ÖSYM Türev-İntegral Çıkmış Sorular

ÖSYM Türev-İntegral Çıkmış Sorular: Müfredat değişikliğinden dolayı çok fazla kısmın kaldırıldığı limit, türev ve integral konularından sadece AYT sınavında sorulan sorular yer almaktadır. 2018 yılından itibaren sorulan Limit, süreklilik, türev, integral konusu ile alakalı tüm sorulara ve cevaplara buradan ulaşabilirsiniz. 

2018 tarihinden sonraki (AYT) Limit-Türev-İntegral sorularını PDF olarak indirmek için tıklayınız. 

(2006 Öncesi) LYS-ÖSS gibi sınavlarda çıkmış limit sorularına ulaşmak için tıklayınız.

(2006 Öncesi) LYS-ÖSS gibi sınavlarda çıkmış türev sorularına ulaşmak için tıklayınız.

(2006 Öncesi) LYS-ÖSS gibi sınavlarda çıkmış integral sorularına ulaşmak için tıklayınız.

Diğer ÖSYM sınav sorularına ve güncel bilgilere ulaşmak için ÖSYM resmi sitesini kullanınız.
Sınav Sorularına ÖSYM sitesinden ulaşabilirsiniz.

https://www.osym.gov.tr/ 

Türev ve İntegral Konuları

Limit, türev ve integral konularıyla alakalı olarak blog sayfamızda yer alan konu başlıkları aşağıdaki gibidir. Konu anlatımı ve örnek sorularla ilgili ünite açıklanmaya çalışılmıştır. İstifadenize sunulan bu çalışmayı hayır dualarınızla destekleyiniz. Kolaylıklar dilerim.

LİMİT ve SÜREKLİLİK

Bir fonksiyonun bir noktada sürekliliği

Limitte ∞-∞ belirsizliği

Limitte ∞/∞ belirsizliği

Limitte 0/0 Belirsizliği

Trigonometrik fonksiyonların limitleri

Genişletilmiş reel sayılar kümesinde limit 

Sinx/x limiti ve ispatı 

Limitin tarihçesi 

 

TÜREV ve UYGULAMALARI

Türevle grafik çizimi 

Düşey ve yatay asimptot

Maksimum ve minimum problemleri

Bileşke fonksiyonun türevi ve ispatı

Bölüm türevi ve ispatı

Çarpım türevi ve ispatı 

Toplam ve fark türevi ispatı 

Polinom fonksiyonların türevi ve ispatı 

Doğrunun eğiminde türev 

L-Hospital Kuralı 

Ters trigonometrik fonksiyonların türevi 

Tanx ve Cotx fonksyionlarının türevi ve ispatı 

Sinx ve Cosx fonksiyonlarının türevleri ve ispatı 

Logaritma fonksiyonun türevi 

Artan ve azalan fonksiyonlar 

 

İNTEGRAL

İntegralle hacim hesabı

Daire yardımıyla integralde alan hesabı 

İki eğri arasında kalan alan 

Belirli integralle alan hesabı 

Belirli integral 

İntegralde basit kesirlere ayırma yöntemi

Kısmi integrasyon yöntemi

Logaritma ve üstel fonksiyon integrali

Ters trigonometrik fonksiyonların integrali

Trigonometrik fonksiyonların integrali

İntegralde değişken değiştirme yöntemi

Belirsiz integral alma kuralları

Belirsiz integral

Diferansiyel kavramı

Riemann toplamı

İntegralde basit kesirlere ayırma yöntemi

Rasyonel şekilde verilen bir fonksiyonun integrali alınırken bazen pay kısmında yer alan ifade payda kısmında yer alan ifadeye polinom bölmesi yapılarak integral basit kesirlere ayrılır ve ayrılan basit kesirler ayrı ayrı hesaplanarak integral alma işlemi tamamlanır.

Kısmi integrasyon metodu

Genellikle iki farklı fonksiyonun çarpımı şeklinde verilen fonksiyonların integralinde değişken değiştirme yöntemi işe yaramayacağından burada "kısmi integrasyon yöntemi" kullanılır. 

Logaritma (L), Terstrigonometrik fonksiyonlar (Arc), Polinom fonksiyon (P), Trigonometrik fonksiyon (T) ve üstel fonksiyon (Ü) sırasıyla hangisi önce geliyorsa (LAPTÜ) o fonksiyona u değişkeni verilip diferansiyeli alındıktan sonra kısmi integrasyon formülü kullanılarak integral alma işlemi yapılır.

 

 

 

Logaritma ve üstel fonkiyonun integrali

Üstel ve logaritma biçiminde verilen fonksiyonların integrali hesaplanırken, üstel ve logaritma fonksiyon özelliklerinden yararlanılır. Türevden yararlanarak üstel fonksiyon ve logaritmanın integral kuralları oluşturulabilir. (Bkz: Logaritma Türevi)

 

Bazı durumlarda integral alma işleminde değişken değiştirme yöntemi kullanılır. Değişken değiştirme yönteminde hangi parçaya u deneceği ve bunun diferansiyelinin alınması son derece önemlidir.  Değişken değiştirme yöntemi ile integral alma kurallarında verilen integral formuna dönüştürülen logaritma fonksiyonun integrali, aşağıdaki formüller yardımıyla kolaylıkla hesaplanabilir.

 

 

 

lnx gibi bazı fonksiyonların integrali alınırken kısmi integrasyon metodundan yararlanılır. (Bkz: Kısmi İntegrasyon Metodu)

Ters trigonometrik fonksiyonların integrali

Ters trigonometrik fonksiyon biçiminde verilen fonksiyonlarda dik üçgen çiziminden yararlanarak dönüşüm yapılabilir. Bu şekilde elde edilen belirsiz integral, integral alma kuralları yardımıyla hesaplanır.

 

İntegrali alınacak fonksiyonun paydasındaki ifadenin ters trigonometrik fonksiyonların integralindeki forma dönüşebilmesi için paydaya uygun sayılar eklenir ya da çıkarılır bunun sonucunda elde edilen integral istenen biçime dönüştürülür daha sonra integral değeri hesaplanır. 

 

Trigonometrik fonksiyonların integrali

Trigonometrik fonksiyonların integrali hesaplanırken öncelikle verilen integral değişken değiştirme ve trigonometrik özdeşlikler yardımıyla uygun bir forma dönüştürülür daha sonra integral alma kuralları kullanılarak integral değeri hesaplanır.

 

 

Bazı trigonometrik integralde sadece değişken değiştirme işlemi sorunun çözümü için yetmeyebilir. Bu durumda integrali alınacak fonksiyon; trigonometrik özdeşlikler, yarım açı formülleri, toplam ve fark formülleri, dönüşüm ve ters dönüşüm formülleri kullanılarak daha basit bir forma dönüştürülür sonra integral alma işlemi yapılır. Aşağıdaki örnekte verilen fonksiyonun integrali alınırken sinü fonksiyonun yarım açı formülü kullanılarak integral daha basit bir forma dönüştürülmüş daha sonra değişken değiştirme işlemi ile integral hesabı yapılmıştır.

Sinüs veya cosinüs fonksiyonların çift kuvvetleri biçiminde verilen integrallerde derece trigonometrik özdeşlikler yardımıyla düşürülerek integral basit forma indirgenir. Örneğin sin²x ve cos²x fonksiyonlarının integrali hesaplanırken, yarım açı formüllerinden yararlanarak fonksiyonun derecesi düşürülür. Sonra bilinen integral alma kuralları kullanılarak integral değeri hesaplanır.

 

Sinüs veya cosinüs fonksiyonların tek kuvvetleri biçiminde verilen integraller, önce çift dereceli ve tek dereceli olacak biçimde iki çarpan halinde yazılır. Örneğin sin³x fonksiyonu sin²x ve sinx fonksiyonlarının çarpımı biçiminde olduğundan sin³x=sin²x.sinx şeklinde yazılır.  Daha sonra trigonometrik özdeşlik kullanılarak sin²x=1-cos²x yardımıyla integral basit bir forma dönüştürülür. Benzer şekilde cos³x fonksiyonu cos²x ve cosx fonksiyonlarının çarpımı biçiminde olduğundan cos³x=cos²x.cosx şeklinde yazılır.  Daha sonra trigonometrik özdeşlik kullanılarak cos²x=1-sin²x yardımıyla integral basit bir forma dönüştürülür.

 

 

 

Bazı trigonometrik fonksiyonların integralinde ters dönüşüm formüllerinden yararlanmak gerekebilir. Bu durumdafonksiyon öncelikle ters dönüşüm formülü kullanılarak uygun forma dönüştürülür daha sonra integral değeri hesaplanır.

İntegralde değişken değiştirme yöntemi

 Bazı integrallerde verilen fonksiyonun mevcut değişkenine göre integralini hesaplamak daha zor olabilir. Bu durumda uygun bir değişken değiştirme işlemi yapılarak integral daha basit bir forma dönüştürülür daha sonra integral alma kuralları kullanılarak integral değeri hesaplanır. 

Belirsiz integral alma kuralları

"Türevi alınmış bu fonksiyonun türevi alınmadan önceki hali nedir?" Bu sorunun cevabını bulmak için yapılan tüm işlemlere integral alma işlemi denir. İntegral alma işlemi kısaca ∫ sembolü ile gösterilir. Bir fonksiyonun integrali bağlı olduğu değişkene göre (x değişkenine bağlı olarak f fonksiyonun integrali) ∫ f(x).dx  şeklinde yazılır. Burada integral alma işleminde alt ve üst sınırlar gösterilmezse buna "belirsiz integral" adı verilir. Bazı belirsiz integral alma kuralları aşağıda verilmiştir. Bu kurallara bağlı olarak aşağıda örnekler sunulmuştur.

 

(NOT: 2018 yılından önceki matematik müfredatlarında aşağıda verilen tüm belirsiz integral alma kuralları yer alırken 2018-2024 Lise matematik öğretim programında sadece "polinom fonksiyonların integrali" müfredata alınmış daha sonra 2024 yılında yenilen matematik müfredatında integral ünitesi tamamen matematik konularından çıkarılmıştır.)

Köklü biçimde verilen fonksiyonlar öncelikle üslü biçimde yazılır daha sonra polinom fonksiyonların integrali gibi integral alma işlemi yapılır. Derecenin ve fonksiyonun ayrı ayrı bileşke şeklinde integrali alınır.

İntegral işleminde, pay veya paydada çarpanlara ayrıabilen bir ifade varsa öncelikle çarpanlarına ayırma işlemi yapılarak integral alma işlemi denenir. Çarpanlarına ayırma işleminde, basit kesirlerine ayırma yöntemi veya özdeşliklerden yararlanılır. Çarpanlara ayırma işlemi ile hesaplanamayan integrallerde değişken değiştirme veya kısmi integrasyon metodları kullanılır.

Belirsiz İntegral

Türevi verilmiş bir fonksiyonun kendisini bulurken yapılan işleme “ters türev alma” ya da daha genel anlamı ile “integral alma” işlemi denir. 

Türev alma işleminde yapılan bir işlemin tersini bulmak için şöyle bir soru sorulabilir: "Türevi alınmış bu fonksiyonun türevi alınmadan önceki hali nedir?" Bu sorunun cevabını bulmak için yapılan tüm işlemlere integral alma işlemi denir. 

İntegral alma işlemi kısaca ∫ sembolü ile gösterilir. Bir fonksiyonun integrali bağlı olduğu değişkene göre:

(x değişkenine bağlı olarak f fonksiyonun integrali) ∫ f(x).dx  şeklinde yazılır. 

Burada integral alma işleminde alt ve üst sınırlar gösterilmezse buna "belirsiz integral" adı verilir.

Örnek olarak açıklamak gerekirse : “x e göre türevi 2x olan fonksiyon nedir?” sorusunun cevabı x², x² + 1 , x² + 5, x² + 13, x²- 2, x²- 11, x²- 29 ....... şeklinde bir cevap ise doğrudur ve bulduğumuz bu fonksiyonlar başta verilen f(x)=2x fonksiyonun ters türevidir. Bulunan fonksiyonların genel şekline bakılırsa, x² ve bir sabit sayı şeklinde olduğu görülür. Sabit sayının türevi sıfır olduğundan x² yanına hangi sabit sayı yazılırsa yazılsın sonuç farketmez. Burada sabit sayıyı c olarak ifade edersek cevabımız: “x² + c” olur ki bu işlem “2x” fonksiyonunun “belirsiz integrali” (integrant) olarak adlandırılır. Buradaki c sayısı integral sabiti (constant) olup bir reel sayıdır. 

Belirsiz alma işlemlerinde kesinlikle c sabiti unutulmamalıdır.