sin²x+cos²x=1 özdeşliği ispatı

Birim çember üzerinden gösterilen en temel trigonometrik özdeşlik sin²x+cos²x=1 farklı bir bakış açısıyla çemberdeki açılar yardımıyla da gösterilebilinir. Aynı yayı gören çevre açıların ölçüleri birbirine eşittir. Buna göre Şekildeki sarı renkle gösterilen yayı gören açıların ölçüleri birbirine eşittir. Bu eşit ölçülü açıların tanjant değerleri yazılıp birbirine eşitlendiğinde trigonometrinin en temel özdeşliği olan sin²x+cos²x=1 özdeşliği elde edilmiş olur.

Normalde bu trigonometrik özdeşlik çember üzerindeki herhangi bir noktanın apsis ve ordinatları açı cinsinden yazıldıktan sonra pisagor teoremi yardımıyla gösteriliyordu. Burada sadece aynı açıların eğimleri (tanjant oranları) gösterilerek pisagor teoremine gerek kalmadan ispatlama yapılmıştır.

Tanjant Teoremi ve İspatı

Bir ABC üçgeninde iç açılar; A, B, ve C olmak üzere bunlardan B ve C açıları ve bunlara ait kenar uzunlukları verildiğinde b>c olmak üzere kenar uzunlukları ve açılar arasında taanjant teoremi uygulanır. Buna göre kenarların farkının kenarların toplamına oranı, bu kenarların ait olduğu açıların farkının yarısının tanjant değeri ile bu açıların toplamlarının yarısının tanjant değerine bölümü aynı oranı verir. 

Teoremin ispatı yapılırken çemberde açıların özelliklerinden yararlanılabilir. Buna göre bir ABC üçgeni için A köşesini merkez kabul eden [AB] kenarını da yarıçap kabul eden bir çember çizilir. Buna göre uygun açılardan yararlanılarak teorem ispatlanır. (Bknz: Çemberde Açılar)

Çemberde Açı Özellikleri

Çemberde Açı Özellikleri anlatılırken, merkez açı, çevre açı, teğet kiriş açı, iç açı ve dış açının her birine ait özellikler madde madde verilmiş ardından ilgili maddenin açıklamaları ve şekilleri çizilmiştir.

1. Bir çemberde iki küçük yayın eş  olması içi gerekli ve yeterli koşul, bu yayların merkez açılarının eş olmasıdır. 
2. İki teğet arasında kalan yayın ölçüsü ile açının ölçüsü bütünlerdir .Yani ölçüleri toplamı 180 derecedir.
3. Köşesi çemberin dış bölgesinde ve kenarları çemberin keseni veya teğeti olan açıya, çemberin  dış açısı denir. Bir çemberde bir dış açının ölçüsü, gördüğü yayların ölçüleri farkının yarısına eşittir. 
4. Bir çemberin iç bölgesinde kesişen iki kirişin oluşturduğu açıların her birine, çemberin iç açısı denir. Bir çemberde bir iç açının ölçüsü, gördüğü yayların ölçülerinin  toplamının yarısına eşittir.
5. Paralel kirişler arasındaki yayların ölçüleri birbirine eşittir.
6. Köşesi çemberin merkezinde olan ve ışınları çemberi iki noktada kesen bir açıya  merkez açı denir. Merkez açının ölçüsü gördüğü yayın uzunluğunun yarıçapının uzunluğuna oranına eşittir. 
7. Köşesi çember üzerinde olan ışınları çemberi diğer iki noktada kesen bir açıya çevre açı denir. Bir çevre açının ölçüsü, aynı yayı gören merkez açının ölçüsünün yarısına eşittir. 
8. Çapı gören çevre açısının ölçüsü 90° dir. 
9. Köşesi çember üzerinde olan ve bir kiriş ile bir teğetin belirlediği açıya   teğet – kiriş açısı  denir. Bir teğet – kiriş açısının ölçüsü, aynı yayı gören merkez açının ölçüsünün yarısına eşittir.
10. Bir çemberde, aynı yayı gören teğet – kiriş açıları ile çevre açılarının ölçüleri birbirine eşittir. 
11. Bir çemberde, aynı yayı gören teğet – kiriş açıların ölçüleri eşittir.