Eğimi (m) olan (d1) doğrusu ve bu doğru üzerinde olmayan (P(a,b)) noktası verilsin. Bir noktaya göre simetri, şeklin o noktaya göre 180° döndürülmesi anlamına gelir ve bu dönüşüm doğruların doğrultusunu, yani eğimini korur. Bu nedenle (d1) doğrusunun her noktası (P(a,b))’ye göre simetri alındığında yine bir doğru elde edilir. Elde edilen bu (d2) doğrusu, (d1) doğrusu ile aynı eğime sahiptir ancak (P(a,b)) noktası (d1) üzerinde olmadığı için doğrular çakışmaz. Bunu (d1) doğrusu üzerinde olmayıp (d1) doğrusuna paralel bir doğru üzerinde olan tüm noktalar için ayrı ayrı yaptığımızda simetri işlemi sonucunda bir doğru elde ederiz. Aynı eğime sahip olup çakışmayan iki doğru düzlem üzerinde birbirine paralel olduğundan, (d1) doğrusunun (P(a,b)) noktasına göre simetriği, (d1) doğrusuna paralel bir (d2) doğrusu olur. Bir (d1) doğrusunun bu (d2) doğrusuna göre simetrisi de bu doğrulara paralel olan (d3) doğrusu olur.
Bir (d1) doğrusunun bu (d2) doğrusuna göre simetrisi olan (d3) doğrusu diğer doğrulara paralel olduğundan eğimleri aynıdır. (d1): -x+2y=14 ve (d2): -x+2y=6 ve (d3): -2x+4y=-4 , (d3): -x+2y=-2 olduğundan bu doğruların eğimleri 1/2 olur. (d1) ve (d2) doğruları arasındaki uzaklık (d2) ve (d3) doğruları arasındaki uzaklık ile simetriden dolayı eşit olacağından doğru denklemlerindeki sabit sayılar olan (c1), (c2) ve (c3) katsayıları orta nokta kuralını sağlar. Örnek grafikte (d1): -x+2y=14 ve (d2): -x+2y=6 ve (d3): -2x+4y=-4 olarak verilmiştir. Katsayıları aynı olacak şekilde düzeltirsek (d1): -x+2y=14 ve (d2): -x+2y=6 ve (d3): -x+2y=-2 olur ve buradan (c1)=14, (c2)=6 ve (c3)=-2 katsayıları olarak bulunur. Buna göre simetriden dolayı, (c2) = [(c1)+(c3)]/2 eşitliği sağlanmalıdır. Katsayıları yerine yazarsak; 6=[14+(-2)] olur ki bu da eşitliği sağlar.
Bu durumu genelleştirisek şu şekilde bir sonuca ulaşırız:
Paralel doğruların genel denklemi Ax + By + C = 0 şeklinde verilirse ve A ile B katsayıları aynı oranlı olan doğrular birbirine paraleldir. Eğer (d1): Ax + By + (c1) ve (d3): Ax + By + (c3) paralel doğrular verilmişse, bunların ortasına gelecek simetri doğrusu, (d2)’nin (c2) katsayısı (c2) = [(c1)+(c3)]/2 eşitliği ile bulunur. Bu durumda (d2): Ax + By + (c2) doğrusu hem (d1) hem (d3)’e paraleldir ve (d1) ile (d3) arasındaki simetriyi sağlar. Genel formülle (c2) = [(c1)+(c3)]/2 eşitliğinden (c3)=2(c2)-(c1))yazılarak, bilinen iki doğru ve simetri sonucu üçüncü doğrunun denklemi kolayca bulunabilir. Böylece, herhangi üç paralel doğruda simetri ilişkisi yalnızca C katsayıları üzerinden ifade edilebilir ve her zaman doğruların paralelliği korunur.
Örnek: m: 3x - y + 8 = 0 doğrusunun k: 3x - y - 4 = 0 doğrusuna göre simetrisi olan doğrunun denklemi nedir?
Çözüm: Verilen doğrular m: 3x - y + 8 = 0 ve k: 3x - y - 4 = 0 birbirine paraleldir çünkü doğruların Ax + By + C = 0 denklemlerindeki A ve B katsayıları oranı aynıdır. Paralel doğruların simetri doğrusu C katsayıları üzerinden bulunur. Bu m ve k doğrularına paralel olan doğru r doğrusu olsun. Buna göre r doğrusunun Cr katsayısı; Cr = 2Ck - Cm = 2(-4) - 8 = -8 - 8 = -16 olarak hesaplanır. Eğimleri de aynı olacağından böylece r simetri doğrusu 3x - y - 16 = 0 olur.
''Paralel doğruya göre simetri'' Bu Blog yazısı;
Ocak 14, 2019 tarihinde 
0 yorum:
Fayda vermeyen ilimden Allah'a sığınırım. İlim; amel etmek ve başkalarıyla paylaşmak içindir. Niyetimiz samimiyetle insanlara yararlı olmaktır, akıbetimiz bu vesileyle güzel olsun. Dua eder, dualarınızı beklerim...
"Allah'ım; bana fayda sağlayacak ilimleri öğret ve ilmimi ziyadeleştir."
“Allahım! Sana teslim oldum, sana inandım, sana güvendim. Yüzümü, gönlümü sana çevirdim. İşlediğim tüm günahlarımı affeyle! Ey kalbleri çeviren Allahım! Kalbimi dînin üzere sâbit kıl. Beni Müslüman olarak vefât ettir ve beni sâlihler arasına kat!”
“Rabbim! Bizi doğru yola ilettikten sonra kalplerimizi eğriltme! Bize tarafından bir rahmet bağışla.Öne geçiren de sen, geride bırakan da sensin. Muhakkak ki lütfu en bol olan Sen’sin. Senden başka ilâh yoktur."
Lâ ilâhe illallah Muhammedürrasulüllâh
KADİR PANCAR