2.Dereceden Denklemler ÖSYS Soruları

İkinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler ile ilgili ÖSYM tarafından geçmiş yıllarda üniversite seçme/giriş sınavlarındaki sorulardan yayınlanmış olan soruları incelemek için tıklayınız.

İkinci Derece Denklem ve Diskriminant

ax²+bx+c=0  biçimindeki denkleme ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Burada a, b, c sayılarına denklemin katsayıları, c ye ise sabit terim denir. Bu denklemi sağlayan x gerçek sayı değerleri varsa bunlara denklemin kökleri, köklerin kümesine de denklemin gerçek sayılar (reel sayılardaki) kümesindeki çözüm kümesi denir. Bu denklemin kökleri bulunurken arpanlarına ayrılabiliyorsa denklem çarpanlarına ayrılır. Ve herbir çarpan tek tek 0'a eşitlenerek kökler bulunur. Çarpanlarına kolay yoldan ayrılamayan ikinci derece denklemlerde ise kök formülü kullanılar kökler bulunur. ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemin iki farklı gerçek kökü olabileceği gibi bazen bir gerçek kökü olabilir, bazen de hiç gerçek kökü olmayabilir. Bu kök formülünde diskiriminant'a göre kökler reel veya karmaşık olarak karşımıza çıkar. Her iki durumda da aynı kök formülü kullanılarak çözüm kümeleri elde edilir.Rasyonel katsayılı ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemin kökleri de birbirinin eşleniği şeklindedir.

Kök formülünün nasıl ortaya çıktığını ispatlayalım.  Burada diskriminant'ın üç durumuna göre denklemin köklerinin farklılaştığı görülebilir.

Doğrusal Denklem Sistemleri (Matrislerle Çözüm)

Daha önceki konumuzda doğrusal denklem sistemlerinin çözümünü elemanter satır ve sütun işlemleri yardımıyla yapmıştık. (Bkz. Dogrusal Denklem Sistemleri) Buradaki sayfamızda verilen herhangi bir doğrusal denklemin gerekli şartları sağlamasıyla genişletilmiş katsayılar matrisinin tersi ile  denklem sisteminin genel çözümünü yapacağız.

 (x1 , x2 , . . . , xn ) sıralı n-lisinin lineer denklem sistemin bir çözümü olması için gerek ve yeter şart, bu sayıların oluşturduğu X matrisinin A.X=B matris denklemini sağlamasıdır. A matrisine denklem sisteminin katsayılar matrisi denir. Sistemin ilaveli (genişletilmiş) matrisinin katsayılar matrisi ile sağ taraf sabitleri matrisinin yan yana getirilmesiyle elde edilir.

Denklem sayısı değişken sayısına eşit olan bir doğrusal denklem sisteminin katsayılar matrisi bir kare matristir. Böyle bir sistemin bir ve yalnız bir çözümü olması için gerek ve yeter şart, sistemin ilaveli matrisinin indirgenmiş biçimindeki sütun sayısının sıfırdan farklı satır sayısından bir fazla olması, yani hiç sıfır satırı bulunmamasıdır ki bu, sistemin katsayılar matrisinin indirgenmiş biçiminin birim matris olmasına denktir. Bu durum katsayılar matrisinin tersinin var olmasına da denktir ve çözümün bulunmasında ters matristen yararlanılabilir. 

Doğrusal Denklem Sistemleri

ax+by+cz+.......= r  tipindeki a,b,c,....sayıları reel sayı olmak üzere bu şekilde yazılabilen denklemlere doğrusal (lineer) denklemler denir. Bu denklemlerin iki ya da daha fazlasının bir araya gelmesi ile oluşturulan denklem sistemine de lineer denklem sistemi adı verilir.

Basit düzeyde verilen lineer denklemlerin çözümleri yapılırken genellikle dört işlem kurallarından yararlanılarak çözüme gidilir. Yani verilen denklemler kendi aralarında uygun katsayılarla çarpıldıktan sonra taraf tarafa toplanır veya çıkarılarak istenen sonuç elde edilir.

Denklem Çözme Kavrama Testi

Denklem çözme kavramını daha iyi anlamak için çeşitli kitaplardan derlenerek hazırlanmış testimizi istifadenize sunuyoruz. 

Birinci dereceden denklem çözme, kavramını kazandırmak için oluşturulmuş test her öğrenci seviyesine hitap edecek şekilde rahatlıkla yapılabilecek sorulardan meydana gelmiştir.

Denklemler testini, ders ortamında 2 ders saati içinde (2*30dk) etkinlik olarak planlayabilirsiniz. Testi indirmek için tıklayınız...

Bir Soru ve Güzel Çözümler

Bakış açınıza göre değişen çözümleri sunan bir çarpanlara ayırma ve denklem çözümü sorusu. Her hangi bir matematik sorusunu çözmek istediğinizde farklı bakış açıları yakalamanız, çok farklı çözümleri elde etmenize imkan sağlayacaktır. Matematikten korkmadan biraz merak ve çaba ile matematiğin güzel dünyasına sizlerde girebilirsiniz.

Çözümler için Yılmaz Dağ, Mesut Aksoy, Barış Altay'a teşekkürler..

Cosx=a ve Tanx=a Denklemleri ve Çözüm kümesi

Trigonometrik denklemlerin çözüm kümesi yapılırken, birim çember üzerinden fonksiyonların aynı noktadaki açıların her ikisi birlikte alınır. Bölgelere göre değişen açılar aynı noktadaki değere eşit olduğundan genel çözüm kümesi istendiğinde, bütün bu açıları ifade edecek şekilde çözüm kümesi yazılır.

 

Ayrıca Bakınız:

 https://muallims.blogspot.com/2021/12/trigonometrik-denklemlerin-cozum-kumesi.html 

Sinx=a Denklemi ve Çözüm Kümesi

Trigonometrik denklemlerin çözüm kümesi yapılırken, birim çember üzerindeki açıların trigonometrik fonksiyonlara göre aldığı değerler dikkate alınarak genel çözüm yapılır.Aşağıda verilen sinx denklemi için, sin fonksiyonu aynı değer için birinci ve ikinci bölgede iki farklı açıya sahiptir.Bu nedenle genel çözüm işleminde bu dikkate alınır.

Sinx=a tipindeki ve sinx=cosy tipindeki denklem çözümlerine bir örnek verebiliriz. Sin ve Cos denklemlerinde iki fonksiyon kendi aralarında dönüştürülerek yukarıda belirtildiği şekilde denklemin genel çözümü yapılır.

Ayrıca Bakınız:

 https://muallims.blogspot.com/2021/12/trigonometrik-denklemlerin-cozum-kumesi.html 

Harezmi ve ikinci Derece Denklemler

Doğum ve ölüm tarihleri kesin olmamakla birlikte El Harezmi (Ebu Abdullah Muhammed bin Musa) Hazar denizinin doğusundaki Harizm'de (Özbekistan) genel görüşe göre 783 yılında dünyaya geldiği kabul edilmektedir. Meşhur bilim tarihçisi George Alfred Leon Sarton (1884 -1956) "Introduction to the History of Science" ve "E.T. Bell "The Development of Mathematics" eserlerinde, Harizmî'nin 850'de vefat ettiğini kaydetmiştir. Tüm dünyaya ismini, (El Harezmi) – isminin Latince telaffuzu ile - “algoritma” olarak zikrettiren bu Müslüman Türk alimi, cebir ilminin kurucusu olarak kabul edilir. Zaten cebir kelimesi de Harezmi’nin (El Kitab’ül Muhtasar Fi Hisab’il Cebri ve’l Mukabele ) “Cebir ve denklem hesabı üzerine özet kitap” adlı eserinden gelir.
Harezmi, cebir denklemlerinin çözümünde kare ve diktörgen şekillerden yararlanır. Denklem çözümlerinde bu geometrik şekilleri kullandığından, denklemlerde hep artı işaretli terimler göz önünde tutulur. Kare bilinmeyeni, dikdörtgen ise bilinmeyenin sabit bir katını temsil eder. Denklem çözümleri daima pozitif değerler içindir. El-Harezmi, ikinci dereceden denklemlerin çözülmesi için geometrik modellerden de yararlanmıştır.  
El Harezmi, ikinci derece denklemlerin çözümünü çok sade, anlaşılır ve sistematik biçimde yazmıştır. Çözümleri adım adım sistemli bir sıra ile vermiş olması, ‘algoritma’ yöntemlerinin ortaya çıkmasını sağlamıştır. Günümüz dünyasının vazgeçilmez parçası olan algoritma ve bilgisayarların programlama dilleri, Harezmi’nin algoritmik yöntemleri esas alınarak oluşturulmuştur.
Günümüzde kullanılan ikinci derece denklemlerin kök bulma formülü de Harezmi'nin dikdörtgensel çözüm metodundan türemiştir. Diskriminant değerine ilk işaretler de Harezm'in denklem çözümlerinde görülmüştür.

El-Harezmi en genel hali ile ax^2+bx+c=0 şeklinde verilen bir ikinci dereceden denklemin köklerinin çözümünü bulmuştur. Uzun uğraşlar sonrasında, denklemi geometrik bir modelleme ile oluşturup çözüm kümesini bulmayı sağlamıştır. Tabi bu geometrik modellemede çözüm kümesi bulunurken negatif sayılar ihmal edilmiştir. Harezmi denklem çözümünde şu adımları izlemiştir.

Denklem, en genel halinde a, b ve c katsayıları ve x bilinmeyeni içeren ax^2+bx+c=0 şeklinde cebirsel bir ifade olarak yazılabilir. Denklemdeki x^2'li terimi, bir kenarı x’e eşit olan bir kare olarak modellemiştir. Bilinmeyen karesi yani x^2 geometrik olarak kare ile temsil edilebilir. El-Harezmi önce denklemin her iki tarafını denklemin başkatsayısı olan "a" ile bölerek ilk terimin bir kenarı x olan kare haline dönüşmesini sağlamıştır. Bu şekilde kare ve dikdörtgenlerden yararlanarak 2.derece bir denklemin köklerini bulmuştur.

 

Kaynakça: 

Prof. Dr. Şen, Z. 2006. Batmayan Güneşlerimiz. Sayfa 26. 

Göker, Lütfi 1997. Matematik tarihi ve Türk-İslam matematikçilerinin yeri. Düşünce Eserleri Dizisi. Milli Eğitim bakanlığı Yayınları, sayfa 476.

Trigonometri Hesabı (Cos36)

Cos36 değerini tablo kullanmadan sadece geometrik veriler yardımıyla göstermeye çalışalım. Bulduğumuz değer trigonometrik değerler tablosundan da görüleceği üzere yaklaşık olarak aynı değerde olacaktır.

Bu hesaplama yapılırken bir ikizkenar üçgenden yararlanarak üçgenin taban açılarını 72 derece seçtiğimiz zaman yukarıdaki bir şekil ortaya çıkar. Taban açılarının birinden karşı kenara bir açıortay çizersek ikinci bir ikizkenar üçgen elde etmiş oluruz. Daha sonra bu iki ikizkenar üçgenin benzerliğinden elde ettiğimiz ikinci dereceden denklemin çözüm kümesini kök bulma formülü ile bulduğumuz zaman cos 36 değerini yaklaşık değerini hesaplamış oluruz. cos36=0,8090 bu değer trgionometrik tabloda da aynı şekilde görülmektedir. Bunu diğer açılara da aynı şekilde uygulama şansımız vardır. Böylece trigonometrik değerler tablosundaki sayıların nasıl ortaya çıktığı konusunda bir bilgi elde etmiş oluruz.

Yukarıda anlatılan özelliği kullanarak ikinci derece denklemler ünitesi ile ilgili bir örnek soru çözümü paylaşalım. Tirgonometri bilgisine gerek kalmadan üçgenlerin benzerliğini kullanarak soru çözümünün nasıl yapıldığını görmeye çalışalım.

Pierre de Fermat ve Denklemi

Fermat, 1601’de Fransa’nın Lomagne kentinde doğdu. İlk öğrenimini doğduğu şehirde yapmıştır. Yargıç olmak için çalışmalarına Toulouse’de devam etmiştir...Fermat, memurluğunun yoğun işlerinden geriye kalan zamanlarında matematikle uğraşmıştır.

Arşimet’in eğildiği diferansiyel hesaba geometrik görünümle yaklaşmıştır. Bu problem şimdi lise öğrencilerine bile kolaylıkla öğretilebilir. Fakat, bu problemin açtığı çığır önemlidir. Fiziğe uygulamaları da ilginçtir. Eğrilerin çiziminde maksimum ve minimum noktaların önemi bilinmektedir. İşte bu kavramları koyan yine Fermat’tır. Oldukça kolay gibi görülen bu problemin matematik ve fizikte çok geniş ve ileri uygulamaları vardır. Ayrıca, bu kavramları ışık bilmine uygulamasını çok iyi beceren yine odur. Buna bağlı olarak, yansıma, kırılma, geliş ve yansıma açıları üzerine yaptığı bağlılıklar önemini bugün bile korumaktadır. Fermat, analitik geometriyi üç boyutlu uzaya aktarmıştır. Amatör bir matematikçi ve düzenli bir evrak memuru olan Fermat’ın en önemli matematik çalışması sayılar kuramı üzerinedir. Asal sayılar üzerinde de çok durmuştur. Onun bu konuda çeşitli teoremleri vardır. örneğin, (4n + 1) şeklinde yazılan bir asal sayı, yalnızca bir tek şekilde iki karenin toplamı olarak yazılabilir. Bu teoremi daha sonra Euler kanıtlamıştır. "Fermat Teoremi" olarak tanınan meşhur teoremi ise, "p asal bir sayı ve a ile p aralarında asal olduğu zaman, (a^p-1-1)  sayısı p sayısına bölünebilir" biçiminde ifade edilebilir. Bu teoremi Leibniz ve Euler ispatlamışlardır.  

 

Fermat’nın asıl önemli teoremi ise, xⁿ + yⁿ =zⁿ (burada n x,y,z sayılarının kuvvetidir) denklemi x, y, z ve n’nin pozitif değerleri için n>2 ise imkansızdır" biçimindedir.  Fermat, bütün teoremlerinin ispatlarını vermemiştir. 1879 yılına kadar onun kullanmış olduğu ispat yöntemleri tamamıyla kayıptır; bu tarihte Leiden Kütüphanesi’nde Huygens’in yazmaları arasında bulunan bir belge, Fermat’nın indüktif metodu kullandığını gösterdi. Fermat, bu metodun, özellikle belirli bağıntıların imkansızlığının ispatına uygun olduğunu söylemiştir.