Steiner - Lehmus Teoremi

Etiketler :
İki iç açıortayı, uzunlukça eşit olan bir üçgen, ikizkenar bir üçgendir. İkizkenar olmayan bir üçgenin iki dış açıortay uzunluğu eşit olabilir. ( Steiner-LehmusTeoremi, dış açıortaylar için geçerli değildir)

ABC üçgeninde, I içteğet çemberin merkezi olsun.BA ve CA doğruları üzerinde P ve Q noktalarını IAPI=IAQI=IBCI olacak şekilde alalım. 
APQ ikizkenar üçgeninde IA açıortay doğrusu, aynı zamanda
yükseklik ve kenarortay işlevi görür. 
Burada APQ üçgeni ikizkenardır, IPQ üçgeni de ikizkenardır ve |IQ|=|IP| dir.























P ve Q noktalarından, BE ve CF açıortaylarına çizilen yükseklik ayakları sırasıyla P' ve Q' olsun. Açıortay doğrusu üzerindeki E noktasından kollara indirilen dikmeler eşit olduğundan, A(PEA)=A(BEC) dir. 

Buradan  A(ABC)=A(ABE)+A(BEC)=A(ABE)+A(PEA)=A(PEB) olur. 
Benzer şekilde A(ABC)=A(QFC) olacağı için A(PEB)=A(QFC) dir. 

Bize başlangıçta IBEI=ICFI verildiğinden IPP'I=IQQ'I olmalıdır.

Şunu biliyoruz; IQA  ≅  IPA (KKK) olduğundan s(IQA)=s(IPA) dır. 

Ayrıca PIP'  ≅  QIQ' olduğundan şunu söyleriz; 

s(QCI)=s(PBI) olmalıdır. Bu eşitlik de zaten s(CBA)=s(BCA) demektir. Böylece ispat tamamlanmış olur. 


0 yorum:

Fayda vermeyen ilimden Allah'a sığınırım. “Allah'ım; bana öğrettiklerinle beni faydalandır, bana fayda sağlayacak ilimleri öğret ve ilmimi ziyadeleştir."

İlim; amel etmek ve başkalarıyla paylaşmak içindir. Niyetimiz hayır, akıbetimiz hayır olur inşallah. Dua eder, dualarınızı beklerim...

En Çok Okunan Yazılar

Aşağıdaki Yazılar İlginizi Çekebilir!!!