Bir merkez etrafında dönme

Bir nokta veya cisim, sabit bir merkeze bağlı olarak çember şeklinde hareket eder, merkezden geçen çizgi (yarıçap) belli bir açı kadar dönerek noktanın veya cismin yeni konumunu belirler, bu açı zamanla artarsa açısal hız oluşur ve nokta çember boyunca yol alır. Bir nokta P(x,y) merkez O(0,0) etrafında α açısı kadar döndüğünde yeni koordinatları x' = x.cos(α) - y.sin(α), y' = x.sin(α) + y.cos(α) olur, eğer dönme merkezi C(h,k) olursa bu yeni koordinatlar; x' = h + (x - h).cos(α) - (y - k).sin(α), y' = k + (x - h).sin(α) + (y - k).cos(α) şeklinde ifade edilir.

Paralel doğruya göre simetri

Eğimi (m) olan (d₁) doğrusu ve bu doğru üzerinde olmayan (P(a,b)) noktası verilsin. Bir noktaya göre simetri, şeklin o noktaya göre 180° döndürülmesi anlamına gelir ve bu dönüşüm doğruların doğrultusunu, yani eğimini korur. Bu nedenle (d₁) doğrusunun her noktası (P(a,b))’ye göre simetri alındığında yine bir doğru elde edilir. Elde edilen bu (d₂) doğrusu, (d₁) doğrusu ile aynı eğime sahiptir ancak (P(a,b)) noktası (d₁) üzerinde olmadığı için doğrular çakışmaz. Bunu (d₁) doğrusu üzerinde olmayıp (d₁) doğrusuna paralel bir doğru üzerinde olan tüm noktalar için ayrı ayrı yaptığımızda simetri işlemi sonucunda bir doğru elde ederiz. Aynı eğime sahip olup çakışmayan iki doğru düzlem üzerinde birbirine paralel olduğundan, (d₁) doğrusunun (P(a,b)) noktasına göre simetriği, (d₁) doğrusuna paralel bir (d₂) doğrusu olur. Bir (d₁) doğrusunun bu (d₂) doğrusuna göre simetrisi de bu doğrulara paralel olan (d₃) doğrusu olur.

 

Bir (d₁) doğrusunun bu (d₂) doğrusuna göre simetrisi olan (d₃) doğrusu diğer doğrulara paralel olduğundan eğimleri aynıdır. (d₁): -x+2y=14 ve (d₂): -x+2y=6  ve (d₃): -2x+4y=-4 , (d₃): -x+2y=-2 olduğundan bu doğruların eğimleri 1/2 olur. (d₁) ve (d₂) doğruları arasındaki uzaklık (d₂) ve (d₃) doğruları arasındaki uzaklık ile simetriden dolayı eşit olacağından doğru denklemlerindeki sabit sayılar olan (c₁), (c₂) ve (c₃) katsayıları orta nokta kuralını sağlar. Örnek grafikte  (d₁): -x+2y=14 ve (d₂): -x+2y=6  ve (d₃): -2x+4y=-4 olarak verilmiştir. Katsayıları aynı olacak şekilde düzeltirsek  (d₁): -x+2y=14 ve (d₂): -x+2y=6  ve (d₃): -x+2y=-2  olur ve buradan (c₁)=14, (c₂)=6 ve (c₃)=-2 katsayıları olarak bulunur. Buna göre simetriden dolayı, (c₂) = [(c₁)+(c₃)]/2 eşitliği sağlanmalıdır. Katsayıları yerine yazarsak; 6=[14+(-2)] olur ki bu da eşitliği sağlar. 

Bu durumu genelleştirisek şu şekilde bir sonuca ulaşırız:

Paralel doğruların genel denklemi Ax + By + C = 0 şeklinde verilirse ve A ile B katsayıları aynı oranlı olan doğrular birbirine paraleldir. Eğer (d₁): Ax + By + (c₁) ve (d₃): Ax + By + (c₃) paralel doğrular verilmişse, bunların ortasına gelecek simetri doğrusu, (d₂)’nin (c₂) katsayısı (c₂) = [(c₁)+(c₃)]/2 eşitliği ile bulunur. Bu durumda (d₂): Ax + By + (c₂) doğrusu hem (d₁) hem (d₃)’e paraleldir ve (d₁) ile (d₃) arasındaki simetriyi sağlar. Genel formülle (c₂) = [(c₁)+(c₃)]/2 eşitliğinden (c₃₎₌2(c₂)-(c₁))yazılarak, bilinen iki doğru ve simetri sonucu üçüncü doğrunun denklemi kolayca bulunabilir. Böylece, herhangi üç paralel doğruda simetri ilişkisi yalnızca C katsayıları üzerinden ifade edilebilir ve her zaman doğruların paralelliği korunur. 

Doğrunun doğruya göre simetrisi

Bir doğrunun başka bir doğruya göre simetrisi alınırken temel mantık her noktası için simetriyi alıp yeni doğrudan geçmesini sağlamaktır. Yani: Simetri alınacak doğruya dik olacak bir doğru çizilir ve ax +by +c=0 doğrusunun herhangi bir noktası bu dik doğru üzerinde kullanılır. Dik doğruya göre simetri noktası bulunur; bu noktalar yeni simetri doğrusundan geçer. Dik doğruya göre simetri noktası bulunur; bu noktalar yeni simetri doğrusundan geçer. Yani matematiksel olarak genel formül: Bir doğru ax+by+c=0 ise ve simetri alınacak doğru da a₁x+b₁y+c₁=0 olarak verilirse, her nokta üzerinde a₁(x'−x)+b₁(y'−y)=0 şartı sağlanır. 

Bir d₁: a₁x+b₁y+c₁=0 doğrusu, d₂: a₂x+b₂y+c₂=0 doğrusuna göre simetrisi alınabilir. Her nokta simetrik noktasıyla yer değiştirir ve bu simetri noktaları yeni doğrudan geçer. Bunun için öncelikle simetri alınacak d₁ doğrusunun üzerinden bir nokta seçilir. (örn. kolaylık olması için genellikle x=0 veya y=0 değerleri kullanılır.) Bu noktadan d₂'ye dik doğru çizilir. Çizilen dik doğrunun denklemi yazılıp, d₂ ile kesişiminden ortak çözüm yapılarak kesişim noktası bulunur. Simetri noktası, noktanın noktaya göre simetrisi kullanılarak hesaplanır. Aynı işlemler, d₁ doğrusu üzerinde ikinci bir nokta seçilerek yapılır. Böylece iki farklı nokta elde etmiş oluruz. Bu noktalar simetrisini bulacağımız yeni doğrunun üzerinde olan noktalardır. Bu yeni noktaları kullanarak simetrisini elde edeceğimiz yeni doğrunun eğimi hesaplanır. Sonra bir noktası ve eğimi bilinen doğru denkleminden doğrunun denklemi yazılır. Böylece d₁: a₁x+b₁y+c₁=0 doğrusunun simetrisi olan doğru bulunmuş olur.

ÖRNEK: d₁: 2x + 4y − 12 = 0 doğrusunun d₂: x + 6y − 6 = 0 doğrusuna göre tam simetri doğrusunu bulalım.

 

Çözüm:
d₁: 2x + 4y − 12 = 0 üzerindeki iki nokta: x = 0 → y = 3 → A(0,3), y = 0 → 2x − 12 = 0 → x = 6 → B(6,0) olarak seçelim. 
Dik doğruların kesişim noktaları: d₂: x + 6y − 6 = 0 doğrusuna A ve B noktalarından geçen iki farklı dik doğru çizelim. d2: x + 6y − 6 = 0 Doğrusunun eğimi, m = −1/6 → dik doğruların (bu doğruları k ve m diye isimlendirelim) eğimi 6 olarak bulunur. 

A(0,3) noktasının üzerinden geçtiği dik doğrunun denklemi: k: y − 3 = 6(x − 0) →k:  y = 6x + 3
B(6,0) noktasının üzerinden geçtiği dik doğrunun denklemi m: y − 0 = 6(x − 6) → y = 6x − 36 olur.

Şimdi bu noktalardan çizilen dik doğrularla  x + 6y − 6 = 0 doğrusunun kesişim noktalarını ortak çözüm yaparak ayrı ayrı bulalım.

 

A(0,3) noktasının üzerinden geçtiği dik doğru y = 6x + 3 ile x + 6y − 6 = 0 doğrusunun kesişim noktası ortak çözüm yapılarak bulalım.  

y = 6x + 3 ile x + 6y − 6 = 0 → x + 6.(6x + 3) − 6 = 0 → 37x + 12 = 0 → x = −12/37 → y = 6.(−12/37)+3 = 39/37 → C(−12/37, 39/37) kesişim noktası bulunur.

B(6,0) noktasının üzerinden geçtiği dik doğru: y = 6x − 36 ile x + 6y − 6 = 0 doğrusunun kesişim noktasını bulalım. 

x + 6(6x − 36) − 6 = 0 → x + 36x − 216 − 6 = 0 → 37x − 222 = 0 → x = 222/37 → y = 6.(222/37) − 36 = 1332/37 − 36 → y = 0 → (222/37, 0)= (6,0) bulunur. Yani iki doğrunun kesişim noktası ilk olarak seçtiğimiz B(6,0) noktasıdır.

 

Simetri noktaları: A noktasının simetrisi A' için E şeklinde isim verelim. E noktasının koordinatlarını bulalım. x = 2(−12/37) − 0 = −24/37 ordinat değerini de aynı şekilde hesaplayalım: y = 2.(39/37) − 3 = 78/37 − 111/37 = −33/37 → E(−24/37, −33/37)  olur.

Aynı işlemi diğer noktanın simetrisi için de uygulayalım.

B noktasının simetrisi B' için D şeklinde isim verelim. B' için koordinatları bulalım. x = 2(222/37) − 6 = 444/37 − 222/37 = 222/37  D(222/37, 0) = D(6, 0) olur. Esasında B noktası ile D noktası aynı yerde bulunur. Yani simetrik nokta doğrunun üzerinde olarak görülür.  (B=B'=D) Hesaplamalar kolay olsun diye paydaları bozmamak için B'=D(222/37, 0) olarak alıp işlemlere devam edelim.

 

Simetri doğrusunu bulalım: İki simetri noktası olduğundan E(−24/37, −33/37), D(222/37, 0) üzerinden geçen doğrunun denklemi: 
E ve D noktalarından geçen doğrunun eğimi: m = (0 − (−33/37)) / (222/37 − (−24/37)) = (33/37) / (246/37) = 33/246 = 11/82 olur.

Doğru denklemi: y − y₁ = m(x − x₁) → y + 33/37 = (11/82)(x + 24/37) denklem düzenlenirse; 
 −407x + 3034y + 2442 = 0 elde edilir. Sonuç olarak: 2x + 4y − 12 = 0 doğrusunun x + 6y − 6 = 0 doğrusuna göre simetrisi: −407x+3034y+2442=0 olur. 

Doğrunun simetrisi

Bir doğrunun orijine göre simetrisinde x ve y değişkenlerinin katsayılarının işaretleri değişir; yani (ax + by + c = 0) doğrusu orijine göre simetrisi alındığında (-ax - by + c = 0) olur.

Doğrunun x eksenine göre simetrisi alınırken sadece y’nin işareti değişir, Simetrisi: (ax - by + c = 0) olur. 

Doğrunun y eksenine göre simetrisi alınırken ise sadece x’in işareti değişir, Simetrisi: (-ax + by + c = 0) olur. 

Doğrunun y = x doğrusuna göre simetrisi alınırken x ve y’nin katsayıları yer değiştirir; Simetrisi: (bx + ay + c = 0) olur. 

Doğrunun y = -x doğrusuna göre simetrisinde ise hem katsayıların işaretleri değişir hem de koordinatlar yer değiştirir; simetri doğrusu: (-bx - ay + c = 0) olur.

Bir doğrunun x = k doğrusuna göre simetrisi alınırken doğru denkleminde gördüğümüz x yerine (2k - x) yazılır. Benzer şekilde y = k doğrusuna göre simetri alınırken de y yerine (2k - y) yazılır. Bu şekilde simetri doğrusunun denklemi elde edilir. 

Daha genel olarak, bir doğrunun (k, m) noktasına göre simetrisinde x yerine (2k - x), y yerine (2m - y) yazılır. Böylece, simetri işlemi hangi eksen ya da doğruya göre yapılırsa, ona uygun olarak x ve y’nin yer değiştirmesi veya işaret değiştirmesi ile yeni doğrunun denklemi bulunmuş olur.

 

---

Herbirine ayrı ayrı örnekler vererek konuyu pekiştirelim:
Örnek: 2x+3y−5=0 doğrusunun Orijine göre simetrisi nedir?
Orijine göre simetri: katsayıların işareti değişir. Buna göre simetri doğrusu: −2x−3y−5=0 olur.

Örnek: 4x−5y+6=0 doğrusunun x eksenine göre simetrisi nedir?
x eksenine göre simetride y nin işareti değişir. Buna göre simetri doğrusu 4x+5y+6=0 olur.

Örnek: 7x + 2y − 3 = 0 doğrusunun y eksenine göre simetrisi nedir?
Y eksenine göre simetride sadece x’in işareti değişir. Buna göre simetri doğrusu: (-7x + 2y - 3 = 0) olur.

Örnek: 3x + 4y − 7 = 0 doğrusunun y = x doğrusuna göre simetrisi nedir?
Y = x doğrusuna göre simetride x ve y’nin katsayıları yer değiştirir. Buna göre simetri doğrusu: (4x + 3y - 7 = 0) olur.

Örnek: 5x − 6y + 2 = 0 doğrusunun y = -x doğrusuna göre simetrisi nedir?
Y = -x doğrusuna göre simetride x ve y’nin katsayıları yer değiştirir ve işaretleri de değişir. Buna göre simetri doğrusu: (-6x + 5y + 2 = 0) olur.

 

Örnek: 2x − y + 5 = 0 doğrusunun x = 3 doğrusuna göre simetrisi nedir?

x = 3 doğrusuna göre simetride denklemde gördüğümüz x yerine 2⋅3−x=6−x yazılır. Buna göre simetri doğrusu:

 2(6−x)−y+5=0⇒12−2x−y+5=0⇒−2x−y+17=0 olur.

 

Örnek: x + 4y - 7 = 0 doğrusunun y = 4 doğrusuna göre simetrisi nedir?

y = 4 doğrusuna göre simetride denklemde gördüğümüz y yerine 2⋅4−y=8−y yazılır. Buna göre simetri doğrusu:

x+4(8−y)−7=0⇒x+32−4y−7=0⇒x−4y+25=0 olur. 

 

Örnek: 2x-5y-1=0 doğrusunun K(2,-1) noktasına göe simetrisi nedir? 

2x − 5y − 1 = 0 doğrusunun K(2, −1) noktasına göre simetrisi için x yerine 2.2 − x = 4 − x, y yerine 2(−1) − y = −2 − y yazılır. Buna göre: 2(4 − x) − 5(−2 − y) − 1 = 0 olur, buradan denklem düzenlenirse;  8 − 2x + 10 + 5y − 1 = 0 → −2x + 5y + 17 = 0 doğrusu elde edilir.  2x − 5y − 1 = 0 doğrusunun K(2, −1) noktasına göre simetrisi: −2x + 5y + 17 = 0 doğrusudur.

 

Noktanın doğruya göre simetrisi

Bir K(r,s) noktasının ax + by + c = 0 doğrusuna göre simetrisini bulmak için önce doğrunun eğimi bulunur: m₁ = -a/b. Daha sonra A noktasından geçen ve bu doğruya dik olan bir doğru çizilir; bu doğrunun eğimi veya eğimler çarpımı -1 olacak şekilde m₂ = -1/m₁ olduğundan m₂ = b/a bulunur. Bu yeni doğrunun eğim ve K noktası kullanılarak denklemi yazılır: y - s = m₂(x - r). İki doğrunun denklem sistemi çözülerek kesişim noktası bulunur; bu kesişim noktası H olsun. H noktası K noktasının doğruya dik olarak indiği kesişim noktasıdır. Simetri noktası K' ise K noktasının H noktasına göre noktanın noktaya göre simetrisinden yani orta nokta olma kuralından yararlanarak hesaplanır. Böylece K noktasının ax + by + c = 0 doğrusuna göre simetrisi  K' bulunur.

 

Noktanın y=k doğrusuna göre simetrisi

Bir noktanın y = k yatay doğrusuna göre simetrisi, noktanın bu doğruya olan dikey uzaklığının tersine aynı uzaklıkla alınmasıyla elde edilir. Yani noktanın bu doğruya göre simetrisini almak demek, noktanın doğrudan ne kadar yukarıda veya aşağıda olduğunu hesaplayıp, doğrunun karşı tarafında tam tersi yönde aynı mesafeye eşit uzaklıkta koymak demektir. Noktanın koordinatları (x, y) ise simetri noktası y koordinatında değişim gösterir, x koordinatı sabit kalır. Matematiksel olarak simetri noktası (x, 2k - y) şeklinde ifade edilir. Yani noktanın y=k doğrusuna olan dikey uzaklığı: y - k kadardır. Simetri noktasında bu uzaklık diğer tarafa aynen alınır: k - (y - k) kadar birim olur.

Bir A(x, y) noktasının y=k doğrusu göre simetrisi; A'(x, 2k - y) olur.

Örnekle açıklamak gerekirse: Nokta A(5, 2) noktasının y = 3 doğrusuna göre simetrisini alalım. Simetri noktası y koordinatı da 2*3 - 2 = 4 olarak bulunur ve x koordinatı değişmediği için sonuç A'(5, 4) olur.

Noktanın x=k doğrusuna göre simetrisi

Bir noktanın x = k dikey doğrusuna göre simetrisi, noktanın bu doğruya olan yatay uzaklığının tersine aynı uzaklıkla alınmasıyla elde edilir. Yani noktanın bu doğruya göre simetrisini almak demek, noktanın doğrudan ne kadar uzakta olduğunu hesaplayıp, doğrunun karşı tarafında tam tersi yönde aynı mesafeye eşit uzaklıkta koymak demektir. Noktanın koordinatları (x, y) ise simetri noktası x koordinatında değişim gösterir, y koordinatı sabit kalır. Matematiksel olarak simetri noktası (2k - x, y) şeklinde ifade edilir. Yani noktanın x=k doğrusuna olan yatay uzaklığı: x - k kadardır. Simetri noktası olan noktada, bu uzaklığı diğer tarafa aynen alır: k - (x - k) kadar birim olur.  

Bir A(x, y) noktasının x=k doğrusu göre simetrisi; A'(2k - x, y)  olur.

Örnekle açıklamak gerekirse: Nokta A(5, 2) noktasının x = 3 doğrusuna göre simetrisini alalım. Simetri noktası x koordinatı da 2.3 - 5 = 1 olarak bulunur ve y koordinatı değişmediği için sonuç A'(1, 2) olur.