Korelasyon Nasıl Hesaplanır?

Etiketler : istatistik korelasyon nicel veri veri analizi

Korelasyon, iki değişken arasındaki ilişkinin yönünü ve gücünü gösteren istatistiksel bir ölçüdür. Korelasyonu hesaplamak için önce iki değişkenin herbirinin ayrı ayrı ortalamasını buluruz. X’in ortalamasını X̄, Y’nin ortalamasını Ȳ şeklinde gösteririz. Daha sonra her bir veri değerinin kendi ortalamasından ne kadar uzak olduğunu yani ortalamadan sapma miktarlarını buluruz. Yani X değerlerinden X̄ çıkarılır (Xᵢ − X̄), Y değerlerinden de Y değişkenleri ortalaması Ȳ çıkarılır ((Yᵢ − Ȳ). Bulduğumuz bu sapmaların herbirini birbiriyle çarparız ve tüm çıkan sonuçları toplarız. Sonrasında elde ettiğimiz sonucu, X ve Y’nin sapmalarının kareleri toplamlarının çarpımının kareköküne böleriz. Böylece korelasyon katsayısı olan r değerini buluruz. Korelasyon katsayısı +1 veya -1’e yaklaştıkça ilişki pozitif veya negatif yönde güçlenir, 0’a yaklaştıkça zayıflar. Korelasyon neden-sonuç ilişkisini kanıtlamaz. Yani iki değişken ilişkili olsa bile biri diğerine kesin olarak sebep oluyor demek değildir.

Karl Pearson, 27 Mart 1857 yılında İngiltere’de doğmuş İngiliz matematikçi ve istatistikçidir. Cambridge Üniversitesi’nde eğitim almış ve daha sonra istatistik alanında önemli çalışmalar yapmıştır. İstatistiğin bilimsel bir alan olarak gelişmesine büyük katkı sağlamıştır. Özellikle korelasyon, regresyon ve standart sapma konularındaki çalışmalarıyla tanınmıştır. 1891 yılında University College London’da öğretim üyesi olmuş ve burada çalışmalarını sürdürmüştür. 27 Nisan 1936 yılında hayatını kaybetmiştir. Karl Pearson, modern istatistiğin gelişmesinde önemli bir rol oynamış ve özellikle Pearson korelasyon katsayısı ile istatistik alanında tanınmıştır.

Karl Pearson ve Margaret Moul tarafından 1925 yılında yayımlanan “The Problem of Alien Immigration into Great Britain, Illustrated by an Examination of Russian and Polish Jewish Children” (Annals of Eugenics, 1925, 1/1, 5–54) adlı çalışmada, Rusya ve Polonya kökenli Yahudi çocukları, çeşitli fiziksel ve zihinsel özellikleri açısından incelenmiş ve elde edilen bulgular, Britanya’nın göç politikası açısından değerlendirilmiştir. Pearson’ın bu çalışması ve benzer görüşleri nedeniyle, döneminde öjenik ve sosyal Darwinist olarak nitelendirilmiştir. (https://onlinelibrary.wiley.com/doi/epdf/10.1111/j.1469-1809.1925.tb02037.x )

ÖRNEK: Bir öğretmen, öğrencilerin ders çalışma süreleri ile sınav notları arasındaki ilişkiyi incelemek istemektedir. 5 öğrencinin günlük çalışma süreleri ve sınav notları sırasıyla X = 1, 2, 3, 4, 5 saat ve Y = 50, 55, 65, 70, 80 puandır. Buna göre çalışma süresi ile sınav notu arasındaki Pearson korelasyon katsayısını hesaplayınız ve sonucu yorumlayınız.

Öncelikle X değerlerinin ortalaması olan X̄ = 3, Y değerlerinin ortalaması olan Ȳ = 64 bulunur. Daha sonra her X değerinden X̄, her Y değerinden Ȳ çıkarılarak ortalamadan sapmalar hesaplanır. X için sapmalar -2, -1, 0, 1, 2, Y için sapmalar ise -14, -9, 1, 6, 16 olur. Daha sonra her bir veri için (Xᵢ − X̄)*(Yᵢ − Ȳ) değerleri hesaplanır ve bunların toplamları 75 bulunur. Aynı şekilde x ortalamadan sapma değerlerinin kareleri toplamı (Xᵢ − X̄)²  bulunur. Örnekte bu değerlerinin toplamı 10 olarak hesaplanır., (Yᵢ − Ȳ)² değerlerinin toplamı ise 570 bulunur. Bu değerler Pearson korelasyon formülünde yerine yazılarak korelasyon katsayısı hesaplanır: r = 75 / √(10 × 570) = r = 75 / √(5700)= r =75/75,498 ≈ 0,9934 elde edilir. Bu değer +1’e çok yakın olduğu için çalışma süresi ile sınav notu arasında çok güçlü ve pozitif yönlü bir korelasyon vardır. Yani çalışma süresi arttıkça sınav notunun da artma eğiliminde olduğu söylenebilir.