Eş veya benzer üçgenlerde yardımcı elemanlar

Bütün kenarları ve bütün açılarının ölçüleri birbirine eşit olan üçgenelere, eş üçgenler denir. Sonuç olarak; "Eş üçgenlerde, eş açılar karşısında eş kenarlar ve eş kenarlar kaşısında da eş açılar bulunur." Eş üçgenlerde karşılıklı açı ve kenar uzunlukları eşit olduğu gibi iki eş üçgende yardımcı elemanlar olan yükseklik, kenarortay ve açıortay da birbirine eşit uzunluktadır.

Eşlik ve Benzerlik Teoremleri

Açı Kenar Açı (A.K.A.) Eşliği: İki üçgenin karşılıklı birer kenarı ve bu kenara komşu olan açıları arasında eşlik varsa, "iki üçgen birbirine eştir" denir. 

Üçgenin çevrel çemberi ve alanı

Herhangi bir üçgenin köşe noktalarından çizilen çembere üçgenin çevrel çemberi denir. Esasında çember üzerinde alınan üç farklı noktayı birleştiren doğru parçaları (kirişler) yardımıyla çember içinde bir üçgen oluşturulur. Çevrel çemberin merkezi üçgenin iç bölgesinde veya dış bölgesinde yer alabilir. Meydana gelen bu üçgenin alanını, çevrel çemberin yarıçapını kullanarak bulabiliriz. Çevrel çember yardımıyla üçgenin alanı hesaplanırken, üçgenin bütün kenar uzunlukları çarpılır ve çarpım sonucu çevrel çemberin yarıçapının dört katına bölünür. Bu şekilde üçgenin alanı bulunmuş olur. 

TEOREM: Bir üçgenin alanı, tüm kenar uzunluklarının çarpımının, çevrel çemberin yarıçapının dört katına bölümüne eşittir. 

İSPAT-1:İspatını yaparken üçgenin sinüs alan formülü kullanılarak ispat yapılabileceği gibi çember özellikleri ve benzerlik kullanılarak da ispatlama yapılabilir. Bunun için bir çember çizelim. Ve çember üzerinde üç farklı nokta alarak bir üçgen oluşturalım. 

Şekilde ABC üçgeni çizilmiştir. Üçgende B noktasından indirdiğimiz yüksekliğe h diyelim. Aynı zamanda, BO doğrultusunu uzattığımızda, O merkezli çemberde |BD| çapını elde etmiş oluruz. ABD üçgeninde A açısı çapı gördüğünden, çapı gören çevre açının ölçüsü 90 derece olur. Aynı yayı gören çevre açılar birbirine eşit olduğu için D açısı ile C açısı birbirine eşittir. (Çünkü D açısı da C açısı da AB yayını görüyor.) Bu açıların ölçülerini y olarak adlandıralım. Üçgenin iç açıları toplamı 180 derece olduğu için, BEC üçgenindeki B açısıyla, ABD üçgenindeki B açısı birbirine eşittir. Bu açılara da x diyelim. x+y=90 derece olur. Şekilden de görüldüğü gibi BEC ve BAD üçgenlerinin iç açıların ölçüleri birbirine eşittir. Yani bu iki üçgen arasında açı açı açı benzerliği (AAA Benzerliği) vardır. 

Benzelik teoremi gereğince bu iki üçgende, açıların gördükleri kenarların oranları birbirine eşit olduğundan, 90 derecenin gördüğü kenarların oranı ile, y açılarının gördükleri kenarların oranı birbirine eşit olur. Buradan, a/(2.R) oranının h/c oranına eşit olduğu görülür. Bu eşitlik düzenlenip h tek başına bırakıldığında; yüksekliği h=(a.c)/(2.R) olarak buluruz. ABC üçgeninde alan formülü olan taban uzunluğu ile yüksekliğin çarpımının yarısı formülü uygulandığında, taban uzunluğu b, tabana ait yükseklik h olmak üzere, Alan(ABC)= (h.b)/2 olur. h yerine yukarıda bulduğumuz eşitliği yazıp düzenlediğimizde, Alan(ABC)=(a.b.c)/(4.R) elde ederiz. 

İSPAT-2:Sinüs alan bağıntısı kullanılarak da aynı formül ispatlanabilir. Bunun için üçgenin sinüs alan formülü yazılır ve buradan sinüs teoreminden elde edilen eşitlik yerine yazılarak, çevrel çember alan ispatı yapılmış olur.

Thales Teoremleri ve İspatı

Miletli Thalēs; y. MÖ 624/623 – MÖ 548/545), Milet, İyonya'dan bir Antik şehir bugün Aydın sınırları içersinde kalmaktadır. Thales, matematikçi, astronom ve aynı zamanda felsefe ile uşraşmıştır. İlk filozoflardan olduğu için felsefenin öncüsü olarak kabul edilir. adlandırılır. Ticaretle uğraşmış ve bu nedenle Mısır'da bulunmuştur. Bertrand Russell'e göre, Felsefe'nin Thales ile başladığı kabul edilir. Platon, Theaetetus'da, Thales'den "yıldızları incelerken önündeki kuyuyu görmeyen biri" olarak hicvederek bahseder. Aristoteles, Thales'i "zeytinin bol çıkacağı yılları tahmin edebilen başarılı bir kişi" olarak takdim eder. 

Thales MÖ 28 Mayıs 585 tarihindeki güneş tutulmasını tahmin etmiştir. Güneş tutulmasını kendisinin bilgisiyle hesaplayıp hesaplamadığı kısmı ihtilaflıdır. Ticaret maksadıyla gittiği, Mısır ve Babil ziyaretleri nedeniyle o bölgelerden bir takım astronomi bilgileri öğrendiği kabul edilmektedir. Thales, suyu hayatın ana kaynağı olarak düşünür ve herşeyin sudan meydana geldiğini, suyun bir ana madde olduğunu söyler. Doğadaki işleyişi ana madde unsuru ile açıklamaya çalışmıştır. Eski Yunan bilginlerinden Kallimakhos'un aktardığı bir düşünceye göre denizcilere kuzey takımyıldızlarından Büyükayı yerine Küçükayı'ya bakarak yön bulmalarını öğütlemiştir. Aynı zamanda Mısırlılardan geometriyi öğrenip Yunanlara tanıtmıştır. Bulduğu bazı geometri teoremleri şunlardır: Çap çemberi iki eşit parçaya böler. Bir ikizkenar üçgenin taban açıları birbirine eşittir. Birbirini kesen iki doğrunun oluşturduğu ters açılar birbirine eşittir. Köşesi çember üzerinde olan ve çapı gören açı, dik açıdır. Tabanı ve buna komşu iki açısı verilen üçgen çizilebilir.

Thales Teoremi: “En az üç paralel doğru, iki kesen üzerinde uzunlukları orantılı parçalar ayırır.” Thales teoreminin uygulanması aslında benzerlik bağıntılarının bir özel uygulamasıdır. Thales teoremi ispatlanırken de AAA benzerliğinden yararlanarak ispatlama işlemi yapılır.

Birbirine paralel olan üç veya daha fazla doğru, iki farklı doğruyla kesişirse, kesenler üzerinde ayrılan karşılıklı doğru parçalarının uzunlukları orantılı olur. İkinci thales teoremi de buna benzer biçimde yine benzerlik yardımıyla birbirini kesen iki doğru ve bunları kesen birbirine paralel doğrular yardımıyla oluşan şekilde benzer üçgenlerin kenarları arasındaki orantıdan oluşur. Kesişen iki doğru, paralel iki doğru ile kesildiğinde, oluşan iki üçgenin karşılıklı kenar uzunlukları orantılı olur.

 

Thales Teoremi Üçgenlerde benzerlik işlemlerinin temelini oluşturan önemli bir teoremdir. Bu nedenle iyi bilinmesi ve örneklerle pekiştirilmesi gerekmektedir.

Menelaus Teoreminin İspatı

İskenderiyeli Menelaus (MS.70 – 140), matematikçi ve gökbilimcidir. Yaşamı hakkında çok az bilgi bulunan Menelaus'un hayatını İskenderiye'de geçirdiği çocukluk yıllarının ardından Roma'ya taşındığı tahmin edilmektedir. İskenderiyeli Pappus ve Proclus tarafından İskenderiyeli Menelaus adıyla anılmıştır. Batlamyus, Almagest adlı eserinde, Menelaus'un 98 yılının ocak ayında iki gökbilimsel gözlem yaptığını belirtmiştir. Bunlar birkaç gece arayla gerçekleşen Spica ve Beta Scorpii okültasyonlarıdır. Batlamyus bu gözlemlerden ekinoks döngülerini doğrulamada yararlanmıştır. 

Sphaerica’nın Arapça çevirisi Menelaus'un günümüze kalan tek yapıtıdır. Üç kitaptan oluşan bu çalışma, kürenin geometrisi ve gökbilimsel hesaplamalarda kullanımını konu almaktadır. Kitap, küresel üçgen kavramına giriş yapmakta ve Menelaus teoreminin kanıtına yer vermektedir. Bu çalışma 16. yüzyılda gökbilimci ve matematikçi Francesco Maurolico tarafından Yunancaya çevrilmiştir. 16.71 ° kuzey, 15.81 ° güney, 16.4 ° Doğu ve 15.46° Batı dereceli, Ay yüzeyinde yer alan yaklaşık 27 km çapındaki bir kratere "Menelaus krateri", adı verilmiştir. 

Menelaus tarafından yazılan kitapların bir bölümü şöyledir: 

Altı kitaptan oluşan Bir çemberdeki kirişlerin hesaplanması üzerine (On the calculation of the chords in a circle) 

Üç kitaptan oluşan Geometrinin temelleri (Elements of geometry), daha sonra Sabit b. Kurra tarafından düzenlenmiştir. 

Farklı cisimlerin ağırlık ve dağılımları üzerine (On the knowledge of the weights and distributions of different bodies)

Menelaus, Matematik dünyasında daha çok üçgenlerde benzerlik uygulamasının bir sonucu olarak bulanabilen "Meneleaus Teoremi" ile bilinir. Meneleaus Teoremi: Verilen bir üçgende üçgenin kenarlarından birinin uzantısı üzerinden alınan rastgele bir noktadan, karşı kenara çizilen doğrunun kestiği noktaların yardımıyla oluşan doğru parçaları arasında uygulanabilir. 

 

 

Menelaus teoremi esasında temel benzerlik teoremlerinin uygulanışından ibaret pratik bir yöntemdir. İki farklı üçgenin benzerliği kullanılarak yeni bir oran yakalanmıştır. Menelaus teoreminin uygulanışı ile ilgili bir örnek soru ve ardından matematik olimpiyatlarında sorulmuş bir soru ile teoremin işleyişini görelim.

Dikkat edilirse sorularda sözel bir dille aktarım yapıldıktan sonra şeklin çizimi ve yorumlanması öğrenciye bırakılmıştır. bu nedenle bu tür olimpiyat sorularının çözümünde öncelikle şeklin doğru çizilmesi ve buna göre uygun yorumlama yapıldıktan sonra bilinen teoremin soruya uyarlanması gereklidir.

Steiner - Lehmus Teoremi

İki iç açıortayı, uzunlukça eşit olan bir üçgen, ikizkenar bir üçgendir. İkizkenar olmayan bir üçgenin iki dış açıortay uzunluğu eşit olabilir. (Steiner-LehmusTeoremi, dış açıortaylar için geçerli değildir)
 

Bu teoeremin ispatı yönünde bir çok teşebbüs başarısız kalmışsa da, 1840 yılından bu yana teoremin 60 kadar başarılı ispatı verilmiştir. 

Bir ABC üçgeninde, I içteğet çemberin merkezi olsun. BA ve CA doğruları üzerinde P ve Q noktalarını |AP|=|AQ|=|BC| olacak şekilde alalım. APQ ikizkenar üçgeninde [IA] açıortay doğrusu, aynı zamanda yükseklik ve kenarortay işlevi görür. Burada APQ üçgeni ikizkenardır, IPQ üçgeni de ikizkenardır ve buna göre burada |IQ|=|IP| uzunlukları birbirine eşit olur. P ve Q noktalarından, [BE] ve [CF] açıortaylarına çizilen yükseklik ayakları sırasıyla P' ve Q' olsun. Açıortay doğrusu üzerindeki E noktasından kollara indirilen dikmeler eşit olduğundan, buradaki üçgen alanları A(PEA)=A(BEC) eşit olur.

Bulunan A(PEA)=A(BEC) alanlar eşit olduğundan belirtilen alanları farklı üçgenlerin alanları toplamı olarak ifade ettiğimizde: 

A(ABC)=A(ABE)+A(BEC)=A(ABE)+A(PEA)=A(PEB) yazabiliriz. Benzer şekilde A(ABC)=A(QFC) olacağı için A(PEB)=A(QFC) alanları da birbirine eşittir. |BE|=|CF| olduğundan |PP'|=|QQ'| olmalıdır. Şunu biliyoruz; eşlik teoremlerinden IQA ≅ IPA (KKK) olduğundan s(IQA)=s(IPA) açılarının ölçüleri eşittir. Ayrıca yine eşlik teoreminden PIP' ≅ QIQ' olduğundan hareketle şunu söyleriz; s(QCI)=s(PBI) açıları eşit olmalıdır. Bu eşitlik de zaten s(CBA)=s(BCA) demektir. Bu da üçgenin taban açılarının eşitliği anlamına gelir. Böylece ispat tamamlanmış olur. 

 

Teoremin bir başka ispatı da aşağıdaki gibi çelişki yöntemi ile verilebilir. Buna göre ABC üçgeni üzerinden iç açıortaylar oluşturacak şekilde dışında bir C' noktası alınarak, çelişki yöntemiyle teorem ispatlanır.