Bölünebilme Kuralları

Etiketler : asal sayılar bölme işlemi bölüm algoritması matematik sayılar

Bölünebilme Kuralları, matematikte sayıların 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 17, 19, 25, 36 gibi sayılara kalansız olarak bölünüp bölünemediklerini, bölme işlemi yapmadan kolayca anlamaya yardımcı olan kurallarıdır. En sık kullanılan 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11 sayıları ile kalansız bölünebilme işlemleridir.  Bu sayılara tam bölünebilme için belli alışılmış kurallar vardır.

Bölünebilme krallarında bazı sayılara bölme kuralları artık geleneksel hal almışken, bazıları için ise daha yeni yöntemler ortaya çıkabilmektedir. Bunun için gündem takip edilerek daha güncel bilgilerin bilinmesi gerekir. Özellikle asal sayıların bölünebilmesi hususunda yeni ve daha pratik yöntemler zamanla ortaya çıkabilmektedir. Her sayı, 1 ile tam olarak kalansız bölünür. Bunun haricindeki bazı sayılar için özel bölünebilme kuralları vardır.

2'ye bölünebilme kuralı:

Son rakamı çift sayı olan sayılar, 2 ile tam bölünür. Bir tam sayı 2 ile bölünmezse, kalan her zaman 1 olur.

3'e bölünebilme kuralı:

Rakamların sayı değerleri toplamı 3 veya üçün katları olan sayılar, 3 ile tam bölünür. 3 ile tam bölünmeyen sayıların kalanları; 0,1 veya 2 olabilir.

4'e bölünebilme kuralı:

Bir sayının birler ve onlar basamağı (son iki basamağı) 00 ya da 4'ün katı olan sayılar, 4 ile tam bölünür. 4 ile tam bölünemeyen sayıların kalanları; 0,1,2 veya 3 olabilir.

5'e bölünebilme kuralı:

Son rakamı 0 veya 5 olan sayılar, 5 ile tam bölünür. 5 ile tam bölünemeyen sayıların kalanları; 0,1,2,3 veya 4 olabilir.

6'ya bölünebilme kuralı:

Sayı hem 2'ye hem de 3'e kalansız bölünebiliyorsa, bu sayı 6'ya da tam bölünür. 

6 ile tam bölünemeyen sayıların kalanları; 0,1,2, 3, 4 veya 5 olabilir. Örneğin:102,123,528 sayıları 6 ile bölümünden kalanı 0'dır.

 

Örnek: 9456156 sayısına 6 ile bölünebilme testini uygulayalım. Buna göre ilk şart sayının 2 ile tam bölünebilmesi gerekir. Yani sayı çift olmalıdır.  Burada 9456156 sayısı çift sayı (birler basamağı 6) olduğundan sayı 2 ile  tam bölünebilir. Verilen sayı 3 ile tam bölünebilir olmalıdır. 9456156 sayısının rakamlarının toplamı 36'dır (9+4+5+6+1+5+6 = 36) Elde edilen sonuç 36 toplamı 3 ile tam bölünebilir. Bu nedenle 9456156 sayısı 3 ile tam bölünebilir. Böylece 9456156 hem 2'ye hem de 3'e tam bölünebildiğinden 6'ya da tam bölünebilir.

7'ye bölünebilme kuralı

7 ile bölünebilme kuralında sayı üçerli gruplanır. Üçerli gruplandıktan sonra grupların üzerine +,-,+,-,+....şeklinde sırasıyla değerler yazılır ve her rakamın altına  en sağdan sola doğru 13213213213... şeklinde bir sayı gelecek şekilde 132 kodu yazılır. altına yazılan sayı ile üstündeki sayı çarpılarak artı ve eksiler kendi aralarında toplanır, toplam sonuç 7 nin katı ise verilen sayı 7 e tam bölünür aksi halde kalan ne ise o sayının bölümünden de kalan o dur.

8'e bölünme kuralı:

Son üç basamağının oluşturduğu sayı 000 ya da 8 in katı ise, bu sayı 8 ile tam olarak kalansız bölünür. 8 ile tam bölünemeyen sayıların kalanları; 0,1,2, 3, 4, 5, 6 veya 7  olabilir.

9'a bölünebilme kuralı:

Rakamların sayı değerleri toplamı 9 veya dokuzun katları olan sayılar, 9 ile tam bölünür. 

9 ile tam bölünemeyen sayıların kalanları; 0,1,2, 3, 4, 5, 6, 7 veya 8 olabilir.

10'a bölünebilme kuralı: 

Son rakamı 0 olan sayılar, 10 ile tam bölünür. 10 ile tam bölünemeyen sayıların kalanları; 0,1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 veya 9 olabilir.

11'e bölünebilme kuralı:

Bir sayının 11 ile tam olarak bölünebilmesi için, sayının rakamlarının altına birler basamağından başlayarak sırasıyla +, -, +, -, ... işaretleri yazılır, artılı gruplar kendi arasında ve eksili gruplar kendi arasında toplanır, genel toplamın da 0, 11 veya 11 e bölümünde kalanı 0 olan bir sayı ise 11'e tam bölünür. 11 ile tam bölünemeyen sayıların kalanları; 0,1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9  veya 10 olabilir.

Asal çarpanlarına ayrılarak da bölünebilme kuralları yazılabilir. Bu durumda sayı, aralarında asal olacak şekilde çarpanlarına ayrılır. Eğer verilen sayı, bu çarpanların bölünebilme kurallarını aynı anda sağlarsa, tam bölünebilme gerçekleşir, aksi halde tam bölünme olmaz. 

Örneğin: 12'ye bölünebilme kuralı: Bir sayının 12'ye tam bölünmesi için, 3 ve 4'e tam olarak bölünmesi gerekir. 15' e bölünebilme kuralı: Bir sayının 15'e tam bölünmesi için, 3 ve 5'e tam olarak bölünmesi gerekir. 24'e bölünebilme kuralı: Bir sayının 24'e tam bölünmesi için, 3 ve 8'e tam olarak bölünmesi gerekir. 30'a bölünebilme kuralı: Bir sayının 30'a tam bölünmesi için, 3 ve 10'a tam olarak bölünmesi gerekir. 36'ya bölünebilme kuralı: 4 ve 9 a bölünebilen tüm sayılar 36 ya bölünebilir. 45'e bölünebilme kuralı: Bir sayının 45'e tam bölünmesi için, 5 ve 9'a tam olarak bölünmesi gerekir.90'a bölünebilme kuralı: Bir sayının 90'a tam bölünmesi için, 9 ve 10'a tam olarak bölünmesi gerekir.

--------------------------------------------------------------------------------

Bazı asal sayılarla ilgili özel bölünebilme formülleri verilmişse de bunları uygulamak yerine daha pratik hesaplamalara yönelmek ve sayılar arasında benzerlik kurmak daha mantıklı olacaktır.

13'e bölünebilme kuralı:

7 ile bölünme kuralında olduğu gibi aynı işlemler tekrarlanır. Farklı olan tarafı 13 ile bölünme kuralında kod olarak 1(-3)(-4) alınır.

Sayıyı x=abcdefg olsun temel basamak çarpanları ise 1,-3,-4 tür 1*(g-d+a)+(-3)*(f-c)+(-4(e-b)

şeklinde daha uzun basamaklı ise bir eksili bir artılı çıkarıp ve toplayarak sonucu buluruz. 

Çıkan sonuç 13 ile tam bölünüyorsa, verilen sayıda bölünür, eğer kalan varsa bu kalan verilen o sayının 13 ile bölümünden kalanı olur.

Örnek: 9456 sayısının 13 ile tam bölünüp bölünmediğini kontrol edelim. Önce sayıyı üçerli +, -, +, -.. şeklinde gruplayalım. 9, 456 Bu grupları kod 1(-3)(-4) ile çarpalım. -(9*1)+ (4*4+(-3)*5+1*6)=(-9)+(16-15+6)=(-9)+(7)=-2 elde edilen sonuç 13 ile tam bölünmediğinden verilen sayı da 13 ile tam bölünmez.

 

17'ye bölünebilme kuralı:Sayıyı X=10a+b şeklinde yazdığımızda a-5b sayısı 17'ye kalansız bölünürse bölünür. Verilen sayının son basamağı 5 ile çarpın ve bulunan sonucu sayının geri kalanından çıkarın. Bu sonuç sıfır ya da 17'ye bölünebilen bir sayıysa, verilen sayı 17'ye tam bölünebilir. 

 

Örnek: 969 sayısının 17 ile tam bölünüp bölünmediğini kontrol edelim. Yukarıda verilen kuralı uygulayalım. Öncelikle 96 – (9 x 5) = 96 – 45 = 51 olur. 51 sonucu 17 ile tam bölündüğünden (51 = 17 x 3) örnekteki 969 sayısı da 17'ye tam bölünebilir.  

 

17 ile bölünebilmeye başka bir kural olarak da şu söylenebilir: Verilen sayının son iki basamağıyla oluşan sayıyı alın. Sayının geri kalanını 2 ile çarpın. Bu ürünü son iki basamağıyla oluşan sayıdan çıkarın. Sonuç 0 veya 17'ye bölünebilirse, orijinal sayı 17'ye bölünebilir. 

 

Örnek: 9027 sayısının 17'ye bölünüp bölünemeyeceğini kontrol edelim. 

Son iki rakamı alalım: 27

Sayının Kalan kısmı (90) Bu kalan kısmı 2 ile çarpın: 90 × 2 = 180 Son iki rakamdan çıkan sonuçtan çıkaralım: 27-180 = -153 Çıkan sonuç 153 sayısı 17'ye tam bölündüğünden verilen sayı da 17 ile tam bölünür. (153 ÷ 17 = 9) Yani 9027 sayısı, 17'ye tam bölünür.

--------------------------------------------------------------------------------

19'a bölünebilme kuralı:Sayıyı X=10a+b şeklinde yazdığımızda a+2b sayısı 19'a kalansız bölünürse bölünebilir.  

Örnek: 3610 sayısının 19'a bölünüp bölünemeyeceğini kontrol edelim. Son rakamı iki katına çıkaralım: 0 × 2 = 0 Kalan rakamlara bunu ekleyelim: 361 + 0 = 361 Bulunan sonucun 19 ile bölünebilirliği kontrol edelim: 361 ÷ 19 = 19(bölünebilir). Dolayısıyla 361 sayısı 19'a tam bölünebildiğinden 3610 sayısı da 19'a tam bölünebilir.

 

19 ile bölünebilmeye başka bir kural olarak da şu söylenebilir: Sayının rakamları sağdan sola doğru üçlü gruplar halinde gruplanır. Sonra, bu grupları +,-,+,-,+.... şeklinde dönüşümlü olarak toplayıp ve çıkarın. Elde edilen sonuç 19'a bölünebilirse, orijinal sayı da 19'a bölünebilir.

 

Örnek: 1234567 sayısının 19'a bölünebilirliğini kontrol edelim. Sayıyı en baştan itibaren 1, 234, 567 üçerli olarak olarak gruplayalım. Birler bölüğünden başlayarak +,-,+,-,+.... şeklinde dönüşümlü olarak toplayıp ve çıkaralım. 567 − 234 + 1 = 334 Bu işlemin sonucunda bulduğumuz 334 sayısı 19'a bölünemediğinden 1234567 sayısı da 19'a tam bölünemez. 

Örnek: 29303814 sayısının 19'a bölünebilirliğini kontrol edelim: 29, 303, 814 olarak gruplandıralım. +,-,+,-,+.... şeklinde dönüşümlü olarak toplayıp ve çıkaralım. 814 − 303 + 29 = 540 Bu işlemin sonucunda bulduğumuz 540 sayısı 19'a tam bölünebildiğinden 29303814 sayısı da 19'a tam bölünebilir.

--------------------------------------------------------------------------------

25, 50,75,100 gibi katlı bölmelerde, sayının son iki basamağına bakılarak bölme işlemi yapılır. Verilen sayının bölünebilme kuralını sağlayabilmesi için, genellikle son iki basamağın tam olarak bölünmesi lazım gelir. Aksi halde kalanlı bölme gerçekleşir. 

25'e bölünebilme kuralı: Son iki rakamı 25, 50, 75, veya 00 olan sayılar 25 ile tam olarak bölünür. Örneğin: 125, 375, 525,150, 1825, 800, gibi sayılar 25 ile tam olarak bölünür. 123,756, 854, 961, 7894 gibi sayılar ise 25'e tam bölünmez.

50'e bölünebilme kuralı: Son iki rakamı 50, veya 00 olan sayılar 50 ile tam olarak bölünür. Örneğin; 100, 250,3400 gibi sayılar 50 ile tam bölünürken, 510, 753, 842 sayıları 50 ile tam bölünmez.

75'e bölünebilme kuralı: Son iki rakamı 25, 50, 75, 00 olan sayılardan tamamı 75 ile tam olarak bölünemez. Genel olarak bir kural söylenemz. Örneğin; 150, 225, 300, 375 gibi sayılar 75 ile tam bölünürken, 100, 250, 125, 475 sayıları 75 ile tam bölünmez.

100'e bölünebilme kuralı: Son iki rakamı 00 olan sayılar 100 ile tam olarak bölünür. Örneğin; 100, 4000,53400 gibi sayılar 100 ile tam bölünürken, 210, 7453, 8472 sayıları 100 ile tam bölünmez.