Eratosthenes Kalburu

Etiketler : hayatımız matematik matematik sayılar setup yazılım

Eratosthenes, MÖ 276-194 yılları arasında yaşamış olan Yunan matematikçi, astronom, coğrafyacı ve bilim insanıdır. Bilim tarihinde özellikle matematik, astronomi ve coğrafya alanlarında yaptığı çalışmalarla önemli bir yere sahip olmuştur. İskenderiye Kütüphanesi’nin yöneticiliğini de yapmış olan Eratosthenes, Dünya’nın büyüklüğünün belirlenmesine yönelik gerçekleştirdiği ölçümle bilim tarihinde önemli bir başarı elde etmiştir. Bunun yanı sıra asal sayıların belirlenmesinde kullanılan ve günümüzde “Eratosthenes Kalburu” olarak adlandırılan matematiksel yöntemi geliştirmiştir.

Eratosthenes’in en önemli çalışmalarından biri, Dünya’nın çevresini geometrik yöntemlerden yararlanarak hesaplaması olmuştur. Bu hesaplamada Güneş ışınlarının farklı konumlardaki geliş açıları ile bu ışınların oluşturduğu gölgelerden yararlanmıştır. Yöntemin temelinde, Dünya’nın küresel bir yapıya sahip olduğu kabulü ile iki farklı noktadaki Güneş ışınlarının geliş açıları arasındaki ilişkinin Dünya’nın çevresiyle ilişkilendirilmesi bulunmaktadır. Hesaplamada Eratosthenes, Mısır’daki Asvan ile İskenderiye arasındaki Güneş ışınlarının geliş açılarında meydana gelen farklılıktan yararlanmıştır. Yaz gündönümü sırasında Asvan’da öğle vakti Güneş’in gökyüzünde çok yüksek bir konumda bulunduğu ve Güneş ışınlarının dik bir biçimde yüzeye ulaştığı belirtilmiştir. Bu nedenle dikey bir çubuğun veya kuyunun tabanının Güneş ışınları tarafından doğrudan aydınlatılabildiği görülmüştür. Buna karşılık aynı tarihte İskenderiye’de Güneş’in tam tepede bulunmadığı ve dikey olarak yerleştirilen bir çubuğun gölge oluşturduğu gözlemlenmiştir. Eratosthenes’in bu gölgenin uzunluğunu ve çubuğun yüksekliğini kullanarak Güneş ışınlarının düşey doğrultuyla oluşturduğu açıyı hesapladığı kabul edilir.

Teorik olarak Güneş ışınlarının düşey doğrultu ile yaptığı bu açının yaklaşık 7,2° olduğu kabul edilmiştir. Dünya’nın tam bir çember olarak 360° olduğu düşünüldüğünde, 7,2°’lik açı Dünya çevresinin 50’de 1’ine karşılık gelmektedir. Bu ilişki, 360 / 7,2 = 50 şeklinde ifade edilmiştir. Böylece Asvan ile İskenderiye arasındaki mesafenin Dünya’nın toplam çevresinin yaklaşık 1/50’sine karşılık geldiği sonucuna ulaşılmıştır. Eratosthenes’in iki şehir arasındaki mesafeyi yaklaşık 5.000 stadion olarak kabul etmiştir. Kullanılan stadionun uzunluğu konusunda tarihsel belirsizlik bulunduğundan, bu ölçünün günümüz kilometre birimine dönüştürülmesinde farklı sonuçlar ortaya çıkabilmektedir. Stadionun uzunluğu 157,7 m kabul edilirse yaklaşık 157,7*5000=788500 m = 788,5 kilometrelik bir dönüşüm esas alınmış olur böylece Dünya’nın çevresi, 788,5 × 50 = 39.425 km olarak hesaplanmış olur. Günümüzde ekvator çevresi yaklaşık 40.075 km kabul edildiğine göre sonuç yaklaşık %1,6 oranında farklıdır.  Bu değerlerle karşılaştırıldığında Eratosthenes’e atfedilen hesaplamanın oldukça başarılı olduğu görülmektedir. 

Eratosthenes’in Mısır’da gerçekleştirdiği ölçümlerin, Ptolemaios Hanedanı döneminde yürüttüğü bilimsel çalışmalar kapsamında gerçekleştirildiği bilinmektedir. Ancak bu çalışmanın doğrudan Ptolemaios III tarafından desteklendiği mevcut bilgilere göre kesin olarak söylenemez.  Eratosthenes’in hesaplamasının temelinde günümüzde kullanılan trigonometriye benzer geometrik ilişkiler bulunmaktadır. Bununla birlikte, modern anlamda trigonometri henüz sistematik bir bilim dalı hâline gelmemiş olduğundan, yöntemin doğrudan modern trigonometriyle aynı şekilde uygulandığı söylenemez. Eratosthenes yöntemi anlayışı, sonraki dönemlerde gök cisimlerinin konumlarını ve yüksekliklerini belirlemek amacıyla kullanılan usturlap gibi astronomik araçların geliştiği ölçüm geleneğiyle aynı bilimsel düşünce çerçevesinde değerlendirilmiştir. 

Eratosthenes, asal sayıları hızlı bir şekilde belirlemek için bir algoritma oluşturmuştur. "Eratosthenes kalburu" adı verilen bu yöntem; asal sayıların sistematik ve hızlı bir biçimde belirlenmesini sağlayan klasik algoritmalardan biridir. Bu yöntemde, bir sayı kümesindeki asal olmayan sayılar eleme yoluyla belirlenir. Algoritma 2 den başlar, 1 asal değildir. İlk adımda 2'den başlayarak sırasıyla tüm katları çıkarılarak elenir ve bu şekilde tüm asalların katları elenir. Sonunda elenmeden kalan sayılar asal olarak kabul edilir. Bu basit ve etkili yöntem, asal sayıları belirlemede yaygın olarak kullanılmaktadır. 

Eratosthenes'in keşfi, asal sayıları hızlı ve verimli bir şekilde belirlemede oldukça kullanışlıdır. Bu algoritma, bilgisayar biliminde yaygın olarak kullanılmaktadır. Eratosthenes kalburu, asal olmayan sayıları hızla eleme yöntemiyle çalışır ve belirli aralıklardaki sayılar üzerinde de etkili bir şekilde işlev görür. 

Eratosthenes kalburu yoluyla asal sayıları bulmak için aşağıdaki adımlar sırayla izlenir:

1) İlk olarak, istenen belirli bir aralık içindeki sayıları bir liste şeklinde sıralarsınız. Örneğin 1 den 100'e kadar olan sayılardan asal olanları bulmak istiyorsak bütün bu sayılar sıralanır.

2) Listenin ikinci elemanından itibaren başlayarak, her bir sayının katlarından başlayarak listeden çıkartırsınız. Örneğin, listemizde ikinci sayı 2 olduğundan tüm 2'nin katı olan sayıları listeden çıkarırsınız. Geriye sadece tek sayılar ve 2 elemanı kalır.

3) Her seferinde bir sonraki elemandan başlayarak işlemi tekrar ederek, liste üzerinde ilerlenir. En sonunda elenmeden kalan sayılar asal sayı olur. (Listede 2 sayısının katları elenir. Sonra 3 sayısına geçirip bunun katları tek tek elenir. Sonra 5 sayısına geçilip bunun katları elenir. Bu şekilde sırayla devam edilir.)

4) İşlem sonucunda listenin son elemanına ulaşıncaya kadar devam edilir. Elenmeden kalan sayılar asal sayılardır.

Örneğin n = 100 için işlem tamamlandığında 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 ve 97 sayıları asal olarak kalır.

Yazılım algoritması yardımıyla aşağıdaki işlem adımları ile elde edilir. 

1. adım: 2’den belirlenen bir n tamsayı değerine kadar ardışık tamsayılardan bir liste oluşturun. (n=100 olsun)

2. adım: Başlangıçta en küçük asalsayı olan 2’yi alarak işleme başlayın. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15,... Oluşturulan listeden 2’nin tüm tam katlarını bulup (4,6,8,10,12,…) işaretleyerek listeden çıkarın.

3. adım: İşaretlenmemiş bir sonraki sayıyı alın, örneğin 3 ve tüm tam katlarını (6,9,12,15,18,....) işaretleyip bunları listeden çıkarın. 

4. adım: Aynı işlemlere 3.adımı algoritma sonlanana kadar tekrarlayarak devam edin. Tümsayılar işaretlenmişse veya bir sonraki işaretlenmemiş sayı artık bulunamıyorsa durun. 

5.adım: Listede işaretlenmemiş olarak kalan sayılar, n=100 tamsayısına kadar olan tüm asal sayılar bulunmuş olur. Artık İşlem tamamlanmıştır. Kalan asal sayıları yazarak işlemi bitirin.

Bu eleme yöntemi, asal sayıları belirlemek için oldukça etkili ve hızlı bir yöntemdir. Eratosthenes kalburu, küçük aralıklardaki asal sayıları bulmak için yaygın olarak kullanılan bir algoritmadır. Büyük aralıklarda bu yöntem, matematik ve bilgisayar bilimlerinde temel bir konsept olup, bugün bile önemini korumaktadır. Eratosthenes Kalburu özellikle belirli bir üst sınıra kadar olan asal sayıların topluca bulunmasında kullanışlıdır. Çok büyük sayılarda daha gelişmiş yöntemler tercih edilebilir. Eratosthenes'in bu akıllıca icadı, sayı teorisindeki gelişmelere katkı sağlamıştır.