Matematik dersi nasıl çalışılır?

Yapılmış tanımlara göre matematik bir ilim, bir sanat, bir estetik ve daha pek çok şeydir. “Matematik, bir uygulama alanı ve insan zekâsının belli ilişkileri anlamada merakından ortaya çıkan bir işlemler bütünü, düşünme biçimidir.”[Göker Lütfi, Matematik Tarihi ve Türk İslam Matematikçileri,1981]  İnsan, bilmediklerini fıtratı gereği hep öğrenmek ister. Dolayısıyla yaşadığı doğada karşısına çıkan her şeyi öğrenme ve zihnine göre tasarlayıp bir kalıba oturtmaya çalışmaktadır. İşte bu nedenden ötürü her ilim gibi bunlara temel teşkil eden matematik ilmi de meraktan ortaya çıkmıştır diyebiliriz. İnsanoğlunun merakı gereği ortaya çıkmış olan mekanik, fizik, tıp, astronomi, biyoloji, genetik, kimya gibi pozitif bilimlerde ve sosyal bilimler, tıp, jeoloji, psikoloji, müzik, sosyoloji, resim, sportif faaliyetler, arkeoloji, muhasebe, işletme, borsa, iktisat…vs. gibi pek çok alanda  matematiğe ihtiyaç duyulur ve yaygın bir şekilde kullanılır. Bu denli önemli olan bir ilim dalını öğrenmek için istekli ve gayretli olmak gerekir. Bu ilim dalından bir şeyler öğrenebilmek için yapılması gerekenleri acizane tecrübelerimle ifade etmeden önce kısa bir girizgah yapmak istiyorum. Matematikte başarıya ulaşmak için öncelikle matematikten pes etmeden çalışmaya karar vermeniz gerekmektedir. İsteksiz hiçbir şey olmaz. Matematik dersini başarabileceğinize inanmanız gerekmektedir. Kendinize güvenmeniz ve bu dersi başarabileceğinize olan inancınızla birlikte ilk adımı atmış olacaksınız. Unutmayın ki zor yollar tek bir adımla başlayarak aşılır. Çalışmaya karar verdikten sonra neler yapacağız. Aşama aşama bu ders çalışma tekniklerini ifade etmeye çalışayım. Burada anlatılanlar özelde matematik dersi için olmuş olsa da hemen hemen tüm bilişsel derslere de değiştirilerek uygulanabilir.

Öncelikle matematik çalışmaya karar vermeniz gerekmektedir. İsteksiz hiçbirşey olmaz. Matematik dersini başarabileceğinize inanmanız gerekmektedir. Kendinize güvenmeniz ve bu dersi başarabileceğinize olan inancınızla birlikte ilk adımı atmış olacaksınız. Unutmayın ki zor yollar tek bir adımla başlayarak aşılır. Çalışmaya karar verdikten sonra neler yapacağız. Aşama aşama bu ders çalışma tekniklerini ifade etmeye çalışayım. Burada anlatılanlar özelde matematik dersi için olmuş olsa da hemen hemen tüm bilişsel derslere de değiştirilerek uygulanabilir.

1) Matematik sayısal düşünme yeteneğine sahip olmayı gerektiren bir ders olduğu için öncelikle temel sayısal yeterliliğimizi geliştirmemiz gerekir. Bunun için en temel dört işlem becerisini iyi derecede öğrenmiş olmalıyız. Eğer burada eksikliğimiz varsa öncelikli olarak temel işlem becerilirimizi geliştiren alıştırmalar yapmalıyız. Toplama, çıkarma, çarpma, bölme, kuvvet alma, yüzde hesaplama, birim dönüştürme.vb gibi işlem becerilerine sahip olmamız en temel şarttır.

2) Hangi konuya çalışıyorsak, bu konunun gerektirdiği ön yeterliliklere sahip olmamız elzemdir. Çünkü alt konu öğrenilmeden üst kavramlar tam olarak anlaşılamaz. Örneğin; "problemler" konusu için öncelikli olarak "denklem kurma" ve "denklemi çözme" kavramlarının bilinmesi gerekir.

3) Sayısal dersler genel olarak tek başına öğrenilmesi güç olan derslerdir. Bu nedenle bir anlatıcıdan dinlemek anlayışımızı daha kolay hale getirecektir. Bu nedenle derslerde öğretmeni iyi dinlemek, kesintisiz olarak derse odaklanıp, merak ettiğimiz ve anlamadığımız yerleri hemen sorup öğrenmek ve ders işlenirken kısa kısa kendi cümlelerimizle notlar almak önemlidir.

4) Derse başlamadan önce konuyla ilgili merakımızı sağlayacak araştırmalar yapmak, internette ve yazılı medyada konu ile ilgi çekici dökümanları not etmek motivasyonumuzu arttıracaktır. Motivasyon ve güdülenmeyi sağlayacak hedefler oluşturmak odaklanmamızı sağlayacak şekilde merak duygumuzu derse yoğunlaştırmak dersin amaç ve hedeflerinden haberdar olmak, ders kavramlarının nerede nasıl kullanılacağını bilmek bize hazırlık aşamasında olumlu yönde katkı sağlayacaktır.

5) Bütün ön hazırlıkları tamamladıktan sonra, ders çalışma ortamında yer alan, istenmeyen tüm uyarıcıları çıkarmak özellikle telefon ve tv gibi dikkati çabuk dağıtan aletleri ders ortamından uzaklaştırmak gerekir. 

6) Masa başında ve dik bir oturuşla dikkati dağıtmayacak objeler eşliğinde, sade bir çevrede derse başlamak en iyisi olacaktır. Sessizliğin sağlanması da odaklanmamızı kolaylaştıracaktır. Işık ve ses düzeyinin ders çalışma şartlarına uyumlu olması gerekir. Ders çalışma esnasında atıştırmalıklar bulundurmak, sakız çiğnemek, müzik dinlemek, ..vs gibi etmenler dikkatimizin hızlıca dağılmasına sebep olacaktır.

7) Ders çalışmaya başladıktan sonra 35-45 dk aralıksız çalışmalı, daha sonra kesinlikle mola verilmelidir. Mola süresi bizi dersten ve ortamdan soğutacak kadar da uzun olmamalıdır. Matematikte konular birbirleriyle zincirin halkaları gibi bağlantılı olduğu için kısa zamanda çalışılıp bırakılmamalıdır. Sabredilerek çalışmaya devam edildiğinde konuların daha kolay öğrenildiği görülecektir.

8) Dersimizin ana kavramları çıkarılmalı, öğreneceğimiz kazanımlar belirlenmelidir. Örneğin; parabol konusu için, ikinci dereceden fonksiyonlar, grafik çizimi kavramları öğrenilecek şekilde bir kavram haritası oluşturulmalıdır. Formüller ezberlenebilir ki bu zaman zaman matematik dersinde gerekecektir lakin konu çalışmasında tamamen ezbere dayalı mantıktan uzaklaşılmış bir öğrenme kabul edilemez.

9) Önce konunun tüm detayları öğrenilmeli, özellikleri ve ispat gerektiren konu anlatımları tek tek incelenmeli kuru kuruya geçilmemelidir. Kavramlar, teoremler ve özellikler öğrenildikten sonra konu anlatım kaynağı kapatılıp kendi cümlelerimizle konunun özeti ve can alıcı noktaları çıkarılmalıdır. Matematik kavramları, teoremleri ve özellikleri mutlaka yazılarak not edilmelidir. Konu anlatımı çalışılırken kapsamlı bir kaynak kullanılmalı ve seviye düşük tutulmamamlıdır. Çok basit temel seviye kaynaklar sizi motive edecektir ama zamanla konunun özünden sapmanıza yol açacaktır. Seviyenizi dikkate alarak kaynaklarınızı düzgün seçmek, ve gittikçe daha derinlemesine kaynaklarla devam etmek önemlidir.

10) Özellikler ve konu anlatımı öğrenildikten sonra pekiştirme aşaması olarak örnek sorular ve alıştırmalar çözülerek konu pekiştirilmelidir. Bunun için önce çözümlü örnekler incelenmeli daha sonra aynı örneklerin çözümüne bakmadan kendimiz çözmeliyiz. Kavrama ve pekiştirme işleminden sonra konuyu değerlendiren soruların çözümüne geçilmelidir. Burada da zamana karşı çözüm yapılmalı ve soru sayısı ile hata sayısını %10 a indirene kadar pekiştirme çalışmasına devam edilmelidir. Örneğin; 20 soruluk bir test için süre olarak 20-30 dk arası seçilip yanlış sayısı olarak da azami 2 yanlış yapabilecek yeterliliğe gelinmesi o konunun tam olarak anlaşılmış olacağına işaret edecektir. Konu tam olarak iyice öğrenilmeden asla soru çözümüne geçilmemelidir. Konunun temel mantığı anlaşıldıktan sonra soru çözümüne geçilmelidir. Soru çözüm aşamasında sorular dikkatle incelenmeli ve asla sorular ezberlenmemelidir. Klasik problem tiplerinden ziyade muhakeme gücünü ortaya koyan soru tipleri ve problem tiplerinin çözümüne yoğunlaşılmalıdır. Seviyeye uygun kolaydan zora doğru olan sorularla soru çözmeye başlanmalıdır.

11) Konular öğrenildikten sonra haftalık tekrar çalışmaları yapılmalıdır. Birkaç konu birleştirilerek konu tarama testleri yapılarak tekrar çalışmaları genişletilmelidir. Unutmayın, matematik tekrar edilmezse çabuk unutulur.  Örneğin iki haftada bir çalışılan konulardan 40-50 soru hazırlanıp tekrar testi uygulaması çok faydalı olacaktır. Haftalık tekrarların ardından aylık olarak da tarama veya deneme testi hazırlanıp bunların çözümleri sağlanmalıdır. Yanlış yapılan konular gözden geçirilmeli, hatalar mutlaka bir bilene sorulup doğru olarak öğrenilmelidir.

12) Konu öğrenildikten sonra çeşitli video anlatımları dinlenerek farklı tekniklerin öğrenilmesi sağlanılmalıdır. Matematik problemlerinin çözümünde tek bir çözüm yolu yoktur. Ne kadar farklı ve mantıklı çözüm yollarına ulaşırsanız, düşünce ufkunuz artacak ve matematik dersinde başarılı olmanız bu şekilde daha kolay sağlanacaktır.

13) Son aşama olarak öğrendiğimiz konuyu mutlaka başkalarına anlatabilmek bize çok büyük fayda sağlayacaktır. Unutmayın; ilmin zekatı, onu başkalarına öğretmekten geçer.

Özetle 4 aşamalı bir çalışma planımız vardır. (Talep+Plan+Ders+Müzakere)
(Öncelikle istediğin bir hedef belirleyip çalışmaya karar ver. ) (Çalışmanı planla ve kavramlara göz gezdir.) (Öğretmen veya bir anlatıcı eşliğinde dersini çalış notlarını al.) (Dersin tekrarını mümkünse tek başına da olsa anlatarak yap.)

Burada anlattığımız düşünceler genel çalışma şartlarıdır. Her birey farklı yapıdadır. Bu nedenle herkesin kendi anlayışına göre bir çalışma ortamı geliştirmesi en önemli mevzudur. Son olarak her dersin herkes tarafından bir anda tam olarak anlaşılması beklenemez. Fıtri olarak bazı derslere daha yatkın ve bazılarına karşı da sonradan edindiğimiz çevresel şartlar nedeniyle daha az yatkın olabiliriz.  Balıktan uçmasını ve kuştan da yüzmesini beklemek akla zıttır. Yaratılış özelliklerimiz ve yetiştiğimiz çevresel koşullar eşliğinde elde ettiğimiz özelliklerimizi geliştirmek, ancak yoğun bir çaba ve tam bir istekle mümkün olacaktır. Yeterlilik seviyemiz ne olursa olsun her konuda bizi idare edecek kadar ortalama bir idrak seviyesine ulaşabilmek için en temel şart, merak edip araştırmaktan ve düzenli/istikrarlı çalışmaktan geçer. Çalışma ve çaba ne kadar çok olursa anlayışımız o derece artmış olacaktır. Allah, ilmi isteyen ve bu doğrultuda çalışan kullarına verir. Talebe kelimesinin anlamı da ilmi isteyen arzulayan demektir. İlim, Allah'ın bir sıfatıdır. Bu ilim sıfatından bir nebze faydalanmak için bizlere düşen görev; gayretli ve istekli olmaktır.

Allah muvaffak etsin. Kolay gelsin iyi çalışmalar..

05/01/2020

Kadir PANCAR

Matematik Öğretmeni

Matematikten Korkmayın

"Matematik, zorlanılan dersler arasında yer alıyor. Lübnan’daki Amerikan Teknoloji Üniversitesi’nde Sanat ve Beşeri Bilimler Bölüm Başkanı ve Uluslararası İlkokul Eğitimi Lisans Bölümü resmi danışmanı Dr. Marjorie Henningsen’e göre, ‘matematiğin korkulu bir ders’ olarak algılanmasının nedeni öğretim şekliyle ilgili. “Çoğu çocuk matematiği çok zekilerin ya da süper zekâlıların yapabileceği bir şey olarak görüyor” diyor. Boğaziçi Üniversitesi’nde bir seminer veren Henningsen’in çocuklara matematiği sevdirmek için velilere ve öğretmenlere birkaç tavsiyesi de var. 

Öğrencilerde matematiğe karşı bir korku var. Sizce bu neden kaynaklanıyor? - Bunun nedeni daha çok öğretim şeklimizle ilgili. Yöntemlerimizle, metotlarımızla alakalı. Matematiği okullarda çocuklarımıza nasıl veriyoruz? Sanki onlara gerçek dünyayla ilişkisi olmayan, pratikte kullanılamayacak bir şeymiş gibi öğretiliyor matematik. Bu yüzden de hep korkarak büyüyorlar. Çoğu çocuk bunu çok zekilerin ya da süper zekâlıların yapabileceği bir şey olarak görüyor, bu da bir problem. Okullarda uygulanacak daha iyi bir yöntem bulmalıyız, metodumuzu değiştirmemiz gerekiyor. 

Türkiye’deki matematik eğitimini nasıl buldunuz? - İki yıl önce Türkiye’de bir özel okulda gözlem yapma fırsatım oldu. Matematik dersinde müfredata göre nelerin işlenmesi gerektiğini biliyorum. Çoğu okulun, yapılması gereken ipuçlarını takip etmediğini düşünüyorum. Sınıfta daha görsel aktiviteler kullanılabilir. Tahtayı ve duvarları süsleyerek bir şekilde öğrencileri derse davet etmenin, onların ilgisini çekmenin yollarını bulmalıyız. Onlara matematiğin sadece bir ders, konu değil, hem dünyaya bakış açısı kazandırdığını, hem de çevrelerinin bir parçası olduğunu, kültürlerinde ve tarihlerinde bir yeri bulunduğunu anlatmalıyız. Ama sistem açıcısından buna yönelik pek kanıta rastlamadım. Türkiye’deki eğitim sisteminin öğrenciye şunu yapacaksınız şeklinde tanımlayıcı bir yanı var. Böyle yaptıkça matematiğin gerçek hayattaki yansımasından bir şekilde koptuğunu düşünüyorum. Çoğu okulda da durum böyle. Sadece Türkiye’ye de özgü değil, bu her yerde yaşanıyor. Hâlâ 100 yıl önceki teknikleri kullanıyoruz. Birçok ülkenin müferatında kötü şeyler yazmıyor. Ancak müfredatı uygulamada çok büyük sıkıntılar var. 

Ders Kitapları bir kılavuz ama tek kaynak değil. Türkiye’deki bazı matematikçiler okullarda dersin işleyişi için daha özgür bir uygulama alanının olması gerektiği görüşünde. Sizce de böyle mi olmalı? - Evet. Asıl problem, öğretmenlerin ders kitaplarına olan bakış açısından kaynaklanıyor. Çünkü biz de hocalar olarak bu şekilde büyüdük. Bize de ders kitabını sayfa sayfa takip etmemiz ve ödevlerimizi ona uygun yapmamız gerektiği söylendi. Aynı insanlar büyüyüp hoca olunca da yine bu şekilde işliyor dersi. Müfredattan ziyade kitabın sınıfa girdiği andan itibaren sadece öğretmenlerin değil, velilerin ve okul idarecilerinin de, “Kitap geldi tamam. Her şeyi buradan takip edeceğiz” şeklindeki bakış açısı iyice sınırlıyor. Niye kitap bize ne yapacağımızı her şeyiyle dikte etsin ki? Ders kitabı faydalı, işimize yarayabilecek bir kaynak ama neden onu öncelikli, ana kaynak haline getiriyoruz? Şu an etrafımızda sonsuz sayıda kaynak bulunuyor, neden onunla sınırlı kalalım? Geleneksel bir bakış açısı var. Belki ders kitaplarının öncelikli kaynak olması durmunu ilkokul öğrencileri için kaldırıp, sadece yetişkinlerin matematik öğreniminde kullanabiliriz. İlkokulda onlardan takip etmemiz rotaları gösteren bir kılavuz olarak yararlanabiliriz. Sınıfta daha az kitap odaklı bir yönteme geçsek bile ebeveynler gelip şikayet edecek. “Neden derste kitabı takip etmiyorsunuz, biz çocuğun öğrenip öğrenmediğini nasıl anlayabileceğiz? Bizim elimizdeki kılavuz bu” diye baskı yapan ebeveynler olabilir. Bu çok katmanlı bir süreç. Bunun için sadece müfredatı suçlamak doğru değil, bir sürü faktör var. Ebeveynleri de buna hazırlamak gerekiyor. En önemlisi öğretmenlerin de kendini geliştirmesi ve ders kitabıyla olan ilişkisini değiştirmesi lazım. 

Öğretmenlere Öneriler: Ebeveynler için söylediklerimiz öğretmenler için de geçerli. Öğretmenler bu konuda daha özgür olmalı. Ders kitaplarıyla ilişkilerini değiştirmeliler. Yeni kaynaklara daha fazla yönelmeliler. Çocukların ilgi alanlarını keşfedip, buna uygun aktiviteler yapmalılar. Çocuklar buna öncülük etmeli, onlara özgürlük tanınmalı. Müfredattaki aktiviteler öğrencilerin ilgi alanlarına göre düzenlenmeli. Aslında öncelik çocuğun bakış açısına verilmeli. Müfredatta “Şu beceriyi çocuğa kazandır” şeklindeki bir ifade öğrencinin ilgi alanlarından daha belirleyici olmamalı. Ancak uygulamada bu yapılmıyor. Gereken yetenekleri çocuklara kazandıracağız ama onlara daha doğal gelen bir şekilde yapacağız bunu. Onları da dinlemek gerek. Sorunlarımızın kaynağı, çocuklara söz hakkı vermememiz. Odak noktasını çocuğun bakış açısına çevirmeliyiz. “Şimdi şunu yapmalıyız” gibi sürekli onlara zaman çizelgesi sunuluyor, bu olmamalı. 

Matematiği Sevdirmenin Yolları Ebeveynlere çok rol düşüyor. Eğer çocukların dünyayla ve çevrelerinde olup bitenlerle ilgilenmelerini sağlarsanız, bu çok şey değiştirir. Etraflarındaki sayılabilecek şeylerden, objelerden bahsedebilirsiniz. Onlarla sohbet edebilirsiniz ve buna çok erken yaşta başlamalısınız. “Bunu buradan alırsam ne olur?” gibi cisimlerin kendi aralarındaki etkileşimlerinden bahsetmek ve farkındalıklarını arttırmak, olup bitenlerle ilgili daha çok düşünmelerini sağlamak gerekiyor. Sayı sayma işini oyun haline getirebilirsiniz. Örneğin araba yolculuğu yaparak birkaç sokak ilerideki bir markete gidiyorsanız, “Yol üzerinde kaç tabela gördün, hadi bunları say” diyerek bu işi oyun haline getirebilirseniz, kısa bir yolculuk bile çok işe yarayabilir. Özellikle sayı, çokluk ve veri toplanması becerileri küçük yaştayken kazandırılabilir. Ebeveynler olarak kendinizi öğrenci yerine koyup “Haydi ben de sayıyorum, birlikte sayalım” gibi çocuğu teşvik etmeniz yararlı olur. Çocuklar ailelerine özeniyor, onları taklit ediyorlar. Erken yaşlarda başlayan etkileşim çok önemli. Aileler şu an o kadar meşgul ki elimizdeki telefonlar bile birbirimizin arasındaki etkileşimi engelliyor. Bazen de aileler çocuğun büyümediğini düşünüyor, gelişmiş bir insan olarak algılamıyor, yanılgıya düşüyor. Onun da kendi ilgi alanları, yapmaktan hoşlandığı şeyler var. Onun bu yönlerinin geliştiğini fark eder ve ona göre davranırsanız her şey daha güzel olur ve bu okul başarısına da yansır. Çocuklarla bir birey gibi konuşmak, onlarla böyle etkileşime geçmek gerek. Şarkı ve tekerleme ile değil. Onlara yetişkin gibi muamele yapılması önemli. Sayma, gruplama, büyük-küçük terimler gibi matematik kavramları gerçek hayatta da karşımıza çıkıyor. Sadece derste değil hayatında, çevresinde de gördüğü bu terimlerin farkına varmasını sağlayabilirsiniz. Ebeveynlerin tavsiyeleri çok önemli. Okul yönetimine ve hükümete bu konuda tavsiyelerde bulunmalısınız. “Biz böyle öğrendik, onlar da bu şekilde eğitilmeli” dememeniz gerekiyor. Çünkü zaman değişti, artık hiçbir şey eskisi gibi değil."

Kaynak: http://www.hurriyet.com.tr/matematik-hayatin-gerceklerinden-biri-korkmayin-40054524

Matematiksel Modelleme ve Problem Çözme

Modelleme ile ilgili önemli sorulardan birisi, modelleme ile problem çözme arasında bir fark olup olmadığı; eğer varsa bu farkın ne olduğudur. Matematiksel modelleme en çok geleneksel sözel problemlerle karıştırılabilmektedir. Reusser ve Stebler’e (1997) göre geleneksel sözel problemler, öğrencilerde kitapta olan veya öğretmen tarafından sorulan her problemin çözülebilir ve çözülmesi gereken bir problem olarak düşünme; problem anlaşılmadı ise doğru matematiksel işlemleri seçmek için anahtar kelimelere veya daha önce çözülen benzer problemlere bakma gibi bazı didaktik kabullerin gelişmesine sebep olmaktadır. Ayrıca, sözel problemlerde gerçek hayat durumu gibi yansıtılan durumlar genellikle bir gerçek hayat durumu da değildir (Niss ve ark., 2007). Bu problemlerde bütün değişkenler belli, idealleştirilmiş ve gerçeklikten uzak, yapay bir durum söz konusudur.
Sözel problemleri çözerken öğrenciler sıklıkla gerçek hayat durumlarını ve deneyimlerini göz önünde bulundurmadan sadece işlemlere odaklanmaktadırlar (ör. Greer, 1997; Nunes, Schliemann ve Carraher, 1993). Sözel problemlerdeki gerçekçi durumu öğrencilerin nasıl algıladıklarını matematiksel modelleme bağlamında inceleyen birçok çalışma vardır (Greer 1997; Verschaffel ve De Cor - te, 1997; Verschaffel, De Corte ve Borghart, 1997; Verschaffel ve ark., 2002). Bu çalışmalarda öğrencilerin sözel problemleri çözerken gerçek hayat durumlarını da göz önünde bulundurma becerilerini geliştirmek hedeflenmiştir. Kullanılan soru türleri aşağıdaki örnekte de görüldüğü gibi geleneksel sözel problemlere çok benzemekle birlikte, göz önünde bulundurulması gereken bir gerçek hayat durumu söz konusudur.

 “228 kişilik bir turist kafilesi yüksek bir binanın tepesinden şehri izlemek istemektedir. Binada kapasitesi 24 kişilik tek bir asansör bulunmaktadır. Asansör bütün kafileyi binanın tepesine çıkarabilmek için kaç sefer yapmalıdır?” (Vers - chaffel ve De Corte, 1997, s. 584)

 Bu problemde, geleneksel sözel problemlerden farklı olarak (ondalık) kesir olarak çıkan bir sonucun öğrenciler tarafından nasıl yorumlandığını sorgulamaktadır. Burada öğrencilerin sözel problemlere verdikleri cevapları gerçek hayat bağlamında da test etme becerilerini geliştirme amaçlanmıştır. Yani 228’in 24’e bölümü sonucu kalan 12 kişi için asansörün bir sefer daha yapması gerektiği fikri öğ - rencilere kazandırılmaya çalışılmaktadır. Böylece bu tür sözel problemler matematiksel modelleme için başlangıç uygulamaları olabilir (Verschaffel ve De Corte, 1997). Ancak yine de, bu tür problemlerde idealleştirilmiş bir gerçek hayat durumunun bütün bilinenleri, bilinmeyenleri ve sonucu bulmak için yapılacak işlemler anahtar kelimelerle sorunun içerisinde gizlenmiştir. Lingefjard (2002b), modelleme sürecinde öğrencilerin yaşadıkları birçok alt sürecin problem çözme olduğunu ve matematiksel modelleme ile problem çözme arasında bir karşılaştırma yapmanın çok anlamlı olmadığını ifade eder. Fakat yine de, matematiksel modelleme ve geleneksel problem çözme arasındaki farklar ve benzerlikler birçok araştırmacı tarafından incelenmiştir (ör. Lesh ve Doerr, 2003a; Lesh ve Zawojewski, 2007; Mousoulides, Sriraman ve Christou, 2007; Zawojewski ve Lesh, 2003). Bu çalışmalarda geleneksel problemlerle kıyaslandığında matematiksel modelleme problemlerinin daha açık uçlu, öğrencilere farklı düşünme fırsatları sunan, daha gerçekçi ve anlamlı öğrenmeyi destekleyen özelliklere sahip olduğu ifade edilmektedir.
Lesh ve Zawojewski (2007), Polya geleneğini devam ettiren problem çözme çalışmalarının betimsel düzeyde kalmakta olduğu ve öğrencilerin gerçek hayatta problem çözme becerilerini geliştirme sorununa bir çözüm sunmadığı için eleştirmektedir. Bu araştırmacılara göre problem çözme alan yazınında bahsedilen problemi anlama, bir strateji belirleme, uygulama ve test etme gibi aşamalar çalışmaların çoğunda ortaya çıkan ve farklı terimlerle adlandırılan sıralı yapıyı ifade etmektedir. Bununla birlikte, yine alan yazında belli başlı problem çözme stratejileri tanımlanmaktadır. Gerçek hayatta bireylerin ileriki yaşamlarında karşılaşabilecekleri problem durumları daha karmaşık olacaktır. Lesh ve Doerr (2003a) ve Lesh ve Zawojewski (2007) gibi araştırmacılar tarafından tartışılan fikirler doğrultusunda hazırlanan matematiksel modelleme ve problem çözmenin bir karşılaştırması aşağıda verilmiştir.

Problem Çözme ve Matematiksel Modellemenin bir Karşılaştırması (Lesh ve Doerr [2003a] Lesh ve Zawojewski’den [2007] derlenmiştir.)

Matematiksel Modelleme Yaklaşımları

Matematik ile gerçek hayat arasında bağ kurmaya çalışan her tür uygulama matematiksel modellemeyle ilişkilendirilebilir. Fakat farklı teorik altyapılar çerçevesinde matematik eğitiminde modelleme kullanımına yönelik farklı yaklaşımlar söz konusu olup uluslararası çalışmalarda da henüz ortak bir anlayış oluşmamıştır (Kaiser, Blum, Borromeo Ferri ve Stillman, 2011; Kaiser ve Sriraman, 2006). Bazı araştırmacılar modellemeyi matematik eğitiminde yapılandırmacılığın da ötesinde bir paradigma, eğitim ve öğretimi yorumlamada yeni bir yaklaşım olarak benimserken (Lesh ve Doerr, 2003a, 2003b) bir kısım araştırmacılar matematiksel modellemeyi gerçek hayat durumlarının matematiksel dilde ifade edilmesi, hazır verilen matematiksel yapıların, modellerin ve formüllerin gerçek hayatta uygulamaları olarak görmektedir (Haines ve Crouch, 2007).

Matematiksel modelleme alanında yapılan çalışmalarda tartışılan konuların anlaşılması için bu farklı yaklaşımların benzer ve farklı yönleri irdelenmelidir. Ancak ne yazık ki, birçok araştırmacı tarafından dile getirilmekle birlikte henüz matematiksel modellemenin anlaşılmasındaki farklılıklara yönelik ayrıntılı ve sistematik bir şekilde analiz eden bilimsel çalışmalar yeterli düzeyde değildir (Kaiser, 2006; Kaiser ve Sriraman, 2006; Sriraman, Kaiser ve Blomhoj, 2006). Bu nedenle, matematiksel modellemenin öğrenimi ve öğretimi ile ilgili tüm dünyada kabul gören bir teoriden bahsetmek de henüz mümkün değildir (Kaiser ve ark., 2006).
International Commission on Mathematical Instruction (ICMI) ve the International Community of Teachers of Mathematical Modelling and Applications (ICTMA) tarafından düzenlenen kongrelerde modellemeyle ilgili sunulan çalışmaların genel hedefleri ve teorik çerçeveleri göz önünde bulundurularak Kaiser (2006) ile Kaiser ve Sriraman (2006) tarafından yapılan sınıflandırma bu konuda faydalı bir bakış açısı sağlamaktadır. Araştırmacılar sınırlı sayıdaki çalışmaları inceleyerek bunlara yön veren Matematiksel Modelleme yaklaşımlarını 6 başlık altında sınıflandırmaktadırlar: ( i) gerçekçi veya uygulamalı modelleme, ( ii ) bağlamsal modelleme, ( iii ) eğitimsel modelleme, ( iv ) sosyokritik modelleme, ( v ) epistemolojik veya teorik modelleme ve ( vi ) bilişsel modelleme. Bu sınıflandırmada her bir yaklaşım matematiksel modellemenin farklı bir yönünü ön plana çıkarmaktadır.
Gerçekçi veya uygulamalı modelleme yaklaşımı, öğrencilerde problem çözme ve modelleme becerilerini geliştirmeyi hedeflemektedir. Bu yaklaşımda öğrencilere mühendislik ve diğer bilim dallarından problem durumları verilerek öğrendikleri matematiksel bilgileri farklı bağlamlarda uygulamaları önemsenmektedir. Bağlamsal modelleme yaklaşımında öğrencilere yapaylıktan uzak anlamlı gerçek hayat durumları verilmektedir. Böylece öğrencilerin matematiksel kavramları uygun bağlamlar içerisinde tecrübe ederek daha anlamlı öğrenebilecekleri varsayılır.
Eğitimsel modelleme ise gerçekçi modelleme yaklaşımı ile bağlamsal modelleme yaklaşımının bir çeşit karması olarak düşünülebilir. Bu yaklaşımda matematiksel modelleme ile uygun öğrenme ortamlarının ve süreçlerinin oluşturularak öğrencilere kavramların öğretilmesini amaçlamaktadır.
Sosyokritik modelleme yaklaşımı ise matematiğin sosyokültürel ve etnomatematik boyutlarına odaklanmaktadır. Bu yaklaşıma göre matematik öğretimi ile öğrencilere kendi yaşadığı topluma ve kültürel yapıya özgü kullanabileceği eleştirel düşünme becerileri kazandırılmalıdır. Bunu gerçekleştirmede matematiksel modelleme etkinliklerinin önemli olduğu düşünülmektedir. Bu çerçevede modelleme sürecinde öğrencilerin basitten karmaşığa doğru matematiği kullanarak tartışmaları onların eleştirel düşünme becerilerinin gelişmesine katkı sunacağı varsayılır.

Epistemolojik veya teorik modelleme yaklaşımı ise matematiksel modellemede, matematiksel kavramlar arasındaki ilişkileri ve öğrencilerin bunlar üzerinde konuşmalarını ön planda tutmaktadır. Bu yaklaşıma göre modelleme etkinliklerindeki gerçekçi bağlam ikinci planda olup, içerisinde matematik olan her uğraş bir modelleme etkinliği olarak kabul edilir. Son olarak, bilişsel modelleme yaklaşımı ise modelleme sürecinde öğrencilerin yaşadıkları bilişsel ve üst bilişsel düşünme süreçlerinin analiz edilmesine odaklanmaktadır. Bu yaklaşıma göre modelleme etkinlikleri öğrencilerin düşünme süreçlerini anlama ve destekleme amacıyla öğretmenlere yol gösterici bir ortam sunmaktadır. Kaiser (2006) ile Kaiser ve Sriraman (2006) tarafından öne sürülen sınıflandırma, sistematik bilimsel bir analizden ziyade araştırmacıların öznel yorumlarını içermektedir. Bu sınıflandırmadaki modelleme yaklaşımlarını birbirinden kesin sınırlarla ayırmak pek de mümkün değildir. Nitekim bunun yüzeysel bir sınıflandırma olduğunu bu araştırmacıların kendileri de belirterek matematiksel modelleme ve ilgili kavramları üzerine ortak anlayışı artırmak ve derinleştirmek için bu konuda daha ayrıntılı çalışmaların yapılması gerektiğini önermektedirler. Kaiser ve Sriraman (2006) tarafından yapılan sınıflandırma farklı matematiksel modelleme yaklaşımlarını ve anlayışlarını ifade etmekle birlikte aralarındaki farkı net bir şekilde ortaya koymamaktadır.
Matematiksel modellemenin matematik öğretiminde kullanım amacı bakımından daha basit bir sınıflandırma yapmak mümkündür. Genel olarak bakıldığında matematiksel modellemenin matematik eğitiminde kullanım amacına yönelik iki farklı yaklaşımdan söz etmek mümkündür: ( i ) matematik öğretiminin amacı, ( ii ) matematiği öğretmek için kullanılan bir yöntem (araç) (Galbraith, 2012; Gra vemeijer, 2002; Julie ve Mudaly, 2007; Niss ve ark., 2007). 

Birinci yaklaşımda matematik öğretimi ile hedeflenen öğrencilerin modellerinin ve bu modelleri kullanarak matematiksel modelleme yapabilme becerilerinin geliştirilmesi hedeflenir. Matematik sel kavram ve modeller verildikten sonra gerçek hayat uygulamaları ile desteklenir. Bu yaklaşımda matematikten gerçek hayata (matematikten gerçek hayata) doğru bir yönelim vardır. 

İkinci yaklaşımda ise matematiksel modelleme matematiksel kavram ve modellerin öğretilmesinde bir yöntem ve bağlam olarak kullanılır. Bu yaklaşımda ise gerçek hayattan matematiğe doğru bir yönelim söz konusudur. Birincisinde matematiksel yapılar, kavramlar ve modeller idealleştirilmiş gerçek hayat durumlarında uygulanacak birer hazır “obje” olarak ele alınırken ikincisinde ilgili matematiksel yapıların oluşturulması, geliştirilmesi ve genelleştirilmesini ifade eden “sürece” daha çok vurgu yapılmaktadır.  Yazının tam PDF metni için tıklayınız.

Ayhan Kürşat ERBAŞ
Orta Doğu Teknik Üniversitesi

Matematik hayatta ne işe yarar?

Matematik öğretimi ve burada yapılan yanlışlıklarla ilgili olarak Sevinç Feyzioğlu tarafından  Prof Kadri Arslan ve Prof Murat Altun ile yapılan bir röportajın bazı kısımlarını yayınlamayı faydalanmanız için siz öğrencilerimizle ve matematik meraklılarıyla paylaşıyorum. Tam metin için aşağıdaki adresi kullanabilirsiniz. 

"Bugünkü konuklarım “matematikçi”ler… Hani birçoğumuzun nefret ettiği matematik için kafa patlatanlar… İkisi de Uludağ Üniversitesi’nde profesör… Prof. Dr. Kadri Arslan Fen Edebiyat Fakültesi’nde matematikçi yetiştiriyor… Prof. Dr. Murat Altun ise Eğitim Fakültesi’nde matematik öğretmeni yetiştiriyor. KORKUNUN NEDENİ? Matematikçilere ilk sorum, “Çocuklar matematikten neden korkuyor?” oldu doğal olarak. Öğrenciye yaptığını bana da yapıyor ve “İnsan bir şeyden niye korkar?” diyerek karşı soruyu yöneltiyor hemen. Hazır yanıtı verme yerine öğrencinin düşünmesini sağlama taktiği… “Burada soruları ben sorayım yanıtları siz verin” diyemiyorum tabii… Mmmm… Düşünme moduna geçip yanıtlıyorum: “Korkunun nedeni, bilmemek olmalı… Gözünde büyütmek olmalı…” diyorum. Tam isabet galiba… Çünkü “Evet” diyor “bilmediği için korkar ve ulaşılması zor bir şey gibi görür. Bu korku matematiğin öğrenciye nasıl anlatıldığıyla ilgilidir. Çocuk bir dersi anlamaz ve bunları biriktirirse sorunlar katlanarak devam eder. Çünkü matematikte konular zincirleme gider ve bu halkalardan biri koparsa birike birike artık içinden çıkılmaz hale gelir ve korku başlar.” Öğretmenlerin matematiği sınıfta eğlenceli bir şekilde, güncel, hayatın içinden örneklerle, öğrenciyi katarak anlatması gerekiyormuş. Bir düşünün bakalım, bugüne kadar matematik dersleriniz nasıldı? Birkaç istisna hariç, öğretmen tahtaya geçer, x, y, z; ilerledikçe trigonometri, sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjant, logaritma… Birçok kavram anlatır. Sınıf geçmek için formüller, denklemler ezberlenir, sınavlardan sonra belleğimize sünger çekilmiş gibi olur. Hiçbir şeyi hatırlamayız. Yanlış mı? 

 

MATEMATİK DİLİNİ BİLMEK GEREK Prof. Dr. Kadri Arslan, matematiğin özel bir dili olduğunu belirterek, en büyük hatanın bu noktada yapıldığını söyledi. “Matematik bir bilimdir ve fizik, kimya, biyoloji, mühendislik gibi fen alanlarını kapsayan bilimlerin temelidir. Aslında matematik bir dildir. Kendine has bir dili vardır. Matematik yapabilmek için bu dili öğrenmek gerekir” dedi. Aman hocam, matematik hayatta ne işe yarar ki, bizim için asıl gerekli olan Osmanlıca’dır. Osmanlıca’yı bilmeden diğer bilimler yapılabilir mi? Şimdi bir de matematik dili mi çıkardınız? Her neyse, bir dahaki Milli Eğitim Şûrası’na belki matematik dili de önerilir, belki kabul edilir. Matematik dilini nasıl öğreneceğiz peki? Hocamız yanıtladı: “Bu alfabeyi okul öncesinden başlayarak oyunlar içinde öğretmeye başlamalıyız, taa üniversiteye kadar…” Bu matematik dili denen şey de, kimisi Yunan kimisi bizim alfabemizde yer alan harflerden ve çeşitli simgelerden oluşuyor. 

HERKES MATEMATİĞİ SEVMEK ZORUNDA MI? Matematik olmadan hayatımızı sürdüremiyor muyuz ki, sevelim? Matematik hayatımız için çok mu önemli? Hayatta ne lazım bunca simge, işaret, denklem vs… Prof. Dr. Arslan’ın bu konuda söyledikleri ilginç. “Matematik insana matematiksel düşünmeyi öğretir. Çünkü teorik felsefeyle iç içedir. Matematiğin içinde felsefe de vardır, mantık da… Bu yüzden günlük hayatımızda matematiksel düşünce çok işimize yarar. Efendim ben ilerde sosyal alanı seçeceğim bana matematik gerekli değil demek yanlıştır. Bütün insanlara matematik gereklidir. Çünkü matematiksel düşünce bir şekilde insanların hayatını kolaylaştırır.” İşte Hoca’nın bu konuda verdiği örnek… “Tıp Fakültesi’nde bir öğretim üyesini ele alalım. Hastayı muayene edince bir şekilde tedaviye geçecek… Anında matematiksel düşünce devreye girer. Hastayı ameliyat etmeye karar vermeden önce elindeki verileri toplar, röntgenler, kan değerleri, hastanın şikâyetleri, MR veya ultrason sonuçları… Bunlardan bir sentez yapar ve karar verir. Matematiksel düşüncesi gelişmemişse, karar verirken hata yapabilir. Bu hata pahalıya da mal olabilir.” 

Elbette hayatta “pi” sayısı karnımızı doyurmuyor, “sonsuz” işaretini cebimizdeki paranın sonuna eklediğimizde zengin de olmuyoruz, bilinmeyenli denklemde “x”i bulduğumuzda büyük bir “kâşif” de olmuyoruz ama kazandığımız bir şey var: Matematiksel düşünme yöntemi. 

NASIL ÖĞRENMEK GEREK? Hatırlar mısınız bilmem lisede “eksponansiyel fonksiyon” diye bir şey vardı. Y eşittir e üzeri X…Bu ne işe yarar? Ben bilmiyordum, hocamız anlatana kadar… “Biliyorsunuz bir ara domuz gribi vardı. Bu virüsün üremesi, çoğalması, ekponansiyel fonksiyon grafiği şeklindedir. Zaman geçtikçe mikrop çok hızlı ürer. Bu eksponansiyel artmadır. Bir de azalma var. O da şu. Radyoaktif elementler zamanla radyoaktif özelliklerini yitirir. O da azalan ekporansiyel eğri şeklindedir. Bunları öğrenciye vermek lazım. Bunları öğrenciye örneklemeden anlatırsanız havada kalır.” Kıssadan hisse… Tıpta araştırmacı olup virüslere karşı çalışma yapacaksanız, düşmanınızın çoğalma grafiğini bilmelisiniz.  

MATEMATİK HAYATIN İÇİNDE Son zamanlarda bilgisayar programlarının da devreye girmesiyle neredeyse her şeyin altından matematik çıkıyor. Matematikçiler, artık bitkilerin büyümesini de matematiksel modellerle ifade edebiliyorlar. Hiç düşündünüz mü, bitkilerin büyümesi neden aynı hızla olmuyor? Aynı hızla büyüselerdi gökyüzüne kadar yükselirlerdi değil mi? Buna kafa yoran matematikçiler, bitkilerin büyüme modeli olduğunu bulmuş. Mealini söyleyeyim, her bitki, türüne özgü bir formüle bağlı olarak büyüyüp gelişiyormuş. Matematiğin girmediği alan hemen hemen yok gibi. Ekonomide, siyasette… Malzeme biliminde mesela. Bir malzemenin esnekliği ya da dayanıklılığı, direnci tamamen matematiksel hesaplarla yapılıyormuş. Otomobillerin parçaları da öyle… Yeni bir model üretmek için arabanın geometrik modelini oluşturuyorlar, dış görünüşünü. Tüm hatlar, camların şekillerinin bile matematiksel formülleri var. CNC tezgâhlarında üretim komutu verirken o modeller kullanılıyormuş. Siz siz olun matematiği hafife almayın.  

Bu kapsamda, Prof. Dr. Arslan’ın matematik öğretenlere bir diyeceği var. “Amerika’da bir araştırma yapılmış. En kalıcı öğrenmenin seminer şeklinde ya da görsel anlatımla yapılan olduğu ortaya çıkmış. Tahtaya çıkıp ezber şeklinde anlatıldığında akılda kalma oranı yüzde 20, öğretmen derste görsel sunumla anlatırsa yüzde 60, çocuğun kendisi bir şeyler hazırlayıp sunum şeklinde olursa yüzde 80’lerin üzerinde… Bizim eğitim sistemimizde ne yapılıyor? Daha ziyade tahtaya yazılıp geçiliyor. Çocuk bunu öğrendi mi, öğrenmedi mi dikkat edilmiyor.” Anne-babalara ise şunları söylüyor Hocamız: Diyelim öğretmen okulda matematik derslerini öyle ya da böyle anlattı. Çocuğunuzun bu dersi başarmasını istiyorsanız, evde onun “huşu” içinde -ibadet eder gibi tam bir konstrasyon içerisinde- ders çalışmasını sağlamalısınız. Diyor ki Prof. Arslan, “Namaz kılan insanın yanında def çalamazsınız, gürültü yapamazsınız. Matematik çalışılan ortamda konstantrasyonun bozulmaması lazım. Cep telefonu, televizyon, müzik vs. ile matematik olmaz.”  

MATEMATİKÇİLER NE İŞ YAPAR? Fen Edebiyat Fakültesi Matematik bölümünden mezun olan çocuklar matematikçi yetişiyor. Eğitim Fakülteleri’nde pedagojik formasyon alırlarsa öğretmen olabiliyorlar. Prof. Dr. Kadri Arslan’ın söylediğine göre, mezun olanların birçoğu dershanelerde öğretmenlik yapıyormuş. İlginç gelecek, bazı büyük şirketler de matematikçi çalıştırmaya başlamış. Özellikle de bankalar. “Nerde matematikçi varsa orada hata payı azalır” diyor hocamız…“Öğrenciyi kâşif yapmak lazım” Prof. Dr. Murat Altun, matematiğe “âşık” bir eğitimci. Ortaöğretimde en çok onun kitapları okutuluyor. O şimdi, Uludağ Üniversitesi’nde matematik öğretmenleri yetiştiriyor. Ve matematiği sevdirmek için sürekli arayış içinde… Kırk yıldır üzerinde çalıştığı bir model geliştirmiş ve şu sıralarda Yunanistan’da uluslararası bir sempozyumda, dünyaya bu modeli sunuyor. Ayrıntı vermiyor, şimdilik sadece modelin adının “taşıyıcı soru çerçevesinde öğretim” olduğunu söylemekle yetiniyor. Matematiği sevdirmenin yolunun öğrencinin kendisini “kâşif” gibi hissetmesinden geçtiğini savunuyor. Öğrenciye sonucu vermiyor, “bulduruyor” sonra bunun bir denklemi veya formülü olduğunu söylüyor. 

Söyleşimiz sırasında beni de öğrenci havasına sokmadı değil… Hadi ben de size aktarayım, siz bulun? Bir A4 kâğıdını enine çevirip rulo yapın, silindir olsun. Aynı kâğıdı bir de boyuna çevirip uzun silindir yapın. Soru şu: Bunlardan hangisi daha çok pirinç alır? Kâğıt aynı olduğu için benim yanıtım, “ikisi de aynı miktarda alır” oldu. Ama siz bu tuzağa düşmeyin. Bu matematik ciddi iş… Denemek lazım…

Eğitimci Prof. Dr. Murat Altun, Türkiye’de matematik eğitiminin en önemli probleminin, bilgi aktarımını yapıp, beceri kısmına önem vermemek olarak değerlendiriyor. Yani öğrenci, matematiği niçin öğrendiğini bilmeden öğreniyor, ezberliyor. “Öğretimde değiştirilmesi gereken iki temel husus var. Öğrencilerin matematik öğretimi, ‘bilgiyi keşfetme-bilgiyi üretme- kendi öz bilgisi ile bilgiyi oluşturma’ formatında olmalıdır. Bilgiyi üretme bizim eğitim sistemimizde hemen hemen yok. Öyle bir problem soracaksınız ki öğrenciler kendi düşünme ortamlarında matematiği yeniden inşaa edecekler.” Örnek veriyor, eğitimci alışkanlığıyla hemen… “Şu masanın uzunluğu hakkında telefonla bir arkadaşınıza bilgi vereceksiniz. Bunu nasıl yaparsınız?” Çocukları seferber ediyor hemen… Çocuklar başlıyor karışlarıyla, kulaçlarıyla, adımlarıyla ya da kalem boylarıyla ölçmeye… Doğal olarak herkeste farklı sonuçlar çıkıyor. İşte o noktada devreye gidiyor eğitimci ve uzunluk ölçülerini anlatma başlıyor. İntegral öğretilecek diyelim ki. İntegral, şekli düzgün olmayan cisimlerin alanlarını, hacimlerini hesaplamak biliyorsunuz. Çocuklara deniyor ki, şu sürahi ne kadar şurup alır? Düzgün şekilleri biliyor ama sürahi zor tabii… Çocuklar, bunu dikdörtgenlere bölmeye başlıyor. Taban alanı çok dar, yüksekliği fonksiyon kadar olan dikdörtgenleri topluyorlar. İntegrali böyle öğreniyorlar. 

Bu arada, Marmara Denizi’nin alanını da buldurdu bana Prof. Dr. Murat Altun… Ama oyun gibi eğlenceli yöntemle… Haritadaki denizi önce büyük bir kare içine aldırdı. Sonra küçük küçük karelere böldürdü. Küçük karelerdeki denizleri, eşdeğer bir karedeki kara parçasına yamaya yamaya sonucu buldurdu.

“Bir çocuğa bulabileceği şeyleri buldurmak gerekiyor, ona hazırı söylersek elindeki bulma fırsatını almış oluruz. O zaman çocuk sahipleniyor konuya. Kendini matematikçi gibi h “Mezun ettiklerimiz bunları uygulayamıyorlar ki. Çünkü sınav sistemi bu bizim öğretme felsefesini boğazlıyor. Veli de çok soru çözülmesini istiyor.” Prof. Dr. Murat Altun, bu tür -matematik felsefesine ait keşfetmeye dayalı- soruların eğitim sistemine girmesi için elimden geleni yapacağını söylüyor. “Bir anda yükselemeyiz ama 10 senede ciddi mesafe alabiliriz” diyor inançla, “yeter ki siyasetçilerimiz bu işin önemini kavrasın”

issediyor” diyor, tıpkı bizim örnekteki gibi… Tüm bunları matematik öğretmeni olarak yetiştirdiklerine öğretiyorlar da, neden hâlâ çocuklar matematiğe soğuk bakıyor?

Sevinç FEYZİOĞLU 

9 Aralık 2014

Kaynak: http://yenidonem.com.tr/matematik-hayatta-ne-ise-yarar.html 

Erken Yaşta Müzik Eğitimi ve Matematik

"İzmir Üniversitesi Çocuk Gelişimi Bölümü Öğretim Üyesi Yrd. Doç. Dr. Elif Öztürk Yılmaztekin, müziğin çocuk gelişimi üzerinde büyük olumlu etkiye sahip olduğunu, enstrüman çalan çocukların matematik ve fen kavramlarını öğrenmeye daha hazır olduğunu söyledi.

İzmir Üniversitesi Çocuk Gelişimi Bölümü Öğretim Üyesi Yrd. Doç. Dr. Elif Öztürk Yılmaztekin, müziğin, çocuğun tüm zihinsel, sosyal, duygusal, fiziksel ve psikolojik gelişim alanlarını destekleyen bir sanat dalı olduğunu söyledi. Yapılan bazı çalışmaların, bu gelişimi ortaya koyduğunu dile getiren Öztürk, sözlerini şöyle sürdürdü:
“Araştırmalar sonucu, piyano çalan çocukların matematik ve fen kavramlarını öğrenmeye daha hazır oldukları ortaya çıkmıştır. Nedeni ise, zihinsel imgelemeyi desteklemesi ve notaları kullanarak ortaya müziğin çıkarılmasında ortak becerilerin kullanılmasıdır. Diğer bir çalışmada ise, çocukların 9 haftalık piyano veya keman eğitiminden sonra bu eğitimi almayan çocuklara oranla IQ puanlarında yaklaşık 3 puan artış olduğu tespit edilmiştir.”
Küçük yaşlardaki çocuklar için şarkı esnasında ritim tutma ve olduğu yerde sallanmaya başlama, zıplamanın, çocuğun odaklandığı ve dinlediği müziği anlamaya başladığının göstergesi olduğunu ifade eden Yılmaztekin, daha büyük yaşlardaki çocuklar için, müziği dinlemenin, dinlediği müziği hatırlamanın, müzikte geçen konuyu anlama ve neden-sonuç ilişkisi kurmanın çocuğun zihinsel gelişimine olumlu katkıda bulunduğunu söyledi.

Matematik ve Müzik

Yıllar önce üniversitede matematik eğitimi alırken müzik bölümünde yüksek lisans yapmakta olan bir öğrenci gelerek biz matematik sınıfı öğrencilerine bir anket çalışması düzenlemişti. Ankette yer alan sorular eşliğinde matematikçilerin müzikle olan ilgileri, müzik ve farklı seslere verdiği tepkiler ölçülerek bu konu hakkında bir çalışma yapılmıştı. Daha sonra ki yıllarda biraz araştırmalarım sayesinde "matematik ve müzik ilişkisi alanında" yurt içinde ve yurt dışında pek çok çalışmanın da yapıldığı gerçeğine ulaştım. Gerçekten de müzik ve matematik birbirini pek çok açıdan etkileyen birbirinden ayrı ve farklıymış gibi görünen iki bilim dalıydı. Bu konuda yurt içinde yapılan çalışmalardan biri olan ECE KARŞAL'ın makalesini istifadenize sunuyorum.

"Matematik ve müzik, bilimin ve sanatın iki elemanıdır. Bu iki disiplin, antik çağlardan beri karşılaştırılmış ve ilişkilendirilmiştir. Tabii ki matematik ve müzik arasında çok büyük farklılıklar vardır fakat diğer taraftan birbirleri ile çok yakın ilişki içindedirler. Bu makalede temel olarak üç başlık ele alınmıştır. İlk olarak müziğin temelindeki matematikten bahsedilmiştir. İkinci olarak müziğin matematik performansı üzerindeki etkilerine değinilmiştir. Son olarak ise müzik yeteneği ve matematik yeteneği arasındaki ilişki ele alınmıştır. Pek çok düşünür ve pek çok matematikçi müzikle ilgili çalışmalar yapmışlardır. Tarih boyunca müzik, değişik matematiksel yaklaşımlarla ifade edilmeye çalışılmıştır. Yapılan çalışmalar, müzik eğitiminin beyin aktivitelerini geliştirdiğini göstermektedir. Bu çalışmalardan elde edilen ortak sonuca göre; müzik eğitiminin matematik performansı ve bilişsel aktiviteler üzerine olumlu etkisi vardır. Müzik, genç yaşlardan itibaren çocukların gelişiminde çok güçlü bir etken olabilir. Matematik dünyada pek çok öğrenci için en sıkıntılı derslerden birisidir. Müzik özellikle okul öncesi eğitiminde matematik eğitiminde yeni bir yaklaşım alarak kullanılabilir. Bunların yanında , müzik yeteneği ve matematik yeteneği arasındaki ilişki eğitime yeni boyutlar katabilir. 

Matematik Başarısını Etkileyen Faktörler

Matematik öğretiminde yaşanan sorunlar ve çözüm önerilerini içeren çok güzel bir makaleyi sizinle paylaşmak isitiyorum. Makale Gazi Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisinden alıntılanmıştır.

"Matematik, insanlar tarafından iyi bir yaşamın ve iyi bir kariyerin kapı açıcısı olarak görülmektedir (Stafslien, 2001). Aynı zamanda matematik, yaşamın ve dünyanın anlaşılması ve bunlar hakkında fikirler üretilebilmesi için yardımcı bir eleman olarak da görülmektedir (Ernest, 1991). Bu nedenle, günümüzde eğitimle ilgili yapılan reform çalışmalarının en önemli amacı, öğrencilerin matematiği anlayarak öğrenmelerine yardımcı olabilecek bir sistemin oluşturulmasını sağlamaktır (Smith, 2000; Franke ve Kazemi, 2001). Ancak, matematik bu kadar önemli bir işleve sahip olmasına rağmen öğrencilerin çoğu tarafından sevilmemekte, sıkıcı ve soyut bir ders olarak görülmektedir (Aksu, 1985). Hatta, matematik öğrencilerin çoğu için bir bulmaca işlemi olarak algılanmaktadır (Gray ve Tall, 1992). Öğrencilerin çoğunun, matematiğe karşı bu şekilde olumsuz gözle bakmalarını etkileyen bir çok faktör olabilir. Örneğin; matematiğin, düşüncenin direkt olarak kendisini değil, düşünceyi dile getiren özel simge ve sembolleri temsil etmesi (Yıldırım, 1996) ve dolayısıyla soyut bir dil kullanması, ailenin eğitim düzeyi, öğrencilerin cinsiyeti ve matematiksel zekâsı bu faktörlerden bir kaçı olabilir. Matematiğin öğretim şekli de, bu kategoriye dahil edilmesi gereken önemli bir faktördür. Çünkü, bir kişinin matematiğe bakışı, o kişinin matematiği nasıl öğrendiği ile ilgilidir (Hare, 1999). (...)

Matematik öğretmenleri öğrencilerin matematik başarısı üzerindeki en belirleyici faktör olarak, öğrencilerin dersi iyi dinlemelerini görmektedirler. Daha sonra ise sırasıyla, öğretmenin yeterliliği, anne-babanın eğitim düzeyi, derslerde kullanılan öğretim yöntem ve teknikleri vs. faktörler öğrencilerin matematik başarısında etkin rol oynamaktadır. Cinsiyet faktörü ise öğrencilerin matematik başarısında en az etkisi olan faktör olarak görülmektedir.(...)Öğrencilerin matematik başarısı üzerinde anne-babanın eğitim düzeyinin, matematik öğretmenlerinin %71’i tarafından çok etkili, %29’u tarafından ise etkili bir faktör olarak düşünüldüğü görülmektedir. Bu veriler, öğretmenlerin öğrencilerin matematik başarısında anne-babanın eğitim düzeyini çok belirleyici bir unsur olarak gördüklerini göstermektedir.(...)Öğrenciler ailelerinin kendilerinden matematik dersinde başarılı olmalarını beklemekte ve öğrenciler de bu beklentinin bilincindedirler (%95,9). Ailelerin, çocuklarının matematikte başarılı olmalarına yönelik beklentilerinin gerçekleşebilme oranı ise eğitim düzeylerinin yüksekliği ile daha fazla artmaktadır. Çünkü, anne-babanın eğitim düzeyi çocuklarının derslerdeki başarısının/başarısızlığının işaretçisi konumundadır (Hortaçsu, 1994; Hall ve diğer, 1999). Özellikle de, annenin eğitim düzeyinin yüksekliği bu beklentinin gerçekleşmesinde daha etkin rol oynamaktadır. Çünkü, çocuğun yetişmesinde ve akademik başarısında annenin eğitim düzeyi, babanın eğitim düzeyine göre daha belirleyici bir rol üstlenmektedir. Eğitim düzeyi yüksek olan bir anne, çocuğuna derslerinde hem öğretmenlik hem de rehberlik yapabilmektedir (Hortaçsu, 1995).(...)

Matematik öğretmenlerine göre, öğrencilerin matematik başarısı üzerinde öğretmen yeterlilikleri, %86 oranında çok etkili, %14 oranında etkilidir. Öğretmen yeterliliği olarak, bir matematik öğretmeninin konu alan bilgisi, pedagojik bilgisi ve genel kültür bilgisi kastedilmektedir. Buna göre, matematik öğretmenleri öğrencilerin matematik başarısı üzerinde öğretmen yeterliliklerinin çok etkili olduğu konusunda görüş birliği içerisindedirler (%100). Günümüzde, her alanda ve özellikle eğitim alanında yaşanmakta olan hızlı gelişmeler de öğretmenlerin kendilerini çağın şartlarına göre yenilemelerini zorunlu kılmaktadır.(...)

Sonuç olarak; Matematik, öğrencilerin büyük bir çoğunluğu için zor bir ders olarak görülmektedir. Bu durumda, öğrencilerin matematikten uzaklaşmasına ve korkmasına neden olmaktadır. Matematiğin öğrencilerin çoğunluğu tarafından korkulan bir ders olarak görülmesinin altında sadece bir faktörün etkin olduğunu söylemek zordur. Çünkü, öğrencilerin matematik başarısını etkileyen bir çok faktör vardır. Burada önemli olan, bu faktörlerin belirlenmesi ve öğrenciler lehine işlevsel hâle getirebilmesidir. Özellikle de matematik öğretmenlerinin, bu faktörlerin neler olduğu ve öğrencilerin matematik başarısındaki önemi hakkında bilgi sahibi olmaları çok önemli hatta zarurîdir. Öğretmenler, ancak bu şekilde öğrencilerinin matematik başarılarını ve düzeylerini daha sağlıklı bir şekilde değerlendirebilir ve onlara matematiksel kavramların öğretiminde daha iyi rehberlik edebilirler."

Şemsettin DURSUN -Yüksel DEDE 

Cumhuriyet Üni Eğitim Fak İlköğretim Bölümü

Bu makale GÜ, Gazi Eğitim Fakültesi Dergisi, Cilt 24, Sayı2 (2004) 217-230 yayınlanmış olup bazı bölümleri kısaltılarak konu özeti geçilerek burada alıntılanmıştır. Tam metnine ilgili derginin belirtilen sayısından edinilebileceği gibi online olarak
http://www.gefad.gazi.edu.tr/window/dosyapdf/2004/2/2004-2-217-320-16-cemsettindursun-yckseldede.pdf adresinden ulaşılabilir.

Matematik Derslerinde Problem Çözme

"Problem çözmenin matematik öğretiminde, iki önemli ürünü vardır. Birincisi öğretilen konuya özel strateji ve kuralların gelişimi, ikincisi ise bir kuralı, formülü geliştirmek için kullanılabilecek düşünme yolları ve genel yaklaşımların gelişmesidir. Öğrenciler problem durumlarında çalışarak, yeni stratejiler oluşturmayı ve eski stratejileri düzenleyerek yeni tür problemleri çözmeyi öğrenirler. Bu tarz matematik öğretiminde, kavramsal ve işlemsel bilgilerin kaynaştırıldığı gözlenmiştir (Olkun ve Toluk 2004: 44). İşlemsel bilgide, bir kavram ya da işlemin nedenini bilmeye gerek görmeden yalnızca nasıl kullanılacağını bilmek durumu söz konusu iken, kavramsal bilgide kavrama durumu öne çıkmaktadır (Baki 1997). 

 

Problem çözmede de kavrama durumu söz konusu olduğundan kavramsal bilgi basamağına hizmet etmektedir. Nitekim bilişsel alan kuramcılarına göre problem çözmede kavrama ve anlama önemlidir. Problem çözme bireyin geçmiş yaşantıları ile ilgilidir (Kennedy 1980: 28). Matematikte kalıcı ve işlevsel bir öğrenme ancak işlemsel ve kavramsal bilginin dengelenmesiyle mümkün olabilir (Baki 1998). Matematikte kavramsal bir öğrenmenin ağırlıkta olması gerekirken işlemsel öğrenmeye daha çok ağırlık verilmiştir. Yani matematikte işlemsel ve kavramsal öğrenme dengelenmemiştir. İşlemsel ve kavramsal öğrenme dengelenmediğinden konular kavrama düzeyinde öğrenilememiştir (İşleyen ve Işık 2003: 91–99).

Öğrenciler için asıl zor olan anlatılan konularla ilgili kavramların öğrenilmesidir, algoritmik hesaplamaların öğrenilmesi değildir. Buna rağmen, Amerika da ki öğrenciler başta olmak üzere dünyadaki öğrencilerin hemen hemen bütün matematiksel deneyimleri hesaplamalardan ibarettir (Sabella ve Redish 1995: 1–6). İlköğretim okullarında da yalnız işlemsel bilgiyi gerektiren alıştırmalar üzerinde fazla durulduğu görülmektedir. Oysa hem işlemsel bilgiyi hem de kavramsal bilgiyi gerektiren problemler ile ders anlatılırsa matematik dersinde kavramsal bilgi ile işlemsel bilgi dengelenmiş olur. 

Çocukların çoğu problem çözerken bilgileri örgütlemede, sistemleştirmede ve kullanmada güçlük çekebilirler. Özellikle, problem çözülürken işlemlerin yapılması aşamasında hatalı yaklaşımlar sergileyebilirler. Bu noktada sınıflarda öğretmenlere önemli görevler düşmektedir. Öğretmenin, çocukları problemleri çözerken, gözlerken, onları sesli düşündürürken ya da çocuklar tarafından çözülen problemleri kontrol ederken, çocukların yaptıkları hata çeşitlerini görme şansı artmaktadır. Çünkü çocukların problemin çözümü aşamasında yaptığı hataların analizine göre doğru bakış açısı kazandırıcı düzeltme yollarına gidebilir. Sınıfta problem çözmenin değerlendirilmesi oldukça karmaşıktır ve kolay bir iş değildir. Probleme basitçe cevap bulmak iyi problem çözme becerilerinin kanıtı sayılamaz. Bazı öğrenciler yanlış bir mantık kullanarak doğru cevabı bulabilirler, diğer taraftan bazı öğrenciler mükemmel stratejiler kullanırlar ama basit hatalar yaptıklarından sonuca ulaşamazlar. Problem çözmenin hedefleri sürecin tüm aşamalarında düşünmeyi gerektirir. Bu da problem çözmenin sadece sonuca ulaşma becerisi olarak bilinmemesi için iyi bir gösterge kabul edilebilir (Çakmak, 2003).

Sonuç Olarak: Etkili matematik öğretimi için öğrencilerin ezberden uzak bir şekilde matematikteki işlemleri, kavramları ve yapıları anlamlı olarak öğrenmelidirler. Matematik dersinde anlamlı öğrenmeyi gerçekleştirebilmek için, öğrencilerin anlatılan konuyla ilgili kavramları anlamalarına, bu kavramlar arasında yapılan işlemleri görmelerine ve kavramlarla işlemler arasındaki bağlantıları kurabilmelerine yardımcı olabilecek problemlerin ders anlatımlarında kullanılmasını önemsemeliyiz. Ders anlatımında problemlerin çözümüne yer verildiği gibi problem kurma çalışmalarına da yer verilmelidir. Çünkü problem kurma, öğrencilerin matematiksel durumları anlamalarına, problemlerde verilen kavramları yorumlamalarına ve sembolleri sözel ifadelerle söyleyebilmeyi sağlamaktadır. Yukarıda da bahsedildiği gibi; matematik derslerin de kavramsal ve işlemsel bilgi öğretimi dengelenmelidir. Bu bakımdan işlemsel bilgiyi gerektiren alıştırmalara da yer verilmeli, özellikle anlatılan konunun pekiştirilmesi aşamasında, bunun yanında kavramsal ve işlemsel bilgileri içeren problemlere de gerektiği kadar yer verilmelidir." 

Yasin SOYLU-Cevat SOYLU

Bu yazının tamamı İnönü Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi Cilt: 7 Sayı:11 Bahar 2006 alınmıştır. Yapılan araştırmaya ve kapsamlı değerlendirme metnine ilgili kısımdan ulaşılabilir. Yayının web adresi http://web.inonu.edu.tr/~efdergi/dergi/soylu_soylu.pdf şeklindedir. Tam metne adresten ve üniversite dergisinden ulaşabilirsiniz.

Dikkat Eksikliği ve Hiperaktivite

Namık Kemal Üniversitesi (NKÜ) Psikiyatri Ana Bilim Dalı Başkanı Doç. Dr. Sultan Doğan, dikkat eksikliği ve hiperaktivitenin son yılların en büyük sağlık sorunlarından biri haline geldiğini söyledi.Doç. Dr. Doğan, çocukken başlayan dikkat eksikliği ve hiperaktivitenin erişkinlikte de devam edebildiğini ifade ederek, şunları kaydetti:

''Bu durum kişiye rahatsızlık verdiğinde tedaviye ihtiyaç duyuluyor. Bilimsel çalışmalar, dünyadaki 18 yaşından büyük nüfusun yüzde 4'ünde ciddi bir dikkat toplayamama sorununu ortaya koyuyor. Erişkinlerdeki dikkat eksikliği ve hiperaktivite hareketlilikten öte başka türlerde kendini gösteriyor. Hiperaktivite erişkinlerde sıklıkla randevularını veya yapmak zorunda olduğu işleri unutma, birçok basamağı içeren işleri yapmakta zorlanma, bir işe ya da projeye başlamakta ve bitirmekte zorlanma, oyalanma, erteleme eğiliminde olma, bilgilere öncelik vermede zorlanma, çabuk sıkılma ve sabırsızlık, sıklıkla yerinde duramama, huzursuzluk hissi yaşama, zamanını verimli kullanamama, evde ve iş yerinde eşyalarını bulamama, yanlış yere koyma, sonuçlarını düşünmeden konuşma gibi belirtiler gösteriyor.''

Dikkat eksikliği ve hiperaktivitenin işe odaklanamamaya yol açtığını, bunun da kariyerde ilerlemeye engel olabileceğini belirten Doğan, ''Dikkat eksikliği ve hiperaktivite bozukluğu olan kişiler birçok işe aynı anda başlıyor ve hiçbirini bitiremiyor. Bir işe başlarken de tasarı halinde önce kafalarında yer alıyor fakat 'yapmam lazım' deyip başlayamıyorlar. Bu da iş yerinde sorun yaşamalarına neden olabiliyor. Dikkat eksikliği ve hiperaktivite, kişilerin kariyerinde ilerlemesine engel olabileceği gibi, akademik çalışmalarını da sekteye uğratabiliyor. Örneğin, iş yerinde gelmesi gereken noktaya gelemiyor ya da yüksek lisans, doktora tezini bir türlü bitiremiyor'' diye konuştu.

-''Çoğu farkında değil''-

Doç. Dr. Doğan, dikkat eksikliği ve hiperaktivite sorunu yaşayan kişilerin çoğunun hastalığın bilincinde olmadığını kaydederek, şöyle konuştu: ''Çünkü bu hastalık psikiyatride depresyon ya da panik atak bozukluğu kadar iyi tanınan bir hastalık değil. Bu, uzmanlar için de geçerli, çünkü uzmanlar da bu hastalığı çok iyi tanımıyorlar ve bununla ilgili medyada çok fazla bilgi yok. Hastalıkla ilgili bir diğer sorun da 'kullanılan ilaçlarda uyuşturucu özelliği var' gibi olumsuz söylentilerin olması. Bu nedenle bazı kişiler kendilerinde sorun olduğunu bilseler bile ilaç kullanmak istemiyorlar. Mutlaka ilaç kullanılacak diye bir şey yok. Sonuçta psikoterapi teknikleriyle de davranışların yönlendirilmesi mümkün. Çocuklukta hastalığı fark eden ve bilinçlenen kişiler, erişkinlikte hastalığın düzelmediğini ya da bazı belirtilerinin daha da şiddetlendiğini fark edip bizimle paylaşabiliyor. Bu da hastalığın tedavisini kolaylaştırıyor. Ama genellikle aileler çocuklarında dikkat eksikliği ve hiperaktivite olduğunu fark etmiyor ve derslerdeki geriliğin çocuğun tembelliğinden kaynaklandığını düşünüyor. Aileler bu şekilde düşünmek yerine çocuklarında böyle bir sorun görürse mutlaka bir uzmana danışmalı.''AA

Öğrencileri Güdüleme Yolları

Güdü:Organizmayı eyleme iten ve eylemi yönlendiren içsel uyarım durumudur. Farklı bir tanımla; Kişinin enerjisini belli bir hedefe yönlendiren davranışları için gösterilen bilinçli veya bilinçsiz gerekçeleri ifade eden bir kavramdır. Güdü , belli durumlarda belli amaçlara ulaşmak ve gerekli davranışların yapılabilmesi için organizmayı harekete geçiren , enerji veren, duyuşsal bir yükselme (coşku,istek) neden olan ve davranışları yönlendiren bir “itici güç” tür . Güdülenme,belli amaçlara ulaşmak için bir güç kazanma halidir. Güdülenmiş ile güdülenmemiş öğrenci davranışları arasında önemli farklar vardır. Güdülenmiş davranışların yönü bellidir,büyük bir enerji ile yapılır. Hareketlerde kararlılık, devamlılık ve ısrar vardır. 1. İlgi duyma ve dikkat etmede süreklilik 2. Davranışın yapılması için çaba göstermeye ve gerekli zamanı harcamaya isteklilik 3. Konu üzerinde odaklaşma , kendini verme ve güçlüklerle karşılaşıldığında istenilen davranışı yapmaktan vazgeçme , sonuca gitmede ısrarlı olmak ve kararlılık. İnsanlar bir izlenimde bulunurken az- çok güdülenmişlerdir. Örneğin ;ders dinlemeyen çocuk dışarıyı izlerken veya arkadaşları ile konuşurken başka yöne güdülenmiş demektir. 

Güdülenmenin olmadığı bir ortamda da kesinlikle istenen başarı durumundan söz edilemez. Bu nedenle güdülenme, öğrenci başarısında etkili olduğu gibi sınıf ortamında da  iyi bir öğrenmenin olabilmesi için son derece önemlidir.Güdüleme(motivate), insanı bir gereksinmesini doyurmaya ya da onda yeni bir gereksinme oluşturmaya yönelik dıştan yapılan etkidir. Kimi kez etkileme ile güdüleme eş anlamda kullanılır.Öğretmenin öğrencide bir konuyu öğrenmeye istek meydana getirmesi güdülemedir.Eğer öğretmen öğrencide ,onu öğrenme eylemine geçirecek düzeyde istek oluşturabilmiş onu derse hazırlayabilmiş ise öğrenci dıştan güdülenmiştir.(Başaran,1996) İnsanın amacı, yaşamını ve soyunu sürdürmektir. İnsanın yaşamını ve soyunu sürdürmesi de güdülerini doyurmaktır. 

İnsanın bazı güdüleri kalıtsaldır.Açlık susuzluk,cinsellik,merak,oyun, devinme gibi güdüler doğuştan gelir.Bunlara dürtü,birincil güdü,temel güdü ya da öğrenilmemiş güdüler de denilmektedir.Bu tür güdülerin tam olarak karşılanması durumunda insanı davranışa itme gücü yüksektir. Açlık,susuzluk gibi dürtülerin doyurulamaması, insanın yaşamını sona erdirir. Bu tür güdüler birincil ve temel güdülerdir. (Maslow,1971) İnsanın bazı güdüleri ise çevre etkenleri ile oluşur. Bunlar öğrenilmiş güdülerdir. Çevre etkenleri içinde özellikle toplum,insanın yeni güdüler öğrenmesini sağlar. Buna kültürel ya da sosyal etkenler denir. Çevre etkenleri ile edinilenler ,bir topluma ilişkin olma , toplumun onayını kazanma , başkasının gözüne girme ,sorumluluk alma, başarılı olma ,toplumda bir konum edinme gibi güdülerdir. Bunlara ikincil güdülerde de denir. Maslow’un bu ihtiyaç sıralamasının okul eğitiminde önemli yeri ve sonuçları vardır. 1. Okula aç , hasta, yorgun ve huzursuz gelen öğrencileri öğrenmeye yöneltmek kolay değildir. 2. Sınıfın korku ve kaygı veren bir havası varsa;öğrenci kendini okulda rahat ve güven içinde hissedemez. Bu nedenle öğretimden beklenen sonucu almak güçleşir. 3. Çocukların özellikle ortaokul çağında akran grupları oluşturması ve o gruplara katılma isteği diğer ihtiyaçlarını karşılamaktan daha çok önem taşır. 4. Öğretmenin , anne ,babaların istek ve beklentilerindeki tutarsızlıklar çocuklarda güvensizlik duygularının doğmasına ve yerleşmesine neden olur. 5. Öğrenciler , başkaları önünde yeterli ve başarılı olma ,başkaları tarafından tanınma , prestij sahibi olma gibi ihtiyaçları karşılamak için büyük gayret gösterirler. 6. Maslow’un ihtiyaç sıralaması , öğretmenin çocukları daha iyi tanıyarak onların hangi güdüler altında olduklarını bilirse onlara daha gerçekçi yardım getirebilir,güdülenmesini sağlayabilir ve gereken rehberliği yapabilir.  

Aşağıda öğrencileri güdülemek için bazı önerilere yer verilmiştir. Burada yer alan durumlar sınıftan sınıfa değişebileceği gibi her öğrenci seviyesine de tam olarak uyum göstermeyebilir. Burada yazılanlar eşliğinde bir tecrübe elde edip, her öğrenciye göre nasıl davranılacağının öğretmen tarafından bilinmesi ve bunların ustalıkla öğretmenin sınıfında uygulaması en iyi güdüleme yöntemi olacaktır.
Öğretmenlik ustalık isteyen önemli bir meslektir. Öğrencilerin bireysel farklılıklarına göre güdüleme yolları da farklılık göstereceği unutulmadan aşağıda yer alan genel tavsiyelere göz atmanızı dileriz.

1. En başta sınıfta samimi olun.
2. Öğrencilerinize değer verin ve bunu onlara hissettirin.
3. Derse başlarken ilginç, şaşırtıcı, merak uyandırıcı sorular sorun.
4. Çalışmaları mümkün olduğu kadar aktif, araştırıcı, heyecanlı, ve yararlı hale getirin.
5. Bütün öğrencilerin, neyi nasıl yapacaklarını ve ulaşacakları hedefe nasıl gideceklerini bilip bilmediklerinden emin olun.
6. Öğrenciler arasında zeka, sosyo-ekonomik-kültürel geçmiş, okula ve bazı derslere karşı tutum açılarından bireysel ayrılıklar olduğunu her zaman dikkate alın.
7. Öğrencilerin temel ihtiyaçlarını doyurmalarına yardımcı olun.
8. Sınıfın ve okulun fiziksel şartlarını hesaba katın.
9. Öğrencilerle ilgilendiğinizi ve onların sizin sınıfınızın öğrencileri olduğunu hissettirin.
10. Bütün öğrencilerin azda olsa saygınlık kazanabilecekleri öğrenme yaşantıları düzenleyin. 
11. Her öğrencinin takdir edilme ihtiyacını karşılayacağı ders içi ders dışı etkinlikler düzenleyin.
12. Öğrencilere her konuda seçenekler sunun.
13. Öğrencilerin olumlu benlik kavramı geliştirmelerine yardımcı olun.
14. Öğrencilerin olumlu yanları vurgulayarak onlara yaptığınız değerlendirme ve ölçmeler ile ilgili sonuçlar hakkında geri bildirim verin.
15. Öğrencileri, kendi öğrenmelerini kendilerinin yönlendirmeleri için cesaretlendirin.
16. İhtiyaç duyan öğrencileri, öz güvenlerini ve başarı ihtiyaçlarını geliştirmeleri için cesaretlendirmeye çalışın.
17. Öğrencilere sorumluluk vererek, kendileriyle rekabet ettirerek onların başarı güdüsünü geliştirici teknikler kullanın.
18. Okul başarısızlığı bir kısır döngüdür. Bu döngü, ancak öğretmenin beklentisini yüksek tutarak öğrenciyi güdülemesiyle kırılabilir.(Selçuk,2000) 
19. Öğrencilere daima dersleri başarabileceklerini hatırlatın. Azimli olmalarını öğütleyin.
20. Öğrencilerin uykusuzluk, yorgunluk, hastalık, beslenme gibi fizyolojik ihtiyaçlarının karşılandığının farkında olun. Fizyolojik ihtiyaçların giderilmediği durumlarda ne yaparsanız yapın başarı beklenmez.
21. Çeşitli başarı örneklerinden yararlanın. Bu hikayeleri sınıf ortamında paylaşın.
22. Dersinizin ilgi çekici olması için sürekli siz konuşmayın. Öğrencilerin derse katılımını teşvik edin. Onların da düşüncelerini ifade etmesini sağlayın.
23. Hep aynı öğrencilerle iletişime geçmeyin. Unutmayın ki bu durum sizin ayrımcılık yaptığınız algısına yol açacaktır.
24. Öğrencilerin dersin haricinde başka noktalara odaklanmasının sebeplerini görüp bunlara önlem alın. Sesinizi iyi kullanarak öğrencilerin dikkatlerini derse çekmeye çalışın.
25. Öğrencilere mutlaka isimleriyle hitap edin. Hatta iki ismi olan öğrencilerde hangi isimlerini kullandıklarına bile dikkat edin.
26. Size soru sorduklarında mutlaka cevap verin. Onları dinlediğinizi belli edin.
27. Derse hazırlıklı gelmeleri için araştırma ve inceleme yapmaya teşvik edici sorular sorun. Bu sorular hakkındaki topladıklarını sınıf ortamında paylaşmalarını sağlayın.
28. Derse başlamadan önce mutlaka önceki dersi kısa ve öz cümlelerle tekrar edin. Öğrencilerin de tekrar etmesi ve pekiştirmesi için küçük sorular sorun. Anladıklarını test edin.
29. Açık anlaşılır ve net cümlelerle konuşun. Meramınızı tam olarak ifade edin.
30. Asla yalan söylemeyin. Yalan söylenmesine de fırsat vermeyin.
31. Öğrencilerinize patron gibi davranmayın. 
32. Aşırı şakalardan uzak durun.
33. Öğrencilerinizden "başarı yönünden" ümitli olduğunuzu belli edin ve bu durumu onlara sürekli hatırlatın.
34. Asla başarısızlık durumlarını aşağılamayın. Hakaret cümlelerinden uzak durun.
35. Öğrencinin derslerden merak ettiği ve işine yarayan durumları öğrendiğini asla unutmayın. 
36. Her öğrencinin yeteneği ve ilgi seviyesi farklıdır. Her öğrencinin beklenti düzeyi farklıdır. Bu farklılıkları dikkate alarak yeterli zamanı gösterdiğinizden emin olun.
37. Ders işlenişinde güncel örneklerden yararlanın.
38. Sınıf ortamında somutlaştırılabilecek deney ve gözlemler ilgi çekici olacağından ders işlenişinde mümkün olduğunca bu öğelerden yararlanın.
39. Teknolojiden mümkün olduğunca istifade edin. Kendinizi güncel tutun. Öğrencilerin teknoloji seviyesi ile sizin aranızda uçurumlar olmamasına dikkat edin.
40. Ders konularına ve mesleki bilgi seviyesinde mutlaka yeterli olun. Bilmediğiniz zorlandığınız konulardaki eksiklikleri mutlak telafi edin. Öğrenci sizin bilgi birikiminize göre kendini daha fazla güdüleyecek ve size karşı bir hayranlık oluşturacaktır.
41. Derse mutlak anlamda hakim olun. Kontrolü elden bırakmadan zamanı iyi kullanın.
42. Her öğrencinin algılama seviyesine inebilecek şekilde dersi koordine etmeye çalışın. Basitten karmaşığa doğru bir örneklem içerisinde dersi işlemeye gayret edin.
43. Öğrencilere fırsat vererek konu ile ilgili paylaşımları sınıf ortamında sunmalarını sağlayın. 
44. Çeşitli proje ve yarışmalara karşı öğrencilerinizi teşvik edin.
45. Öğrencilerin sınıf dışı ortamlarından haberdar olun. Ekonomik seviyeleri ve aile sıkıntılarını bilmediğiniz öğrencilerin başarılarını olumlu yönde geliştirmeniz asla beklenemez.
46. Sağlık sorunları olan öğrencilere karşı özenli davranın. Sınıf içi oturma düzenlerini buna göre ayarlayın. En uygun anlama düzeyine göre sınıf içi iletişimin en yüksek seviyede olduğu oturma düzenini oluşturun.
47. Başarılı olmak için öğrencilerin kendilerini güdülemesi gerektiğinin elzem olduğunu bilin ve buna göre dersinizi işleyin.
48. Dışarıdan ödül ve ceza ile güdüleme yerine öğrencilerin kendi kendilerini güdülemesinin daha önemli olduğunu bilin.
49. Öğrencilerin kendilerine ulaşılabilir hedefler belirlemesini sağlayın ve kendilerini gelecekte başarılı işlerde gördüklerini hayal ettirin.
50. İnanma, azmetme, hedefe ulaşamada en önemli noktadır. Başarıyı yakalayabilen insanların en önemli özelliğinin asla vazgeçmemeleri olduğunu öğrencilere hissetirmeye çalışın.

İnsanın güdüsel örüntüsü hem yerleşiktir hem de değişme içindedir.Güdüsel örüntü ,kişilik özellikleriyle bağlantılı olduğu için , kişilik özellikleri gibi yerleşiktir, kolay kolay değişmez . Öte yandan bir durum karşısında egemenliğini yitirebilir ve yerini başka güdülere bırakabilir.İnsanın yaptığı bir davranışı , bir önceki davranışına benzese bile , bu davranışının nedeni olan güdüler değişik bir örüntüde olabilir .Çünkü insanın güdüsel örüntüsü ,her düzeydeki bütün gereksinmelerinin ve kişilik özelliklerinin karmaşık bir etkileşimi ile oluşmaktadır.(Coleman,1980) Güdüsel örüntüsünün değişme içinde olması yüzünden, insanın hangi nedenle davrandığını tanımak güç olur . İnsanın güdüsel örüntüleri birbirinden değişiktir. İki insan aynı davranışı yapsa bile davranışının nedenleri ayrı olmaktadır . Sözgelimi , sınıfta birkaç kez kavga çıkaran bir öğrenci her kavgada doyurmak istediği güdüleri değişiktir. Kavgaya karışan on öğrenci varsa ,bu on öğrencinin kavga yoluyla doyurmak istediği güdüleri de birbirlerinden değişiktir. İnsan güdülerini doyurması çoğu kez, çevresinden gelen engellerle karşılaşır. İnsanın güdülerini doyurup dengeye ulaşması için, bu engelleri yenip sorunu çözmesi gerekir.Sorun çözme, insanın kendi yetenekleri ile çevre koşullarının akla uygun biçimde birleştirerek , yekinen güdüsünün doyurulmasını zorlaştıran engeli kaldırmaktır. Algı ve dikkat süreçleri, güdülenmeyle doğrudan ilişkilidir. Çocuklar neyi öğrenmek isterlerse, onu öğrenirler. Bu nedenle, güdülendikleri konuda seçici algı ve dikkat gösterirler. Öğretmenlerin öğrenci dikkatini sağlamak için ilk planda ele almaları gereken konu, herşeyden önce onların güdülenmesini sağlamaktır. Okul ve sınıfta ortaya çıkan öğrenme güçlükleriyle disiplin olaylarını önemli bir kaynağı güdülenme ile ilgilidir. Öğrenmek için her öğrenci öğretme-öğrenme sürecine istekli katılmak, öğrenmenin gerektirdiği ilkelere uymak öğrenmesinden sorumluluk taşımak ve çalışmak zorundadır. Bu nedenle, öğrenme için gerekli güdülenmeyi sağlamak okulun ve öğretmenin görevlerinden biridir. 

01/10/2011

Kadir PANCAR

Kaynakça: 

Küçükahmet, Leyla, Sınıf Yönetimininde Yeni Yaklaşımlar.,Nobel Yay,Ankara,2000

Budak Selçuk, Psikoloji Sözlüğü, Bilim ve sanat yayınları, Ankara, 2000 

Atkinson Rita, Richard-Hilgrad Ernest, Psikolojiye Giriş, Sosyal Yayınları, İstanbul, 1995 

Cüceloğlu Doğan, İnsan ve Davranışı, Remzi Kitabevi, İstanbul, 2000 
http://helibol.home.anadolu.edu.tr/egitim%20psikolojisi/Motivasyon.htm

Yeni Matematik Öğretim Programı Vizyonu

"Bu program; matematik eğitimi alanında yapılan millî ve milletler arası araştırmaları,gelişmiş ülkelerin matematik programlarını ve ülkemizdeki matematik eğitimi deneyimlerinitemel alarak hazırlanmıştır. Matematik öğretim programının vizyonu “Her öğrencimatematiği öğrenir.”olarak kurgulanmıştır. Özellikle ortaöğretim düzeyinde ele alınan birçokmatematiksel kavram, doğaları gereği soyut bir nitelik taşımaktadır. Bu sebeple zaman zamanöğrencilerin bu kavramları yapılandırmada güçlüklerle karşılaştıkları bilinmektedir. Bugüçlüğü ortadan kaldırmak için matematik öğretim programında ele alınan kavramlar, somutve sonlu hayat modellerinden yola çıkılarak ele alınmıştır. Böylece programdaki esas vurgu,işlem bilgilerinden, kavram bilgilerine kaymıştır.

Program bir yandan öğrencilerin matematiksel kavramları yapılandırmalarını sağlayacak uygun öğrenme ortamları tasarlanmasına vurgu yaparken bir yandan da temel matematiksel beceriler olan akıl yürütme, problem çözme, ilişkilendirme, iletişim ve modelleme gibi becerilerin geliştirilmesini hedef almaktadır. Bunun yanında program,öğrencilerin bağımsız düşünme, analitik düşünme, eleştirel düşünme, öz denetim gibi bireysel yetenek ve becerilerinin geliştirilmesini arzu etmektedir. Bunun içinde, program, öğrenciyi merkeze alan matematiksel kavramları ve temel becerileri keşfedici bir ortamdayapılandırabilecekleri zengin öğrenme ortamları tasarlanmasına özellikle önem vermektedir.

Matematik öğrenme süreci temel matematiksel kavramların kazanılmasından çok dahafazlasını içermektedir. Matematiksel düşünme, problem çözme, ilişkilendirme, matematiği bir iletişim dili olarak kullanabilme ve modelleme becerileri matematik öğrenme ve yapma süreçlerinin temel elemanlarıdır. Bu becerilerin, öğretmenin matematiğinin taklit edildiği, matematiksel kuralların sebeplerinin irdelenmeden ezberlendiği ortamlarda gelişmesi mümkün değildir. Bu bağlamda program matematik sınıflarını matematiğin sunulduğu değil matematiğin yapıldığı aktif öğrenme ortamlarına dönüştürülmesini hedeflemektedir.

Bu kapsamda program öğretmenlere açıklayandan çok yol göstericilik, öğrencilere ise dinleyenden daha çok sorgulayan rollü biçmektedir.Hızlı değişimlerin yaşandığı dünyamızda, tasarlanan öğretim programı ile öğrencilerimizin bugünü ve geleceği keşfetmede ihtiyaç duyacakları matematiksel bilgi,düşünme, beceri ve tutumlarını geliştirmeleri, karşılaştıkları günlük yaşam problemlerini matematiksel akıl yürütme yolları ile çözebilmeleri, matematiği günlük yaşam ve diğer disiplinlerle ilişkilendirebilmeleri hedeflenmiştir. Bunun yanında temel matematiksel becerileri gelişmiş, kendisi ve toplumu ile barışık, tarafsız düşünebilen üretken bireylerinyetiştirilmesi amaçlanmaktadır."

Kaynak: http://ttkb.meb.gov.tr/program.aspx?islem=1&kno=86

En güncel öğretim programları için Talim ve Terbiye Kurulu sitesini ziyaret ediniz. http://ttkb.meb.gov.tr/

Matematik Eğitiminde Yapılandırmacılık

"Öğrenmenin yapılandırmacı teorisi; bizler kendi kendimize öğrenirken yeni bilgiyi aktif bir şekilde inşa ettiğimizi ifade eder. Bu öğrenme teorisine göre, öğrenme= inşa etmedir. Bizler geçmiş deneyimlerimizin zeminindeki duyusal verilerle etkileşime geçerek yeni bilgiler inşa ederiz. (http://mia.openworldlearning.org/constructivism.htm adresinden alıntıdır.) Papert: “Yapılandırmacılık çocukların daha önce yaptıklarından daha iyi şeyler yapmaları için onlara iyi şeyler vermektir.” der. Böylelikle anlarız ki yapılandırmacılık çocuğun, gencin sahip olduğu, ulaştığı verilerle birlikte kendi potansiyelini bütünleştirip özgün bir anlayış ortaya çıkarmasıdır.

Yapılandırmacılığın temellerinden de kısaca bahsedecek olursak; yapılandırmacılığın anlamını netleştirmek için, Good, Wandersee, ve St. Julien (1993) yapılandırmacılığın önüne on beş farklı sıfat koymuştur: bağlamsal, diyalektik, deneysel, insancıl, bilgi işleyen, metodolojik, ılımlı, Piaget’nin öne sürdüğü, epistemolojik, yararcı, radikal, rasyonel, gerçekçi, sosyal, sosyo-tarihsel şeklindedir. Pek çok terim kavramlarla ve varsayımlarla örtüşürken, diğerleri kelime anlamları bakımından farklılıklara sahiptir. Paul Ernest’in de tanımladığı gibi zayıf yapılandırmacılık, nesnel bilginin varlığını kabul ederek kendi bilgisini yapılandırmayı varsayar. Buna ek olarak radikal yapılandırmacılık, kişisel bilgiyi sürekli adaptasyon ve yeniden oluşum olarak varsayar. Bu anlayışa göre bilgi problem haline getirilir. Sosyal yapılandırmacılık da ise bireysel bilgi ve sosyal bilgi tek bir halinde bütünleştirilir. (Ishii, Drew K., 2003).

Öyle görünüyor ki yapılandırmacılık pek çoklarına göre matematik alanına ters görünüyor. Çünkü matematikte gerçek, kesin sonuçlar, prensipler, teoremler ve değişmez kurallar var. Örneğin, 2+2 nin değişmez ve 4 olduğu gibi (Ishii, Drew K., 2003). Hal böyle olunca yapılandırmacılığın matematiğe uygulanmasının zor olduğu kanısına varılıyor. Ancak bu kesin sonuçları olan; prensipler, teoremler, değişmez kurallar bütünü matematik, kendi içerisindeki kavramlar, diğer disiplinler ve gerçek yaşamla kurulan bağlantılar ve bu bağlantılar neticesinde çıkarılan anlamlarla bir kurallar yığını olmaktan çok özünü ortaya koymaktadır. NCTM News Bulletin’de bu durum reform zihinli öğretmen davranışları ile ifade edilmiştir. Şöyle ki, reform zihinli öğretmenler, öğrencilerinin muhtemel çözüm yolları üretebilmeleri ve derin düşünebilmeleri için problemler öne sürerler ve onları çözüm üretebilmeleri konusunda cesaretlendirirler. Onlar matematikteki diğer fikirlerle ve başka disiplinlerle olan bağlantıları kuvvetlendirirler. Öğretmenler, öğrencilerin kendi çalışmaları ile ilgili açıklama ve ispatlarını sürekli yenilemek ve tazelemek için sürekli sorular sorarlar. Onlar öğrencilerin daha iyi matematiksel anlayış kazanmaları için matematiksel fikirlerin farklı ifadelerini kullanırlar. Bu öğretmenler öğrencilerinden matematiği açıklamalarını isterler (Stiff, L. V.,2000-2002). Bu nokta da yapılandırmacılığın anlam kazandığı noktadır.

Reform zihinli öğretmenlerin öğrencilerinden farklı problemleri çözmeleri, matematiği gerçek yaşam koşullarına uygulamaları, ayrıca bildiklerini geliştirmeleri beklenir. Bazen başka öğrencilerle birlikte, bazen kendi kendilerine çalışırlar. Bazen hesap makinesi kullanırlar. Bazen sadece kağıt kalem kullanırlar (Stiff, L. V.,2000-2002). Bu konu ile ilgili geometri alt alanından bahsedecek olursak, geometri kendi içinde kendine özel kavram ve formüllere sahiptir. Öğrenciler bu yeni, kendine özgü dili kullanmada güven geliştirmek için yeterli zamana ihtiyaç duyarlar. Bu bağlamda geometride tanımlar, öğrenci tarafından, onlara yeterli zaman sağlanarak, figürlerin özelliklerine göre, yapılandırılması, görselleştirilmesi, ölçülmesi, karşılaştırılması, sınıflandırılmasındaki deneyimlerinden çıkarılmalıdır. (http://www.sedl.org/scimath/compass/v01n03/2.html adresinden alıntıdır). Yani tanımları, sunulan verilerle birlikte öğrenci kendi deneyimleri ile yapılandırması ile ortaya çıkarabilmektedir.

Matematik eğitiminde yapılandırmacılık, öğrencilerin nasıl öğrendiğini ve öğretmenlerin öğrencilerin anlayışlarını güçlendirmek için neler yapabileceklerini işaret ederler. Sosyal yapılandırmacılıkta, öğrenciler sosyal bir durum ile etkileşime girdiklerinde sahip oldukları bilgileri daha iyi inşa ederler. Bu yüzden, öğretmen ve öğrenciler arasındaki etkileşim, öğrencilerin birlikte çalıştığı geniş bir komiteyi içerdiğinde geliştirilir. Matematik eğitimine özel bir şekilde uygulanan sosyal yapılandırmacılığın bir tipi matematiğin problem çözmeyi vurgulayarak öğretilmesini doğrular. Bu etkileşim a) öğretmen- öğrenci arasında, b) öğrenciler arasında gerçekleşir ve öğrenciler problem durumlarını çözmek için kendi stratejilerini oluşturmaları konusunda cesaretlendirilir. (Lee V. Stiff, 2000-2002). Radikal yapılandırmacılık da bu bağlamda matematikte yerini şöyle alır: öğrencilerin bilgileri ailelerinden veya öğretmenlerinden hiçbir değişikliğe uğramadan alınmasını değil, bilginin her bir öğrenenin zihninde aktif bir şekilde bütünleştirilmesini ifade eder. Bu noktada öğrenen bireyin kendi çabası matematiksel anlamı oluşturmak için temel teşkil etmektedir. (Lee V. Stiff, 2000-2002). 

Sonuç olarak yapılandırmacı felsefeler, öğrencilerde derin bir matematik algısı oluşturmak için var olan bilgiyle yeni bilgiyi bütünleştirmeleri konusuna odaklanır. Her bir felsefe, öğrenciyi öğrenme-öğretme sürecinin aktif bir katılımcısı olarak tanımlar. Son olarak yapılandırmacı yaklaşımın sınıflara uygulanması ile ilgili birkaç noktadan bahsedip yazımı sona erdirmek istiyorum. Ernest sınıf ortamındaki yapılandırmacılık için beş durum öne sürer:

1) Öğrenenlerin daha önceden sahip oldukları yapılara dikkat edilmeli. Örneğin, öğrenenlerin sahip oldukları kavramlar, informal bilgiler gibi.

2) Yanlış anlaşılmaları gidermek için bilişsel teknikleri kullanmalı. Öğrencilerin düşünme ve anlam oluşturmalarına yardımcı olmak gibi.

3) Metabiliş ve stratejik kişisel düzenlemeye dikkat edilmeli. Öğrenciler ne zaman kendi düşünmeleri hakkında düşünürlerse o zaman kendi öğrenmelerinden sorumlu olurlar.

4) Farklı ifade şekillerini kullanmalı. Özellikle matematikte çoklu ifade biçimleri önceki kavramlarla yeni kavramlar arasındaki bağlantıları görmek ve kuvvetlendirmek açısından önemlidir.

5) Öğrenen için amaçların öneminin farkında olmalı.(Ishii, Drew K., 2003 )

Sonuç olarak diyebiliriz ki yapılandırmacılık günümüz matematik eğitim sisteminin anlam kazanması açısından büyük öneme sahiptir. Öğrenci temelli olarak uygulanan bu yaklaşımın amacına ulaşabilmesi için öğretmenlere ve tüm eğitimcilere büyük görevler düşmektedir. Ancak günümüzde bu yaklaşımın ve uygulamalarının bilincinde olan eğitimciler etkili bir matematik eğitimi gerçekleştirirler. "

Zekiye MORKOYUNLU
05/08/2011

1) Ishii, Drew K., 2003, Constructivist Views of Learning in Science and Mathematics
2) Lee V. Stiff, 2000-2002, Constructivist Mathematics and Unicorns
3) Geometry for the Early and Middle Grades,1995, http://www.sedl.org/scimath/compass/v01n03/3. html adresinden alıntıdır.

Yazı; http://www.mufettisler.net/yazarlar/54-zekiye-morkoyunlu/438-matematk-egtmnde-yapilandirmacilik.html adresinden alınmıştır.