Binom Teoremi ve İspatı

Tarihte Çin ve Hint aritmetiğinde kullanıldığı düşünülen binom teoremi ilk defa sistemli bir şekilde Ömer Hayyam (1044-1123) tarafından kullanılmştır. 

Olasılık kuramı ve istatistik bilim kollarında, binom dağılımı n sayıda iki kategori (yani başarı/başarısızlık, evet/hayır, 1/0 vb) sonucu veren denemelere uygulanır. Araştırıcının ilgi gösterdiği kategori başarı olarak adlandırılır. Bu türlü her bir deneyde, bağımsız olarak, başarı (=evet=1) olasılığının p olduğu (ve yalnızca iki kategori sonuç mümkün olduğu için başarısızlık olasılığının (1 - p) olduğu) bilinir. Bu türlü bağımsız n sayıda denemeler serisi içinde elde edilen başarı sayısının ayrık olasılık dağılımı, binom dağılım olarak tanımlanır. Bir binom dağılım sadece iki parametre ile yani n ve p ile tam olarak tanımlanır.

Hayyam (Makala fi’l-cebr ve’l-mukabele)

Pascal Özdeşliği (Hayyam Üçgeni) İspatı

Pascal özdeşliği veya Pascal üçgeni (Hayyam üçgeni) olarak isimlendirilen bu kavramlar; aralarında Ömer Hayyam’ın da bulunduğu Hint, Çin ve İslam medeniyetlerindeki matematikçi ve düşünürler tarafından Pascal’dan çok önceleri ele alınmış ve incelenmiştir.

Blaise Pascal ve Tanrı İnancı

Blaise Pascal, Fransız matematikçi ve filozofudur. 30 yıl savaşlarının kargaşalı döneminde Clermont’ta dünyaya gelmiştir. Babası kraliyet danışmanıydı. Bu sosyal konumu, aileye maddî meselelerden uzak bir hayat sağlıyordu. Blaise üç yaşındayken annesini kaybetti ve yetişmesini ablası üstlendi. 1631 yılında babası yüksek makamını devretti ve ailesi ile birlikte, bütün zamanını ilmî meraklarına ve çocuklarını yetiştirmeye harcayabilmek için, Paris’e taşındı. Titizlikle hazırlanmış olan ders plânı, eski diller ve gramer ağırlıklıydı. 12 yaşına kadar Latince ve Yunanca’yı öğrenmiş bulunuyordu. Pascal da babası gibi dindardı. Matematik dersi almayan 12 yaşındaki Blaise, bir gün, matematiğin ne olduğunu sorarak babasını şaşırttı. Bu bilimin, meselâ şekillerin doğru çizilmesine yaradığı cevabı, çocuğu döşemeye geometrik şekiller çizmeye itmişti. Bilimsel ifadeleri henüz bilmediği için kendisinin verdiği adlardan yararlanıyordu: Ona göre daire “yuvarlak”, doğru da “çubuk”tu. Babası birkaç ay sonra bu tuhaf şekillerin ne anlama geldiğini sorduğunda, bu çocuğun daha önce hiç okumamış olmasına rağmen Öklid Geometrisindeki ilk 32 teoriyi bildiğini şaşkınlıkla gördü.

 

Blaise ilk ilmî eserini 16 yaşındayken yazdı ve bununla elips, parabol ve hiperbolü bir ve aynı dairenin projeksiyonları olarak görülebileceğini ispatladı. Böylelikle, farkında olmadan, konik kesitler öğretisini kurmuştu. Büyük fransız filozofu Descartes (1596-1650) mantık ve derin matematik bilgisi izlerini taşıyan bu makalenin 16 yaşındaki bir genç tarafından yazılmış olduğuna inanmak istememişti. Genç Pascal bundan bir kaç yıl sonra daha da şaşırtıcı olan başka bir öncülük yaptı. Haftalarca süren bir çalışmanın sonucunda sayı silindirleri ve sayaçlardan oluşan karmaşık bir sistemin yardımıyla sekiz haneli sayılara kadar toplama işlemi yapmayı mümkün kılan bir alet tasarladı ve gerçekleştirdi. Bu elbette ilk karmaşık hesap makinesiydi.

Bir fizik problemi ilgisini çektiğinde Pascal 24 yaşındaydı. İtalyan fizikçi Torricelli (1608-1647) atmosferin varlığını keşfettiğini düşünüyordu. Ama henüz ikna edici bir delil bulamamıştı. Pascal hırsla bu hava kılıfının varlığını deney yoluyla inandırıcı bir şekilde ispatlamaya çalıştı. Eğer Toricelli haklıysa, ki Pascal buna inanıyordu, o zaman üstteki hava tabakasının ağırlığı azalacağından, yükseklerdeki hava basıncının düşmesi gerekiyordu. Torricelli barometresiyle, dağ tepelerinde deneyler yaparak bunu gösterdi ve dünyanın bir hava çemberiyle çevrili olduğunu kanıtladı. Daha sonraki deneylerinde fiziksel “iletişen tüpler yasası”nı “hidrostatik paradoksu”nu ve bir “hidrolik basınç ilkesi”ni geliştirmiştir. Yine yazı-tura oyununu matematik yönünden inceleyerek, ihtimal hesapları teorisini ortaya çıkarmıştır. Pascal, daha sonraları giderek ilahiyat ve felsefe konularına yöneldi, dünyayı hor görmeye başladı. Blaise Pascal, 1654 yılında faytonunun atları ürkünce ağır bir kaza geçirdi ve ölümün eşiğinden döndü. Bu olaydan sonra büsbütün dine sığındı. Chateaubrand, Pascal için şöyle diyor: “Bir adam vardı, on iki yaşında çizgiler ve dairelerle bir matematik inşa etti, onaltı yaşında eskiçağlardan beri koniler üzerine yazılan eserlerin en iyisini yazdı; ondokuz yaşındayken tümüyle kafada kalan bir bilimi makine haline soktu; yirmi üç yaşında havanın basıncını göstererek eski fiziğin en büyük yanılgılarından birini ortadan kaldırdı. Öteki insanların henüz adam olmaya başladıkları bu yaşta, insanî bilgiler dairesini baştan sona dolaşarak, onların hiçliğini gördü ve bütün düşüncelerini dine doğru çevirdi.” 

Pascal, sadece akılla hakikate ulaşılamayacağına, muhakkak vahyin de olması gerektiğine inanıyordu ve diyordu ki: “Akıl, tabiatı bir yere kadar bilebilir , yine de şüphe ile kesin bilgi arasında bocalar durur. Nitekim insanoğlunun bilebileceği her şeyi görüp kavramış olan büyük bilge kişiler, sonunda bir şey bilmediklerini anlayarak başladıkları noktaya dönmüş olurlar. Demek ki akıl, yalnız kendi araçlarıyla tam doğruya varamaz, çünkü doğruluk, yalnız gerçekte doğrudan doğruya bulduğumuz şeyler ile matematiğin kanıtlamış olduklarından ibaret değildir. Gönül (kalb) bunlarla yetinemez, bunların dışında kalan bir şeyi de arayıp özler; gönül günahtan kurtulmak, mutluluğa erişmek de ister. Bunu sağlayacak olan, gönlün kendi bilgisidir, aklın bilgisi buna erişemez.”
Pascal, Descartes gibi aklı ilahlaştırmamıştı. “Aklın verdiği bilgiden kuşkulanmak gerek” diyordu. “Zira, bugün doğru saydığım bir mesele, yarın doğru olmayabilir. Bunun sebebi, düşüncenin yetkin olmamasıdır ve Descartes’in doğruculuk inancından bir bilim kurulamaz.” Yine Pascal’a göre, “Gerçek sanıp öğrendiğimiz bilgilerin arkasında bir yeni bilinmedikler uçurumu vardır. Çünkü, gerek ilkeler, gerekse amaçlar sonsuzdur. Sonsuz ise, anlaşılmazdır. Zaten insanın tabiatı, sürekli değişir veya alışkanlıkların emrinden çıkamaz.” Pascal’ın filozof diye anılmasına sebep olan şey, hiç felsefe yazmamasına rağmen felsefenin aleyhine yazdığı eserlerdir. Ona göre bilimi fazla derinleştirmek doğru değildir. “Bütün felsefe bir saatlik zahmete değmez. Felsefe ile alay etmek, gerçek bir surette felsefe yapmak demektir.” diyordu.

Descartes, iradenin amacını, boş bırakmıştı. Pascal ise, madde ve ruhun, yani düşüncenin üstünde aşkın doğaüstü âlemini, yüce bir alem olan varlık (charite) âlemini bulur ki, bu insana dolaysız olarak, Allah tarafından ilham olunur. Bu doğaüstü kuvvet Allah’tır. Bununla birlikte ona göre, Allah da yalnızca akılla algılanamaz. “Tabiat, Allah’ı hem gösterir, hem saklar.” Pascal’a göre inanç, biraz da irade ve aşkın eseridir. “Allah’ı, akıl değil kalp hisseder. İmanın esası şudur: Allah, kalpte hissolunur, akılda değil.”
Sefa SAYGILI

Pascal, kronik bir hastalığın pençesine düşmüştü ve acı ile kıvranmadan bir gün bile geçirmiyordu. Bu halde bile Rabbine dua ediyordu: “Sen nazik ve incitmezsin.” “Lütfet ki, sadece senin aşkından lezzet alayım. Mutluluğu yalnız seninle olmakta bileyim. Acılarım beni Sana yakın eylesin. Dünyevi hazların kaybına razı olanlardan eyle beni.” Henüz 29 yaşındayken öldü.Ölümünden sonra, elbisesinin içerisine dikilmiş vaziyette bulunan ve devamlı taşıdığı muskada şunlar yazıyordu: “Filozofların ve bilginlerin bulduğu Tanrı’yı değil, Peygamberlerin bildirdiği Allah’ı istiyorum.” 

 

Kaynakça: 

1. Benim Adım Newton. Einst Schwenk. Kabalcı Yayınevi, 1996. 

2. Filozoflar Ansiklopedisi. Cemil Sena. Remzi Kitabevi, 1976. 

3. Düşünceler.Blaise Pascal. Çeviren: Metin Karabaşoğlu,Kaknüs Yayınları, 1996. 

4. Tarih Boyunca İlim ve Din. A. Adnan Adıvar. Remzi Kitabevi, 1994. 

5. İlim-Din İlişkileri-Sahaları-Sınırları. Necip Taylan, Çağrı Yayınları, 1979

Blaise Pascal (1623 - 1662)

Blaise Pascal, Fransız matematikçi, fizikçi ve düşünürdür. Pascal, 19 Haziran 1623 günü Fransa'da Clermont'ta doğdu. Babası kültürlü bir adamdı. Pascal yedi yaşına gelince, babası Paris'e yerleşti. Yedi yaşına gelen parlak çocuk öğrenimine başladı. Kendisi gibi çok güzel ve kültürlü iki kız kardeşi vardı. Özellikle Jak Qualine, Pascal'ın yaşamında önemli rol oynamıştır. Kız kardeşinin bu etkisi bazen iyi, fakat çoğu kötü yönde olmuştur. Pascal doğduğunda, Descartes yirmi yedi yaşındaydı. Descartes öldükten sonra Pascal daha on iki yıl yaşadı. Newton'dan sadece birkaç yıl önce doğmuştur. Descartes ve Fermat gibi büyük matematikçilerle çağdaş olması bir yerde kendisi için bir şanssızlıktı. Bu nedenle, tek başına oluşturabileceği olasılıklar kuramının keşfini Fermat'la paylaştı. Kendisini harika çocuk diye ünlü yapan geometri çalışmalarında, kendisinden daha az ünlü olan Desargues'dan esinlendi. Daha çok din ve felsefe konularına eğildiği için matematiğe az zaman ayırdı. Kız kardeşi ona bu konuda egemendi. Buna karşın, yapabileceğinin çok daha fazlasını verdi. 

Pascal, çok erken gelişen bir çocuktu. Fakat, vücutça oldukça zayıftı. Bunun tersine, kafası çok parlaktı. Öğrenimi başlangıçta çok başarılı geçiyordu. Çok küçük yaşta olmasına rağmen, matematiğe gösterdiği ilgi çok dikkati çekiyordu. Hatta, matematik problemleriyle gece gündüz uğraşmaya başladı. Sağlığının bozulacağından kuşkulanan babası, bir aralık onun matematik çalışmasına engel olduysa da, onun bu davranışı Pascal'ın matematik çalışmasına daha çok yöneltti. Geometri çalışmak için oyunlarını bıraktı. On iki yaşında babasına, geometrinin ne dernek olduğunu sordu. Euclides'in "Elements" adlı geometri kitabını kısa bir zaman içinde yutarcasına bir roman gibi okudu. Hiç bir yardım görmeden ve hiç bir geometri okumadan, çok küçük yaşta bir üçgenin iç açılarının toplamının 180 derece, yani iki dik açı olduğunu kanıtlamıştır. Daha önce, hiç bir kitabı okumadan, Euclides'in birçok önermesini ispatlamıştır. Yine, Pascal hakkında abartma yapmaktan özellikle kaçınan kız kardeşi Gilbert'in anlattıklarına göre; Pascal Euclides'in ilk otuz iki önermesini Elements adlı kitabındaki sıraya göre bulmuştur. Otuz ikinci önerme ise, bir üçgenin iç açılarının toplamı ile ilgili ispatıdır. 

Pascal on dört yaşına gelince, Mersenne tarafından yönetilen ilmi tartışmalara kabul edildi. Bu tartışmaların yapılması, Fransız İlimler Akademisini doğurdu. Pascal kendi kendine bir geometrici olmuştu. Baba Pascal'ın hükümet makamlarıyla boğuşması aileyi kötü duruma düşürdü. Güzel ve parlak kız kardeşi Jacqueline, vergi konusunda babası ile anlaşmazlığa düşen Cardinal de Richelieu'yu eğlendirmek için, önünde oynatılan bir oyunda kendisini tanıtmadan oyuna çıkar. Kendini hayran eden artistin kim olduğunu öğrenen Cardinal, tüm aileyi bağışlar ve ondan sonra baba Pascal'a bir memurluk verir. 

Pascal, on altı yaşından önce, 1639 yılında, geometri teoremlerden birini ispat etti. On dokuzuncu yüzyılda yaşayan İngiliz matematikçisi ünlü Sylvester, Pascal'ın bu geometrik ispatına "kedi beşiği" adını vermiştir. On altı yaşındayken, konikler üzerine bir eser yazarak, ünlü Descartes'i hayretlere düşürmüştür. On sekiz yaşına gelince, şimdi Paris sanayi müzesinde saklanan hesap makinesini bulmuştur. Fizikte, havanın ağırlığını, sıvıların denge halini ve basıncı hakkında Pascal kanunlarını bulmuştur. Apollonius ve başkalarının çalışmalarını birer sonuç kabul eden dört yüz tane önerine ortaya koymuştur. Bu eserin tümü basılamadığı için, bir daha da ele geçmemek üzere kaybolmuştur. Fakat, Leibniz bu eserin bir kopyasını görmüş ve onu inceleme şanslılığına ermiştir. Pascal'ın bu eseri geometrik bir metrik olmayıp bir izdüşüm geometrisidir. 

Aristo, matematiği çokluklar ilmi diye tanımlıyordu. Oysa Pascal'ın geometrisinde çokluk yoktur. Pascal, on yedi yaşından ölümü olan otuz dokuz yaşına kadar ızdırapsız ve acısız gün görmedi. Hazımsızlık, mide ağrıları, uykusuzluk, yan uyuklamalar ve bu ağrıların verdiği gece kabusları onu  bitirdi. Böyle olmasına karşın, yine de bu ağrılar içinde durmadan çalışıyordu. 

Yirmi üç yaşlarında, kız kardeşinin baskı ve etkisiyle Hıristiyan dinine ve bunun içinde bazı tarikatlara girdi. Bu konuda epey sarsıntılar da geçirdi. Fakat, yine onda matematik ağır bastı. Pascal, hurma ağaçları gibi tepeden kurumaya başladı. Aynı yıl hazım organları bozuldu. Bu ara geçici bir felç geçirdi. Bu ona çok ağrılar verdi. Her şeye rağmen, düşüncesi ve kafasının çalışmaları sürüyordu. 1648 yılında Toriçelli'nin (1608 -1647) çalışmalarını inceleyerek, onun da önüne geçti. Yükseklikle basıncın değiştiğini saptadı. 

Descartes, Pascal'la çeşitli konuları konuşmak ve özellikle barometre hakkında bilgi almak için geldi. Bu iki bilginin yaradılış ve ruhsal durumları pek uyuşmuyordu. Descartes, konikler üzerine yazılan eserin on altı yaşında bir çocuk tarafından yazıldığına inanmayı açıkça kabul etmedi. Daha da ileri giderek, Pascal'ın barometre deneyleri düşüncesini, Mersenne'nin çalışmalarından çalmış olmasından şüphelendi. Descartes'le Pascal'ın aralarında çekememezliğe neden olan üçüncü konu din üzerine olan düşüncelerindeki ayrılıklardı. Descartes Cizvitleri tutuyor, Pascal'sa Jansen'in mezhebini savunuyordu. Pascal'ın açık sözlü kız kardeşi Jacqueline'nin sözlerine bakılırsa, bu iki dahi birbirlerini oldukça kıskanıyorlardı. Bu nedenle de, adı geçen yukarıdaki görüşme ve ziyaret soğuk bir buluşma olmuştu. Descartes'in genç dostuna bazı öğütleri oldu. Pascal da onu ciddiye almadı. 

1658 yılının bir gecesinde, uykusuzluk ve diş ağrılarından kıvranan Pascal, korkunç ağrılarını unutmak amacıyla, birçok ünlü matematikçinin uğraştığı zarif sikloid eğrisine daldı. Sikloid eğrileri üzerine o kadar daldı ki, tüm ağrı ve acılarını unuttu. Tam sekiz gün sikloid geometrisi üzerinde çalıştı. Bu eğri ile ilgili olan çeşitli problemleri çözmeyi başardı. Bu buluşlarının bazılarını takma Amos Detonville imzasıyla, Fransız ve İngiliz matematikçilerine meydan ,okumak amacıyla basılmıştır. 

1658 yılında kendini oldukça hasta hissetti. Kısa aralıklarla gelen uyuklamalar dışında, şiddetli ve dinmek bilmeyen baş ağrıları ona çok eziyet ediyordu. Tam dört yıl bu ağrılarla kıvrandı. 1662 yılının haziran ayında otuz dokuz yaşındayken öldü. Ölümünden sonra yapılan otopsisinde, ağrılarının nedeninin ciddi bir beyin hastalığından ileri geldiği saptandı. Pascal, Fermat ile birlikte olasılıklar kuramını kurmakla, yeni bir matematik dünyası meydana getirmişti. Bu kuramın tüm inceliklerini ortaya döktü. Bu kuramı oluştururken, Fermat'la sürekli haberleşmişlerdir. Yapılan bu mektup görüşmeleri incelendiğinde, bu kuramın gerçek kurucularının Pascal ile Fermat'ın eşit payları olduğu görülür. Yaptıkları şeyler temelde aynı, fakat derinlemesine incelendiğinde farklılıklar görülür. Bu arada Pascal'ın düştüğü ufak hatayı Fermat belirtince, Pascal da bu hatasını hemen düzeltti. Bu haberleşmedeki ilk mektuplar kaybolmuşsa da, daha sonraki mektuplar hala eldedir. 

Kumarbaz Chevalier de Mere'den hareketle olasılıklar hesabı üzerine çalışmıştır. Elli iki kağıt oyunu ve tavla zarlarının, şekilleri aynı olan ayrı renkli bilyelerin önemi üzerine yaptığı hesaplamalara bağlı olarak Pascal üçgeni olarak bilinen çalışmasını yayınladı. Pascal'ın bu üçgeni, daha sonraki yıllarda ondan çok daha önceleri Ömer Hayyam tarafından kullanıldığı gösterildi. (Bkz. Ömer Hayyam) Bu çalışma literatüre Pascal'ın ismiyle girmiş olmakla birlikte sonraki yıllarda olasılık kuramında sıklıkla matematikçiler tarafından kullanıldı. Özellikle seri açılımları ve binom açılımı bu yöntemle kolaylıkla bulunmuştur.