Cebir ilminin gelişimi

İlmü’l-cebr ve’l-mukābele'nin Tarihi ve Tanımı 

Klasik kaynaklarda “ilmü’l-cebr ve’l-mukābele” terimi, Arapça’da cebir için “kırık kemiği düzeltme, zorlama” anlamına gelen “el-cebr” ile “karşılaştırma, denkleştirme” anlamına gelen “el-mukābele” kelimelerinden oluşur. Bu terim Batı dillerine "algebra" olarak geçmiştir. Klasik dönemde bu ilim genellikle “ilmü’l-hisâb”ın (hesap ilminin) bir dalı olarak görülmüştür. Muhammed b. Ahmed el-Hârizmî, cebri “hesap sanatlarından biri” olarak tanımlamış ve bu ilmin zorluk içeren miras, vasiyet gibi problemlerin çözümü için olduğunu belirtmiştir. İbn Haldûn ise cebri sayılar teorisinin bir dalı olarak ele almış ve matematiksel anlamda “bilinenlerden bilinmeyeni çıkarma” olarak tanımlamıştır. Taşköprizâde, cebri denklem yoluyla bilinmeyen niceliklerin çıkarılması yöntemi olarak tarif etmiş ve bu tanım sonraki alimlerce kabul edilmiştir. İslâm matematikçileri de bu tanımı benimsemiştir. 

 

Matematiksel İşlemler ve Cebir Kavramları 

Cebirde temel işlemler şu şekildedir: Cebir: Denklemde negatif terimin karşı tarafa aynen eklenerek kaldırılmasıdır. Mukābele: Eşitliğin her iki yanındaki benzer terimlerin çıkarılmasıdır. Red (geri çevirme): Bir terimi katsayısından kurtarma işlemi. İkmal (tamamlama): Bir terimi belirli bir sayı ile çarpma veya bölme yoluyla düzenleme. Bu işlemler denklemde bilinmeyenin katsayısını 1 yapmayı amaçlar. 

Hüseyin Tevfik Paşa, Lineer Cebir (Algebra)

19. yy.da Osmanlılarda batılılaşma kapsamında görülen bilimsel faaliyetler, Avrupa’da yazılan kitaplardan çeviriler yapmaktan ileri gidemiyordu. Böyle bir ortam içerisinde Hüseyin Tevfik Paşa, matematiğin en yeni alanlarında önemli çalışmalar yaparak bunu İngilizce bir kitap halinde 1882’de İstanbul’da yayımlamış, yüzyıllar boyunca matematiğin temel bilgilerinden yoksun olan Osmanlı toplumu içerisinde orijinal çalışmalar yapan ve yayınlayan ilk bilim adamı olma şerefini kazanmıştır. II. Abdülhamit devrinde Osmanlı toplumu içerisinde büyük itibar gören Hüseyin Tevfik Paşa, Mühendishane Nazırlığı, Maliye, Ticaret, Nafia Nazırlıklarında bulunarak Mareşallik rütbesine yükseltilmiştir. 

Prof. Dr. A. M. Celal Şengör’ün Almanya’da eski kitaplar listesinde Tevfik Paşa’nın adını görerek aldığı “Linear Algebra”nın 1892 tarihli genişletilmiş ikinci baskısını İTÜ’ye getirmesi üzerine, bu önemli bilim adamının hayatı hakkında bilgi toplanmaya başlanmıştır. Araştırmalar sonucu kitabın 1. Baskısından Türkiye’de yalnız bir adet, 2. Baskısından ise iki adet bulunabildiğinden, Linear Algebra’nın tıpkı basımının yapılmasına karar verilmiş; Prof. Dr. Kazım Çeçen tarafından hazırlanan Hüseyin Tevfik Paşa ve “Linear Algebra” isimli kitap, 1988 yılında İTÜ Bilim ve Teknoloji Tarihi Araştırma Merkezi tarafından yayımlanmıştır. 

Kitabın birinci bölümü Hüseyin Tevfik Paşa’nın hayatı ve eserleri, ikinci bölüm ise Linear Algebra’nın basımı ve bilimsel değerlendirmesine ayrılmıştır. Linear Algebra adlı kitabın bilimsel yönden değerlendirilmesi, bu alandaki en büyük otorite olan Ord. Prof. Dr. Cahit Arf tarafından yapılmıştır. 

Hüseyin Tevfik Paşa’nın bu önemli eserini, matematikle uğraşanlardan ziyade, bilim tarihi yapanların incelemelerine sunmak ve tamamen yok olmasını önlemek üzere hazırlanmış olan Hüseyin Tevfik Paşa ve ”Linear Algebra” kitabının zaman içerisinde tükenmesi üzerine, İTÜ Rektörlüğü, “2019 Prof. Dr. Fuat Sezgin Yılı” kapsamında kitabın yeniden basımına karar vermiştir. İTÜ Vakfı olarak ikinci baskısını yaptığımız Hüseyin Tevfik Paşa ve ”Linear Algebra” kitabı, ülkemizin bilim tarihinde ve İTÜ tarihinde önemli yerleri olan iki bilim insanı Hüseyin Tevfik Paşa ile Prof. Dr. Kazım Çeçen’in değerli hatırasına ithaf edilmiştir.

Yazar Prof. Dr. Kâzım Çeçen 

Yayınevi:İTÜ Vakfı Yayınları

Yayın Tarihi : 2019 

Sayfa Sayısı : 188 ISBN NO : 978-975-7463-63-4 

https://www.ituyayinlari.com.tr/kitap/560/huseyin-tevfik-pasa-linear-algebra

Ali Osman Asar, Cebir Kitabı

Gazi Üniversitesi Matematik Ana bilim dalının duayen hocalarından biri olarak emekli olmuş olan Prof. Dr. Ali Osman ASAR, kendi matematik teoremleri ile dünyaca ünlü bir akademisyendir. Ord. Prof. Dr. Cahit ARF ile de akademik bir geçmişi olan ASAR, “Cebir ve Sayılar Teorisi” alanlarında çalışmış ve bu alanda lisans seviyesinde okutulan kitaplar yazmıştır. Kendi adına ait teoremlerinin (ASAR teoremleri) yanı sıra, yetiştirmiş olduğu akademisyenler ve öğretmenler sayesinde de adından söz ettirmiştir. 

Üniversiteden hocalarım Ali Osman Asar, Ahmet Arıkan ve Aynur Arıkan'ın ilmi çalışmaları ile çıkmış olan cebir ile ilgili mükemmel kitap matematikçiler için değerli bir kaynaktır. Ali Osman ve Ahmet Arıkan hocalarımın ikisinin de dersine girmek nasip oldu. İkisi de çok kaliteli ve değerli insanlardı. Matematik alanında kıymetli çalışmalarla gençlerimize ışık olmaya ömürlerini adamış bu değerli ilim adamlarının cebir alanındaki bu eserini, matematik aşıklarıyla paylaşmayı bir onur bilirim. 

Ali Osman Asar Hoca’nın cebir alanındaki ders notlarını, alanında uzman diğer hocalarımla birlikte kitaplaştırması, matematik bilimi açısından büyük bir sevinç kaynağı olmuştur. Cebir konularını ileri düzeyde ele alan, kapsamlı açıklamalara yer veren bu eser, üniversite düzeyinde matematik eğitimi için önemli bir başvuru kaynağıdır. Derslerdeki notları bile bir öğrencinin işine fazlasıyla yeterken, bu kitapta Ali Osman Hocam matematikçiler için daha fazlasını bizlere sunuyor. Bu kitabın bütün matematik öğretmenlerine ve matematik bölümü öğrencilerine çok faydalı olacağını düşünüyorum. Onca yaşına rağmen Ali Osman Hoca'daki o azim ve çalışkanlık, gençliğinin baharında olup da tembellikten kıvranan insanlara örnek olacak niteliktedir. Derste herhangi bir teoremi bize anlatırken sanki yaşıyormuş gibi heyecanlanan, teoremi ispatladığında çocuklar gibi sevinip mutlu olan Ali Osman Asar hocamız için matematik eğitimi açısından tek bir kelime kullanılır. "Matematiğe Aşık Bir Değer İnsanı" Ellerine sağlık Hocam. Ahmet Arıkan hoca da, mütevaziliği ve  çalışkanlığı ile iyi ki tanımışım dediğim üniversite hocalarımdandır. Zamanında Lineer Cebir, Genel Matematik, Materyal Geliştirme ve Modelleme derslerini kendisinden dinlemiştim. Aynur Arıkan da azim ve çalışkanlığı ile örnek hocalardandır. Allah, hocalarımın ilimlerini arttırsın, emeklerini zayi etmesin. 

Cebir alanında bu kıymetli eseri hazırlayan Gazi Üniversitesinin değerli öğretim elemanları; Ali Osman Asar, Ahmet Arıkan ve Aynur Arıkan hocalara, matematik adına teşekkür etmek bütün matematikçiler adına bir borçtur. 

Cebir kitabı: Üniversitelerin lisans derslerinde okutulan grup, halka ve cisim konularına bir giriş kitabıdır. Üç dönemlik bir ders kitabı olarak kullanılabilir. Kitap ayrıca lisansüstü cebir öğrencilerinin de yararlanabileceği niteliktedir. Her konu oldukça detaylı bir biçimde işlenmiş ve kitapta geçen hemen hemen bütün kavramların tanımları ile hemen hemen bütün sonuçların ispatları verilmiştir. Bunun yanında kavramlar ve sonuçlar bol bol örneklerle desteklenmiştir. Bundan başka her kısmın sonuna 20 civarında problem eklenmiş ve bunların tek numaralı olanların çözümleri ya da çözümlerine ait ipuçları verilmiştir. Ayrıca temel kavramlar bölümünde sembolik mantık, kümeler, bağıntılar ve tamsayıların oldukça geniş birer özeti verilmiştir. Bu bölüm özellikle matematik öğretmenlerinin ve matematiğe ilgi duyanların başvuracağı ve faydalanacağı temel kavramları içermektedir. 

Cebir Kitabı İçindekiler: 

TEMEL KAVRAMLAR 

1 0.1 Önermeler ve Temel İspat Yöntemleri 

1 0.2 Küme Kavramı 

13 0.3 Bağıntılar ve Fonksiyonlar 

17 0.4 Bir Kümenin Kardinalitesi 

24 0.5 İkili İşlemler 

27 0.6 Tamsayıların Bölünebilme Özellikleri 

30 0.7 Asal Sayılar 

38 0.8 Z de Kongrüens Bağıntısı 

40 0.9 Kompleks Sayılar 

43 1 GRUP TEORİSİNE GİRİŞ 

51 1.1 Grup Tanımı ve Elemanter Özellikler 

51 1.2 Alt gruplar 

61 1.3 Permütasyon Grupları 

67 1.4 Devirli Gruplar 

79 1.5 Grup Homomorfizmaları 

83 1.6 Kosetler ve Lagrange Teoremi 

89 1.7 Normal Altgruplar, Bölüm Gruplar ve İzomorfizma Teoremleri 

97 1.8 Bir Grubun Bir Küme Üzerine Etkisi 

107 1.9 Grup Etkisinin Uygulamaları ve Burnside Teoremi 

115 1.10 p-Grupları, Sylow Teoremleri ve Basit Gruplar 

121 1.11 Direkt Çarpım ve Sonlu Abelyan Grupların Yapısı 

132 1.12 Çözülebilir ve Nilpotent Gruplar 

140 2 HALKALAR 

151 2.1 Halka Tanımı ve Elemanter Özellikler 

151 2.2 Althalkalar ve Halka Homomorfizmaları 

162 2.3 İdealler, Bölüm Halkaları ve İzomorfizma Teoremleri 

169 2.4 Bir Tamlık Bölgesinin Kesirler Cismi 

180 2.5 Polinom Halkaları 

186 2.6 F[x] Polinom Halkasının Cebirsel Yapısı 

197 2.7 Tamlık Bölgelerinde Çarpanlara Ayırma 

215 2.8 Tektürlü Çarpanlara Ayırma Bölgeleri Üzerinde Tanımlı Polinom Halkaları 

229 3 CİSİM TEORİSİNE GİRİŞ 

235 3.1 Cisim Genişlemeleri 

235 3.2 Cebirsel Cisim Genişlemeleri 

247 3.3 Geometrik Çizimler 

255 3.4 İzomorfizma Genişlemeleri ve Otomorfizma Grupları 

266 3.5 Parçalanma Cisimleri ve Normal Genişlemeler 

278 3.6 Ayrılabilir Genişlemeler 

288 3.7 Sonlu Cisimler 

297 3.8 Galois Genişlemeleri 

302 3.9 Dairesel Genişlemeler 

313 3.10 Köklerle Çözülebilirlik 

320 3.11 Simetrik Fonksiyonlar ve n yinci Dereceden Genel Polinomun Galois Grubu

Sayılar Teorisi Kitabı: Ali Osman Asar ve Aynur Arıkan tarafından hazırlanmış, Sayılar teorisi, asal sayılar ve cebirsel sayıları içeren, matematik yüksek lisans ve lisans öğrencilerini ve matematik meraklılarını hedef kitle olarak seçmiş gayet güzel bir kitaptır. Bu kitap; sayılar teorisinin temel konularının elemanter bir yaklaşımla sunumudur. Esas olarak üniversitelerin lisans düzeyi için bir ders kitabı olarak hazırlanmıştır. Bununla birlikte ilk dört bölüm için yalnızca lise matematiği ve daha sonraki üç bölüm için üniversitelerin birinci sınıfında okutulan genel matematik yeterli olacağından, her düzeydeki okuyucunun yararlanabileceği bir eserdir Bu alanlarda Türkçe kaynakların az olması sebebiyle, her iki eser de matematikçilerin kütüphanelerinde yer etmelidir diye düşünüyorum.

Cebir; Ali Osman Asar, Ahmet Arıkan, Aynur Arıkan, Efil Yayınevi, Yayın Tarihi: 15.07.2009 ISBN: 9786054160228, Sayfa Sayısı: 381 

Sayılar Teorisi; Ali Osman Asar, Aynur Arıkan, Gazi Kitabevi, Yayın Tarihi: 01.01.2012, ISBN: 9786054562442, Sayfa Sayısı: 269

Cebir;  Ali Osman Asar, Ahmet Arıkan, Aynur Arıkan,  Gazi Kitabevi, Yayın Tarihi: 09.11.2012 ISBN: 9786053440024, Sayfa Sayısı: 381

Harezmi'ye Ün Kazandıran "Cebir Kitabi"

Harzemli'nin bilim tarihinde kısaca, "Cebir Kitabı" adı ile anılan eseri, " Kitab-ül Muhtasar Fi Hesab al-Cebr Ve'l Mukabele" , Türkçe deyişle; "Özetlenmiş , Benzer terimleri yoketme-Mukabele ve Bilinenleri bir tarafta toplama-Cebir, Hesaplamasının Elkitabi " dir. Harzemli Dar Ül Hikmede , çesitli matematiksel problemlerin çözümü üzerinde çalışırken, Hindli matemetikçilerin yeni bir aritmetik üzerinde çalıştıklarını öğrenir. M.S. 825 Tarihlerinde Halife Memun'un izni ile, Hint matematiğini izlemek üzere Hindistan'a gider. Hint matemetikçilerinin kullandığı yeni sayı sistemini ve aritmetiği bütün yönleri ile inceler, notlar alır ve bilgi yükü ile Bağdat'a döner.

Bilim tarihçilerinin bir konuyu işleme zenginliğini görmek ve bu yaklaşımın ulaşımlarını değerlendirmek için, bilim tarihçisi B. K. Stonaker'in , "Famous Mathematicians" (1966, N.York) isimli kitabından Harzemli'nin Bağdat dönüşü hikayesini okuyalım: " Kervan Bağdat'a doğru tekrar yola çıktı. Havanın sıcaklığından, çölde yolculuk çok zor geçiyordu. Kervan bin güçlükle Bağdat'a ulaştı. Harzemli'yi Halife Memun karşıladı. Ve Harzemli  " Allah, bana çok yararlı ve başarılı bir gezi bahşetti. dedi. Harzemli koltuğunda bir deste kağıt ve kitap taşıyordu. Bir ara kağıtların bir bölümü yere düştü. Birinin üzerinde şifre gibi bilinmeyen simgeler vardı. Halife bu acayip şekilleri görünce kızar gibi oldu ve "Bunlar nedir?"diye sordu. Harzemli." Bunlar Hint sayılarıdır." Diye cevapladı. "Bunlar sayıların tanımlanmasını ve aritmetik işlemleri çok kolaylaştıracaktır efendim." şeklinde niyetini açıkladı. Halife, Harzemli'nin Hindistan'dan getirdiği yenilikleri bundan sonra daha iyi karşıladı ve "geliştirip herkese yararlı hale getirmesini ve diğerlerine öğretmesini buyurdu."

Harzemli, Hint gezisi dönüşünde, orada matematik işlemlerde kullanımını incelediği onlu sayı birimleri (1,2,3,.,9 )ile kurulan sayıların işlemsel kullanımı yöntemlerini kendi çabalarıyla geliştirdi. Harezmi'nin çalışmalarından sonra bu sayı sistemleri, sonradan Arap sayıları diye anılan onlu sayı sistemini oluşturmuştur. Aritmetiğe onlu sayı sisteminin girişi Harzemli'nin eserinin çevirileri ile dünyaya yayılmıştır. Cebirde denklem çözümü ve güncel problemlerin çözümünde kullanmak için çalışmalar yaptı. Kendine özgü sözlü biçimde denklem çözümünü içeren bir yöntem geliştirdi. Denklem çözme yöntemini öğretmeyi amaçlayan bir kitap hazırladı. 

Harzemli "Cebir Kitabı"nın önsözünde :" Lütüfkar ve merhametli Allah adına, bu eser Harzemli Musa Oğlu Muhammed tarafından yazılmıştır. O şöyle bir başlangıç yapmak ister: Allah'a şükürler olsun ki, onun iyilikseverliğine ve korumacılığına sığınabildim. Onun emirlerine uydum. Şükürler olsun ki, görevimi yapmak için Onun değerli ve sürekli yardım severliğinden yararlandım. Onun kudretli, eksilmeyen yüceliğini ve saygın büyüklüğünü kabul ederim. O Muhammedi Allah'ın elçisine yakışır bir görevle görevlendirdi. Ne zaman haklılık zayıflasa, doğru yolda ilerlemek çaresiz kalsa, Onun yardımları yetişti. Allah, sadık komutan Al-Memun 'u ilim sevgisi ile ünlü kıldı öyle ki, O bilim adamlarından yardım ve desteğini hiç eksik etmedi. Onları güçlüklerden korudu. O halifeliği yanında, yüceltmede, ödünlendirmede , adalet ve hak dağıtmada da çömertti.. Beni "bir araya getirme-cebr ve sadeleştirme-mukabele" kuralları ile hesaplama üzerine özlü bir eser yazmaya teşvik etti, bana cesaret verdi.."

Bir kaynağa göre, Harzemli "cebir Kitabı"nı yazar ve Halife Memun'a sunar. Memun: " Harzemli çok güzel ama bunları halkım anlayıp kullanamaz. Haydi git yeniden, öyle yaz ki herkes bu kurallarla problem çözebilsin" der. Bu buyrukla, Harzemli konuyu yeniden inceler ve kitabını yeniden herkesin anlayıp, uygulayabileceği sistemli bir anlatım yapısı düzeni ile düzenler. Gerek, Harzemli' nin önsözünde belirttiği; Memun'un "Özlü bir kitap yaz." Gerekse, yukarda sözü edilen; " yeniden öyle yaz ki herkes anlayıp kullanabilsin" cümlelernin içinde yatan anlamı, Harzemli öylesine değerlendirmiş ki, özgün bir anlatım yöntemi oluşturarak, çığır açan üç kavramı birbirinin bütünleyicisi olarak ortaya koymuştur. Bunlar; onlu sayı sistemi , denklem kuramı ile çözüm ve yeni çözümleme yöntemi ya da algoritmik anlatımlardır ve bütün bunlar ayrı ayrı önem taşıyan Ortaçağ biliminin ilklerindendir.

Harzemli'nin çalıştığı ortam gereği Arapça el yazması ile hazırladığı "Cebir Kitabı", 11. Yüzyılın sonlarında, İspanya yolu ile Avrupa'ya ulaştıktan sonra , birkaç kez Latince, Italyanca ve sonra İngilizce'ye, çevrilmiş, bu çevirilerde özgün elyazmasının farklı kopyaları kullanılmıştır. Ayrıca sayısı yüzden fazla araştırmacı, Harezmi'nin kitabı üzerine değerlendirme ve yorum yayımlamıştır. Çevirilerden en yaygın kullanılanı; M.S. 1145 yılında Chester'lı Robert sanı ile tanınan araştırmacının İspanya'nın Segova kentinde Latinceye çevirdiği "Al-Khwraizmi's Al-Jabr" isimli kitabı ile Frederic Rosen'ın 1831 deki İngilizce çevirisi " The Algebra of Muhammed Ben Musa" isimli kitabıdır. 19. Yüzyılda en çok yararlanılan kaynaklar ise, L.C. Karpinski'nin Chester çevirisinden yararlanarak , 1915 deki İngilizce, " Robert of Chester's Latin Translation of Al-Khowarizmi" çeviri ve değerlendirmesi ile 1989 Yılında Barnabas B. Hughes'in değerlendirme, karşılaştırma ve yorumu içeren İngilizce "Robert of Chester's Latin Translation of Al-Khwarizmi's Al-Jabr " adlı eserleridir.

Harezmî önce bu denklemlerin analitik çözümlerini verir, daha sonra katışık denklemlerin geometrik ispatını yapar. Kitaptaki denklem çözümlerinden birine örnek olarak x²+21=10x denkleminin iki farklı kökünü geometrik modellemeyle vermiştir. x²-2x-5x= 6=0 denkleminde iyileştirme ile negatif terimleri diğer tarafa atmayı ifade ederek denklemi x²=+5x+2x+6 şekline dönüştürerek modellemiştir. Sadeleştirme ile benzer terimlerin birleştirilmesini ifade eder ve bu durumda denklem; x² = +7x+6 şekline dönüştürerek denklemlerin sade hallerinden geometrik modellemelerini alan hesabından yararlanarak açıklamıştır. Harezmî özel olarak x² +10x-39=0 denkleminin çözümünü geometrik olarak aşağıdaki gibi bulmuştur.

Harzemli'nin "Cebir Kitabı" kısaca tanımlamak gerekirse; On tabanlı sayı sisteminin ve dört işleminin tanımı, birinci ve ikinci derece denklem oluşturma öğelerinin tanımı. (kök-bilinmeyen, kare- bilinmeyenin karesi, kare ya da kök olmayan yalın sayı), birinci ve ikinci derece eşitlik- ya da denklem kurma, cebr ve mukabele işlemleri, cebirsel ifadeler üzerine çeşitli işlemler, karekök, İkinci derece denklemin kökünü bulma yöntemi, denklem çözümlerinin geometrik ispat ve modellemelerini içerir. Yer alan, birinci ve ikinci derece denklem türleri: bx = c, ax = c, ax² = bx, ax²+bx=c, ax²+c = bx ve ax² = bx+c tanımı ile denklem kurma yolu ile çözümü verilen, miras, alan, faiz ve arazi problemlerinin sistemli-açıklamalı, çok sayıda çözüm örnekleri sözel biçimde aktararak, çeşitli matematiksel ve geometrik modellemelerle eserde sıralanmaktadır.