümünden Kalan 6 bu nedenle kod 6

Ağustos 212 gün geçti 7 ile bölümünden Kalan 2 bu nedenle kod 2

Eylül 243 gün geçti 7 ile bölümünden Kalan 5 bu nedenle kod 5

Ekim 273 gün geçti 7 ile bölümünden Kalan 0 bu nedenle kod 0

Kasım 304 gün geçti 7 ile bölümünden Kalan 3 bu nedenle kod 3

Aralık 334 gün geçti 7 ile bölümünden Kalan 5 bu nedenle kod 5

Buna göre kısaca artık yıl olmayan bir yılda ay kodları şöyle olur:

Ocak → 0

Şubat → 3

Mart → 3

Nisan → 6

Mayıs → 1

Haziran → 4

Temmuz → 6

Ağustos → 2

Eylül → 5

Ekim → 0

Kasım → 3

Aralık → 5

Mesela Temmuz ayı için: Ocaktan Haziran sonuna kadar geçen gün sayısı: 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 30 = 181 gün geçti. Bu sayının 7 ile bölümünden (181'i 7'ye bölersen 181 = 7 × 25 + 6) kalan 6 olur. Bu yüzden Temmuzun kodu 6 olur. Yani ay kodu, o ay başlamadan önce geçen gün sayısının 7'ye göre kalanıdır.

Eğer takvim başlangıcı 1 Ocak yerine farklı bir başlangıç günü (farklı bir referans noktası), alınırsa, buradaki ay kodları tamamen değişir. Örneğin artık yıl olmayan bir yılda 1 Mart'ı referans alıp ay kodunu 0 kabul edelim. Her ayın kodu, 1 Mart'tan o ayın 1'ine kadar geçen gün sayısının 7'ye bölümünden kalana göre bulunur. Hesaplama şöyle olur. 1 Mart = 0, Nisan = 31 gün sonra → 3, Mayıs = 61 gün sonra → 5, Haziran = 92 gün sonra → 1 Temmuz = 122 gün sonra → 3 koduna sahip olur. Dolayısıyla 1 Mart'ın yıl başı olarak kabul edildiği bu referans sisteminde Temmuz ayının kodu 3 olurdu. 

Netice olarak Ay kodları evrensel değildir; buradaki kodlar Ocak ayından başlayıp Aralık ayına kadar devam eden standart takvim aylarının algoritmasına göre üretilmiştir, farklı algoritmalarda bu kodlar değişebilir.

Ay kodu bulunduktan sonra yılın son iki rakamı eklenir ve bu iki basamaklı sayı 4'e bölünerek tam kısmı da ayrıca toplama katılır. Bu işlem, artık yılların takvime eklediği günün etkisini hesaba katar. Son olarak içinde bulunulan yüzyıla ait yüzyıl kodu eklenir. Yüzyıl kodları da Gregoryen takviminin 400 yıllık döngüsünden türetilmiştir ve her yüzyılda oluşan gün kaymasını dengelemek için kullanılır.

Yüzyıl kodları da ay kodları gibi 7'ye göre kalan hesabından elde edilir. Bunlar ezberlenmiş rastgele sayılar değildir. Mantık şu şekildedir: Bir yüzyıldan sonraki yüzyıla geçerken 100 yıl geçmiş olur. Normal bir yıl haftanın gününü 1 gün ileri taşır. Artık yıl ise 2 gün ileri taşır. Normal yıl (365 gün): 1 gün (365 ≡ 1 mod 7) Artık yıl (366 gün): 2 gün (366 ≡ 2 mod 7)

Geçen her 100 yılda (Gregoryen takviminde, 400'ün katı olmayan yüzyıllarda) 24 artık yıl vardır. (24*4+4=100) Her geçen 400 yılda ise bir artık yıl daha oluşur. Dolayısıyla 100 yılda toplam gün kayması: 76 normal yıl × 1 = 76 gün ; 24 artık yıl × 2 = 48 gün; Toplam = 124 gün olur. 

Haftada 7 gün olduğundan: 124 sayısının 7 ile bölümünden kalan 5 olur. 124 mod 7 = 5 Yani her yeni yüzyıla geçtiğinde haftanın günü +5 gün ileri (veya mod 7 için eşdeğer olarak -2 gün geri) kayar. Bu yüzden yüzyıl kodları 2'şer azalarak (mod 7) ilerler. Yani her 400'ün katı olmayan yüzyılda başlangıç hafta günü 5 gün ileri kayar. (veya eşdeğer olarak 2 gün geri gelir.)

Örneğin:

1600 → 1700: +5
1700 → 1800: +5
1800 → 1900: +5

1900 → 2000: +6 burada ise durum farklıdır; Çünkü 2000 yılı 400'ün katı olduğu için artık yıldır ve bu 100 yıllık blokta 25 artık yıl bulunur. 400'ün katı olan yüzyılda ise: 75 normal yıl ve 25 artık yıl bulunur.  Burada Toplam kayma: 75 × 1 + 25 × 2 = 75 + 50 = 125 gün olur. 125 sayısının 7 ile bölümünden kalan da 6 olur.  125 ≡ 6 (mod 7) Böylece dört yüzyıllık döngüde kaymalar: +5, +5, +5, +6 = 21 ≡ 0 (mod 7) şeklinde olur. Bu nedenle Gregoryen takvimi 400 yılda bir aynı hafta düzenine geri döner.

Örneğin yaygın kullanılan yüzyıl kodları:

::::::

Gregoryen takvimi 1582'den sonra kullanılmaya başlanmıştır. Örneğin 1500 yılı Gregoryen takviminde fiilen kullanılmamıştır. Bu nedenle 1500 = 0 gibi bir kod, tarihsel kullanım için değil, Gregoryen kurallarını geriye doğru uyguladığımız matematiksel hesaplamalarda anlamlıdır. Pratikte kullanılan yüzyıl kodları genellikle 1600, 1700, 1800, 1900, 2000, … için verilir. Bu nedenle Gregoryen takviminde yüzyıl kodları şöyle olur:

...........

1500 0

1600 6

1700 4

1800 2

1900 0

2000 6

2100 4

2200 2

2300 0

400 yılda ise durum yeniden başa döner:

400 yılda 97 artık yıl vardır. Toplam gün = 400

400*365+97=146097 gün

146097 mod 7 = 0

Bu nedenle Gregoryen takvim 400 yılda bir aynı hafta düzenini (6 4 2 0 ) tekrar eder. Yüzyıl kodlarının her dört yüzyılda bir aynı döngüye girmesinin nedeni budur. Böylece yüzyıllar için yüzyıl kodları da elde edilmiş olur.

Yukarıdaki açıklamalardan çıkarılan sonuca göre kısacası, hem ay kodları hem de yüzyıl kodları, takvimde biriken günlerin 7'ye göre kalanından türetilmiş pratik kısaltmalardır.

Normal bir yıl 365 gün sürer. 365 sayısı, 7'ye bölündüğünde 1 kalanını verir. Bu yüzden her normal yıl, aynı tarihin haftanın gününü 1 gün ileri taşır.  Fakat yaklaşık her 4 yılda bir bir artık yıl vardır ve o yıl 366 gün sürer. 366 sayısı ise 7'ye bölündüğünde 2 kalanını verir. Yani artık yıllar normal yıllara göre haftanın gününü 1 gün daha fazla ileri taşır. Bu nedenle tarihteki yıl hanesi artık yılları bulmak için 4 ile bölünür.

Ay kodları, yüzyıl kodları, artık yıl kalanı gibi bütün bu değerler toplandıktan sonra sonuç 7'ye bölünür ve kalan bulunur. Çünkü haftanın günleri yedi günde bir tekrar ettiği için yalnızca bu kalan önemlidir. Kalanın hangi güne karşılık geldiği başlangıç günü için kullanılan tabloya göre belirlenir. Burada miladi takvim kullanıldığı için döngü Pazar (0) gününden başlar. Bu işlemler sonucunda uzun takvim hesapları yapmadan, yalnızca birkaç toplama ve bölme işlemiyle herhangi bir tarihin haftanın hangi gününe denk geldiği bulunabilir. Bu yöntem özellikle zihinden hesap yapmayı kolaylaştıran pratik ve sistematik bir tekniktir.

Örnek olarak 10 Ekim 1783 tarihi ele alalım.

Ekim ayının kodu 0, yılın son iki rakamı 83, bu 83 sayısının 4'e bölümünün tam kısmı 20 ve 1700'lü yılların yüzyıl kodu 4'tür. Hesaplama: [Gün + ay kodu + yıl son iki hane + artık yıl+yüzyıl kod] toplamı 7 ile bölünüp kalanı alınır. Kalan Pazar 0 kabul edilerek ileri doğru sayılır. 

10 + 0 (ay kodu) + 83 + 20 + 4 (yüzyıl kodu) = 117. 

117'nin 7'ye bölümünden kalan 5'tir ve bu sonuç Pazar 0,  Pazartesi 1,  Salı 2,  Çarşamba 3, Perşembe 4,  Cuma 5,  Cumartesi 6 olduğundan 5 sayısından dolayı tarihin Cuma gününe denk geldiğini gösterir. 

Başka bir örnek olarak 23 Mayıs 2037 tarihi alalım:

Mayıs ayının kodu 1, yılın son iki rakamı 37, 37'nin 4'e bölümünün tam kısmı 9 ve 2000'li yılların yüzyıl kodu 6'dır. 

Hesaplama: 23 + 1 + 37 + 9 + 6 = 76. 76'nın 7'ye bölümünden kalan 6'dır ve bu sonuç tarihin Cumartesi gününe denk geldiğini gösterir.

Başka bir örnek daha alalım. 12 Nisan 1458 tarihi Gregoryen takviminden önceki bir tarihtir. Daha öncesinde Jülyen takvim kullanılmıştır. 

Jülyen takvimi, her yıl 365 gün olan ve her dördüncü yılda ek bir artık gün içeren bir güneş takvimidir . Jülyen takvimi, Doğu Ortodoks Kilisesi'nin bazı kısımlarında ve Oryantal Ortodoksluğun bazı kısımlarında ve ayrıca Berberi takviminde hala dini bir takvim olarak kullanılmaktadır . Hızlı bir hesaplama için, 1901 ile 2099 yılları arasında çok daha yaygın olan Gregoryen tarihi, Jülyen tarihine 13 gün eklenerek elde edilir. 1582'de Papa XIII. Gregory'nin revize edilmiş bir takvim ilan etmesine kadar, 1600 yıldan fazla bir süre boyunca Roma İmparatorluğu'nda ve daha sonra Batı dünyasının çoğunda baskın takvim olarak Jülyen takvimi kullanılmıştır.

Tarih 12 Nisan 1458

Gün: 12

Nisan kodu: 6

Yılın son iki hanesi: 58

58 ÷ 4 = 14

1400 yüzyıl kodu: 2

Toplam: 12 + 6 + 58 + 14 + 2 = 92

92 ÷ 7 → kalan 1 olur. Bu da Pazartesi gününü verir.

Örneklerde kullanılan ay ve yüzyıl kodları Gregoryen takviminde yaygın kullanılan kodlara göre hesaplanmıştır ve verilen iki tarihin gerçek hafta günleriyle uyumludur.

Matematik Çalışma Planı

Bu çalışma programı; 2026-2027 eğitim öğretim yılı boyunca, Matematik dersine yönelik planlı ve sistemli bir çalışma ile sınava hazırlık sürecini hedeflemektedir. Plan uygulamasında özellikle 11.sınıflar hedef kitlesi olarak seçilmiştir.

Haziran-2026 sonundan itibaren başlayan süreçte, Matematik ve Geometri konuları; haftalara bölünerek ilerletilmiş bu sayede öğrencinin konuları düzenli bir şekilde tekrar etmesi/öğrenmesi amaçlanmıştır. Programda; sayılar, fonksiyonlar, polinomlar, denklem ve eşitsizlikler gibi temel konulardan başlanarak; trigonometri, logaritma, diziler, türev ve integral gibi daha ileri konulara doğru kademeli bir ilerleyiş sunulmuştur. Son aşamada ise doğru ve çember analitiği, katı cisimler, dönüşüm geometrisi gibi daha üst düzey konulara yer verilmiştir. Bu yapı sayesinde öğrenci, yaz döneminden itibaren konuları erken tamamlayarak, okul döneminde daha disiplinli bir çalışma yürütebilir. 

Bölme işlemiyle Karekök Hesaplama

Çok büyük sayılarda karekök alma işlemini, hesap makinesi kullanmadan sadece bölme işlemi kullanarak yapabiliriz. Pratik olmasa da alışıldığı zaman kullanışlı bir yöntem. 

Karekök alma işleminin bölme yöntemiyle nasıl yapıldığını daha detaylı ve adım adım açıklayalım. 

Bölme Yöntemiyle Karekök İşlemi Adımları

Örneğin: 1234321 sayısının karekökünü sadece bölme işlemi kullanarak hesaplayalım.

İşlem yapılacak sayı sağdan sola doğru iki hanelik gruplara ayrılır. Birler basamağından başlayarak tüm sayı, ikişerli olarak gruplandırılır.

Örneğin: 1234321 sayısı 1 | 23 | 43 | 21 şeklinde gruplandırılır. Bu gruplama, işlemi kolaylaştırmak için yapılır. Kök değerinin ilk basamağını bulmak için sayının en soluna bakılır. En soldaki grup (burada 1) için en büyük tam kare sayı bulunur. Örneğimizde 1 sayısının karekökü 1’dir (1x1=1). Bu sayı, karekökün ilk basamağı olur. 1 x 1 = 1 yazılır. İlk basamağın karesi (1) sayının ilk grubundan çıkarılır. 1 - 1 = 0 kalır. Sonraki grup (2323 bölmedeki kalanın yanına getirilir, böylece 023 olur. Yeni bölme sayısını oluşturma aşamasında bulunan önceki karekök değerimiz (1) iki ile çarpılır: 1 x 2 = 2. Bu sayı, bölme işleminde kullanılacak "bölücü" olarak düşünülür. Şimdi, 2 ile başlayıp, 2'nin yanına bir rakam ekleyerek (örneğin 21, 22, 23...) 023 sayısından çıkarılabilecek en büyük sayıyı bulmaya çalışılır. Bölme ve çıkarma işlemi yapılır. 21 x 1 = 21 (burada 1, yanına eklenen rakam) 023 - 21 = 2 bölmede kalan olarak kalır. Karekökün ikinci basamağı da 1 olarak bulunur. Karekök şimdi haliyle  11 olur. İşlemi tekrarlama aşamasında aynı işlemler yapılır. 

Kalan sayı (2) yanına bir sonraki grup (43) getirilir: 243. Karekökün şu anki hali (11) iki ile çarpılır: 11 x 2 = 22. Sonra 22'nin yanına bir rakam ekleyerek (örneğin 221, 222, 223...) 243 sayısından çıkarılabilecek en büyük sayıyı bulmaya çalışılır. 221 x 1 = 221 çıkarılır. 243 - 221 = 22 kalır. Karekökün üçüncü basamağı 1 olarak bulunur. Karekök şimdi 111 olur. Son adımlarda verilen sayıdan en son kalan sayı (22) yanına son grup (21) getirilir: 2221. Sonra bulduğunuz karekökün şu anki hali (111) iki ile çarpılır: 111 x 2 = 222. Bu 222'nin yanına bir rakam ekleyerek (2221) 2221.1=2221  sayısından çıkarılır. 2221 x 1 = 2221 çıkarılır. Sonuçta en son kalan 0 olur. Böylece Karekökün dördüncü basamağı da 1 olarak bulunur. Karekök tamamlanır: 1111.

Özetlersek; Verilen sayı çift hanelere ayrılır. En büyük tam kare bulunur ve sayıdan çıkarılır. Kalan sayıya yanındaki çift hane eklenir. Karekökün bulunan şu anki hali iki ile çarpılır. Yanına eklenen rakamla çarpılarak çıkarma yapılır. Kalan sıfıra ulaşana kadar böyle devam edilir. Yanına çarpmak için eklediğimiz sayılarla bulunan rakamlar karekökün basamakları olur.

Bu yöntem, uzun bölme işlemine benzer şekilde karekökü adım adım bulmayı sağlar. Örnekte 1.234.321 sayısının karekökü 1111 olarak bulunmuştur.

Örneğin 614656 sayısının karekökünü bölme yöntemiyle bulalım. Öncelikle sayı sağdan sola doğru ikişerli gruplara ayrılır ve 6 | 14 | 65 | 56 şeklinde yazılır. İlk grup olan 6'dan büyük olmayan en büyük tam kare 4 olduğu için karekökün ilk basamağı 2 olur. 6 − 4 = 2 kaldıktan sonra yanına 14 indirilerek 214 elde edilir. Bulunan karekökün iki katı alınır ve uygun rakam seçilerek çıkarma işlemi yapılır. Daha sonra kalan sayının yanına sırasıyla 65 ve 56 grupları indirilir. Her adımda bulunan karekökün iki katı alınır, uygun rakam belirlenir ve çıkarma işlemi tekrarlanır. Kalan sıfıra ulaştığında işlem tamamlanır ve bulunan rakamlar birleştirilerek sayının karekökü elde edilir. Bu örnekte 614656 sayısının karekökü 784 olarak bulunur.

Örneğin 18671041 sayısının karekökünü bölme yöntemiyle bulalım. Öncelikle sayı sağdan sola doğru ikişerli gruplara ayrılır ve 18 | 67 | 10 | 41 şeklinde yazılır. İlk grup olan 18'den büyük olmayan en büyük tam kare 16 olduğu için karekökün ilk basamağı 4 olur. 18 − 16 = 2 kaldıktan sonra yanına 67 indirilir ve işlem devam eder. Daha sonra bulunan karekökün iki katı alınır, uygun rakam seçilerek çıkarma işlemi yapılır ve kalan sayının yanına sırasıyla 10 ve 41 grupları indirilir. Aynı adımlar tekrar edilerek kalan her seferinde azaltılır ve son işlemde kalan 0 olur. Böylece bulunan rakamlar birleştirilerek 18671041 sayısının karekökünün 4321 olduğu elde edilir.

Tam sayı kısmı tamamlandıktan sonra kalan sıfır değilse, yanına eklenen 00 grupları indirilerek işlem ondalık basamaklar için aynı şekilde devam eder. Böylece karekökün virgülden sonraki basamakları da tek tek bulunur. Bölme yönteminde ondalık basamak elde etmek için yapılan tek işlem, sayının sağına ikişerli 00 grupları ekleyerek aynı adımları sürdürmektir.

Örneğin 1234567890 sayısının karekökünü bölme yöntemiyle yaklaşık 4 ondalık basamağa kadar bulalım. Öncelikle sayı sağdan sola doğru ikişerli gruplara ayrılır ve 12 | 34 | 56 | 78 | 90 şeklinde yazılır. Ondalık basamakları bulabilmek için sayının sağına ikişerli 00 grupları eklenir ve işlem 12 | 34 | 56 | 78 | 90 | 00 | 00 | 00 | 00 şeklinde devam eder. İlk gruptan başlanarak bu gruptan büyük olmayan en büyük tam kare bulunur, karesi çıkarılır ve kalan sayının yanına bir sonraki grup indirilir. Daha sonra bulunan karekökün iki katı alınır, yanına uygun bir rakam eklenerek oluşturulan sayı aynı rakamla çarpılır ve elde edilen sonuç kalan sayıdan çıkarılır. Bu işlemler tüm gruplar için aynı sırayla tekrarlanır. Tam sayı kısmındaki gruplar tamamlandıktan sonra işlem durdurulmaz; ondalık basamakları bulmak için eklenen 00 grupları sırayla indirilir ve aynı yöntem uygulanmaya devam edilir. Her indirilen 00 grubu, karekökün virgülden sonraki bir basamağını verir. Dört adet 00 grubu indirildiğinde karekök yaklaşık 35136,4183 olarak bulunur. Bölme yönteminde ondalık basamaklar, sayının sonuna ikişerli 00 grupları eklenerek ve aynı işlem adımları tekrarlanarak elde edilir.

Karekök yaklaşık değeri

Bir sayının karekökünün yaklaşık değerini bulmak için, o sayıya en yakın ardışık tam kare sayılar kullanılır. Bu yöntemde önce sayının altındaki ve üstündeki en yakın tam kare sayılar bulunur. Daha sonra verilen sayının, bu iki tam kare arasındaki konumu oranlanır. Aynı oranın karekök değerleri arasında da geçerli olacağı düşünülerek alt karekök değerine bu oran eklenir. Böylece karekökün yaklaşık değeri hızlı ve pratik bir şekilde elde edilmiş olur. Bu yöntem, karekökü yaklaşık hesaplamak için kullanılan en eski sayısal yaklaşım tekniklerinden biridir ve temeli “doğrusal ara değer bulma (interpolasyon)” fikrine dayanır. Yöntemin tam olarak ne zaman ortaya çıktığı belli değildir. Babil, Çin, Mısır, Hint gibi farklı uygarlıklar, karekök ifadelerinin yaklaşık değerlerini bulmak için benzer metotları kullanmışlardır. (Bkz. Babil Metodu)

Örneğin √50 sayısının yaklaşık değeri bulalım. 50 sayısının altında 49 = 7², üstünde ise 64 = 8² olacak şekilde 7 ve 8 sayıları vardır. Bu nedenle √50 sayısının 7 ile 8 arasında bir değer olduğu anlaşılır. Alt tam kare (49 = 7²) ile üst tam kare (64 = 8²) arasındaki fark 15 birimdir. Yani Bu sayıları bir sayı doğrusunda yerleştirdiğimizde bu aralık 64−49=15 eşit parçalık bir aralık gibi düşünülür. 50’nin 49’dan uzaklığı, 1 fazla ve 50 ile 64 arasındaki toplam fark 14 olacağından, 50 bu aralığın yaklaşık 1/15’i kadar 7 sayısından ileride olur. Karekök değerinin de aynı oranda artacağı düşünülerek 7’ye 1/15 eklenir ve yaklaşık ≈7,067... sonucu elde edilir. Bu değer gerçek değere (7,0710678118654755...) oldukça yakın olduğundan bu yöntem, hesaplamalarda sık kullanılır. Bu yaklaşımda karekök eğrisi kısa bir aralıkta düzmüş gibi kabul edilir; yani fonksiyondaki değişimin doğrusal olduğu varsayılır.