Guido Grandi ıraksak serisi

1–1+1–1+1–1+… İşleminin Sonucu Kaçtır? Grandi Serisi ile tanışma vakti... Serinin toplamındaki görünen basitliğine rağmen Grandi serisi, matematikteki oldukça ilgi çekici serilerden bir tanesidir. 1-1+1-1+1-1+… şeklinde sonsuza kadar devam eden bu seri, ismini İtalyan matematikçi Guido Grandi’den alır. Grandi serisi, ıraksak serilerin klasik bir örneğidir. Iraksak seriler, yakınsak serilerin aksine limit değeri olarak belli bir değere yaklaşmaz. Bu nedenle ıraksak seriler, matematiksel tartışma için harika bir zemin sunar. Ayrıca Grandi serisinin bu kadar ilgi çekmesinin bir nedeni de toplamanın tartışmalı doğasıdır. Çünkü uygulanan toplama yöntemine bağlı olarak seri farklı sonuçlar vermektedir. Bu serinin toplamı, kimilerine göre 1, kimilerine göre 0, kimilerine göre de 1/2 dir. Şimdi bu sonuçların nasıl bulunduğunu incelemeye çalışalım.

Luigi Guido Grandi (1671 – 1742) İtalyan papaz, filozof, teolog, matematikçi ve mühendistir. Grandi matematikte en çok, taç yapraklı bir çiçek şeklindeki gül eğrisini inceleyen "Flores Geometrici" (1728) adlı çalışması ve "Grandi serileri" ile tanınır. Guido Grandi, 1671 yılında İtalya’nın Cremona kentinde doğdu. Matematikçi olmasının yanı sıra bir keşiş olan Grandi, Camaldolese tarikatının bir üyesiydi. Dine olan bağlılığı, akademik çalışmalarının önünü açarak kolayca akademik kaynaklara, çeşitli eserlere ve bağlantılara ulaşmasına kolaylık sağlıyordu. Bu yüzden Grandi’nin çalışmaları, genellikle teolojik ve matematiksel ilgilerinin iç içe geçmesiyle oluşuyordu. Bu sayede Grandi, matematiksel kavramlara dinsel açıklamalar da yaparak dönwmine göre benzersiz sayılabilecek bir bakış açısı getirmiştir. Matematikte Grandi, en çok, "petaled çiçek" şeklindeki bir eğri olan gül eğrisini inceleyen "Flores geometrici" (1728) adlı çalışmasıyla ve Grandi serisiyle tanınır. Grandi, gül eğrisine "rhodonea" adını verdi. Gül ve çiçeklere benzeyen eğriler üzerinden uzun bir zaman dilim içerisinde çalışarak bugün birçok alanda kendi isminin duyulduğu "Grandi'nin gülleri" teorisini kabul ettirmeyi başardı. n pozitif bir doğal sayı olarak düşünülmek şartıyla, kutupsal koordinatların verdiği asıl koordinatlara göre denklemi  r=a.sin(nx) ve  r=a.cos(nx) olan eğriler, matematik literatüründe, "Grandi'nin gülleri" olarak bilinir. 

İtalyan matematikçi Grandi, kendi adını taşıyan Grandi serisini ilk kez 1703 yılında incelemiştir. 1-1+1-1+1-1+… serisinde toplamını hesaplarken sadece parantezlerin yerini değiştirerek serinin toplamını 0 ya da 1 şeklinde bulabileceğini gözlemlemiştir. Grandi bu gözlemini şu şekilde yapmıştır:

I. Çözüm yolu:

(1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + …= 0 + 0 + 0 + …= 0

II. Çözüm yolu:

1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + …= 1 + 0 + 0 + 0 + …= 1

Guido Grandi’ye göre serinin toplamının hem 0 hem de 1 edebilmesi dini açıdan teolojik bir anlam barındırıyordu. Başlangıçta 0 olan toplam sadece bir parantezin kaymasıyla 1 oluyordu. Grandi’ye göre bu durum, yoktan yaratılışın nasıl mümkün olduğunu gösteren bir kanıttı. Grandi’nin bulguları matematik camiasında oldukça yankı uyandırdı. Bazı çağdaşları, Grandi’nin vardığı sonuçları paradoksal veya saçma olarak değerlendiriyordu. Bazıları ise Grandi’nin fikirlerinin daha fazla araştırılması gerektiğini düşünüyordu. Böylece ondan sonraki matematikçiler, matematikteki yakınsama ve ıraksama kavramları üzerine derinleşerek Grandi serisine bir çözüm bulmaya çalıştılar.

Bir serinin toplamının iki farklı sonucunun olması pek kabul edilebilir bir şey değildir. Bu nedenle Grandi de dahil olmak üzere birçok matematikçi benzer serilerin sonuçlarını tam olarak bulmaya ve çözüm için farklı yaklaşımlar geliştirmeye çabalamışlardır. Böylece Grandi serisinin sonucuna ilişkin birçok yorum ortaya atılmıştır.

Peki 1-1+1-1+1-1+… İşleminin Sonucu Kesirli Olabilir mi?

Burada gösterilen seri toplamı 1-1+1-1+1-1+…. işlemi için en kabul gören kesirli sonuçların başında 1/2 cevabı gelir. Grandi ve ondan sonra gelen birçok 18. yüzyıl matematikçisi bu serinin toplamının cevabının 1/2 olacağını savunmuştur. Ama tam sayıların toplamından oluşan bir serinin cevabı neden 1/2 olsun ki?

Grandi cevabın 1/2 olabileceğini şu şekilde özetliyor: "Eğer iki kardeşin babalarından tek bir adet mücevher aldığını ve bu mücevheri dönüşümlü olarak kendi müzelerinde saklamak istediğini hayal edin. Bu gelenek onların çocuğuna da geçerse her iki ailenin de toplamda 1/2 adet mücevheri olur." 

Ünlü matematikçi G. W. Leibniz ise Grandi’nin bu açıklamasına katılmış ve bunu olasılıksal akıl yürütmeyle doğrudan desteklemeye çalışmıştır. Bu noktada Leibniz, serileri rastgele bir noktada toplamayı bıraktığımızda o noktaya kadar olan toplamın eşit olasılıkla 0 ya da 1 olacağını, bu nedenle bunların ortalaması olan 1/2’yi cevap olarak almanın mantıklı olacağını savunmuştur. 

Topoloji ve analitik sayı teorisi, karmaşık analiz ve sonsuz küçük hesabı gibi matematiğin diğer birçok dalında öncü ve etkili keşifler yapan ünlü İsviçreli matematikçi, fizikçi, astronom, coğrafyacı, mantıkçı ve mühendis Leonhard Euler (1707 – 1783) serinin toplamının 1/2 cevabını savunmak için daha karmaşık yöntemler kullanmıştır. 1760 tarihli De Seriebus divergentibus (Farklı Seriler Üzerine) adlı makalesinde 1-1+1-1+1-1+… ile 1/2 kesrinin eşdeğer nicelikler olduğunu ve birini diğerinin yerine her daim koyabileceğimiz konusunda hiçbir şüpheye yer olmadığını iddia etmiştir. 

Dönemin matematikçilerin yaklaşımlarına göre 1−1+1−1+1−1+1−1+...… toplamını hesaplamanın en basit yolu, onu bir iç içe seri olarak algılamak ve toplama veya çıkarma işlemlerini doğrudan bu kısmi toplamlarda gerçekleştirmektir. Buna göre iki farklı çözüm yolu elde edilir. 1. Çözüm yolunda en baştan itibaren paranteze alınarak işlem yapılırsa;

(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0 sonucu elde edilir. Öte yandan, ikinci çözüm yolunda, terimler farklı bir yolla öbeklendirildiğinde parantezin yeri değiştirilerek oluşturulan seri toplamı, yukarıda elde edilen 0 sonucuyla çelişir ve 1 sonucu elde edilir.

1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1

Grandi serisini parantez yardımıyla öbeklere ayırma yoluyla ulaşılabilen "değerler" 0 ve 1'dir. Eilenberg–Mazur hilesi olarak adlandırılan benzer bir yöntem, sicim kuramı ve cebirinde zaman zaman kullanılmaktadır. Üçüncü bir yaklaşım olarak; Grandi serisi bir ıraksak geometrik seri olarak ele alındığında, yakınsak geometrik serilere uygulanan yöntemler bu seriye uyarlanarak farklı bir çözüm değeri bulunabilmektedir.

S = 1−1+1−1+1−1+1−1+...…, ve bu seriyi 1 den çıkarırsak

1 − S = 1 − (1−1+1−1+1−1+...…) = 1 − 1 + 1 − 1 + … = S bulunur. 

1 − S = S olduğundan

1 = 2S  olur ki bu durumda S= 1/2 olur. Yani S = 1 − 1 + 1 − 1 + …serisinin toplamı 1/2 olur.

Seri üzerinde yapılan bu oynamalar, bir serinin toplamının tam olarak ne ifade ettiği konusuna odaklanmaktadır. Serileri isteğe göre öbeklere ayırmak ve bunlar üzerinde dört işlem uygulaması yapmak her ne kadar önemliyse de kesin olarak şu sonuçlara ulaşılabilir:

Buna göre Grandi serisinin toplamı için sunulan çözümler özetlenirse;

(a) 1−1+1−1+1−1+...… serisinin bir toplamı yoktur.

(b) 1−1+1−1+1−1+...…serisinin bir toplamı, 0 dır.

(c) 1−1+1−1+1−1+...…serisinin bir toplamı, 1 dir.

(d) 1−1+1−1+1−1+...…serisinin bir toplamı 1/2 olur.

Böylece sıralanan çözümlerdeki ifadeler, doğrulanabilir ve kanıtlanabilir durumda olmuş olur.

Cesàro ve Abel Toplamlarına Göre Grandi Serisinin Toplamı Kaçtır?

Bunun için öncelikle matematikteki ıraksama ve yakınsama kavramlarına bakmamız gerekir. 1-1+1-1+1-1+… gibi bir seride kısmi toplamların dizisi sonlu bir limite yakınsamıyorsa, sonsuz serimiz ıraksak demektir. Grandi serisi de ıraksak serilere bir örnektir. Grandi serisinin kısmi toplamlarını incelediğimizde değişen bir model gözlemleriz. İlk kısmi toplam 1, ikincisi 0, üçüncüsü yine 1’dir ve bu böyle devam eder. Bir cevap hem 0 hem de 1 oluyorsa o zaman cevap, kısmi toplamlar dizisin ortalaması olan 1/2 olur.

Önce kısmi toplamlar nedir onu öğrenelim. Kısmi toplamlar serinin belirli bir adetteki teriminin toplamıdır. Örneğin: 1,2,3,4... diye giden bir seride;

S1=1

S2=1+2=3

S3=1+2+3=6

S4=1+2+3+4=10

olur. Bu toplamı aynı şekilde Grandi serisindeki değerlere uygulayalım. 

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 +........serisi için kısmi toplamları yazalım:

S1=1

S2=1-1=0

S3=1−1+1=1

S4=1−1+1-1=0

......

Bu durum serinin tek bir sonlu değere yakınsamadığını gösterir. O nedenle bu seri ıraksak olarak sınıflandırılır. Iraksak olmasına rağmen matematikçiler, bu tür serilere sonlu değerler atamaya çalışmıştır. Bunu yaparken kullandıkları yöntemlerden biri de Cesàro toplamasıdır. Cesàro toplamasında ıraksak serilerin kısmi toplamlarının ortalamasını dikkate alarak sonuca ulaşırız. Grandi serisi için kısmi toplamları düşünecek olursak, Sn, n’inci kısmi toplamsa Cesàro toplamı n sonsuza yaklaştıkça bu kısmi toplamların ortalamasının limitidir. Bu durumda kısmi toplamlar dizisi 0 ile 1 arasında değişir. Ve n sayısı sonsuza kadar büyüdükçe, bu kısmi toplamların ortalaması alınarak 1/2’ye yaklaşan (0+1+0+1+…)/n ortalamasını verir. Böylece, Cesàro toplamı Grandi Serisine 1/2 değerini atar. Cesaro'nun Toplamı, bu kısmi toplamların ortalamasını bularak ıraksak serinin toplam sonucuna bir sonlu değer (1/2) bulmamızı sağlar. Grandi serisinde;

S1=1

S2=1-1=0

S3=1−1+1=1

S4=1−1+1-1=0

.....

İlk terim toplamı S1=1

İlk 2 terimin kısmi toplamının S1+S2 ortalaması, (1+0)/2= 0,5, 

ilk 3 terimin kısmi toplamının S1+S2+S3 ortalaması (1+0+1)/3 = 0,667 olur ve böyle devam ettiğinde sonuçların 1/2 daha da yaklaştığını ve sonunda sonsuza kadar işlemler devam ettirildiğinde limit değerinin 1/2 olduğu kabul edilir.

Diferansiyel geometri alanında çalışmış İtalyan bir matematikçi Ernesto Cesàro (1859 – 1906), Grandi serisinin sonucuna ilişkin bir kuvvet serisini dikkate almayı düşünmüş ve bunun için  Abel toplamında Grandi serisi için 1 – x + x² – x³+ x⁴-… kuvvet serisini ele almıştır. Bu kuvvet serisinde x soldan 1’e yaklaştıkça toplamına bakılır. Bu kuvvet serisi 1/(1+x) olarak ifade edilebileceğinden bu ifade limit değeri olarak 1/2’ye yakınsar. Bu yüzden Abel toplamı da Grandi serisinin toplamının 1/2 olacağını gösterir.

Grandi Serisinin Günlük Hayattaki Yeri ve Önemi

1-1+1-1+1-1+… ile ifade edilen Grandi serisi sadece matematiksel bir merak ürünü değildir. Bu serinin çeşitli disiplinlerde derin etkileri vardır. Grandi gibi ıraksak serilerin anlaşılması teorik fizik, sinyal işleme ve bilgisayar bilimi gibi alanlarda son derece önemlidir. Teorik fizik alanında bakacak olursak ıraksak seriler, kuantum alan teorisi ve sicim teorisinde karşımıza çıkar. Grandi serisi gibi seriler burada renormalizasyon sürecine yardımcı olur. Sinyal kontrolü ve işlemede Grandi serisi sinyallerin analizi ve manipülasyonu sırasında karşımıza çıkar. Iraksak serilerin anlaşılmasından türetilen teknikler gürültü azaltma ve sinyal iyileştirme algoritmalarında kullanılır. Bilgisayar bilimlerinde, özellikle algoritma tasarımı ve analizi alanında ıraksak serilerden yararlanılır. Bu serilerin davranışını anlamak büyük veri kümelerini daha etkili bir şekilde işleyen optimize edilmiş kodların oluşturulmasını sağlar. Kısacası Grandi serisinden türetilen kavramlarının birçok pratik uygulaması olduğunu söylemek mümkündür. Bu nedenle 1-1+1-1+1-1+… gibi basit görünümlü bir serinin geniş kapsamlı incelenmesi saf matematiğin ötesinde, geniş kapsamları olan etkilere sahiptir.

Thomson’s Lamp (Thomson'ın Lambası), filozof J.F.Thomson tarafından 1954 yılında görevlerin de paradoksal olabileceğini göstermek için tasarlanan, Grandi serisiyle ilişkilendirilmiş çok ilginç bir felsefi paradokstur. Elealı Zenon'un (MÖ 495–MÖ 430) paradoksları üzerine inşa edilen zamanın bir ilüzyon olduğunu gösteren Thomson deneyi, bir lambanın açılıp kapanma sürecini sonsuz bölünebilir adımlarla ele alır ve paradoksal sonuçlar doğurur. Her adımda lamba açıkken sonra kapalı olacak şekilde hareket edilirse, lambanın hem açık hem kapalı olduğu iddiası ortaya çıkar. Bu düşünce deneyi, zamanda sonsuzluk ve paradokslara dair bazı temel felsefi tartışmaları da beraberinde getirmiştir. Filozof Derek Parfit (1942-2017) kişisel kimlik ve benliğin sürekliliği çalışmaları bu paradoksla ilişkilendirilebilir. Derek Parfit, kişisel kimliğin özde bir sürekliliğe değil, hafızaya ve psikolojik sürekliliğe dayandığını savunmuştur. Bu nedenle, bir bireyin geçmiş ve gelecek versiyonlarının aslında aynı kişi olmadığını öne sürmüştür. Parfit'e göre, kişisel kimlik ve zaman algısı bir illüzyondur ve kişiler aslında birbiri ardına gelen deneyimler, düşünceler ve duygular silsilesinden ibarettir. Thomson'ın Lambası, zamansal paradokslara ve sonsuzluk kavramına ilişkin düşünmeye yönlendiren daha somut bir düşünce deneyidir. Bu paradoksta, bir lambayı açıp kapamak suretiyle sonsuz adımlı bir süreçte, lambanın hem açık hem de kapalı olma durumu incelenmiştir. 

Thomson lamba deneyinde zaman kavramı şu şekilde sorgulanır: Diyelim ki bir lamba var ve iki kişi bu lambayı belli bir kurala göre açıp kapatıyor. 1.kişi lambayı açıyor. 1 Dakika sonra diğer kişi lambayı kapatıyor. Tekrar birinci kişi 1/2 dk (30 sn) sonra lambayı açar. 1/4 dk (15 sn) sonra diğer kişi kapatır. Bu şekilde her seferinde birbiri ardına gelen bu kişiler süreyi yarıya indirerek devam ediyor. Bu döngüye sonsuza kadar devam ediliyor.

Burada lambayı +1 olarak açıp, 0 olarak kapatmayı düşünelim. Thomson’un deneyinin Grandi’s serisi ile aynı olduğu görülür.

AÇIK, KAPALI, AÇIK, KAPALI = 1, 0, 1, 0, 1 …

Zamanlamalara gelince, 1 dk için ON, 1/2 dk için OFF, 1/4 dk için ON .... 

Bu lamba deneyindeki toplam süreyi veren sonsuz seri toplamı; 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... 'dan başka bir şey değildir. Bu nedenle, adım sayısı sonsuz olsa da, seri toplamı bir sonlu zamanda (1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... =2 dakika) tamamlanabilir. Onu süper görev yapan şey de tam olarak budur. Lambanın AÇIK, KAPALI, AÇIK, KAPALI = 1, 0, 1, 0, 1 … şeklinde sonsuza döngüye sahip olarak devam etmesi Grandi serisi ile toplandığında 1/2 olur ki bu durum lambanın AÇIK veya KAPALI olduğu anlamlarına neyi ifade eder? Soruyu cevaplandırmanın  bir yolu olarak, lambanın eşit olasılıklarla ON veya OFF olabileceği söylenebilir.

Görüldüğü gibi, sonsuz sayıda terim içeren toplamlar, yani sonsuz seriler, toplama ve çıkarma gibi çok temel matematiksel kavramlara dair anlayışımızı zorlayabilir. Bu durumda sonsuz seriler çeşitli biçimleriyle gündelik yaşamımızda farklı yaklaşımlarla kullanılabilir.

Kaynakça:

https://en.wikipedia.org/wiki/Grandi%27s_series

https://thatsmaths.com/2018/07/12/grandis-series-divergent-but-summable/

https://themathophile.wordpress.com/2020/04/12/grandis-series/

https://infinitesimallysmall.com/2021/03/01/grandis-series/

https://www.academia.edu/31100989/Final_version_on_Grandis_series

https://plus.maths.org/content/when-things-get-weird-infinite-sums

Melike Üzücek, www.matematiksel.org

Mehmet Fatin Gökmen ve Astronomi

Mehmet Fatin Gökmen, 1877 yılında Antalya’nın Akseki ilçesine bağlı Gödene Bala köyünde doğmuştur. Annesi “Bennâlar”, babası “Hacı Osmanlar” ailesindendir. Babası, Abdülgaffar Efendi, Anadolu ve Rumeli’de kadılık yapmıştır. İlk öğrenimini Akseki ve Alanya’da tamamladıktan sonra ortaöğrenimini İzmir’in Bayındır ilçesinde Medrese öğrenimini İstanbul Fatih Medresesi’nde tamamlamıştır. İstanbul’da bulunduğu dönemde Sultan Selim Camii Muvakkithânesi’nde çalışırken astronomi ve matematikle ilgilenmiş, bu süreçte dönemin önemli bilim insanlarından Salih Zeki Bey’in dikkatini çekmiştir. 1901 yılında yeni açılan Riyâziyyât Medresesi’ne girmiş ve 1904 yılında birincilikle mezun olmuştur. Mezuniyetinin ardından kısa bir süre Darüşşafaka’da matematik öğretmeni olarak görev yapmış, daha sonra Riyâziyyât Medresesi’nde astronomi ve olasılık hesapları (hesâb-ı ihtimâliyyât) dersleri vermiştir.

Hilmi Hacısalihoğlu

Prof. Dr. H. Hilmi Hacısalihoğlu, 1942 yılında Trabzon’da dünyaya gelmiştir. 1963 yılında Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik-Astronomi Bölümü’nden mezun olan Hacısalihoğlu, 1969-1971 yılları arasında Amerika Birleşik Devletleri’nde Brown Üniversitesi’nde araştırmalar yapmış, 1972 yılında doktorasını tamamlamıştır. Aynı yıl doçentlik unvanını almış, 1976 yılında ise profesör olmuştur. Evli ve üç çocuk babası olan Prof. Dr. Hilmi Hacısalihoğlu’nun çocuklarından ikisi de akademisyen olarak ülkemize hizmet etmektedir.

Prof. Dr. Hilmi Hacısalihoğlu, akademik yaşamı boyunca Türkiye’nin birçok önemli üniversitesinde görev yapmış ve çeşitli idari sorumluluklar üstlenmiştir. 1972-1981 yılları arasında Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Cebir-Geometri Kürsüsü Başkanlığı, 1973-1977 yılları arasında Diyarbakır (Dicle) Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü Kurucu Başkanlığı görevlerini yürütmüştür. Aynı dönemde Milli Eğitim Bakanlığı Fen Projesi Bilimsel Komisyonu Üyeliğinde bulunmuştur. 1978-1981 yılları arasında Fırat Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü Başkanlığı, 1978-1980 yılları arasında ise İnönü Üniversitesi Temel Bilimler Fakültesi Dekanlığı görevlerini üstlenmiştir. 1982-1988 yılları arasında Gazi Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Dekanlığı yapmış, 1989-1997 yılları arasında Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü Başkanlığı görevini yürütmüştür. Bunun yanı sıra 1990-1994 yılları arasında Milli Eğitim Bakanlığı Talim ve Terbiye Dairesi Matematik Programları Komisyon Başkanlığı, 1996-1999 yılları arasında ise MEB EARGED Dairesi Matematik Programları Hazırlama Komisyonu Üyeliği görevlerinde bulunmuştur. 2009-2014 yılları arasında Bilecik Şeyh Edebali Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü’nün kurucu başkanlığını yaparak bu alandaki öncü çalışmalarına devam etmiştir.

Bilimsel ve idari görevlerinin yanı sıra, Prof. Dr. Hilmi Hacısalihoğlu birçok ulusal ve uluslararası kuruluşta aktif olarak yer almıştır. 1980 yılından bu yana Balkan Matematik Olimpiyatları Organizasyon Komitesi Üyesi, 1983 yılından bu yana Balkan Matematikçiler Birliği Başkan Yardımcısı olarak görev yapmaktadır. 2009 yılından itibaren Türk Matematikçileri Derneği Onursal Başkanlığı ve Türk Dünyası Matematikçileri Birliği Onursal Başkanlığı görevlerini sürdürmektedir. Türk ve Avrupa Matematikçiler Dernekleri gibi birçok bilimsel derneğin üyesi olan Prof. Dr. Hacısalihoğlu, 1999 yılında otuz kadar ülkenin katılımıyla kurulan Türk Dünyası Matematikçileri Birliği’nin 2009 yılında yapılan III. Genel Kurul Toplantısında Şeref Başkanlığına seçilmiştir.

Matematik eğitimi ve araştırmalarına büyük katkılarda bulunan Prof. Dr. Hilmi Hacısalihoğlu, Türkiye’deki matematik bölümlerinin temel kaynakları arasında yer alan 38 kitabın ve 100’ün üzerinde bilimsel makalenin yazarıdır. Türkiye’nin çeşitli üniversitelerinde ve uluslararası bilimsel toplantılarda çok sayıda konferans vermiş, bu alandaki bilgisini ve deneyimini yeni kuşaklara aktarmaya devam etmiştir.

Ülkemizde birçok üniversitede matematik bölümlerinin kurulmasına veya gelişmesine doğrudan ya da yetiştirdiği öğrenciler aracılığıyla büyük katkılar sağlayan Prof. Dr. H. Hilmi Hacısalihoğlu, Türkiye’de matematik biliminin ve öğretiminin gelişmesi için üstün emek harcamış, yaşamını bu ideale adamış bir bilim insanıdır.

Cebir ilminin gelişimi

İlmü’l-cebr ve’l-mukābele'nin Tarihi ve Tanımı 

Klasik kaynaklarda “ilmü’l-cebr ve’l-mukābele” terimi, Arapça’da cebir için “kırık kemiği düzeltme, zorlama” anlamına gelen “el-cebr” ile “karşılaştırma, denkleştirme” anlamına gelen “el-mukābele” kelimelerinden oluşur. Bu terim Batı dillerine "algebra" olarak geçmiştir. Klasik dönemde bu ilim genellikle “ilmü’l-hisâb”ın (hesap ilminin) bir dalı olarak görülmüştür. Muhammed b. Ahmed el-Hârizmî, cebri “hesap sanatlarından biri” olarak tanımlamış ve bu ilmin zorluk içeren miras, vasiyet gibi problemlerin çözümü için olduğunu belirtmiştir. İbn Haldûn ise cebri sayılar teorisinin bir dalı olarak ele almış ve matematiksel anlamda “bilinenlerden bilinmeyeni çıkarma” olarak tanımlamıştır. Taşköprizâde, cebri denklem yoluyla bilinmeyen niceliklerin çıkarılması yöntemi olarak tarif etmiş ve bu tanım sonraki alimlerce kabul edilmiştir. İslâm matematikçileri de bu tanımı benimsemiştir. 

 

Matematiksel İşlemler ve Cebir Kavramları 

Cebirde temel işlemler şu şekildedir: Cebir: Denklemde negatif terimin karşı tarafa aynen eklenerek kaldırılmasıdır. Mukābele: Eşitliğin her iki yanındaki benzer terimlerin çıkarılmasıdır. Red (geri çevirme): Bir terimi katsayısından kurtarma işlemi. İkmal (tamamlama): Bir terimi belirli bir sayı ile çarpma veya bölme yoluyla düzenleme. Bu işlemler denklemde bilinmeyenin katsayısını 1 yapmayı amaçlar. 

Pergeli Apollonius

Antik Yunan matematikçisi ve astronomu Pergeli Apollonius’un (MÖ ~240 – MÖ ~190), Perge’de doğmuş, İskenderiye’de yaşamış, konik kesitler (elips, parabol, hiperbol) üzerine çalışmalar yapmış önemli bir matematikçi ve astronomdur. Öklid ve Arşimet’in çalışmalarını daha ileriye taşımış, analitik geometrinin öncülerinden sayılır. Doğum ve ölüm tarihleri kesin olmamakla birlikte, MÖ 3. yüzyılın ikinci yarısı ile MÖ 2. yüzyılın başları arasında yaşadığı kabul edilir. Perge doğumlu olmakla birlikte İskenderiye’de eğitim görmüş, Bergama’da ve Efes’te de bulunmuştur. Zamanının entelektüel çevresine dahil olmuş, önemli matematikçilerle iletişimde bulunmuştur. Konik kesitlerle ilgili kavram ve terimleri bugünkü anlamlarıyla tanımlamış, koniklerin temel özelliklerini ortaya koymuştur. Bu çalışmalar daha sonra Kopernik, Kepler ve Newton gibi bilim insanlarının gezegenlerin yörüngelerini anlamasında temel oluşturmuştur. Çalışmalarının çoğu günümüze ulaşmamış; mevcut eserleri ve onlarla ilgili yorumlar aracılığıyla tanınmış olup, Orta Çağ’da Arapçaya çevrilerek Rönesans ve sonrasında yeniden keşfedilmiştir. 

Pergeli Apollonius, Öklid geometrisini benimseyerek onu daha ileri düzeylere götürmüştür. Teorik ve sentetik geometrici olarak, 19. yüzyıldaki Steiner'e kadar Apollonius'un bir eşine daha rastlanamaz. Konikler adı altında bugün bildiğimiz elips, çember, hiperbol ve parabol kesişimlerine ait problemlerin birçoğu Apollonius tarafından bulunmuştur. "Konika" eseri sekiz kitaptan oluşmuştur. Eserde konik kesitlerinin (bir koninin düzlemle kesişmesinden ortaya çıkan elips, parabol, hiperbol gibi eğriler) detaylı incelemeleri mevcuttur. Eserin ilk dört kitabı orijinal Yunanca, 5-7. kitaplar ise Arapçadan çevrilmiş; 8. kitabın durumu ise belirsizdir. Sekiz kitabından yalnızca ilk dördü, Apollonius'un orijinal metinlerinden geldiği konusunda güvenilir bir iddiaya sahiptir. 5-7. kitaplar Arapçadan Latinceye çevrilmiş olduğundan yoruma açıktır. Eserin orijinal Yunanca halinin ise kaybolduğu varsayılmaktadır.  Pergeli Apollonius bu eserinin, Edmond Halley tarafından Latince olarak "yeniden yapılanmış" bir versiyonu vardır ama ne kadarının Apollonius'a benzediğini bilmenin bir yolu yoktur. Eserler sonraki yıllarda (19. ve 20. yüzyılda) İngiliz bilim insanları Heath, Taliaferro ve Thomas tarafından İngilizce’ye çevrilmiş ve incelenmiştir. Apollonius’un eserleri bugün klasik matematik literatüründe önemli yer tutar.

Apollonios, antik dönemin en büyük matematikçilerinden biri olarak, özellikle konik eğriler üzerine yaptığı çalışmalarla “Büyük Geometri Ustası” unvanını kazanmıştır. Bu unvan, yalnızca onun eserlerinin kalitesi ve derinliğiyle değil, aynı zamanda onun ve Öklid gibi diğer büyük matematikçilerin çalışmalarını bir araya getirip koruyan Pappos’un katkıları sayesinde günümüze kadar ulaşabilmiştir. Pappos, Apollonios’un fikirlerini ve yöntemlerini sistematik bir biçimde derleyerek, antik matematiğin bu önemli hazinesinin sonraki nesillere aktarılmasını sağlamıştır.

Apollonios’un en çarpıcı başarılarından biri, konik eğriler (elips, parabol ve hiperbol) kavramını hem tanımlaması hem de bu eğrilerin özelliklerini matematiksel olarak incelemesidir. Bu kavramsal gelişme, yalnızca geometri alanında değil, matematiğin genelinde bir devrim niteliği taşır. Çünkü Apollonios, konik eğrileri soyut birer kavram olarak ortaya koymakla kalmamış, aynı zamanda bu eğrilerin doğasını detaylı bir şekilde analiz etmiş ve bunların temel özelliklerini sistematik biçimde ortaya koymuştur. Dahası, Apollonios’un dönemiyle kıyaslandığında, onun ortaya koyduğu bu soyut kavramları somutlaştıracak teknik araçların geliştirilmesi oldukça gecikmiştir. Öyle ki, konik eğrileri geometrik olarak çizmek için gerekli olan ve kavramların pratik olarak uygulanmasını mümkün kılan gelişmiş aletler ancak yaklaşık bin yıl sonra ortaya çıkabilmiştir. Bu durum, Apollonios’un teorik soyutlama gücünün ve matematiksel öngörüsünün kendi zamanının teknolojik ve teknik imkanlarının çok ötesinde olduğunu gösterir. Yani, o dönemdeki mevcut alet ve yöntemlerle bu eğrilerin tam anlamıyla çizilmesi veya uygulanması mümkün değildi; fakat Apollonios, böyle bir soyut yapıyı kavrayacak ve inceleyecek entelektüel birikime sahiptir. Bu bakımdan Apollonios’un çalışmaları, sadece kendi çağının değil, aynı zamanda matematik tarihinin önemli dönüm noktalarından biri olarak kabul edilir. Onun ortaya koyduğu kavramsal çerçeve, ilerleyen yüzyıllarda matematiksel düşüncenin gelişmesine öncülük etmiş ve daha sonraki matematikçiler için güçlü bir temel oluşturmuştur. Ayrıca, Apollonios’un eserleri, geometrinin gelişimiyle birlikte fizik, astronomi ve mühendislik gibi birçok alanda da uzun vadeli etkilere sebep olmuştur. 

Abdülmelik eş-Şîrâzî

Abdülmelik eş-Şîrâzî, tahmini verilere göre 12. yüzyılda yaşamış bir İslam matematikçisi ve astronomudur. Doğum yeri muhtemelen Şîraz’dır. Hakkında çok az bilgi bulunmaktadır. Helenistik matematikçiler ve özellikle Apollonios üzerine çalışmış, onların eserlerini Arapça’ya özetleyerek çevirmiştir. Antik Yunan matematikçisi Apollonios, “Elips” ve “hiperbol” terimlerini ilk defa ilim dilinde kullanan kişi olarak kabul edilir. 

Abdülmelik eş-Şîrâzî'nin en önemli eseri: “Taṣaffuḥu’l-maḫrûṭât adlı eserdir. “Taṣaffuḥu’l-maḫrûṭât (Koni Kesilmeleri) eseri, ” MÖ. 3 yüzyıllarda yaşamış ünlü matematikçi Apollonios’un "Kônika" adlı eserinin özlü bir Arapça çevirisidir. Bu çalışmada, Koni incelemelerini yapmış olup, Ebû Hilâl ve Sâbit b. Kurra gibi önceki İslam alimlerinin eserlerinden faydalanmıştır. “Taṣaffuḥu’l-maḫrûṭât eseri Latince'ye tercüme edilerek, 1669’da Kiel’de basılmıştır.

 

Abdülmelik eş-Şîrâzî, ayrıca Batlamyus’un "Almagest" adlı eserini de özetlemiştir, ancak bu eser günümüze ulaşmamıştır. Batlamyus’un "Almagest eserine yaptığı bu  özet, Kutbüddîn-i Şîrâzî’nin "Dürretü’t-Tâc" adlı eserine kaynak olmuştur. Orijinal Apollonios'un Kônika eserinin yalnızca yarısı günümüze ulaşabildiğinden, Şîrâzî’nin bu esere dair hazırladığı koni inceleme özeti, bu klasik eserin korunmasına katkı sağlamıştır. Eserin el yazmaları İstanbul’daki çeşitli kütüphanelerde (opkapı Sarayı Müzesi (III. Ahmed, nr. 3463), Süleymaniye (Yenicami, nr. 803; Cârullah Efendi, nr. 1507), Nuruosmaniye (nr. 2972),) ve Leiden ile Oxford’daki koleksiyonlarda bulunmaktadır. Abdülmelik eş-Şîrâzî, antik matematik mirasının İslam dünyasında yaşatılmasına ve Avrupa’ya aktarılmasına önemli katkılar sunmuştur.

W. George Horner ve Horner Yöntemi

Horner metodu, bir polinomun değerini hızlı ve etkin bir şekilde hesaplamak için kullanılan basit bir yöntemdir. Bu yöntem, özellikle yüksek dereceli polinomlarda hesaplama sırasında ortaya çıkan çok sayıda çarpma ve toplama işlemini azaltarak daha verimli bir hesaplama sağlar. Horner metodu sayesinde işlem sayısı azalır; bu da hesaplamaların daha hızlı yapılmasını ve hata olasılığının düşmesini sağlar. Bu özelliği nedeniyle, bilgisayar ve sayısal hesaplama algoritmaları açısından oldukça uygundur. Ayrıca Horner metodu, yalnızca polinom değerini bulmak için değil, polinom bölmesi veya Newton-Raphson yöntemi gibi kök bulma işlemlerinde de yaygın olarak kullanılır. 

Newton–Raphson yöntemi, bir denklemin kökünü yani f(x)=0 denklemini sağlayan x değerini bulmak için kullanılan, hızlı yakınsama özelliğine sahip bir nümerik analiz yöntemidir. Bu yöntemde, x_n noktasında fonksiyona bir teğet çizilir ve bu teğetin x-eksenini kestiği nokta bir sonraki denklemin kökü olarak tahmin ettiğimiz x_n+1 noktasını verir. Bu şekilde teğet çizilerek devam eilir. Böylece bu yöntemle, fonksiyonun grafiği üzerinde köke adım adım hızlı bir şekilde yaklaşmayı sağlar. Bu teğet çizme işlemi, ardışık adımlarla köke yeterince yaklaşılana kadar tekrarlanır. Newton yöntemi, özellikle başlangıç değeri köke yakın olarak seçildiğinde çok daha hızlı yakınsama göstereceğinden daha kullanışlı bir metod olur.
Horner metodu, İngiliz matematikçi William George Horner (9 Haziran 1786-22 Eylül 1837) tarafından akademik dünyaya kazandırılmıştır. George Horner, bilimsel yazı hayatına 1810’lu yıllarda başlamıştır. "The Ladies’ Diary" ve "The Gentleman’s Diary" gibi dönemin önemli dergilerinde çeşitli matematik problemleri yayımlamıştır. 1819 yılında, "Royal Society (Kraliyet Cemiyeti)’nin Philosophical Transactions" dergisinde yayımlanan makalesiyle Horner Yöntemini bilim dünyasına tanıtmıştır. George Horner adıyla bilim dünyasına tanıtılmış olan "Polinom Bölmesi Yöntemi", Horner’den çok önceleri, 13. yüzyılda Çinliler tarafından Zhu Shijie (ö. 1300?) adıyla bilinmekteydi. William Horner, 1819 yılında yayımladığı makalesiyle bu yöntemi Avrupa’ya tanıtmış ve polinomlarda bölme işleminin daha hızlı ve düzenli bir biçimde hesaplanmasını sağlayan bu yaklaşımı açıklamıştır. Tarihsel olarak, bu yönteme benzer fikirler Horner’dan önce Joseph-Louis Lagrange ve René Descartes gibi matematikçiler tarafından da Avrupa’da kısmen kullanılmıştır. Buna rağmen yöntemi sistematik bir hale getirip yaygınlaştıran kişi William George Horner olduğu için bu teknik onun adıyla anılmaktadır. 

John Farey Dizisi

Farey dizileri, adını İngiliz matematikçi John Farey'den alır ve birbirine yakın kesirlerin bir sıralaması olarak tanımlanır. John Farey  (1766-1826), bir jeolog olmasına rağmen matematikle ilgili yaptığı bir gözlem nedeniyle matematik tarihinde önemli bir yere sahip olmuştur. Farey dizisi, ona adını veren bu gözleminden doğmuştur. Farey, Woburn'da yerel bir okulda eğitim aldıktan sonra Halifax'ta matematik, çizim ve haritacılık üzerine eğitim görmüştür. Farey, 1792'de Bedford Dükalığı'nın Woburn arazilerinin yöneticisi olarak atanmış ve bu görevde çalışırken jeolojiye olan ilgisi artmıştır. 1801'de William Smith ile tanışarak stratigrafi bilimi üzerine bilgi edinmiş, bu alanda önemli katkılarda bulunmuştur. Farey, jeolojiye olan katkılarının yanı sıra, bilimsel makaleler yayımlamış ve William Smith'in jeolojik çalışmalarının takdir edilmesi için çaba sarf etmiştir. Farey, 1804'te Philosophical Magazine was On the mensuration of timber "Kereste ölçümü" üzerine yazdığı ilk makalesini, 1824'te ise On the velocity of sound and on the Encke planet "Sesin hızı ve Encke gezegeni" üzerine yazdığı son makalesini yayımlamıştır. Farey'in matematiksel katkısı, 1816 yılında yayımladığı "On a curious property of vulgar fractions" (Sade Kesirlerin Garip Bir Özelliği) başlıklı makalesi ile olmuştur. Bu makalede Farey, ismi ile anılan meşhur dizisini tanıtarak, ardışık kesirlerin özel bir özelliğini keşfetmiştir. Farey dizisi, paydalı 1'e kadar olan kesirler arasındaki sıralamadır ve her bir kesir, yanındaki kesirlerin paylarının toplamı, paydalarının toplamı olarak bulunabilir. Farey, bu özelliği örneklerle açıklamış, ancak modern bir ispat sağlamamıştır. Farey'in keşfi, Fransız matematikçi Cauchy tarafından ispatlanmıştır ve Farey'in bu konuda yaptığı başvuru, diğer bazı çalışmalardan önce olsa da ispat eksikliği nedeniyle matematiksel olarak daha geniş bir kabul görmemiştir. Ayrıca, Farey'den önce, 1802'de Haros adlı bir araştırmacı benzer bir diziyi tanımlamış, ancak Farey'in belirttiği özelliği açıkça göstermemiştir. Farey, matematiksel katkılarının yanı sıra, tarihsel olarak daha çok jeoloji alanındaki çalışmalarıyla tanınmıştır. 6 Haziran 1826 yılında Londra'da ölmüştür. Farey'in jeoloji alanındaki araştırmaları ve haritaları, jeolojik eserlerin bir kısmı, British Museum'a bağışlanmıştır.

 

Farey dizisi, 0 ile 1 arasındaki rasyonel sayılardan oluşan, belirli bir payda sınırına sahip bir dizidir. Farey dizileri, özellikle rasyonel sayılar arasındaki ilişkilerin incelenmesinde kullanılır. Farey dizisinde, 0 ile 1 arasındaki ve paydası en fazla n olan tüm kesirler yer alır.  Farey dizisi F_n, 0 ile 1 arasındaki tüm kesirlerden oluşan, payları a ve paydalı b olan kesirlerin, a.d-b.c=1 bağıntısıyla sıralandığı bir kümedir. Buradaki kısıtlamada paydanın b≤n olmasına dikkat edilirken kesirler büyüklüklerine göre küçükten büyüğe doğru sıralanır. Farey dizileri, özellikle sayıların büyüklüğü çok arttığında, çok hassas bir yakınsaklık gösterir. Bu kesirler sıralandıkları sıraya göre birbirine yakın olacak şekilde düzenlenir ve her iki ardışık kesir arasındaki fark, Farey dizisinin matematiksel özelliklerine uygun şekilde mümkün olan en küçük farklardan biri olur. Farey dizileri, sıklıkla sayı teorisi, analitik geometri ve rasyonel sayılarla yapılan hesaplamalar gibi alanlarda kullanılır.
Bir Farey dizisi, genellikle F_n olarak gösterilir ve paydası en fazla n olan tüm kesirleri içerir. Bu kesirler, sıralı bir şekilde düzenlenir ve her ardışık kesir, birbirine en yakın iki kesir arasındaki farkı minimize edecek şekilde seçilir. Bu dizi, her zaman 0 ve 1 ile başlar ve biter, çünkü bu iki sayıya eşit olan kesirler dizinin ilk ve son elemanlarıdır. Farey dizisi, rasyonel sayıları belirli bir düzene göre sıralamak için kullanılır.
Farey dizisinin önemli özelliklerinden biri, her iki ardışık kesir arasındaki farkın belirli bir ölçüye sahip olmasıdır. Bu fark, her iki kesirin paydalarının büyüklüğüne bağlı olarak değişir, ancak genellikle Farey dizisinin özelliklerine göre çok küçük olur. Bu da, rasyonel sayılar arasındaki "yoğunluğu" göstermektedir. Yani, Farey dizisindeki kesirler ne kadar büyük bir diziyi kapsasa da, ardışık iki kesir arasındaki fark hala çok küçüktür. Dizinin elemanları a/b ve c/d ise bu iki dizi terimi arasında a.d-b.c=1 eşitliği vardır. Aşağıdaki terimler arasındaki kurala dikkat edebilirsiniz.Örneğin F5 Farey dizisi, paydası en fazla 5 olan 0 ile 1 arasındaki kesirlerin sıralandığı bir dizidir. Bu dizide yer alan tüm kesirler, paydaları 5'e kadar olan rasyonel sayılardır. Dizinin doğru sıralaması şu şekildedir:
F5 = {0, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1}
Farey dizisi F7​, paydası en fazla 7 olan ve 0 ile 1 arasındaki rasyonel kesirlerin sıralandığı bir dizidir. Bu dizideki tüm kesirlerin paydası 7'yi geçmez ve her iki ardışık kesir arasındaki fark, Farey dizisinin özelliklerine uygun şekilde minimize edilmiştir. Bu kesirler, büyüklük sırasına göre dizilmiştir ve matematiksel olarak birbirine yakın olacak şekilde yerleştirilmiştir. 
F7 = { 0/1, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 1/1 }
Farey dizisi F8 için terimi almak, 8. paydadan oluşan Farey dizisinin elemanlarını bulmayı içerir. Bu durumda, F8 dizisinin elemanları, 8'e kadar olan paydalara sahip olan ve birbirine en yakın olan kesirlerden oluşur. Burada kesirler sırasıyla artan bir şekilde yerleştirilmiştir.
F8 = {0/1, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8, 1/1}

Buna benzer dizilerin oluşturulması, rasyonel sayılar arasındaki düzenin ne kadar yoğun olduğunu gösterir. Görüldüğü gibi, her iki ardışık kesir arasındaki fark son derece küçüktür. Örneğin, 1/7 ve 1/6 arasındaki fark, oldukça küçüktür. Daha büyük paydalar alındığında farkların daha da küçüldüğü görülecektir. Farey dizisinin her iki ardışık elemanı arasındaki benzer farklar, tüm dizide gözlemlenir. 

Brahmagupta ve Sıfır Sayısı

Brahmagupta (??598–668), yaşadığı tarihler tam olarak bilinmemektedir. 7.yy döneminin en ünlü Hint matematikçilerinden ve astronomlarından biri olduğu tahmin edilmektedir. Matematik ve astronomi alanında yaptığı katkılar, hem Orta Çağ Hindistan’ında hem de sonraki İslam ve Avrupa bilimlerinde etkili olmuştur. Brahmagupta, çoğunlukla günümüz Hindistan’ının Rajasthan bölgesinde yer alan Bhinmal civarında yaşamıştır. Eğitimini geleneksel Sanskritçe kaynaklar üzerinden almış ve edindiği bilgileri hem teorik hem de pratik alanlarda kullanmıştır. Brahmagupta’nın iki temel eseri vardır. Birincisi, 628 yılında yazdığı Brāhmasphuṭasiddhānta’dır. Bu eser matematik ve astronomi üzerine yazılmış teorik bir çalışmadır. Brāhmasphuṭasiddhānta, sıfırın (0) sayısal ve işlemsel kullanımını sistematik olarak ele alan ilk eserlerden biridir. Brahmagupta burada toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinde sıfırın kurallarını açıklamış ve negatif sayılarla işlemleri tanımlamıştır. Ayrıca ikinci dereceden denklemlerin çözüm yöntemleri, geometrik hesaplamalar ve gök cisimlerinin hareketleri gibi konulara değinmiştir. İkinci eseri Khaṇḍakhādyaka ise 665 yılında yazılmıştır ve daha çok astronomi uygulamalarına yöneliktir. Bu eserde Güneş, Ay ve gezegenlerin hareketleri, takvim hesapları ve astronomik tablolar yer almaktadır.

Brahmagupta matematiğe özellikle sıfır ve negatif sayıların kullanımı konusunda önemli katkılar yapmıştır. Sıfırın toplama ve çıkarma işlemlerindeki etkilerini açıklamış, negatif sayıları borç ve pozitif sayıları alacak olarak temsil ederek işlemlerini tanımlamıştır. Ancak sıfır ile sıfırın bölünmesi gibi bazı kavramlarda kesin bir çözüm sunmamıştır. Bunun yanı sıra ikinci dereceden denklemlerin çözümü, cebirsel formüller ve bazı geometri problemleri de eserlerinde yer almaktadır.

Astronomide ise Brahmagupta, Dünya’nın ve gezegenlerin hareketleri üzerine hesaplamalar yapmış, Güneş ve Ay tutulmalarının zamanlarını belirleme yöntemlerini geliştirmiştir. Astronomik tablolar ve gözlemler için pratik hesaplama yöntemleri sunmuştur.

Brahmagupta’nın çalışmaları, sonraki yüzyıllarda İslam dünyasında El-Harezmi ve diğer matematikçilere, oradan da Avrupa’ya geçerek modern matematiğin temellerine katkıda bulunmuştur. Sıfırın matematikte sistematik kullanımını ve negatif sayıların işlemlerini tanımlaması, onun en önemli miraslarından biri olarak kabul edilmektedir.

Bahaüddin Abdissamed el-Amili

Bahâüddîn Muhammed b. Hüseyn b. Abdissamed el-Âmilî (953/1546-47 – 1031/1622), Şeyh-i Bahâî adıyla tanınan çok yönlü bir İslam âlimi, mutasavvıf, matematikçi, astronom, mimar, şair ve müderristir. Lübnan’ın güneyinde, Şiî nüfusun yoğun olduğu Cebel-i Âmil bölgesindeki Baalbek’te doğmuş, âlim yetiştiren bir aileden geldiği için küçük yaşlardan itibaren ilme ilgi göstermiştir. İlk eğitimini babasından almış, Arapça, hadis, tefsir ve fıkıh dersleri görmüştür. Babasının Safevî Devleti’nde Herat’a müftü olarak atanması üzerine İran’a göç etmiş ve bir süre Kazvin’de eğitimine devam etmiştir. Astronomi alanında “Anatomi des Himmels” adlı eserinde Dünya’nın kendi ekseni etrafında dönme olasılığını da tartışmıştır. İslam dünyasında Kopernik’ten önce dünyanın hareket ettiğini öne süren ilk astronomlardan biri kabul edilir. Aynı zamanda İslam felsefesinde “İsfahan Okulu” olarak bilinen geleneğin kurucularındandır ve Molla Sadrâ’nın hocasıdır. Arapça ve Farsça dillerinde yüzün üzerinde eser kaleme almış, İsfahan’daki Nakş-ı Cihan Meydanı ve Çarbek Caddesi’nin tasarımı ona atfedilmiştir. 

On yıl boyunca dönemin tanınmış hocalarından kelâm, felsefe, matematik ve tıp eğitimi almış, daha sonra Kudüs’e giderek Muhammed el-Makdisî’den Sahîh-i Buhârî okumuştur. Hayatının büyük bir kısmını ilim, telif ve uzun seyahatlerle geçirmiş; otuz yılı bulan seyahatleri sırasında Mısır, Irak, Hicaz, Suriye ve Anadolu’yu dolaşmış, farklı âlim ve sûfîlerle görüşmüş ve bazı eserlerini yazmıştır.
Dönemin Safevî hükümdarı I. Şah Abbas tarafından büyük saygı görmüş, şeyhülislâm unvanı ile onurlandırılmıştır. Buna rağmen zâhidâne ve mütevazı bir hayat sürmüş, daha sonraki yıllarında İsfahan’a yerleşmiş, burada hem eser telif etmeye devam etmiş hem de ders vermiştir. 13 Şevval 1031’de (21 Ağustos 1622- Bazı kaynaklarda vefatı 1030 (1621) veya 1035 (1626) olarak da geçmektedir) vefat etmiş, cenazesi Meşhed’e nakledilerek İmam Rıza Türbesi yakınında defnedilmiştir. Bahâüddîn Âmilî, ilim, sanat ve maneviyatı birleştiren şahsiyetiyle tanınmış, servet ve makamdan uzak durmuş, insanları bilgi ve ahlâklarıyla değerlendirmiştir. Bu yönüyle halk arasında efsanevi bir ün kazanmıştır. Bazı kaynaklar onun Sünnî olabileceğini ileri sürmüşse de, genel kabul onun samimi bir Şiî âlim olduğudur. Tasavvufa ilgi duymuş, ancak şeriata aykırı görüşleri reddeden ölçülü bir tasavvuf anlayışını benimsemiştir. İran İslam Devrimi lideri İmam Humeyni, eserlerinde Şeyh-i Bahâî’den sıkça alıntılar yapmıştır.

Yetiştirdiği öğrenciler arasında otuzdan fazla âlim bulunmuş, yaşadığı dönemde dinî ilimlerin yanı sıra matematik, astronomi, felsefe, edebiyat ve dil alanlarında da önemli eserler vermiştir. Doksana yakın kitap ve risalesi bulunmakta olup en tanınmış eserleri arasında “Ḫulâṣatü’l-ḥisâb” (matematik), “Teşrîḥu’l-eflâk” (astronomi), “el-Keşkûl” (felsefî, edebî ve dinî antoloji), “Câmiʿ-i ʿAbbâsî” (Şiî fıkhı) ve “Kitâbü’z-Zübde” (usûl-i fıkh) yer almaktadır. Ayrıca Arap dili ve edebiyatı, tefsir, hadis, fıkıh, matematik ve astronomi alanlarında da pek çok eser vermiştir. Arapça ve Farsça dillerinde kaleme aldığı manzum ve mensur eserleri, hem Safevî İran’ında hem Osmanlı coğrafyasında uzun yıllar okutulmuş ve etkili olmuştur.  Arapça olarak yazdığı Hulâsâtü'l-Hisâb (Aritmetiğin Esasları) adlı eseri, muhtelif zamanlarda Farsça ve Almancaya defalarca çevrilmiş, 20. yüzyılın başlarına kadar ders kitabı olarak okutulmuştur.

Farsça şiirlerinde “Bahâî” mahlasını kullanmış, Mevlânâ’yı örnek alarak didaktik ve ahlâkî mesneviler kaleme almıştır. "Nân ü Halvâ, Şîr ü Şeker, Nân ü Penîr ve Mûş u Gürbe" gibi eserleri bu kapsamda değerlendirilebilir. Şeyh-i Bahâî hem İslam dünyasında bilimin ve felsefenin yeniden canlanmasında etkili olmuş bir düşünür hem de Şiî ilim geleneğinin önde gelen temsilcilerinden biridir. Yaşadığı dönemde aklî ve naklî ilimleri birleştiren nadir şahsiyetlerden biri olmuş, bilim, sanat, felsefe ve tasavvufu bütünleştiren mirasıyla sonraki yüzyıllara kaynak olmuştur.

Hüseyin Tevfik Paşa, Lineer Cebir (Algebra)

19. yy.da Osmanlılarda batılılaşma kapsamında görülen bilimsel faaliyetler, Avrupa’da yazılan kitaplardan çeviriler yapmaktan ileri gidemiyordu. Böyle bir ortam içerisinde Hüseyin Tevfik Paşa, matematiğin en yeni alanlarında önemli çalışmalar yaparak bunu İngilizce bir kitap halinde 1882’de İstanbul’da yayımlamış, yüzyıllar boyunca matematiğin temel bilgilerinden yoksun olan Osmanlı toplumu içerisinde orijinal çalışmalar yapan ve yayınlayan ilk bilim adamı olma şerefini kazanmıştır. II. Abdülhamit devrinde Osmanlı toplumu içerisinde büyük itibar gören Hüseyin Tevfik Paşa, Mühendishane Nazırlığı, Maliye, Ticaret, Nafia Nazırlıklarında bulunarak Mareşallik rütbesine yükseltilmiştir. 

Prof. Dr. A. M. Celal Şengör’ün Almanya’da eski kitaplar listesinde Tevfik Paşa’nın adını görerek aldığı “Linear Algebra”nın 1892 tarihli genişletilmiş ikinci baskısını İTÜ’ye getirmesi üzerine, bu önemli bilim adamının hayatı hakkında bilgi toplanmaya başlanmıştır. Araştırmalar sonucu kitabın 1. Baskısından Türkiye’de yalnız bir adet, 2. Baskısından ise iki adet bulunabildiğinden, Linear Algebra’nın tıpkı basımının yapılmasına karar verilmiş; Prof. Dr. Kazım Çeçen tarafından hazırlanan Hüseyin Tevfik Paşa ve “Linear Algebra” isimli kitap, 1988 yılında İTÜ Bilim ve Teknoloji Tarihi Araştırma Merkezi tarafından yayımlanmıştır. 

Kitabın birinci bölümü Hüseyin Tevfik Paşa’nın hayatı ve eserleri, ikinci bölüm ise Linear Algebra’nın basımı ve bilimsel değerlendirmesine ayrılmıştır. Linear Algebra adlı kitabın bilimsel yönden değerlendirilmesi, bu alandaki en büyük otorite olan Ord. Prof. Dr. Cahit Arf tarafından yapılmıştır. 

Hüseyin Tevfik Paşa’nın bu önemli eserini, matematikle uğraşanlardan ziyade, bilim tarihi yapanların incelemelerine sunmak ve tamamen yok olmasını önlemek üzere hazırlanmış olan Hüseyin Tevfik Paşa ve ”Linear Algebra” kitabının zaman içerisinde tükenmesi üzerine, İTÜ Rektörlüğü, “2019 Prof. Dr. Fuat Sezgin Yılı” kapsamında kitabın yeniden basımına karar vermiştir. İTÜ Vakfı olarak ikinci baskısını yaptığımız Hüseyin Tevfik Paşa ve ”Linear Algebra” kitabı, ülkemizin bilim tarihinde ve İTÜ tarihinde önemli yerleri olan iki bilim insanı Hüseyin Tevfik Paşa ile Prof. Dr. Kazım Çeçen’in değerli hatırasına ithaf edilmiştir.

Yazar Prof. Dr. Kâzım Çeçen 

Yayınevi:İTÜ Vakfı Yayınları

Yayın Tarihi : 2019 

Sayfa Sayısı : 188 ISBN NO : 978-975-7463-63-4 

https://www.ituyayinlari.com.tr/kitap/560/huseyin-tevfik-pasa-linear-algebra

Karl Theodor Weierstrass

Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897), 31 Ekim 1815’te Almanya’nın Pruşya bölgesindeki Ostenfelde kasabasında doğmuştur. Babası bir devlet memurudur. Weierstrass genç yaşta matematiğe büyük bir ilgi duymuş, ancak ailesinin isteğiyle hukuk eğitimi almak üzere Bonn Üniversitesi’ne gitmiştir. Üniversitede hukuk okurken matematik tutkusundan vazgeçmemiş, gizlice matematik çalışmaya devam etmiştir. Daha sonra öğretmen olmak için eğitimine yönelmiş ve uzun yıllar boyunca ortaokul-lise düzeyinde matematik öğretmeni olarak görev yapmıştır. Bu dönemde, kendi araştırmalarını da sürdürmüştür. Weierstrass, profesyonel matematikçi olarak kariyerine 40 yaşına yakın bir yaşta başlamıştır.

Weierstrass, matematikte modern analizin kurucularından biri olarak kabul edilir. Ondan önce limit, süreklilik ve türev gibi kavramlar daha çok sezgiye dayalı biçimde açıklanıyordu. Weierstrass bu kavramları kesin ve mantıksal temellere oturtarak modern analizin temel taşlarını oluşturmuştur. Weierstrass’ın en önemli katkılarından biri, limitin epsilon-delta tanımıdır. Bu tanım, “bir fonksiyonun limiti vardır” ifadesini tamamen kesin bir biçimde açıklamayı mümkün kılmıştır. Bugün tüm kalkülüs ve analiz kitaplarında kullanılan bu yöntem, matematiksel analizin en temel araçlarından biridir.

 

Süreklilik ve türev kavramlarını da limit temeline dayandırarak yeniden tanımlamıştır. Ona göre bir fonksiyon bir noktada sürekli ise o noktadaki limit değeri; fonksiyonun o noktadaki görüntü değerine eşittir. Ayrıca türevi de limit kavramı üzerinden tanımlayarak fonksiyonların davranışlarını anlamak için sağlam bir teorik zemin oluşturmuştur. 

Weierstrass Limit Tanımı: Herhangi bir ε (epsilon) pozitif Reel sayısı için, buna karşılık gelen bir δ (delta) pozitif Reel sayı mutlaka vardır; öyle ki, eğer 0 < |x - a| < δ ise, o zaman |f(x) - L| < ε olur. Yani, x değeri a noktasına δ kadar yaklaştığında, f(x) değeri de L noktasına ε kadar yaklaşır. Bu, Weierstrass’ın limit kavramını kesin ve ölçülebilir biçimde tanımladığı ifadedir. 

Weierstrass, “her noktada sürekli olan ancak hiçbir noktada türevlenemeyen bir fonksiyon” örneği geliştirmiştir. Weierstrass’ın 1872 yılında matematikçilerin kalkülüs hakkında bildiklerini sandıkları her şeyi sarsacak kendi adıyla tanınan fonksiyonu yayımlamıştır. Bu fonksiyon, özellikle Fransız matematik ekolünün önde gelen isimleri tarafından kayıtsızlık ve öfke ile karşılanmıştır. Henri Poincaré, Weierstrass’ın bu fonksiyonunu “sağduyuya bir hakaret” olarak nitelendirmiş; Charles Hermite ise onu “acımasız bir kötülük” olarak nitelemiştir. Bugün “Weierstrass fonksiyonu” olarak bilinen bu fonksiyon, o dönemin matematik anlayışını derinden sarsmıştır. Bu örnek, süreklilik ile türevlenebilirliğin birbirinden tamamen farklı kavramlar olduğunu göstermiştir. Sonsuz sayıda dalga benzeri "kosinüs" fonksiyonunu bir araya getirerek bu fonksiyonu oluşturmuştur.  Ne kadar çok terim fonksiyona eklenirse, fonksiyon o kadar zikzak çizmiştir. Her noktada aniden yön değiştirerek sonsuza kadar devam eden tırtıklı bir testere dişi tarağı gibi bir görünüm vermiştir. Weierstrass fonksiyonu,  hiçbir süreksizliği olmamasına rağmen, asla türevlenebilir olmayacak bir fonksiyon olarak şüpheye yer bırakmayacak şekilde kanıtlanmıştır.

Weierstrass, güç serileri ve yakınsaklık (konverjans) üzerine de önemli çalışmalar yapmıştır. Güç serilerinin yakınsaklık özelliklerini sistematik biçimde incelemiş ve bu konuda birçok temel teorem geliştirmiştir. Bu çalışmalar, fonksiyonların davranışını anlamada büyük rol oynamıştır. Weierstrass’ın bilimsel üretkenliği oldukça yüksek olmuştur. Zamanında birçok makale kaleme almış ve eserlerinin önemli bir kısmı ölümünden sonra öğrencileri tarafından yayımlanmıştır. Başlıca eserleri arasında “Zur Theorie der Abel’schen Functionen” (Abel fonksiyonları teorisi üzerine, 1854), “Theorie der Potenzreihen” (Güç serileri teorisi) ve “Vorlesungen über die Theorie der Funktionen” (Fonksiyon teorisi üzerine dersler) yer alır.

1856 yılında Berlin’deki Krallık Politeknik Okulu’nda matematik öğretmeni olarak başladığı kariyeri, 1864’te ise Berlin Üniversitesi’nde profesörlüğe kadar yükselmiştir. Öğrencileri arasında Sofya Kovalevskaya, Georg Cantor ve Felix Klein gibi dönemin önde gelen matematikçileri bulunur. Derslerinde, matematikte kesinlik ve mantıksal düşünme ilkesini ön planda tutarak modern matematik anlayışının gelişimine büyük katkı sağlamıştır. Matematikte sezgiye dayalı biçimlere karşı net ve kesin tanımlar geliştirmiştir; özellikle süreklilik, limit ve yakınsaklık konularında tanımları popülerdir.

Karl Weierstrass, 19 Şubat 1897’de Berlin’de zatürreden ölmüştür. Arkasında, matematiğin en mantıksal ve en sağlam temeller üzerine kurulu dallarından biri olan modern analizin kalıcı mirasını bırakmıştır.

Bolzano–Weierstrass Teoremi, Weierstrass–Erdmann Koşulu, Weierstrass M Testi, Weierstrass–Casorati Teoremi, Stone–Weierstrass Teoremi, Weierstrass Eliptik Fonksiyonları, Weierstrass Fonksiyonları, Weierstrass Preparation Teoremi, Lindemann–Weierstrass Teoremi, Weierstrass Factorization Theorem, Weierstrass–Enneper Parametrizasyonu, Sokhotski–Plemelj Teoremi önemli bazı matematik çalışmalarıdır. 

Weierstrass'ın hayatı, bilimsel merak ve azmin bir örneğidir. Ailesinin beklentilerine karşı durarak, kendi ilgisini ve tutkusunu takip etmiş ve bu sayede matematiksel analiz alanına kalıcı katkılarda bulunmuştur. Onun hikayesi, bilimsel kariyerin sadece akademik başarılarla değil, aynı zamanda bireysel tutku ve kararlılıkla şekillendiğinin bir göstergesidir.

 

Kaynakça: Prof. Dr. Ali Sinan Sertöz, “Analizin Babası Karl Weierstrass,” Bilim ve Teknik, Ağustos 2017.

Leonardo Pisano Fibonacci

Leonardo Pisano Fibonacci yaklaşık 1170 yılında İtalya’nın Pisa kentinde doğmuş bir matematikçidir. Avrupa’da Pisalı Leonardo ya da Leonardo Bonacci olarak da tanınır. Babası Guglielmo Bonacci adlı bir tüccardır. Küçük yaşlarda annesini kaybetmiş babası ile beraber ticari seyehatlere çıkmıştır. Fibonacci, küçük yaşta Kuzey Afrika’da bulunmuş ve burada Hint-Arap sayı sistemiyle tanışmıştır. Yaşamı boyunca Akdeniz çevresindeki birçok ticari merkeze gitmiş, farklı hesap yöntemleri öğrenmiştir. Ölüm tarihi kesin olmamakla birlikte yaklaşık 1240-1250 yılları arasında Pisa’da öldüğü tahmin edilir. 

Fibonacci’nin en ünlü eseri 1202 yılında yayımlanan Liber Abaci adlı kitaptır. Bu kitap, Avrupa’da Hint-Arap rakam sisteminin (0 ile 9 arası rakamların oluşturduğu sembolik sayı sistemi) yayılmasına büyük katkı sağlamıştır. Kitapta Roma rakamlarının yerine geçebilecek yeni sistem, ticaret, muhasebe ve para birimi dönüşümleri gibi konularda kullanılmıştır. Ayrıca bu kitapta yer alan teorik bir tavşan problemi ile bilinen "Fibonacci dizisi" tanıtılmıştır. Bu dizi genellikle 0 veya 1 ile başlar ve sonrasındaki her sayı, kendinden önce gelen iki sayının toplamı şeklinde devam eder.  ve şu şekilde devam eder: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... Bu dizinin ardışık terimlerinin oranı giderek altın oran olarak bilinen yaklaşık bir sabite φ=1,61803.. değerine yaklaşır.

Liber Abaci, Leonardo'nun "dokuz Hint rakamı"nı tanıttığı bölümle başlar: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. Bu rakamlar, günümüzde kullandığımız rakamlarla büyük benzerlik gösterir. Leonardo, bu rakamları kullanarak daha büyük sayıları temsil etmenin yollarını gösterir. Eserde ayrıca Roma rakamlarını Hint-Arap rakamlarına dönüştüren bir diyagram da bulunmaktadır. Makale, Leonardo'nun eserin başında yer alan otobiyografik bir metni de sunmaktadır. Bu metinde, babasının kamu görevlisi olarak görev yaptığı Bugia'da (günümüz Cezayir'inde) geçirdiği yıllarda Hint-Arap sayı sistemini öğrendiğini ve bu bilgiyi İtalya'ya taşıyarak halkına öğretmek için Liber Abaci'yi yazdığını belirtmektedir.

Fibonacci, ayrıca arazi ölçümleri, alan ve hacim hesapları, karelerle ilgili denklemler gibi konularda da çalışmalar yapmıştır. Sayılarla işlem yapılmasını kolaylaştıran Hint-Arap sisteminin Avrupa’ya tanıtılması sayesinde ticaret, muhasebe ve bilimsel hesaplamalar gelişmiştir. Fibonacci dizisi ve altın oran günümüzde matematik, doğa bilimleri, mimari ve sanat gibi pek çok alanda önemli yer tutmaktadır.

Kaynakça: 

Grimm, Richard E. The Autobiography of Leonardo Pisano. The Fibonacci Quarterly 11[1973](1):99-10.

Sigler, Laurence E. Fibonacci’s Liber Abaci. New York: Springer, 2002.

Meryem Mirzakhani

İranlı kadın matematikçi Meryem Mirzakhani'nin vefatı bu alanda çalışma yapanları derinden etkiledi. Daha yakın zamanlarda Fields madalyasını alan ilk kadın matematikçi diye haberi yapılan Meryem Mirzakhani, kısa hayatının ardından dünyaya veda etmiştir. (Bkz. Fields Madalyası ve Meryem Mirzakhani) Mirzakhani, yaşamında matematiğin anlamı hakikaten bir film senaryosuna konu olacak cinsten anlamlıydı. Matematik çalışmaları ile bu dünyada manadar bir yer edinmeye çalışan Mirzakhani, bilim dünyasında yeterince tanınmış mıydı bilemiyoruz. Kadın olması hasebiyle belki de medyada ilgi gören biriydi Mirzakhani. Belki de İranlı olması Doğudan bir bilim insanı çıkmış olması Batı insanlarını bu kadar heyecanlandırmıştır. Daha önce de Mirzakhani'nin hayatı ve aldığı ödül ile ilgili bir yazıyı blogda paylaşmıştık. İlginin sebebinin şimdilik bilmiyoruz. Biz Meryem Mirzakhani'nin matematiksel yönü üzerinde düşünüp konu ile ilgili yazılmış bir köşe yazısına bakalım. Biz öğretmenlerin de bu biyografi üzerinde düşünüp, matematik ilgisi zayıf öğrencilerimize küçük anlamlı bir dokunuşla nasıl büyük dehalar ortaya çıkarabileceğimizi ve bilim dünyasına nasıl katkılar sunabileceğimizi farketmemiz yerinde olacaktır. 

"Üniversitede 151 ve 152 kodları ile okutulan matematik dersinin kitabı ‘calculus’ benim için bir kâbustu ama matematikçilere duyduğum hayranlığın da en büyük kaynağıydı. Bu yüzden matematikçilerin yaşam öykülerini okumaya bayılırım. Bu konudaki filmleri tekrar tekrar izlerim. ‘Oyun Teorisi’ ile ekonomi alanında Nobel Ödülü alan ünlü matematikçi John Nash’in hayatını anlatan ‘Beautiful Mind’ filmi mesela. Bir insan beyninin taşıdığı dehaya oynadığı oyunlar ile o dehanın verdiği mücadeleyi muhteşem yansıtıyordu. 2. Dünya Savaşı sırasında İngiltere’de Bletchley Park’ta Alman haberleşme kodlarını çözen matematikçileri anlatan ‘Enigma’ filmi de favorimdir. Bir de ‘Imitation Game: Enigma’ filmi... Bletchley Park’taki matematikçilerden Alan Turing’in yaşamına odaklanıyor. Benim favorilerimden biri Hindistan’da yoksul bir çocukken keşfedilen ve dünyanın sayılı matematikçilerinden biri haline gelen Srinivasa Ramanujan’ı anlatan 2015 yapımı ‘The Man Knows Everything About Infinity’ filmi. Türkiye’de ‘Sonsuzluk Teorisi’ olarak gösterilmişti. Öyle görünüyor ki yakında bu matematikçi biyografisi filmlerine yeni biri eklenecek: Meryem Mirzakhani

"15 Temmuz gündemi içinde bazı gazetelerde bir sütuna 10 santim haber oldu Meryem Mirzahani. Ne yazık ki 40 yaşında göğüs kanserine yenik düşerek öldüğü haberiydi bu... En son ABD’deki ünlü Stanford Üniversitesi’nde matematik profesörü olarak görev yapıyordu. Yaşam öyküsünü Quanta Magazine adlı bilim dergisinde okudum. İran’da 1977’de doğmuş, ilkokulu, ortaokulu ve liseyi, hatta üniversiteyi İran’da okumuş. İlkokuldan sonra gittiği ‘üstün yetenekliler okulu’nun ilk yılında matematik öğretmeninin motivasyonunu kıran tepkileri nedeniyle matematikten uzaklaşmış. Okumaya ve yazmaya yönelmiş. Okulun ilk haftasında tanıştığı ve yaşamı boyunca arkadaş olduğu (halihazırda St. Luis’teki Washington Üniversitesi’nde matematik profesörü olan) Roya Beheshti ile bütün boş vakitlerini kitapçılarda geçirmiş. Bulduğu, satın alabildiği her kitabı okumuş. Bir sonraki yıl matematik öğretmeni değişmiş ve yeni öğretmeni Mirzahani’yi teşvik etmiş. 1’den 100’e kadar olan ardışık sayıların pratik bir şekilde toplanmasını sağlayan ünlü Gauss kuralı da Meryem’in matematiğe bakışını değiştirmiş. Geometri ile yatıp kalkmaya, değişik yüzeylerin alanlarını hesaplamaya, teorileri ispatlamaya çalışmış. 1994’te arkadaşı Roya ile birlikte okul müdürünün kapısına dayanmış, “Biz Uluslararası Matematik Olimpiyatları’na (UMO) katılmak istiyoruz” demiş. Meryem’in bir söyleşisinde “Çok sağlam duruşlu biriydi” diye anlattığı okul müdürü başta tereddüt etmiş ama sonunda “Neden olmasın” diyerek iki öğrenci için UMO’ya başvurmuş. Meryem, 1994’te katıldığı olimpiyatlarda 6 testten 5’inden tam puan almış ve 41 puanla altın madalyayı hak etmiş. O yıl arkadaşı Roya ise 35 puan toplayarak gümüş madalyayı almış. Meryem bu başarısından sonra matematikle daha çok haşır neşir olmuş ve 1995 UMO’da testlerin tamamını hatasız yaparak 42 puan toplamış ve yine altın madalyayı İran’a götürmüştü.

Üniversite sonrasında birçok dâhi gibi ABD’ye gitmiş Meryem. Harvard, Princeton ve Stanford’da çalışmış. Ancak hayatını değiştiren, tarihe geçmesini sağlayan olay 2014’te yaşanmış. O tarihte 37 yaşında olan Meryem, dört yılda bir toplanan Uluslararası Matematikçiler Birliği’nin ‘Fields Madalyası’ ile ödüllendirilmiş. 40 yaş altındaki matematikçilere verilen ödülü alan 54’üncü bilim insanı olan Meryem, daha önceki 53 kişinin aksine bu ödülü alan ilk kadın olmuş. Bu ödülü kazanmasına neden olan çalışmaları anlatmaya benim zekâm ve donanımım yetmez. Eminim ilgilenenler internet ortamında çok daha ayrıntılı makaleler bulabilir. Ancak şunu söyleyebilirim; doğru eğitim ve motivasyon sadece çocukların değil, toplumların geleceklerini şekillendirir. Bazen küçük bir dokunuş, kritik bir karar çok şeyi değiştirir. Tıpkı, okul müdürünün verdiği o kritik karar gibi.  

Deniz Zeyrek-17/07/2017

http://hurriyet.com.tr/yazarlar/deniz-zeyrek/cok-ders-cikarilacak-bir-deha-hikayesi-40522168

Srinivasa Ramanujan

Srinivasa Ramanujan 1887 yılında Güney Hindistan’daki bir küçük kentte, pek varlıklı olmayan bir ailenin çocuğu olarak doğdu. Okul arkadaşları ile aynı şekilde matematik öğrenerek büyüdü, ancak kısa sürede onun bu alanda arkadaşlarından çok önde olduğu ortaya çıktı. Hatta matematiği çok sevdiğinden dolayı, diğer derslerine gereğinden az zaman ayırınca, derslerinde başarısız olunca yüksek eğitim şansını da kaybetti.

 

25 yaşına geldiğinde, Madras’ta evli ve düşük ücretle çalışan bir katipti. O zaman bile matematikle uğraşmaktan vazgeçmemişti. Defterleri yazdığı çok çeşitli denklemlerle dolu idi. Bu denklemler arasında pi sayısının yaklaşık çözümünü bulmakla ilgili olanlarda vardı. Ama kanıt göstermeye, yöntemlerini göstermeye gelince ortaya fazla bir şey çıkamıyordu. Hesaplıyor, teoriler üretiyordu ama bunları paylaşabileceği kimsede yoktu etrafında, kendi sayılar dünyasında yapayalnızdı.

Oktay Sinanoğlu

Oktay Sinanoğlu, 25 Şubat 1935 tarihinde İtalya’nın Bari şehrinde doğmuş, Türk kimya mühendisi, moleküler biyofizikçi, akademisyen ve bilim insanıdır. Babası Nüzhet Haşim Sinanoğlu’nun başkonsolos olarak görev yaptığı bu dönemde doğan Sinanoğlu, II. Dünya Savaşı’nın başlamasının ardından 1939 yılında ailesiyle birlikte Türkiye’ye dönmüştür. Eğitim hayatına Türkiye’de başlayan Sinanoğlu, 1953 yılında TED Ankara Yenişehir Lisesi’nden birincilikle mezun olmuştur. Aynı yıl Amerika Birleşik Devletleri’ne giderek Kaliforniya Üniversitesi, Berkeley’de kimya mühendisliği eğitimini tamamlamış ve 1957’de Massachusetts Teknoloji Enstitüsü’nde yüksek lisans derecesini almıştır. Yüksek lisans eğitimi sırasında "Sloan Ödülü"nü kazanmıştır. 1959-1960 yıllarında Berkeley’de teorik kimya alanında doktorasını tamamlayan Sinanoğlu’nun doktora danışmanı Kenneth Pitzer olmuştur. Berkeley'de 1959'da "Kuramsal Kimya" üzerine doktora yapan Sinanoğlu, iki yılda tamamladığı doktorası süresince ABD Atom Enerjisi Merkezi'nde araştırmalarda bulunmuştur.

 

1960 yılında Yale Üniversitesi’nde öğretim üyesi olarak akademik kariyerine başlayan Sinanoğlu, 1 Temmuz 1963 tarihinde kimya alanında 26 yaşında tam profesörlük unvanını alarak, Yale Üniversitesi tarihinin en genç tam profesörü olmuştur. Orta Doğu Teknik Üniversitesi (ODTÜ) mütevelli heyeti 1962'de, yalnızca Oktay Sinanoğlu'na mahsus olmak üzere "Danışman Profesör" ünvanını vermiştir. Sinanoğlu, 2 yıl sonra, 1963'te "dünyanın en genç profesörü" ünvanını kazandı ve New York Times gazetesinde "28 yaşında Yale'in en genç kimyacısı" haberiyle adından söz ettirmiştir. 1964 yılında Yale Üniversitesi’nde teorik kimya bölümünü kurmuş ve burada atom ve moleküllerin çok-elektron teorisi, çözgeniter teorisi, kimyasal tepkime mekanizmaları teorisi, mikrotermodinamik ve değerlik kabuğu etkileşim teorisi üzerine önemli çalışmalar gerçekleştirmiştir. 

Büyük Matematikçi Ömer Hayyam

ÖMER HAYYAM (Ebul Feth Ömer bin İbrahim; Ömer Hayyam da denir), İranlı şair ve bilgin (Nişapur 1044.ay.y 1123/1136). Hayatı, gençlik yılları kesinlikle bilinmiyor. Elde bulunan eserlerinden, hayatıyla ilgili olayları anlatan bazı kitaplardan, mantık, felsefe, matematik ve astronomi konularında çalıştığı, bu alanlarda düzenli bir öğrenim gördüğü anlaşılmaktadır. Hayyam (”Çadırcı”) takma adını, atalarının çadırcılık yapmaları yüzünden aldığı söylenir. Ömer Hayyam, zamanında daha çok bilgin olarak ün kazandı. İran’ın, Selçuklular yönetiminde olduğu bir çağda yetişen Hayyam, Horasan ülkesindeki büyük şehirleri, Belh, Buhara ve Merv gibi bilim merkezlerini gezdi, birara Bağdat’a da gitti. Zamanının hükümdarlarından, özellikle selçuklu sultanı Melikşak ve Karahanlılardan Şemsülmülk’ten büyük yakınlık gördü. Saraylarında, meclislerinde bulundu. Reşidüddin’in “Cami-üt-Tevarih” adlı eserinde anlattığına göre Nizamülmülk ve Hasan Sabbah, Ömer Hayyam ile okul arkadaşıydılar. Gerek Hayyam’ın zamanında, gerek sonraki çağlarda yazılan kaynaklarda, çağının bütün bilgilerini edindiği, o alanlarda derin tartışmalara girdiği, medresede fıkıh, ilahiyat, kıraat, edebiyat, tarih, fizik ve astronomi dersleri verdiği, astronomi ve matematik çalışmaları yaptığı yazılıdır. Güneş yılını esas alan, Melikşah döneminde hazırlanan, Celali takvimlerinin oluşturulmasında heyet çalışmalarında bulunmuştur.

Matematik Fields Madalyası (Meryem Mirzakhani)

"Fields Madalyası’nı alan ilk kadın matematikçi, İranlı Maryam Mirzakhani’nin yaşamını, hiperbolik geometri çalışmalarını ve ödülün tarihini araştırdık.Matematiğin “Nobel”i olarak bilinen Fields Ödülü, matematik alanında sıra dışı çalışmalar yapan ve matematiğin geleceği hakkında söz sahibi olacağı düşünülen bilim insanlarına her dört yılda bir verilen bir ödül.

Ödülün hikayesi

Fields Madalyası’nın ön yüzünde Arşimet’in siması ve Arşimet’in sözü “Kendi ayaklarının üzerinde dur ve dünyayı yakala!" bulunuyor. Arka yüzünde ise "Tüm dünyadan gelip burada toplanan matematikçiler mükemmel çalışmaları takdir ediyorlar" yazıyor.
Fields Madalyası Komitesi, IMC yönetim kurulu tarafından belirleniyor. Ödül komitesinin başkanı dışındaki bileşimi ödül töreninin yapılacağı tarihe kadar gizli tutuluyor.
Aslında Fields için "matematiğin Nobel'i" tariflemesini birçok matematikçi beğenmiyor. Nobel ödül başlıkları arasında matematiğin neden yer almadığıysa başlı başına bir tartışma. Söylentiye göre gerçek sebep, Nobel ödüllerini başlatan Alfred Nobel'le İsviçreli matematikçi Mittag-Leffler arasındaki kişisel husumetmiş.

 

Uluslararası Matematikçiler Kongresi 1897 yılında ilk kez Zürih’te düzenlendi ve I.Dünya savaşı nedeniyle ara verilene kadar devam etti. Uluslararası Matematikçiler Kongresi’nin devam ettirilmesi niyetiyle 1923 yılında Uluslararası Matematikçiler Birliği (IMC) kuruldu. 1924 yılında Almanların dışarıda bırakılıp bırakılmaması tartışmalarıyla birlikte Toronto’da düzenlenen kongrenin sekreterliğini Kanadalı matematikçi John Charles Fields yaptı. Bu kongrede alanında sıra dışı çalışmalar yapan iki matematikçinin altın madalya ile ödüllendirilmesi kararı alındı. Bu ödülün verilmesi için fon kurulması sağlayan ve bu fona bağış yapan J.C.Fields onuruna ödülün ismi de Fields Madalyası oldu.

Matematik alanında yaşanan büyük sıçramalar nedeniyle 1966 yılında ödül verilebilecek kişi sayısı 4’e kadar çıkarıldı. Ödülün koşulları arasında, matematiğe yapılan istisnai katkının yanısıra, adayların 40 yaşını doldurmamış olması da var.

Hangi ülkeler matematikte öne çıkıyor?

Şu ana kadar toplam 58 matematikçi bu ödüle layık görüldü. Bunlar arasında en genci 27 yaşındaki Jean Pierre Serre’di. Eward Witten ise ödülü alan ilk matematiksel fizikçi olmuştu.

En fazla Fields madalyası alan ülke 12 madalyayla ABD. İkinci ülke ise 9 madalya ile SSCB – ancak bu matematikçilerin çoğu SSCB’de okuduktan veya doktora yaptıktan sonra, ülkeyi terketmişler. ABD ve Sovyetler’i Fransa ve İngiltere takip ediyor.

Fields Madalyası bu yıl Brezilyalı Artur Avila (Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada), Kanadalı ve ABD’li Manjul Bahrgava (Princeton Üniversitesi), Avusturyalı Martin Hairer (Warwick Üniversitesi) ve İranlı Maryam Mirzakhani’ye verildi.

Ödül ile ilgili olarak en dikkat çeken nokta şüphesiz bu ödülü ilk kez bir kadın matematikçinin, Maryam Mirzakhani’nin almasıydı. 37 yaşındaki Mirzakhani, ödülü alan ilk kadın olmasının yanında, ilk İranlı matematikçi de oldu. Avila ve Hairer de ödülü alan sırasıyla ilk Brezilyalı ve Avusturyalı matematikçiler.

Tahran’da yetişen yetenek: Maryam Mirzakhani

Tahran’da doğup büyüyen Mirzakhani, okuduğu okulun kitapçıların yoğun olduğu sokağa yakın olması nedeniyle ebebiyata merak saldığını, eline ne geçerse okuduğunu ve yazar olmak istediğini söylüyor. Ortaokulu bitirdiği yılların İran-Irak savaşının (1980-88) bittiği yıllara denk geldiği için kendini şanslı görüyor: “10 yıl önce doğmuş olsaydım o dönem sahip olduğum fırsatları bulamazdım”. Nitekim 1987’de İran, sıradışı yetenekli çocuklara dönük bir okul projesi (NODET) başlatıyor ve Mirzakhani de bu liselerde eğitim görüyor.

 

Mirzakhani, matematiğe ilgisinin gelişmesinde onun bilimle uğraşmasını isteyen ağabeyinin katkısını vurguluyor. Bir gün ağabeyi 1’den 100’e kadar olan sayıların toplamının Gauss tarafından nasıl hesaplandığını anlatıyor. Bu olay Mirzakhani’yi çok etkiliyor: "İlk kez, çözümü kendim bulamamış olsam bile, güzel bir çözümden zevk almıştım.”

Matematiğe ilgisi yoğunlaşan Mirzakhani 1994’te Hong-Kong, 1995’te Toronto’da düzenlenen Uluslararsı Matematik Olimpiyatlarında kazadığı altın madalyalar ile tanınan zeki bir genç oldu.

Mirzakhani, lise eğitimini NODET’te tamamladıktan sonra matematik lisansını Tahran’da bir kamu üniversitesi olan Şerif Teknoloji Üniversitesi’nden, doktorasını ise 2004 yılında kendisi de Fields madalyası sahibi Curtis McMullin danışmanlığında Harvard Üniversitesi’nden aldı. Şu anda Stanford Üniversitesi’nde profesör olarak çalışıyor.

Riemann yüzeyleri: simit ve kupanın ortak yanları

Mirzakhani, geometri ve dinamik sistemler alanında çok önemli katkılar yaptı. Riemann yüzeyleri ve onların modüli uzayları hakkında çalışmaları hiperbolik geometri, topoloji, dinamik sistemler, kompleks analiz gibi matematiğin farklı disiplinleri arasında bir köprü işlevi görmektedir.

Riemann yüzeyleri adını 19.yy’da soyut yüzeylerin önemini anlamaya çalışan Bernard Reimann’dan almıştır. Yüzeyler sahip oldukları delik (genus) sayısı ile topolojik olarak sınıflandırılabilirler. Örneğin küre genus 0, simit genus’ı 1 olan bir yüzeydir. Burada topolojik olarak sınıflandırmadan kastedilen kahve kupası ile simit’in aynı şeyi ifade etmesidir. İkisi de genus’ı 1 olan topolojik nesnelerdir.

Bir yüzey üzerinde geometrik bir yapı ile tariflenirse Riemann yüzeyi adını alır. Bu yapı kompleks bir yapı olabilir. Bunun anlamı soyut yüzeyler üzerinde kompleks analiz metotlarının uygulanabilir olmasıdır. Her kompleks eğrinin cebirsel bir eğri olması, yani belirli sayıda polinomun sıfırları olarak ifade edilebilir olması, Reimann yüzeyleri ile cebirsel geometri arasındaki ilişkinin varlığını oluşturmaktadır. Yani Riemann yüzeyleri, üzerinde kompleks analiz yapılan analitik nesneler olmanın yanında, polinomlar tarafından verilen cebirsel bir ifadeye de sahiptir.

Riemann yüzeylerini tanımlamanın bir alternatif yolu da uzunluk, açı, alan hesaplamaları yapabileceğimiz hiperbolik geometrinin tariflenmesidir. Hiperbolik geometri öklidyen geometriden farklıdır. Öklid geometrisinde bir doğruya kendi üzerinde olmayan bir noktadan ancak bir tane paralel doğru çizilebilir. Hiperbolik geometrideyse, verilen bir doğruya paralel ve bu doğru üzerinde olmayan bir noktadan geçen birden fazla doğru olabilir. Hiperbolik geometrinin öncülüğünü Bolyai, Lobatchevski ve Gauss yapmıştır. Riemann yüzeylerinin zenginliğinin temeli üzerindeki kompleks-cebirsel yapı ile hiperbolik yapının denk olmasıdır.

Mirzakhani’nin ilk dönemki çalışmaları Riemann yüzeyleri üzerindeki kapalı, uzunlukları deformasyonla değişmeyen eğriler (İng. “closed geodesic”) konusunda olmuştur. Riemann yüzeyleri üzerinde uzunluğu belirli bir L sayısının altında olan jeodeziklerin (İng. “geodesic”) sayısı “jeodeziklerin asal sayısı teoremi”yle ifade edilmiştir. Çok büyük L’ler için bu sayı asimptotik olarak exp(L)/L olarak verilmiştir.

Mirzakhani bu kapalı eğrilerin basit, kendilerini hiç kesmeyen tipleri için asal sayı teoremine odaklandı ve bu durumun basit kapalı eğriler için farklı olduğunu gösterdi. Basit kapalı eğriler durumunda bu sayı üstel olarak olarak artmamakta, tam olarak L’nin 6g-6’ncı kuvveti ile verilmektedir. Buradaki g sayısı Riemann yüzeyinin genusudur. 6g-6 sayısı bu formülde gizemli bir ifade gibi durmaktadır. Aslında bu sayı Riemann yüzeylerinin modüli uzaylarının boyutunu vermektedir. Bu durum genel olarak modüli uzayın geometrik yapısında dair çok fazla bilgi sunmamakla birlikte Mirzakhani ve McShane’nin çalışmaları modüli uzaylar üzerinde hacim hesaplamaları ile basit kapalı eğrilerin sayısı hakkında ilişkinin varlığını ortaya çıkardı.

Mirzakhani: karmaşık uzayların fatihi

Mirzakhani’nin bakış açısı, sicim teorisinin öncülerinden ve Fieldslı Edward Witten’in, eğrilerin modüli uzayları üzerindeki kesişme sayıları üzerine ortaya attığı Witten sanısının yeni ve beklenmedik bir ispatının verilmesini sağladı. Yine Fields sahibi Kontsevich 1992 yılında Witten sanısını ispatlamıştı, ancak Mirzakhani, modüli uzaylar üzerindeki bu sanıyla Riemann yüzeyleri üzerindeki basit kapalı jeodeziklerin sayılması arasında bir ilişkinin varlığını gösterdi.

 

Son yıllarda Mirzakhani modüli uzayların diğer geometrik özellikleri üzerine çalışmalarını yoğunlaştırdı. Modüli uzaylar üzerindeki dinamik sistemleri (zamana bağlı olarak gelişen-değişen sistemler) çalıştı ve Fields Madalyası sahibi William Thurston tarafından ortaya atılan deprem akışı (İng. “earthquake flow”) sisteminin “kaotik” olduğunu ispatladı.

Mirzakhani ayrıca Alex Eskin ve Amir Mohammadi ile birlikte modüli uzaylar üzerindeki başka dinamik sistemleri de çalıştı. Kapalı olmayan (İng. “non-closed”) jeodeziklerin modüli uzaylar üzerindeki davranışları son derece düzensiz ve bunların yapıları hakkında bilgi edinmek zor. Buna karşın Mirzakhani, kompleks jeodeziklerin ve onların cebirsel kapanışlarının düzensiz veya fraktal olmak yerine düzenli olduklarını ispatladı. Yani kompleks jeodeziklerin analiz diferensiyel geometri açısından transendental özelliğe sahip olmalarına karşın kapanışlarının cebirsel yani polinomlar yardımıyla tarifelenebilir oldukları anlaşıldı. Bu çalışması alanın uzmanı matematikçiler tarafından övgüyle karşılandı. Zira bu çalışmalar, homojen uzaylar üzerindeki dinamik sitemlerin sahip olduğu katılığın, heterojen bir yapı olan modüli uzaylar üzerindeki dinamik sistemler için bir karşılığının olmadığını göstermiş oldu.

Heterojen yapısı ve karışıklığı nedeniyle modüli uzaylar üzerine doğrudan çalışmak imkansız gözükmekteydi. Fakat Mirzakhani etkili çalışmasıyla bu yargıyı boşa çıkardı."

 http://bilimsol.org/bilimsol/matematik/maryam-ve-karmasik-uzaylari

Kaynaklar:

Carl Riehm, 2007, “The Early History of the Fields Medal”, http://www.ams.org/notices/200207/comm-riehm.pdf
http://www2.maths.ox.ac.uk/cmi/library/annual_report/ar2008/08Interview.
http://www.mathunion.org/general/prizes/2014/prize-citations/
http://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/2014/news_release_mirzakhani.pdf

Not: (16/07/2017) Matematiğin Nobeli olarak anılan Fields ödülünü kazanan ilk kadın olarak tarihe geçen İranlı matematikçi Meryem Mirzakhani, 40 yaşında meme kanseri nedeniyle hayatını kaybetti. Kanserin Mirzakhani'nin kemiklerine kadar yayıldığı belirtildi. ABD'de yaşayan ve çalışan Mirzakhani, çalışmalarında özellikle hiperbolikgeometri, ergodik teori, simplektik geometri ve Teichmüller teorisine odaklanıyordu. http://www.bbc.com/turkce/amp/haberler-dunya-40619607