Farey dizileri, adını İngiliz matematikçi John Farey'den
alır ve birbirine yakın kesirlerin bir sıralaması olarak tanımlanır. John Farey (1766-1826), bir jeolog olmasına rağmen matematikle ilgili yaptığı bir gözlem nedeniyle matematik tarihinde önemli bir yere sahip olmuştur. Farey dizisi, ona adını veren bu gözleminden doğmuştur. Farey, Woburn'da yerel bir okulda eğitim aldıktan sonra Halifax'ta matematik, çizim ve haritacılık üzerine eğitim görmüştür. Farey, 1792'de Bedford Dükalığı'nın Woburn arazilerinin yöneticisi olarak atanmış ve bu görevde çalışırken jeolojiye olan ilgisi artmıştır. 1801'de William Smith ile tanışarak stratigrafi bilimi üzerine bilgi edinmiş, bu alanda önemli katkılarda bulunmuştur. Farey, jeolojiye olan katkılarının yanı sıra, bilimsel makaleler yayımlamış ve William Smith'in jeolojik çalışmalarının takdir edilmesi için çaba sarf etmiştir. Farey, 1804'te Philosophical Magazine was On the mensuration of timber "Kereste ölçümü" üzerine yazdığı ilk makalesini, 1824'te ise On the velocity of sound and on the Encke planet "Sesin hızı ve Encke gezegeni" üzerine yazdığı son makalesini yayımlamıştır. Farey'in matematiksel katkısı, 1816 yılında yayımladığı "On a curious property of vulgar fractions" (Sade Kesirlerin Garip Bir Özelliği) başlıklı makalesi ile olmuştur. Bu makalede Farey, ismi ile anılan meşhur dizisini tanıtarak, ardışık kesirlerin özel bir özelliğini keşfetmiştir. Farey dizisi, paydalı 1'e kadar olan kesirler arasındaki sıralamadır ve her bir kesir, yanındaki kesirlerin paylarının toplamı, paydalarının toplamı olarak bulunabilir. Farey, bu özelliği örneklerle açıklamış, ancak modern bir ispat sağlamamıştır. Farey'in keşfi, Fransız matematikçi Cauchy tarafından ispatlanmıştır ve Farey'in bu konuda yaptığı başvuru, diğer bazı çalışmalardan önce olsa da ispat eksikliği nedeniyle matematiksel olarak daha geniş bir kabul görmemiştir. Ayrıca, Farey'den önce, 1802'de Haros adlı bir araştırmacı benzer bir diziyi tanımlamış, ancak Farey'in belirttiği özelliği açıkça göstermemiştir. Farey, matematiksel katkılarının yanı sıra, tarihsel olarak daha çok jeoloji alanındaki çalışmalarıyla tanınmıştır. 6 Haziran 1826 yılında Londra'da ölmüştür. Farey'in jeoloji alanındaki araştırmaları ve haritaları, jeolojik eserlerin bir kısmı, British Museum'a bağışlanmıştır.
Farey dizisi, 0 ile 1 arasındaki rasyonel sayılardan oluşan, belirli bir payda sınırına sahip bir dizidir. Farey dizileri, özellikle rasyonel sayılar arasındaki ilişkilerin incelenmesinde kullanılır. Farey dizisinde, 0 ile 1 arasındaki ve paydası en fazla n olan tüm kesirler yer alır. Farey dizisi F
n, 0 ile 1 arasındaki tüm kesirlerden oluşan, payları a ve paydalı b olan kesirlerin, a.d-b.c=1 bağıntısıyla sıralandığı bir kümedir. Buradaki kısıtlamada paydanın b≤n olmasına dikkat edilirken kesirler büyüklüklerine göre küçükten büyüğe doğru sıralanır.
Farey dizileri, özellikle sayıların büyüklüğü çok arttığında, çok hassas bir yakınsaklık gösterir. Bu kesirler sıralandıkları sıraya göre birbirine yakın olacak şekilde düzenlenir ve her iki ardışık kesir arasındaki fark, Farey dizisinin matematiksel özelliklerine uygun şekilde mümkün olan en küçük farklardan biri olur. Farey dizileri, sıklıkla sayı teorisi, analitik geometri ve rasyonel sayılarla yapılan hesaplamalar gibi alanlarda kullanılır.
Bir Farey dizisi, genellikle Fn olarak gösterilir ve paydası en fazla n olan tüm kesirleri içerir. Bu kesirler, sıralı bir şekilde düzenlenir ve her ardışık kesir, birbirine en yakın iki kesir arasındaki farkı minimize edecek şekilde seçilir. Bu dizi, her zaman 0 ve 1 ile başlar ve biter, çünkü bu iki sayıya eşit olan kesirler dizinin ilk ve son elemanlarıdır. Farey dizisi, rasyonel sayıları belirli bir düzene göre sıralamak için kullanılır.
Farey dizisinin önemli özelliklerinden biri, her iki ardışık kesir arasındaki farkın belirli bir ölçüye sahip olmasıdır. Bu fark, her iki kesirin paydalarının büyüklüğüne bağlı olarak değişir, ancak genellikle Farey dizisinin özelliklerine göre çok küçük olur. Bu da, rasyonel sayılar arasındaki "yoğunluğu" göstermektedir. Yani, Farey dizisindeki kesirler ne kadar büyük bir diziyi kapsasa da, ardışık iki kesir arasındaki fark hala çok küçüktür.
Dizinin elemanları a/b ve c/d ise bu iki dizi terimi arasında a.d-b.c=1 eşitliği vardır. Aşağıdaki terimler arasındaki kurala dikkat edebilirsiniz.Örneğin F5 Farey dizisi, paydası en fazla 5 olan 0 ile 1 arasındaki kesirlerin sıralandığı bir dizidir. Bu dizide yer alan tüm kesirler, paydaları 5'e kadar olan rasyonel sayılardır. Dizinin doğru sıralaması şu şekildedir:
F5 = {0, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1}Farey dizisi F7, paydası en fazla 7 olan ve 0 ile 1 arasındaki rasyonel kesirlerin sıralandığı bir dizidir. Bu dizideki tüm kesirlerin paydası 7'yi geçmez ve her iki ardışık kesir arasındaki fark, Farey dizisinin özelliklerine uygun şekilde minimize edilmiştir. Bu kesirler, büyüklük sırasına göre dizilmiştir ve matematiksel olarak birbirine yakın olacak şekilde yerleştirilmiştir.
F7 = { 0/1, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 1/1 }Farey dizisi F8 için terimi almak, 8. paydadan oluşan Farey dizisinin elemanlarını bulmayı içerir. Bu durumda, F8 dizisinin elemanları, 8'e kadar olan paydalara sahip olan ve birbirine en yakın olan kesirlerden oluşur. Burada kesirler sırasıyla artan bir şekilde yerleştirilmiştir.
F8 = {0/1, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8, 1/1} Buna benzer dizilerin oluşturulması, rasyonel sayılar arasındaki düzenin ne kadar yoğun olduğunu gösterir. Görüldüğü gibi, her iki ardışık kesir arasındaki fark son derece küçüktür. Örneğin, 1/7 ve 1/6 arasındaki fark, oldukça küçüktür. Daha büyük paydalar alındığında farkların daha da küçüldüğü görülecektir. Farey dizisinin her iki ardışık elemanı arasındaki benzer farklar, tüm dizide gözlemlenir.
