Şapka Problemi

Etiketler : matematik matematik problemi problem çözme

Şapka Problemi, Amerika’da bayağı heyecan ortamı oluşturmuş ve Amerika’nın en saygıdeğer gazetelerinden biri olarak kabul edilen The New York Times’ta uzun bir yazıya da konu olmuş bir problem çeşididir. Şapka Problemi adıyla bilinen bu problem şöyle. "Bir odaya n kişi girecek. Odada bu kişilerin başlarına, yazı tura atarak ya beyaz ya da siyah şapka konacak. Yani herkesin başında yüzde elli olasılıkla beyaz şapka olacak, yüzde elli olasılıkla siyah şapka. Herkes başkasının başındaki şapkanın rengini görecek, ama kimse kendi başındaki şapkanın rengini göremeyecek. Oyuncular aynı anda ya kafalarındaki şapkanın rengi konusunda bir tahminde bulunacaklar ya da pas geçecekler. Eğer hiçbiri yanılmazsa (pas geçen hiç yanılmaz) ve aralarından en az biri doğru yanıt verirse her oyuncu 1 milyon dolar alacak. Yoksa her biri hava alacak.
Örneğin biri dışında hepsi pas geçerse ve o pas geçmeyen (rastgele bir renk tahmininde değil!) sadece siyah ya da beyaz tahmininde bulunursa, yüzde 50 olasılıkla her oyuncu 1 milyon dolar alacak, yüzde elli olasılıkla kimse para kazanamayacak. Eğer iki kişi pas geçmeyip tahminde bulunursa, o zaman yüzde 25 olasılıkla oyuncular parayı kazanacaklar (1 milyon doları cebe indirmek için tahminde bulunan iki kişinin de doğru tahminde bulunması gerekiyor.) Demek ki sadece bir kişinin pas geçmeyip tahminde bulunduğu strateji iki kişinin tahminde bulunduğu stratejiden daha iyi, hatta iki kat daha iyi. Herkes pas geçerse, kimse doğru tahminde bulunmadığından, kimse para kazanamayacak."

Bu n kişi odaya girmeden önce toplanıp en iyi strateji hakkında kafa yoruyorlar. En iyi stratejilerinin (varsa) en az % 50 olduğunu gördük. Yüzde elliden daha iyi bir strateji var mı? Amerika’nın birçok ünlü matematikçisi, (ki birçoğu Amerikalı değildir) siz bu yazıyı okuduğunuz sırada belki de, bu konu üzerinde kafa yoruyor. Oyunun kodlar teorisiyle ilgisi var, yani bilgisayarlarla, şifrelemeyle, bilgi yollamayla, yani çağımızla...
Birçok matematikçi, problemi ilk duyduğunda, en iyi stratejinin yukarda açıkladığım yüzde elli parayı kazandıran strateji olduğunu düşünüyormuş. Ama daha sonra daha iyi stratejilerin varlığını kavrıyorlarmış. Problemi ilk kez Kaliforniya Üniversitesi’nden Dr. Todd Ebert doktorasını yazarken bulmuş. Soruyu öğrencilerine sormuş. Bir sabah uyandığında, internet’te herkesin bu problemle uğraştığını görmüş... Yine Kaliforniya üniversitesinden Prof. Berlekamp n = 3 olduğunda, yüzde 75 kazandıran bir stratejinin olduğunu bulmuştur.
Biz de bunu örneklerle bulalım. Şöyle düşünelim. Üç şapkanın üçünün de aynı renk olma olasılığı 1/4’tür, çünkü 1/8 olasılıkla üç şapka beyaz, 1/8 olasılıkla üç şapka siyah olacaktır. Dolayısıyla üç şapkanın renk dağılımının 2-1 olma olasılığı 3/4’tür. Demek ki, karşısındaki iki şapkanın aynı renkte olduğunu görenler aksi tahminde bulunurlarsa, yani iki siyah şapka gören beyaz, iki beyaz şapka gören siyah derse ve diğerleri pas geçerse, 3/4 olasılıkla doğru tahminde bulunulacaktır. Bunu şöyle de gösterebiliriz. Oyunculara 1, 2, 3 diyelim ve bu stratejiyle oynanan oyunun akışına bakalım:

Eğer n = 15 ise, 15/16 olasılıkla kazandıran bir strateji bulunmuş olur. Oyuncu sayısı arttıkça, bilinen bir stratejinin kazanma olasılığı artıyor, hatta n sonsuza gittiğinde bu bilinen stratejinin olasılığı 1’e yakınsadığı görülmüştür.
Bu problem farklı bir uslüple şu şekilde bir fıkraya dönüştürülerek tekrar sorulmuş ve şu şekilde çözülmüştür. Burada kişi sayısı sınırlandırılıp 3 kişi ile problem tekrar yazılmıştır. Yazılan bu problem üç mahkum problemi ve şapka rengi ile çözüme kavuşturulmuştur.
"Zalim bir kralın ülkesinde üç akıllı adam varmış. Adları Temel, Dursun ve Hasan. Bu akıllı adamlar, kralın halka yaptığı baskıyı her fırsatta eleştirirlermiş. Ama kralın adamları bu eleştirileri günü gününe krala rapor ederlermiş. Sonunda kral, bu söylemlerin halkı bilinçlendireceği ve giderek tahtının tehlikeye gireceği kuşkusuna kapılmış. Bu üç akıllı adamı yakalatıp zindana attırmış. Ne var ki, halk bu üç akıllı adamı sever olmuş, onların söylemleri kulaktan kulağa yayılmaya öyle başlamış ki sormayın; günümüzün telekulakları bile o söylentilerin yanında hiç kalır. Herkes bu üç akıllı adamın aklını anlata anlata bitiremez olmuş. Onlar bir söz etmişse, halk bin sözü yanına katıp onlara maletmiş. Kral da en az tutuklular kadar akıllıymış. Bakmış ki onları hemen asmak halkın galeyanına neden olacak. Günlerce düşündükten sonra, aklına bu üç akıllı adamın kendisi kadar akıllı olmadıklarını halka gösterecek bir yol bulmuş. Hemen ülkenin dört bir yanına haber salmış. Haberciler vardıkları her yerde şöyle demişler:
-Haşmetli kralımız, bu üç asiyi kendisinden daha akıllı iseler affedecek! Akıllı olup olmadıklarını sarayın önünde halkın önünde sınayacak…
Bu haberi alan halk sınama günü sabahın erken saatlerinde sarayın önündeki meydanı doldurmuş, olup bitecekleri merakla beklemeye başlamış. Muhafızlar önce üç tutukluyu meydana getirmişler. Sonra kral sarayın balkonundaki yerine oturmuş. Tutukluların oturması için üç sandalye getirilmesini emretmiş. Sandalyeler hemen meydana getirilmiş. Kral tekrar emretmiş:
-Sandalyeleri bir doğrultuda arka arkaya dizin ve tutukluları, yüzleri bana bakacak konumda oturtun. Önde oturan arkasındakini göremesin. Tutuklular sağa, sola, geriye bakamayacaklar; yalnızca önde oturanları görebilecekler. Seyircilerden hiçbir işaret veya ses çıkmayacak. Bu kuralı bozan tutuklunun veya seyircinin başını hemen uçurun.
En arkadaki sandalyeye Temel, ortadakine Dursun, öndekine de Hasan oturtulmuş. Kral bütün haşmetiyle yerinden kalkmış,
-Tutukluların gözlerini bağlayın, demiş. Tutukluların gözleri bağlanmış. Sonra ağır ağır yürüyerek tutukluların yanına gelmiş ve demiş ki,
-Elimde 5 şapka var, ikisi mavi üçü kırmızı. Herbirinizin başına birer şapka koyacağım. Şapkalardan ikisi bende kalacak. Sonra gözlerinizi açtıracağım. Kendi başınızdaki şapkayı ve arkanızdakinin şapkasını göremeyeceksiniz. Ancak önünüzdekilerin şapkalarını görebilirsiniz. Üçünüzden biri, başındaki şapkanın rengini bilirse, üçünüzü de affedeceğim. Hiçbiriniz bilemezseniz, üçünüz de idam edileceksiniz. Süreniz 15 dakikadır. Bu süre içinde yanıt alamazsam, soruyu yanıtlayamadığınız hükmüne varacağım.
Her bir tutuklunun başına birer cellat dikerek, kral yerine oturmuş ve adamlarına işaret ederek tutukluların gözlerini açtırmış. O andan itibaren zaman işlemeye başlamış. Meydanda büyük bir sessizlik başlamış. Herkes üç akıllı adamın soruyu çözüp çözemeyeceğini merak ve heyecanla bekler olmuş. Kimisi de başarmaları için içlerinden dilekler tutmuş. Dakikalar hızla geçiyormuş. 10, 11, 12, 13 ve 14 ncü dakikalar heyecen içinde geçip gitmiş. Son 60, 30, 20, 10 ve 5 saniyeler artan heyecanla geride kalmış. Sonra, meydandaki umutsuz kalabalığa ölüm sessizliği çökmüş. Kalabalık artık üç akıllı adamdan yanıt gelemeyeceği kanısıyla, içlerinden saniyeleri sayar olmuşlar. Bu son saniyeler meydandakiler için sanki bir ömür kadar uzun gelmiş. Artık, herkes gözlerini kapatmış, kralın üç cellata vereceği işareti korkuyla bekler olmuşken, Hasan yerinden fırlamış ve “-Buldum!.. Benim şapkanın rengi ... dır” diye bağırmış.
Acaba Hasan nasıl bir akıl yürütmeyle üç kişiyi cellatın elinden kurtarmıştır?

Problem Çözümü: Önce şunu anımsayalım. Genç asilerin üçü de çok akıllıdır. Her birisi, öteki ikisinin sağlam mantık yürüteceğine güveniyor. Bu bir grup oyunudur. Oyunda, her oyuncu, öteki oyuncuların ne yapacağını bilerek kendi davranışına yön verir. Hasan da öyle yaptı. Kendisinin arkasında oturan iki akıllı adamın neden karar veremediğini düşündü ve doğru sonuca ulaştı. Hasanın nasıl akıl yürüttüğünü anlamak için, ortaya çıkan olasılıkları listeleyelim. Üç kırmızı şapka ile iki mavi şapka Temel, Dursun ve Hasan’ın başlarına 7 farklı biçimde konulabilir. Oturuş sırasına göre bu yedi olasılığı listeleyelim:

 

Temel	Dursun	Hasan
kırmızı	kırmızı	kırmızı
mavi	kırmızı	kırmızı
kırmızı	mavi	kırmızı
mavi	mavi	kırmızı
kırmızı	kırmızı	mavi
kırmızı	mavi	mavi
mavi	kırmızı	mavi

                 

Şimdi bu listedeki olasılıkları Hasan’ın akıl yürütmesiyle birer birer inceleyelim.

Temel	Dursun	Hasan
kırmızı	kırmızı	kırmızı

Hasan şöyle düşünüyor: Eğer şapkalar bu biçimde sıralanmışsa, ne Temel ne de Dursun karar verebilir. Çünkü, Temel’in şöyle düşüneceğini bilir: “önümde iki kırmızı şapka var, benim şapkam kırmızı da olabilir, mavi de... o halde ben karar veremem.” Dursun’a gelince, o da önünde bir kırmızı şapka görüyor. Kendi başındaki geride kalan 2 kırmızı ve 2 mavi şapkadan herhangi birisi olabilir. Öyleyse o da karar veremez. Bunu aklının bir köşesine yazıyor: İki arkadaşı karar veremediklerine göre, kralın adamları şapkaları 1-inci biçimde koymuş olabilirler. Ama öteki olasılıkları incelemeden karar vermez.

Temel	Dursun	Hasan
kırmızı	kırmızı	mavi

Hasan şöyle düşünüyor: Bu olasılık olsaydı, bir kırmızı şapka ile bir mavi şapka gören Temel karar veremezdi. Ama Dursun doğruyu bulabilirdi. Çünkü, akıllı Dursun şu aklı yürütecekti: “Eğer benim şapkam mavi olsaydı, Temel iki mavi şapka göreceği için, kendi şapkasının kırmızı olduğuna karar verecekti. Temel bunu yapmadığına göre, benim şapkam mavi olamaz, kırmızıdır” kararına varacak ve bunu krala söyleyecekti. Dursun bunu yapmadığına göre, şapkalar bu biçimde dizilmiş olamaz. Böylece Hasan şapkaların bu şekilde dizilmediği kararına varır ve 5-inci olasılığı elemiş olur. Sonraki durum olan 6. olasılığı inceleyelim.

Temel	Dursun	Hasan
kırmızı	mavi	mavi

 

Hasan şöyle düşünüyor: Bu olasılık olsaydı, önünde iki mavi şapka gören Temel hemen kararını verirdi. Öyleyse, şapkalar 6-ıncı biçimde sıralanmış olamaz.

Temel	Dursun	Hasan
mavi	kırmızı	mavi

Hasan şöyle düşünüyor: Bu olasılık 5-inci olasılığa benziyor. Bu olasılık olsaydı, Temel karar veremezdi, ama Dursun doğruyu bulabilirdi. Dursun bunu yapmadığına göre, şapkalar bu biçimde dizilmiş olamaz. Böylece Hasan şapkaların bu şekilde dizilmediği kararına varır ve 7-inci olasılığı da elemiş olur. Hasan son kararını verebilmek için, aklının bir köşesine not ettiği olasılıkları tekrar gözden geçirir. İlk dört olasılıkta, Hasan’ın şapkası hep kırmızıdır. Hasan’ın şapkasının mavi olduğu son üç olasılıkta ya Temel ya da Dursun, kesinlikle kendi şapkalarının rengini bulmaktadırlar. Çok akıllı arkadaşları daha önce karar vermediklerine göre, Hasan, kendi şapkasının renginin mavi olmadığına karar verir. Yerinden fırlayıp -Buldum!.. Benim şapkanın rengi kırmızıdır. diye bağırır ve üç kişiyi cellatların elinden kurtarır."

 

Problem çözümü esas olarak Dilara Yaman’a aittir. Kendisine teşekkür ederiz.

Kaynakça: 
http://www.baskent.edu.tr/~tkaracay/etudio/agora/zv/2008/hatcevap.htm
http://www.matematikdunyasi.org/arsiv/makaleler/24_28_sapka.pdf
 www.alinesin.org/popular_math/E_0_4_sapka_Problemi.doc