Harezmi ve ikinci Derece Denklemler

Doğum ve ölüm tarihleri kesin olmamakla birlikte El Harezmi (Ebu Abdullah Muhammed bin Musa) Hazar denizinin doğusundaki Harizm'de (Özbekistan) genel görüşe göre 783 yılında dünyaya geldiği kabul edilmektedir. Meşhur bilim tarihçisi George Alfred Leon Sarton (1884 -1956) "Introduction to the History of Science" ve "E.T. Bell "The Development of Mathematics" eserlerinde, Harizmî'nin 850'de vefat ettiğini kaydetmiştir. Tüm dünyaya ismini, (El Harezmi) – isminin Latince telaffuzu ile - “algoritma” olarak zikrettiren bu Müslüman Türk alimi, cebir ilminin kurucusu olarak kabul edilir. Zaten cebir kelimesi de Harezmi’nin (El Kitab’ül Muhtasar Fi Hisab’il Cebri ve’l Mukabele ) “Cebir ve denklem hesabı üzerine özet kitap” adlı eserinden gelir.
Harezmi, cebir denklemlerinin çözümünde kare ve diktörgen şekillerden yararlanır. Denklem çözümlerinde bu geometrik şekilleri kullandığından, denklemlerde hep artı işaretli terimler göz önünde tutulur. Kare bilinmeyeni, dikdörtgen ise bilinmeyenin sabit bir katını temsil eder. Denklem çözümleri daima pozitif değerler içindir. El-Harezmi, ikinci dereceden denklemlerin çözülmesi için geometrik modellerden de yararlanmıştır.  
El Harezmi, ikinci derece denklemlerin çözümünü çok sade, anlaşılır ve sistematik biçimde yazmıştır. Çözümleri adım adım sistemli bir sıra ile vermiş olması, ‘algoritma’ yöntemlerinin ortaya çıkmasını sağlamıştır. Günümüz dünyasının vazgeçilmez parçası olan algoritma ve bilgisayarların programlama dilleri, Harezmi’nin algoritmik yöntemleri esas alınarak oluşturulmuştur.
Günümüzde kullanılan ikinci derece denklemlerin kök bulma formülü de Harezmi'nin dikdörtgensel çözüm metodundan türemiştir. Diskriminant değerine ilk işaretler de Harezm'in denklem çözümlerinde görülmüştür.

El-Harezmi en genel hali ile ax^2+bx+c=0 şeklinde verilen bir ikinci dereceden denklemin köklerinin çözümünü bulmuştur. Uzun uğraşlar sonrasında, denklemi geometrik bir modelleme ile oluşturup çözüm kümesini bulmayı sağlamıştır. Tabi bu geometrik modellemede çözüm kümesi bulunurken negatif sayılar ihmal edilmiştir. Harezmi denklem çözümünde şu adımları izlemiştir.

Denklem, en genel halinde a, b ve c katsayıları ve x bilinmeyeni içeren ax^2+bx+c=0 şeklinde cebirsel bir ifade olarak yazılabilir. Denklemdeki x^2'li terimi, bir kenarı x’e eşit olan bir kare olarak modellemiştir. Bilinmeyen karesi yani x^2 geometrik olarak kare ile temsil edilebilir. El-Harezmi önce denklemin her iki tarafını denklemin başkatsayısı olan "a" ile bölerek ilk terimin bir kenarı x olan kare haline dönüşmesini sağlamıştır. Bu şekilde kare ve dikdörtgenlerden yararlanarak 2.derece bir denklemin köklerini bulmuştur.

 

Kaynakça: 

Prof. Dr. Şen, Z. 2006. Batmayan Güneşlerimiz. Sayfa 26. 

Göker, Lütfi 1997. Matematik tarihi ve Türk-İslam matematikçilerinin yeri. Düşünce Eserleri Dizisi. Milli Eğitim bakanlığı Yayınları, sayfa 476.

Ebu Kamil Şuca (H. 236-339)

Ebu Kamil Şuca Ünlü Müslüman cebir ve matematik alimidir. İsmi Şuca’ bin Eslem bin Muhammed Hasib el-Mısri olup, künyesi Ebu Kamil’dir. Matematikçiler arasında İbn-i Eslem el-Hasib (hesab, matematik bilgini) adıyla Ünlü oldu. Doğum ve vefat tarihleri belli değildir. Kaynaklarda 850-950 (H. 236-339) seneleri arasında yaşadığı ifade edilmektedir. Aslen Mısırlıdır. Ebu Kamil Şuca’, matematik ve Özellikle cebir sahasındaki başarılarıyla dikkat çekti. Ünlü matematikçi Harezmi ile aynı devirde yaşadı. Harezmi’nin eserlerinden çok istifade etti. İkinci dereceden cebir denklemlerini, Harezmi’nin metodu ile çözüyordu. Bununla yetinmeyen Ebu Kamil, bu çözüm metodlarına bazı orijinal izahlar getirdi. 

Lineer (birinci dereceden), kuadratik (ikinci dereceden) ve daha üst derecedeki denklemler, belirsiz denklemler ve tam sayı problemlerine ait çözüm yolları ortaya koydu. Cebir tarihinde ilk defa olarak ikinci derecenin üstünde denklemlerin çözümünü tam bir hassasiyetle gerçekleştirdi. Bu yüzden ona, Harezmi’den sonra ikinci cebir teorisyeni gözüyle bakılmaktadır. Cebirdeki bu otoritesini, İslamiyette fıkıh bilgisinin en mühim konularıdan birisi olan feraiz (miras taksimi) hesaplarının çözümünde kullandı. 

Ebu Kamil Şuca’ın en Ünlü eseri Kitab-ül-Cebr vel-Mukabele adlı kitabıdır. Bu eserinde Harezmi’nin cebirini geliştirmek gayesini gütmüştür. Eserin önsözünde Harezmi’ye olan şükranlarını dile getirmiş, birinci bölümünde Harezmi’nin cebirini özetleyip ilavelerle açıklamıştır. Burada katsayıları irrasyonel (köklü) sayı olan karışık ikinci derecede denklemlerin çözümlerini göstermiştir. Böylece, Yunanlıların irrasyonel sayılarla ilgili yanlış bilgilerini çürütmüştür. Eserin ikinci bölümünde, kendinden önce gelen Yunan ve İslam cebircilerinin çözmekte güçlük çektikleri hatta çözemedikleri geometrik problemlerin, kendi keşfi olan, cebirsel çözüm metoduyla kolaylıkla çözülebileceğini ortaya koymuştur. Bu bölümde çözdüğü problemler, bir daire içinde çizilmiş eşkenar beşgen, ongen ve onbeşgenin kenarının uzunluğunun nümerik olarak tayinini ihtiva etmektedir. Bu kenarları cebirsel denklemlerle hesaplayarak, cebirsel denklemleri öklit geometrisine uygulamıştır. Eserin üçüncü bölümüne, ikinci dereceden belirsiz eşitlikler ve bu tür eşitlik sistemleriyle başlamaktadır. Kendisi bu eşitliklerin bazılarının yeni, bir kısmının daha önce incelenmiş olduğunu söylemektedir. Bu ikinci tip eşitlikler Ebu Kamil’in, Diophantos ve Aritmeticca’nın tesiri altında kalmadığını göstermektedir. Çokyüzlüler alanında da çeşitli çalışmalarda bulunmuştur. Yarıçapı r olan bir dâire içine çizilen düzgün on beş kenarlı çokgenin kenar uzunluğu hesabı ve merkez açının ölçüsünü cebirsel trigonometri ve denklemler yardımıyla göstermiştir.

Ebu Kamil, bu denklemlerden sonra, birinci dereceden denklem sistemlerini de ihtiva eden eğlendirici (dinlendirici) matematik problemleri üzerinde durmaktadır. Eserinin sonunda muayyen bir sayıdan başlayan sayıların karelerinin toplamını veren ifadeler üzerinde bilgi verilmektedir. Ebû Kâmil, Harezmî’nin bir devamı ve geliştiricisi, Kerhî ve Ömer Hayyâm’ın öncüsü ve batıda Fibonacci’nin de üstadı olması hasebiyle, orta çağlarda cebir alanında yetişen bir dahîdir. Ebû Kâmil, başarılarına ve orijinal metodlarına rağmen, maalesef islâm toplumunda ve ilim târihi içinde gereği gibi tedkîk edilip kıymeti anlaşılamayan âlimlerdendir. Modern araştırmalar, onun daha başka duyulmadık metodlarını ilerleyen yıllarda ortaya çıkaracaktır. Kendisini, El-Kerhi ve Ömer Hayyam takib ettiler. Batı aleminde ise Leonardo Fibonacci, Ebu Kamil’in metodunu benimsedi. Florian Cajori, matematik tarihi ile ilgili eserinde, miladi 13. yüzyılın ortalarında Ebu Kamil’in eserlerinin batı bilim dünyasında ve İslam aleminde matematik ilimleri dalında yegane başvuru kaynağı olarak kabul edildiğini ifade etmektedir. (Kaynak: Rehber Ansiklopedisi)

Ebu Kamil Şuca’nın yazdığı eserlerden bazıları şunlardır: 

1) Kitabu Kemal-il-Cebri ve Temamihi ve-Ziyadetihi fi Usulihi: Bu eserinde Harezmi cebrini olgunlaştırdı ve yeni cebir metodları geliştirdi. Eserde, Ebu Berze’yi tenkid etti ve cebirdeki hatalarını ortaya koydu. 

2) Kitab-ut Taraif-fi’l-Hisab: Bu eserde üç, dört ve beş bilinmeyenli denklemlerin çözüm metodları, örnekleriyle izah edilmektedir. Cebir problemlerinin çözümünde nesneler yerine harfler sembol olarak kullanılmaktadır. Eserin bir nüshası Hollanda’nın Leiden şehrindeki ünlü kütüphanede bulunmaktadır. 

3) Kitab-üş-Şamil fil-Cebr vel Mukabele, 

4) Kitab-ül-Vesaya bil Cüzuri, 

5) Kitab-ul-Cem’ vet-Tefrik, 

6) Kitab-ül-Hataeyn, 

7) Kitab-ül-Kifaye, 

8) Kitab-ül-Mesaha vel Hendese, 

9) Kitabü’t-Tayr, 

10) Kitabul-Miftah-il-Felah, 

11) Risale fil-Muhammes vel-Mu’aşşar.