Farey dizileri, adını İngiliz matematikçi John Farey'den
alır ve birbirine yakın kesirlerin bir sıralaması olarak tanımlanır. John Farey (1766-1826), bir jeolog olmasına rağmen matematikle ilgili yaptığı bir gözlem nedeniyle matematik tarihinde önemli bir yere sahip olmuştur. Farey dizisi, ona adını veren bu gözleminden doğmuştur. Farey, Woburn'da yerel bir okulda eğitim aldıktan sonra Halifax'ta matematik, çizim ve haritacılık üzerine eğitim görmüştür. Farey, 1792'de Bedford Dükalığı'nın Woburn arazilerinin yöneticisi olarak atanmış ve bu görevde çalışırken jeolojiye olan ilgisi artmıştır. 1801'de William Smith ile tanışarak stratigrafi bilimi üzerine bilgi edinmiş, bu alanda önemli katkılarda bulunmuştur. Farey, jeolojiye olan katkılarının yanı sıra, bilimsel makaleler yayımlamış ve William Smith'in jeolojik çalışmalarının takdir edilmesi için çaba sarf etmiştir. Farey, 1804'te Philosophical Magazine was On the mensuration of timber "Kereste ölçümü" üzerine yazdığı ilk makalesini, 1824'te ise On the velocity of sound and on the Encke planet "Sesin hızı ve Encke gezegeni" üzerine yazdığı son makalesini yayımlamıştır. Farey'in matematiksel katkısı, 1816 yılında yayımladığı "On a curious property of vulgar fractions" (Sade Kesirlerin Garip Bir Özelliği) başlıklı makalesi ile olmuştur. Bu makalede Farey, ismi ile anılan meşhur dizisini tanıtarak, ardışık kesirlerin özel bir özelliğini keşfetmiştir. Farey dizisi, paydalı 1'e kadar olan kesirler arasındaki sıralamadır ve her bir kesir, yanındaki kesirlerin paylarının toplamı, paydalarının toplamı olarak bulunabilir. Farey, bu özelliği örneklerle açıklamış, ancak modern bir ispat sağlamamıştır. Farey'in keşfi, Fransız matematikçi Cauchy tarafından ispatlanmıştır ve Farey'in bu konuda yaptığı başvuru, diğer bazı çalışmalardan önce olsa da ispat eksikliği nedeniyle matematiksel olarak daha geniş bir kabul görmemiştir. Ayrıca, Farey'den önce, 1802'de Haros adlı bir araştırmacı benzer bir diziyi tanımlamış, ancak Farey'in belirttiği özelliği açıkça göstermemiştir. Farey, matematiksel katkılarının yanı sıra, tarihsel olarak daha çok jeoloji alanındaki çalışmalarıyla tanınmıştır. 6 Haziran 1826 yılında Londra'da ölmüştür. Farey'in jeoloji alanındaki araştırmaları ve haritaları, jeolojik eserlerin bir kısmı, British Museum'a bağışlanmıştır.
Farey dizisi, 0 ile 1 arasındaki rasyonel sayılardan oluşan, belirli bir payda sınırına sahip bir dizidir. Farey dizileri, özellikle rasyonel sayılar arasındaki ilişkilerin incelenmesinde kullanılır. Farey dizisinde, 0 ile 1 arasındaki ve paydası en fazla n olan tüm kesirler yer alır. Farey dizisi Fn, 0 ile 1 arasındaki tüm kesirlerden oluşan, payları a ve paydalı b olan kesirlerin, a.d-b.c=1 bağıntısıyla sıralandığı bir kümedir. Buradaki kısıtlamada paydanın b≤n olmasına dikkat edilirken kesirler büyüklüklerine göre küçükten büyüğe doğru sıralanır. Farey dizileri, özellikle sayıların büyüklüğü çok arttığında, çok hassas bir yakınsaklık gösterir. Bu kesirler sıralandıkları sıraya göre birbirine yakın olacak şekilde düzenlenir ve her iki ardışık kesir arasındaki fark, Farey dizisinin matematiksel özelliklerine uygun şekilde mümkün olan en küçük farklardan biri olur. Farey dizileri, sıklıkla sayı teorisi, analitik geometri ve rasyonel sayılarla yapılan hesaplamalar gibi alanlarda kullanılır.
Bir Farey dizisi, genellikle Fn olarak gösterilir ve paydası en fazla n olan tüm kesirleri içerir. Bu kesirler, sıralı bir şekilde düzenlenir ve her ardışık kesir, birbirine en yakın iki kesir arasındaki farkı minimize edecek şekilde seçilir. Bu dizi, her zaman 0 ve 1 ile başlar ve biter, çünkü bu iki sayıya eşit olan kesirler dizinin ilk ve son elemanlarıdır. Farey dizisi, rasyonel sayıları belirli bir düzene göre sıralamak için kullanılır.
Farey dizisinin önemli özelliklerinden biri, her iki ardışık kesir arasındaki farkın belirli bir ölçüye sahip olmasıdır. Bu fark, her iki kesirin paydalarının büyüklüğüne bağlı olarak değişir, ancak genellikle Farey dizisinin özelliklerine göre çok küçük olur. Bu da, rasyonel sayılar arasındaki "yoğunluğu" göstermektedir. Yani, Farey dizisindeki kesirler ne kadar büyük bir diziyi kapsasa da, ardışık iki kesir arasındaki fark hala çok küçüktür. Dizinin elemanları a/b ve c/d ise bu iki dizi terimi arasında a.d-b.c=1 eşitliği vardır. Aşağıdaki terimler arasındaki kurala dikkat edebilirsiniz.Örneğin F5 Farey dizisi, paydası en fazla 5 olan 0 ile 1 arasındaki kesirlerin sıralandığı bir dizidir. Bu dizide yer alan tüm kesirler, paydaları 5'e kadar olan rasyonel sayılardır. Dizinin doğru sıralaması şu şekildedir:
F5 = {0, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1}
Farey dizisi F7, paydası en fazla 7 olan ve 0 ile 1 arasındaki rasyonel kesirlerin sıralandığı bir dizidir. Bu dizideki tüm kesirlerin paydası 7'yi geçmez ve her iki ardışık kesir arasındaki fark, Farey dizisinin özelliklerine uygun şekilde minimize edilmiştir. Bu kesirler, büyüklük sırasına göre dizilmiştir ve matematiksel olarak birbirine yakın olacak şekilde yerleştirilmiştir.
F7 = { 0/1, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 1/1 }
Farey dizisi F8 için terimi almak, 8. paydadan oluşan Farey dizisinin elemanlarını bulmayı içerir. Bu durumda, F8 dizisinin elemanları, 8'e kadar olan paydalara sahip olan ve birbirine en yakın olan kesirlerden oluşur. Burada kesirler sırasıyla artan bir şekilde yerleştirilmiştir.
F8 = {0/1, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8, 1/1}
Bir Farey dizisi, genellikle Fn olarak gösterilir ve paydası en fazla n olan tüm kesirleri içerir. Bu kesirler, sıralı bir şekilde düzenlenir ve her ardışık kesir, birbirine en yakın iki kesir arasındaki farkı minimize edecek şekilde seçilir. Bu dizi, her zaman 0 ve 1 ile başlar ve biter, çünkü bu iki sayıya eşit olan kesirler dizinin ilk ve son elemanlarıdır. Farey dizisi, rasyonel sayıları belirli bir düzene göre sıralamak için kullanılır.
Farey dizisinin önemli özelliklerinden biri, her iki ardışık kesir arasındaki farkın belirli bir ölçüye sahip olmasıdır. Bu fark, her iki kesirin paydalarının büyüklüğüne bağlı olarak değişir, ancak genellikle Farey dizisinin özelliklerine göre çok küçük olur. Bu da, rasyonel sayılar arasındaki "yoğunluğu" göstermektedir. Yani, Farey dizisindeki kesirler ne kadar büyük bir diziyi kapsasa da, ardışık iki kesir arasındaki fark hala çok küçüktür. Dizinin elemanları a/b ve c/d ise bu iki dizi terimi arasında a.d-b.c=1 eşitliği vardır. Aşağıdaki terimler arasındaki kurala dikkat edebilirsiniz.Örneğin F5 Farey dizisi, paydası en fazla 5 olan 0 ile 1 arasındaki kesirlerin sıralandığı bir dizidir. Bu dizide yer alan tüm kesirler, paydaları 5'e kadar olan rasyonel sayılardır. Dizinin doğru sıralaması şu şekildedir:
F5 = {0, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1}
Farey dizisi F7, paydası en fazla 7 olan ve 0 ile 1 arasındaki rasyonel kesirlerin sıralandığı bir dizidir. Bu dizideki tüm kesirlerin paydası 7'yi geçmez ve her iki ardışık kesir arasındaki fark, Farey dizisinin özelliklerine uygun şekilde minimize edilmiştir. Bu kesirler, büyüklük sırasına göre dizilmiştir ve matematiksel olarak birbirine yakın olacak şekilde yerleştirilmiştir.
F7 = { 0/1, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 1/1 }
Farey dizisi F8 için terimi almak, 8. paydadan oluşan Farey dizisinin elemanlarını bulmayı içerir. Bu durumda, F8 dizisinin elemanları, 8'e kadar olan paydalara sahip olan ve birbirine en yakın olan kesirlerden oluşur. Burada kesirler sırasıyla artan bir şekilde yerleştirilmiştir.
F8 = {0/1, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8, 1/1}
Buna benzer dizilerin oluşturulması, rasyonel sayılar arasındaki düzenin ne kadar yoğun olduğunu gösterir. Görüldüğü gibi, her iki ardışık kesir arasındaki fark son derece küçüktür. Örneğin, 1/7 ve 1/6 arasındaki fark, oldukça küçüktür. Daha büyük paydalar alındığında farkların daha da küçüldüğü görülecektir. Farey dizisinin her iki ardışık elemanı arasındaki benzer farklar, tüm dizide gözlemlenir.
Farey Dizilerinin Özellikleri
Yoğunluk Özelliği: Farey dizilerindeki kesirler, birbirine çok yakın olurlar. Yani, bir kesirle bir diğerinin arasındaki fark, ne kadar büyük bir dizide yer alırlarsa alsınlar, genellikle çok küçük olur. Bu, sayı doğrusu üzerinde rasyonel sayıların yoğunluğunu gösteren önemli bir özelliktir.
Harmonik Büyüklük: Farey dizisi, sayılar arasında belirli bir düzen kurar. Özellikle kesirler arasındaki farklar, sıklıkla aritmetik ve harmonik büyüklükleri birbirine yakın olur.
Farey Tertiplerinin Genel Kuralları: Farey dizileri, belirli bir payda limitine göre, rasyonel sayıların sıralı kümesini oluşturur. Bu diziler, rasyonel sayıları daha büyük dizilere doğru genelleştirerek hesaplamalar ve analizlerde kullanılabilir.
Kesirler Arasındaki Farklar: Farey dizisinin ardışık elemanları arasındaki fark, dizinin ardışık kesirleri arasında minimum bir farkı temsil eder. Bu fark genellikle, dizinin paydalarının büyüklüğüyle orantılı olarak değişir.
Farey Dizilerinin Özellikleri
Yoğunluk Özelliği: Farey dizilerindeki kesirler, birbirine çok yakın olurlar. Yani, bir kesirle bir diğerinin arasındaki fark, ne kadar büyük bir dizide yer alırlarsa alsınlar, genellikle çok küçük olur. Bu, sayı doğrusu üzerinde rasyonel sayıların yoğunluğunu gösteren önemli bir özelliktir.
Harmonik Büyüklük: Farey dizisi, sayılar arasında belirli bir düzen kurar. Özellikle kesirler arasındaki farklar, sıklıkla aritmetik ve harmonik büyüklükleri birbirine yakın olur.
Farey Tertiplerinin Genel Kuralları: Farey dizileri, belirli bir payda limitine göre, rasyonel sayıların sıralı kümesini oluşturur. Bu diziler, rasyonel sayıları daha büyük dizilere doğru genelleştirerek hesaplamalar ve analizlerde kullanılabilir.
Kesirler Arasındaki Farklar: Farey dizisinin ardışık elemanları arasındaki fark, dizinin ardışık kesirleri arasında minimum bir farkı temsil eder. Bu fark genellikle, dizinin paydalarının büyüklüğüyle orantılı olarak değişir.
Farey Dizilerinin Uygulama Alanları
Farey dizileri, özellikle sayı teorisi, sayısal analiz ve mühendislik gibi alanlarda büyük bir öneme sahiptir. Bu diziler, kesirlerin sıralanmasını gerektiren problemlerde kullanılır ve rasyonel sayıların aralarındaki ince farkları hesaplamak için oldukça kullanışlıdır. Örneğin, mühendislikte ve fiziksel hesaplamalarda, ölçüm hatalarını en aza indirgemek amacıyla Farey dizisi sıklıkla başvurulan bir tekniktir. Farey dizisi sayılar teorisinde sayılar arasındaki ilişkinin daha iyi anlaşılması için faydalıdır.
Farey dizileri, özellikle diferansiyasyon, integral ve limit hesaplamaları gibi analiz problemlerinde, bir sayılar kümesinin doğru şekilde sıralanması için güçlü bir araçtır. Bunun dışında, çeşitli sayısal hesaplamalar ve algoritmalar içinde rasyonel sayıların yakınsama hızını optimize etmek için de kullanılır.
Sonuç olarak, Farey dizisi, 0 ile 1 arasındaki rasyonel sayıları sıralamak ve sayılar arasındaki yakınlıkları, farkları analiz etmek için matematiksel bir araç olarak son derece önemli bir rol oynar. Bu diziler, matematiksel teorilerin çeşitli alanlarında, özellikle de sayılar teorisi, analitik geometri ve mühendislik uygulamalarında geniş bir kullanım alanına sahiptir.
Farey dizileri, özellikle sayı teorisi, sayısal analiz ve mühendislik gibi alanlarda büyük bir öneme sahiptir. Bu diziler, kesirlerin sıralanmasını gerektiren problemlerde kullanılır ve rasyonel sayıların aralarındaki ince farkları hesaplamak için oldukça kullanışlıdır. Örneğin, mühendislikte ve fiziksel hesaplamalarda, ölçüm hatalarını en aza indirgemek amacıyla Farey dizisi sıklıkla başvurulan bir tekniktir. Farey dizisi sayılar teorisinde sayılar arasındaki ilişkinin daha iyi anlaşılması için faydalıdır.
Farey dizileri, özellikle diferansiyasyon, integral ve limit hesaplamaları gibi analiz problemlerinde, bir sayılar kümesinin doğru şekilde sıralanması için güçlü bir araçtır. Bunun dışında, çeşitli sayısal hesaplamalar ve algoritmalar içinde rasyonel sayıların yakınsama hızını optimize etmek için de kullanılır.
Sonuç olarak, Farey dizisi, 0 ile 1 arasındaki rasyonel sayıları sıralamak ve sayılar arasındaki yakınlıkları, farkları analiz etmek için matematiksel bir araç olarak son derece önemli bir rol oynar. Bu diziler, matematiksel teorilerin çeşitli alanlarında, özellikle de sayılar teorisi, analitik geometri ve mühendislik uygulamalarında geniş bir kullanım alanına sahiptir.
Kaynakça:
J M Eyles, Biography in Dictionary of Scientific Biography (New York 1970-1990).
G H Hardy and E M Wright, An Introduction to the Theory of Numbers (New York, 1945).
M Bruckheimer and A Arcavi, Farey series and Pick's area theorem, The Mathematical Intelligencer 17 (4) (1995), 64-67.
John Farey (1766-1826), Dictionary of National Biography (London, 1897), 367-370.
J Farey, On a curious property of vulgar fractions, Philos. Mag. J. 47 (1816), 385-386.
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Farey/
https://en.wikipedia.org/wiki/John_Farey_Sr.
https://webhomes.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/fareyproject.pdf
https://en.wikipedia.org/wiki/Farey_sequence
https://www.whitman.edu/Documents/Academics/Mathematics/2016/Zukin.pdf
''John Farey Dizisi'' Bu Blog yazısı;
Haziran 06, 2021 tarihinde 
0 yorum:
Fayda vermeyen ilimden Allah'a sığınırım. İlim; amel etmek ve başkalarıyla paylaşmak içindir. Niyetimiz samimiyetle insanlara yararlı olmaktır, akıbetimiz bu vesileyle güzel olsun. Dua eder, dualarınızı beklerim...
"Allah'ım; bana fayda sağlayacak ilimleri öğret ve ilmimi ziyadeleştir."
“Allahım! Sana teslim oldum, sana inandım, sana güvendim. Yüzümü, gönlümü sana çevirdim. İşlediğim tüm günahlarımı affeyle! Ey kalbleri çeviren Allahım! Kalbimi dînin üzere sâbit kıl. Beni Müslüman olarak vefât ettir ve beni sâlihler arasına kat!”
“Rabbim! Bizi doğru yola ilettikten sonra kalplerimizi eğriltme! Bize tarafından bir rahmet bağışla.Öne geçiren de sen, geride bırakan da sensin. Muhakkak ki lütfu en bol olan Sen’sin. Senden başka ilâh yoktur."
Lâ ilâhe illallah Muḥammedürrasulüllâh
KADİR PANCAR