YKS 2018-2024 Sayısal Bilgileri

ÖSYM tarafından daha önceleri YGS ve LYS olarak uygulanan sınav sistemi, 2018 yılından itibaren değiştirilerek YKS (Yükseköğretim Kurumları Sınavı) adını almıştır. Bu yeni sınav sistemine göre hazırlanan 2018-2023 yılları arası YKS istatistiklerine ait bazı veriler, aşağıda tablolar halinde sizlere sunulmuştur. Sınava giren öğrenci sayılarında, tablo incelendiğinde 3 milyon civarında adayın sınava girdiği söylenebilir. Sınav giren sayısının son yıllarda arttığı ve sınavı geçersiz sayılan aday sayısının da azaldığı tablodaki sayısal verilerden görülebilir. Aşağıdaki grafiklerde, sınava giren tüm adayların TYT Matematik ve AYT matematik net ortalamalarında yıllara göre belirgin değişimler söz konusudur.

 

YKS	Sınav Tarihi	Sonuç Tarihi	S.Saati	A.Süre
2024	8.06.2024	16.07.2024	07:35	38
2023	17.06.2023	20.07.2023	07:00	33
2022	18.06.2022	18.07.2022	07:00	30
2021	26.06.2021	28.07.2021	07:00	32
2020	27.06.2020	27.07.2020	07:30	30
2019	15.06.2019	17.07.2019	01:15	32
2018	30.06.2018	31.07.2018	00:01	31

Yeni matematik müfredatı konuları (2024)

Ortaöğretim Matematik Dersi Öğretim Programı  ünite ve konu kavramı yerine çeşitli "temalar" etrafında çerçevelenrek sunulmuştur. Bu kapsamda 9.sınıfta 7 tema, 10.sınıfta 7 tema, 11. sınıfta 3 tema, 12.sınıfta 5 tema olacak şekilde hazırlanmıştır.

Hazırlık sınıfı bulunan okullarda matematik öğretim programında "Nicelikler ve değişimler, mantıksal çıkarım, algoritma ve bilişim, geometrik şekiller, istatistiksel araştırma süreci" temalarına yer verilmiştir. Bu sınıf düzeyinde yüzdelik olarak en fazla ağırlık, "geometrik şekiller %30 ve algoritma ve bilişim %24" temasına verilmiştir.

Yeni matematik müfredatının karşılaştırılması

9.sınıfta doğrusal fonksiyonlar, 10. sınıfta gerçek sayılarda veya bir alt kümesinde f(x) = x2, f(x) = , f(x) = 1/x şeklinde tanımlı karesel, karekök, rasyonel referans fonksiyonlar ile bunlardan türetilen karesel, karekök ve rasyonel fonksiyonların nitel özelliklerine, ters fonksiyonlarına ve bu fonksiyonlarla ifade edilebilen denklem ve eşitsizlikler içeren problem çözümlerine yer verilmektedir. 11. sınıfta trigonometrik, üstel ve logaritmik referans fonksiyonlar ile bu fonksiyonlardan türetilen trigonometrik, üstel ve logaritmik fonksiyonların nitel özelliklerine ve bu fonksiyonlarla ifade edilebilen denklem ve eşitsizlikler içeren problem çözümlerine yer verilmektedir. 11. sınıfta ayrıca bu fonksiyonların bileşkelerine ve dört işlem özelliklerine matematiksel muhakeme odaklı bir yaklaşımla
yer verilmektedir. 

12. sınıfta polinom ve rasyonel fonksiyonlara Değişimin Matematiği temasına hazırlayan bir yaklaşımla yer verilmektedir. 12. sınıfta ayrıca aritmetik ve geometrik dizilere yer verilmekte, özellikleri gerçek sayılarda tanımlı fonksiyonların özellikleri ile karşılaştırmalı bir şekilde incelenmektedir. Tüm sınıf düzeylerinde denklem ve eşitsizlik çözümleri ayrı bir konu veya tema olarak değil incelenen referans fonksiyonlar bağlamında ele alınmıştır. Gerçek yaşam problemleri bağlamında yer verilen denklem ve eşitsizlik çözümleri ile fonksiyonların problem çözme ve modelleme aracı olma özellikleri ön planda tutulmuştur.  Limit ve türev kavramları ile bu kavramların uygulamalarına 12. sınıfta Değişimin Matematiği teması altında yer verilmiştir. Türevde ise mevcut içeriklere ek olarak değişimleri anlamlandırmakta ve türevin uygulamalarında önemli bir rolü olduğu düşünülen diferansiyel kavramına, ortalama değer teoremi ve Rolle teoremine yer verilmiştir. Türevle ilgili yorum ve çıkarımlara problem çözme odaklı bir yaklaşımla yer verilmiştir. 

9. sınıftan başlamak üzere sayılarla ilgili temel önermelerin ifade edilmesi ve ispatlanmasının yanı sıra fonksiyonların nitel özelliklerinin cebirsel olarak belirlenip ispatlanmasında mantık bağlaçları ve niceleyicilerin anlamlı ve etkili şekilde kullanımına büyük önem verilmiştir. Program genelinde  ispat yöntemi olarak doğrudan ispat ve aksine örnek verme yöntemlerinin kullanımına özellikle işaret edilmiştir. 10. sınıfta ise faktöriyel, sıralama, seçme gibi sayma kavramları algoritma ile ilişkilendirilerek işe koşulmaktadır. Ayrıca temada cebirsel ve fonksiyonel işlemlerin algoritma diliyle ifade edilmesine yer verilmiştir. Böylece cebirsel dilin fonksiyonlarla yapılan işlemlerde anlamlı ve tutarlı bir biçimde kullanılması desteklenmiştir.  

Geometrik Şekiller teması ortaöğretimin tüm seviyelerinde yer almaktadır. Bu temada 9. sınıf seviyesinde üçgende temel elemanlar (açı, kenar), üçgen eşitsizliği; 10. sınıf seviyesinde üçgende yardımcı elemanlar (iç açıortay, dış açıortay, yükseklik, kenarortay, kenar orta dikme), iç teğet çember ve dış teğet çember, çevrel çember, trigonometrik oranlar,sinüs ve kosinüs teoremleri; 11. sınıf seviyesinde çokgenler (içbükey ve dışbükey çokgen, düzgün çokgen), dörtgenler (dörtgen çeşitleri) ve bunların özellikleri (kenar, açı, köşegen, simetri, alan), kenar, açı, köşegen ve simetri özelliklerinden hareketle özel dörtgenlerin aralarındaki ilişkiler; 12. sınıf seviyesinde çember ve çemberle ilişkili elemanlar (kesen, kiriş, teğet, çap ve yay) incelenmiştir. 9. sınıfta yer alan Eşlik ve Benzerlik temasında geometrik dönüşümlere, üçgenlerde eşlik ve benzerlik için gerekli olan asgari koşullara, benzerlik oranına, bir üçgenden hareketle ona benzer üçgenler oluşturmaya, Tales, Öklid ve Pisagor teoremlerini ispatlamaya ve bu teoremleri problem durumlarında kullanmaya yönelik içerikler yer almaktadır. 10. sınıfta yer alan Analitik İnceleme teması, cebir ve geometri ile ilgili önceki çalışmaların bir ortak noktası olarak tasarlanmıştır. Bu temada öğrencilerin ortaokul seviyesinde öğrendikleri dik koordinat sisteminde nokta belirleme ve doğrusal fonksiyon grafiği çizme bilgilerinin üzerine dik koordinat sistemini tanıyıp dik koordinat sisteminde uzaklık ve doğruların birbirine göre konumlarını doğrusal fonksiyonlar konusunda edindikleri bilgilerle ilişkilendirilebilmeleri sağlanmıştır. 12. sınıf Geometrik Cisimler temasında dikdörtgenler prizması ve dik dairesel silindirin özellikleri, yüzey alanı ve hacim bağıntılarından yararlanılarak dik piramit, dik dairesel koni ve kürenin özellikleri ile yüzey alanı ve hacim bağıntılarının elde edilmesine yer verilmiştir.

İstatistiksel Araştırma Süreci temasına 9, 10 ve 11. sınıflarda yer verilmiştir. 9. sınıfta bu tema kapsamında tek nicel değişkenli veri dağılımlarına, 10. sınıfta iki kategorik değişkenli veri dağılımlarına, 11. sınıfta iki nicel değişkenli veri dağılımlarına yer verilmiştir. Bu dağılımlarda evren, örneklem, değişebilirlik, ilişkililik, histogram, standart sapma ve bu araçları inceleme, sonuç çıkarma, tahminde bulunma, iki yönlü tablo, sütun grafikleri, koşullu göreli sıklıklar, tablo, serpme diyagramı (saçılım grafiği), bölgelere göre sayım oranı, korelasyon katsayısı ele alınmıştır. Ayrıca öğrencilerin başkaları tarafından oluşturulan istatistiksel görsel, özet, sonuç, yorum, çıkarım ve tahminleri eleştirel bir bakış açısıyla tartışabilme becerisinin gelişimine de önem verilmiştir. 12. sınıfta ise öğrencilerin 9, 10 ve 11. sınıfta öğrendikleri bilgilerden hareketle toplumsal ve bilimsel durumlara ilişkin hazır veri ile çalışabilmeleri ve hazır veriye dayalı karar verebilmeleri için istatistiksel araştırma tasarımları yapmaları istenmektedir. Veriden Olasılığa temasında 9. sınıfta iki veya daha fazla olaylı deneyler üzerinde durulmuş ve olay, deney, çıktı, örnek uzay, deneysel olasılık, teorik olasılık konularına; 10. sınıfta ise bağımlı olay, bağımsız olay, koşullu olasılık ve Bayes (Beyz) teoremine yer verilmiştir.

Matematik öğretim programı (2024)

Türkiye Yüzyılı Maarif Modeli adıyla yayınlanan yeni matematik öğretim modelinde önceki yıllarda uygulanan öğretim modelinden farklı olarak bazı değişiklikler olmuştur. Yer alan değişiklikleri genel bir çerçevede ele alan yazımızı aşağıda okuyabilirisiniz.

Öğretim programının amacında "Türkiye Yüzyılı Maarif Modeli’nin becerilerle ilgili bileşenleri; kavramsal beceriler (temel beceriler, bütünleşik beceriler ve üst düzey düşünme becerileri), sosyal-duygusal öğrenme becerileri (benlik becerileri, ortak/bileşik beceriler, sosyal yaşam becerileri), eğilimler, okuryazarlık becerileri ve alan becerilerinden oluşmaktadır. Ortaöğretim Matematik Dersi Öğretim Programı, bilgi edinim sürecine ek olarak bireylerin çağın gerektirdiği becerilerle donatılmasını hedeflemektedir. Program, matematik öğrenme süreçlerini destekleyen ve bu süreçlerle gelişen kavramsal beceriler ve matematik alan becerileri odağa alınarak hazırlanmıştır. Aynı zamanda bu becerilerin eğilimler, sosyal-duygusal öğrenme becerileri ve okuryazarlık becerileri ile etkileşim içinde gelişimi hedeflenmiştir. "

"Ortaöğretim Matematik Dersi Öğretim Programı; matematiksel düşünmenin sistematik, rasyonel, analitik, tutarlı ve ilişkisel yapısı göz önünde bulundurularak hazırlanmıştır. Öğrencilerin daha çok bilgi edinimi yerine matematiksel bilgiye ulaşmayı sağlayan becerilere sahip olmalarını, edindikleri bilgiler arasındaki ilişkileri sorgulayarak eski bilgileri ile yeni bilgilerini bir bütün olarak yapılandırabilmelerini ön planda tutan programda sadece işlemsel bilgiyi ve performansı destekleyen içerikler mümkün olduğunca sınırlı tutulmuştur. Öğrencilerin dil ve sembolizmi etkin kullanarak problem çözmesi, varsayım, genelleme, doğrulama gibi matematiksel düşünmenin önemli bileşenlerine programın bütüncül yaklaşımı ile uyumlu bir şekilde yer verilmiştir. Bunun yanı sıra programda öğrencilerin bireysel ve grup içi sorumluluk alması teşvik edilerek öğrenmeye ilişkin eğilimlerinin ve sosyal-duygusal öğrenme becerilerinin geliştirilmesi hedeflenmiştir. İçerik, bu hedefler bağlamında hem disiplinler arası hem de beceriler arası ilişkiler kurularak mümkün olduğunca gerçek yaşam gereksinimleri çerçevesinde yapılandırılmıştır. Öğrenme-öğretme uygulamalarında öğrenme kanıtlarını belirlemek için ölçme ve değerlendirme araçlarının sadece sonuç odaklı değil süreç odaklı olarak da kullanıldığı bir program yaklaşımı benimsenmiştir."

"Ortaöğretim Matematik Dersi Öğretim Programı, matematik alan becerileri ve kavramsal becerilerle bu becerilerin öncüsü niteliğindeki eğilimler esas alınarak hazırlanmıştır. Türkiye Yüzyılı Maarif Modeli’nde matematik alan becerileri, önemli oranda kavramsal beceriler üzerine inşa edilmiştir. Kavramsal becerilerin karşılayamadığı durum veya süreçler için de matematiğe özgü alan becerileri tanımlanmıştır. Bu anlamda kavramsal becerilerle matematik alan becerilerinin sıkı bir etkileşimi söz konusu olup bu iki beceri türünün birbirinin gelişimini destekleyen yapısı ön plandadır."

"Ortaöğretim Matematik Dersi Öğretim Programı’nın hedeflediği beceriler ve içerik çerçevesi ile uyumlu bir biçimde matematik öğrenme ve öğretme sürecinin doğal bir bileşeni olarak değerlendirilmeli, Matematik öğretme süreci ve öğrencilere sunulan matematik öğrenme ortam ve fırsatları, okuryazarlık becerilerini destekleyecek bir yapıda olmalı ve Sosyal-duygusal öğrenme becerilerini destekler biçimde planlanmalıdır."

"Disiplinler arası ilişkiler başta fen bilimleri olmak üzere farklı disiplin ve alanların matematiği kullandığı bağlam ve problemlere vurgu yapmakta olup programın temaları bu başlık altında farklı disiplinlerle ilişkilendirilmiştir. Böylelikle matematik öğrenme ve öğretme sürecinin disiplinler arası bağlam, problem ve etkileşimle daha nitelikli, faydalı ve ilgi çekici bir hâle getirilmesi amaçlanmıştır."

"Öğrenme çıktıları; temanın sonunda öğrencinin ulaşması beklenen, alana ilişkin kavram, yöntem ve işlem bilgileri ile becerileri bir arada sunan öğretimsel amaçlar olarak düşünülebilir. Öğrenme çıktıları kavramsal beceriler ve matematik alan becerilerinin ortaya koyduğu eylemlerin yanı sıra bu becerileri oluşturan “süreç bileşenleri”nin de rehberliğinde hazırlanmıştır."

"Matematik dersi öğretim programları, ilköğretim ve ortaöğretim düzeyinde bilgi ve beceriler bağlamında bütüncül ve tutarlı bir yaklaşımla oluşturulmuştur. Temaların içerik çerçevesinde 'genelleme', 'anahtar kavramlar', 'sembol ve gösterimler' bileşenleri üzerinde durulmuştur. Program tasarımında her bir tema ile ilgili sınırlı sayıda ve tema çerçevesinde belli oranda gerçekleştirilebilir genellemelere yer verilmiştir. Bazı genellemeler bir temanın kapsamı ile sınırlıyken bazıları ancak benzer temalar etrafında 2-3 yıl boyunca sunulacak öğretim faaliyetlerinin bir ürünüdür. Her bir temada ayrı ayrı listelenen anahtar kavramlar, temanın kapsamı hakkında bilgi vermektedir. Temaların ilişkisel yapısına bağlı olarak bazı anahtar kavramlar, farklı sınıf seviyelerinde birden çok temada yer alabilmektedir. İçerik çerçevesinin son bileşeni olan “sembol ve gösterimler” hem öğretmenler hem de farklı içerik geliştiriciler için ortak bir dil oluşturmaktadır. "

"Ortaöğretim Matematik Dersi Öğretim Programı’nda öğrencilerin öğrenmelerini destekleyecek ve sistematik olarak öğrencilere geri bildirim verilebilmesini sağlayacak bir ölçme ve değerlendirme yaklaşımı benimsenmiştir. Ortaöğretim Matematik Dersi Öğretim Programı’nda tamamlayıcı ölçme araçları kullanılarak öğrencilere bilgi düzeyleri, eksiklikleri veya kavram yanılgıları hakkında dönütler sağlanması hedeflenmiştir. Ölçme ve değerlendirme faaliyetlerine yönelik önerilen tüm ölçme ve değerlendirme araçları "öğrenme kanıtları" bölümünde listelenmiştir."

"Programda öğrencilerin hazır bulunuşluklarının dikkate alınarak hareket edilmesi, öğrenme ve öğretme sürecinin başında “ön değerlendirme” yapılması önemsenmektedir. Ayrıca hem öğrencilerin ön bilgileriyle yeni öğrenmeleri arasında bağlantı kurulması hem de öğrenilenlerin günlük hayatla ilişkilendirilmesi amacıyla öğrenmeler arasında “köprü kurulması” beklenmektedir."

"Öğrencilerin ulaşması beklenen bilgi ve beceriler aynı olsa da her öğrencinin ilerleme hızı ve süreçte ihtiyaç duyduğu bilgi ve beceriler bir diğerine göre farklı olduğundan bu durum Ortaöğretim Matematik Dersi Öğretim Programı’nda “farklılaştırma” bağlamında ele alınarak, 'zenginleştirme' ve 'destekleme' faaliyetleri öğretmen tarafından bireysel farklılıklara duyarlı bir biçimde, kapsayıcı bir anlayışla gerçekleştirmesiyle 'her öğrencinin matematiği öğrenebileceği' amaçlanmıştır."

Ortaöğretim Matematik Dersi Öğretim Programı  ünite ve konu kavramı yerine çeşitli "temalar" etrafında çerçevelenrek sunulmuştur. Bu kapsamda 9.sınıfta 7 tema, 10.sınıfta 7 tema, 11. sınıfta 3 tema, 12.sınıfta 5 tema olacak şekilde hazırlanmıştır.

Hazırlık sınıfı bulunan okullarda matematik öğretim programında "Nicelikler ve değişimler, mantıksal çıkarım, algoritma ve bilişim, geometrik şekiller, istatistiksel araştırma süreci" temalarına yer verilmiştir. Bu sınıf düzeyinde yüzdelik olarak en fazla ağırlık, "geometrik şekiller %30 ve algoritma ve bilişim %24" temasına verilmiştir.

9.sınıf matematik öğretim programında "sayılar, nicelikler ve değişimler, geometrik şekiller, eşlik ve benzerlik, algoritma ve bilişim, istatistiksel araştırma süreci veriden olasılığa" temaları yanında, okul düzeyine göre planlamanın yapılacağı %5 lik bir tema oluşturmaya da izin verilmiştir. 9.sınıf düzeyinde yüzdelik olarak en fazla ağırlık, "sayılar %17, nicelikler %17, eşlik ve benzerlik %17 temasına verilmiştir.

10.sınıf matematik öğretim programında "geometrik şekiller, istatistiksel araştırma süreci, sayılar, nicelikler ve değişimler, sayma- algoritma ve bilişim,  analitik inceleme ve veriden olasılığa" temaları yanında, okul düzeyine göre planlamanın yapılacağı %5 lik bir tema oluşturmaya da izin verilmiştir. 10.sınıf düzeyinde yüzdelik olarak en fazla ağırlık, "nicelikler ve değişimler" %25 temasına verilmiştir.

11.sınıf matematik öğretim programında "istatistiksel araştırma süreci, geometrik şekiller, nicelikler ve değişimler" temaları yanında, okul düzeyine göre planlamanın yapılacağı %5 lik bir tema oluşturmaya da izin verilmiştir. 11.sınıf düzeyinde yüzdelik olarak en fazla ağırlık, "nicelikler ve değişimler" %51 (17*3=51)" temasına verilmiştir.

12.sınıf matematik öğretim programında "nicelikler ve değişimler, geometrik şekiller, geometrik cisimler, değişimin matematiği ve hazır veriler üzerinde çalışma" temaları yanında, okul düzeyine göre planlamanın yapılacağı %5 lik bir tema oluşturmaya da izin verilmiştir. 12.sınıf düzeyinde yüzdelik olarak en fazla ağırlık, "değişimin matematiği" %39 (13*3=39)" temasına verilmiştir.

Tema öğrenme çıktıları ve süreç bileşenleri

MAT.H.1.1. Doğrusal ilişkiler içeren problemlerin çözümlerinde matematiksel araç ve teknolojilerden yararlanabilme

MAT.H.2.1. Mantıksal çıkarım gerektiren problemleri çözebilme

MAT.H.3.1. Sonlu sayı örüntülerine yönelik tümevarımsal akıl yürütebilme

MAT.H.3.2. Şifreli metinleri çözebilmek için tümevarımsal akıl yürütebilme

MAT.H.3.3. Şifreli metinler oluşturabilmek için analojik akıl yürütebilme

MAT.H.4.1. Farklı geometrik kavram ve şekillerin inşa çalışmalarında matematiksel araç ve teknolojilerden yararlanabilme

MAT.H.4.2. Matematiksel araç ve teknolojilerden yararlanılarak inşa edilen bazı özel dörtgenlerin (yamuk, paralelkenar, dikdörtgen, eşkenar dörtgen, kare) özellikleri ile ilgili çıkarım yapabilme

MAT.H.4.3. Fraktalları çözümleyebilme

MAT.H.4.4.Geometrik şekiller kullanılarak oluşturulan süslemeleri çözümleyebilme

MAT.H.4.5. Geometrik şekillerden kaplamalar sentezleyebilme

MAT.H.5.1. Başkaları tarafından oluşturulan istatistiksel sonuç veya yorumları tartışabilme

Türev ve İntegral Konuları

Limit, türev ve integral konularıyla alakalı olarak blog sayfamızda yer alan konu başlıkları aşağıdaki gibidir. Konu anlatımı ve örnek sorularla ilgili ünite açıklanmaya çalışılmıştır. İstifadenize sunulan bu çalışmayı hayır dualarınızla destekleyiniz. Kolaylıklar dilerim.

LİMİT ve SÜREKLİLİK

Bir fonksiyonun bir noktada sürekliliği

Limitte ∞-∞ belirsizliği

Limitte ∞/∞ belirsizliği

Limitte 0/0 Belirsizliği

Trigonometrik fonksiyonların limitleri

Genişletilmiş reel sayılar kümesinde limit 

Sinx/x limiti ve ispatı 

Limitin tarihçesi 

 

TÜREV ve UYGULAMALARI

Türevle grafik çizimi 

Düşey ve yatay asimptot

Maksimum ve minimum problemleri

Bileşke fonksiyonun türevi ve ispatı

Bölüm türevi ve ispatı

Çarpım türevi ve ispatı 

Toplam ve fark türevi ispatı 

Polinom fonksiyonların türevi ve ispatı 

Doğrunun eğiminde türev 

L-Hospital Kuralı 

Ters trigonometrik fonksiyonların türevi 

Tanx ve Cotx fonksyionlarının türevi ve ispatı 

Sinx ve Cosx fonksiyonlarının türevleri ve ispatı 

Logaritma fonksiyonun türevi 

Artan ve azalan fonksiyonlar 

 

İNTEGRAL

İntegralle hacim hesabı

Daire yardımıyla integralde alan hesabı 

İki eğri arasında kalan alan 

Belirli integralle alan hesabı 

Belirli integral 

İntegralde basit kesirlere ayırma yöntemi

Kısmi integrasyon yöntemi

Logaritma ve üstel fonksiyon integrali

Ters trigonometrik fonksiyonların integrali

Trigonometrik fonksiyonların integrali

İntegralde değişken değiştirme yöntemi

Belirsiz integral alma kuralları

Belirsiz integral

Diferansiyel kavramı

Riemann toplamı

İntegralle hacim hesabı

Bir geometrik forma sahip olan geometrik cisimlerin (prizma, piramit, silindir, koni,küre) hacimleri katı cisimlerin alan formülleri yardımıyla bulunabilir. (Bkz. Katı cisimlerin hacimleri) Düzgün bir geometrik formu olmayan cisimlerin veya bir fonksiyonun bir eğri/eksen etrafında döndürülmesiyle meydana gelen dönel cisimlerin hacimleri integral yardımıyla hesaplanır.

Daire yardımıyla integralde alan hesabı

x²+y²=r² denklemi merkezi (0,0) ve yarıçapı r br olan bir çember denklemidir. Bazı alan hesaplamalarında bu çember denkleminden yararlanarak bilinen daire alanı formülü kullanılıp belirli integralde alan hesabı işlemi yapılabilir. Bu çember denkleminde y değeri eşitliğin bir tarafında yalnız bırakılarak fonksiyon x'e bağlı olarak y=f(x) şeklinde yazılır, daha sonra belirlenen sınırlara göre integral alma işlemi yapılır.

İki eğri arasında kalan alan

 

İki farklı fonksiyon grafiği verildiğinde bu grafiklerin arasında kalan alanı bulurken integral işleminden yararlanılır. Bunun için öncelikle fonksiyonlar birbirine eşitlenerek ortak kesişim noktaları bulunur. Yani eşitlikten ortaya çıkan denklemin kökleri bulunur. Bu kökler, integral alacağımız belirli aralığın alt ve üst değerleridir. Belirli integral yardımıyla fonksiyonlardan grafiği üstte olandan, grafiği altta olanın kuralı çıkarılarak bulunan kapalı aralıkta alt ve üst sınırlar yerine yazılarak belirli integral alma işlemi yapılır böylece iki eğri arasında kalan alan hesaplanmış olur.

Belirli integralde alan hesabı

Bir fonksiyonun grafiğinin eksenlerle arasında kalan alan, belirli integral yardımıyla bulunabilir. Bunun için hangi eksen ile arasında kalan alan soruluyorsa bu değişkene göre fonksiyonun integrali alınır. Uç sınırları bilinen kapalı aralık için alt ve üst sınırlar integral sonucunda yerine yazılarak alan hesabı tamamlanmış olur. 

Riemann toplamında fonksiyon grafiğinin altına belli sayıda dikdörtgenler çizilerek elde edilen alt ve üst alanlar toplamı, eğrinin altındaki alanın tam değerini vermez. (Bkz. Riemann Toplamı) Riemann toplamında, eğirinin altına veya üstüne çizilen dikdörtgenlerin sayısı sonsuz tane yapıldığında yani limit değeri olarak hesaplama yapıldığında, hesaplanan alan; gerçek alan değerine ulaşır. Bu da integral hesabı ile alan değerini verir. Riemann toplamında elde edilen alt ve üst alanlar toplamının arasında kalan yaklaşık bir değere sahip alan hesabı, integral yardımıyla net bir sonuca yani gerçek alan değerine kavuşmuş olur.