Noktanın y=k doğrusuna göre simetrisi

Etiketler : analitik geometri dönüşüm geometrisi geometri simetri

Bir noktanın y = k yatay doğrusuna göre simetrisi, noktanın bu doğruya olan dikey uzaklığının tersine aynı uzaklıkla alınmasıyla elde edilir. Yani noktanın bu doğruya göre simetrisini almak demek, noktanın doğrudan ne kadar yukarıda veya aşağıda olduğunu hesaplayıp, doğrunun karşı tarafında tam tersi yönde aynı mesafeye eşit uzaklıkta koymak demektir. Noktanın koordinatları (x, y) ise simetri noktası y koordinatında değişim gösterir, x koordinatı sabit kalır. Matematiksel olarak simetri noktası (x, 2k - y) şeklinde ifade edilir. Yani noktanın y=k doğrusuna olan dikey uzaklığı: y - k kadardır. Simetri noktasında bu uzaklık diğer tarafa aynen alınır: k - (y - k) kadar birim olur.

Bir A(x, y) noktasının y=k doğrusu göre simetrisi; A'(x, 2k - y) olur.

Örnekle açıklamak gerekirse: Nokta A(5, 2) noktasının y = 3 doğrusuna göre simetrisini alalım. Simetri noktası y koordinatı da 2*3 - 2 = 4 olarak bulunur ve x koordinatı değişmediği için sonuç A'(5, 4) olur.

Noktanın y=k doğrularına göre simetrisi ile ilgili aşağıda farklı örnekler verilmiştir:
A(3,5) noktasının y = 4 doğrusu göre simetri noktası A’(x, 2k - y) olacağından k=4 için A(3, 5)→ A'(3, 2.4-5) = A'(3, 3) olur.

B(-2, 1) noktasının y = 0 doğrusu göre simetri noktası, k=0 için B(-2, 1)→ B'(-2, 2.0-1) = B'(-2, -1) olur. (Bu örnek daha önce noktanın eksenelere göre [x eksenine göre] simetrisi şeklinde anlatılmıştır.)

C(6, -3) noktasının y = 5 doğrusu göre simetri noktası, k=5 için C(6, -3)→ C'(6, 2.5-(-3)) = C'(6, 13) olur.

D(-1, -4) noktasının y = -2 doğrusu göre simetri noktası, k=-2 için D(-1, -4)→ D'(-1, 2.(-2)-(-4)) = D'(-1, 0) olur.

E(0, 0) noktasının y = 3 doğrusu göre simetri noktası, k=3 için E(0, 0)→ E'(0, 2.3-0) = E'(0, 6) olur.

F(2, -5) noktasının y = 1 doğrusu göre simetri noktası, k=1 için F(2, -5)→ F'(2, 2.1-(-5)) = F'(2, 7) olur.

G(-3, 4) noktasının y = -1 doğrusu göre simetri noktası, k=-1 için G(-3, 4)→ G'(-3, 2.(-1)-4) = G'(-3, -6) olur. 

---

ÖRNEK: A(3p, 2p+1) noktasının, önce y = -2 doğrusu göre simetrisi alınıyor sonra çıkan noktanın orijine göre simetrisi alındığında B noktası oluyor. Elde edilen B noktası, 2x + y − 6 = 0 doğrusunun üzerinde olduğuna göre p değeri nedir?

Çözüm:  

A(3p, 2p+1) noktasının y = -2 doğrusuna göre simetrisi:

A' = (3p, 2.(-2) - (2p+1)) = (3p, -4 - 2p - 1) = (3p, -2p - 5) olur. Bu noktanın orijine göre simetrisi koordinatlar işaretlerle birlikte yer değiştirir. B = (-3p, 2p + 5) olur. 

Elde edilen B noktası 2x + y - 6 = 0 doğrusunun üzerinde olduğuna göre, 

2.(-3p) + (2p + 5) - 6 = 0 denkleminden -6p + 2p + 5 - 6 = 0, -4p - 1 = 0, -4p = 1, p = -1/4 olarak bulunur.

Örnek: K(2c-4, 4+c) noktasının y = 5 doğrusu göre simetrisi alınıyor sonra çıkan noktanın M(1,3) noktasına göre simetrisi alındığında R noktası oluyor. Elde edilen R noktası 3x - 2y + 4 = 0 doğrusu üzerinde olduğuna göre c değeri nedir?

Çözüm:  

K(2c-4, 4+c) noktasının y = 5 doğrusuna göre simetrisi:

K' = (2c-4, 25 - (4+c)) = (2c-4, 10 - 4 - c) = (2c-4, 6-c) olur. 

Bu noktanın M(1,3) noktasına göre simetrisi alınırsa:

R = (21 - (2c-4), 23 - (6-c)) = (2 - 2c + 4, 6 - 6 + c) = (6 - 2c, c) olur. 

R noktası 3x - 2y + 4 = 0 doğrusu üzerinde olduğuna göre

3.(6 - 2c) - 2.(c) + 4 = 0 → 18 - 6c - 2c + 4 = 0 → 22 - 8c = 0 → 8c = 22 → c = 22/8 → c = 11/4 olur.